第二章 几何的初步认识-课件2025—2026学年冀教版数学七年级上册

第二章　几何图形的初步认识 2.2　线段、射线、直线  　点、线段、射线和直线 1.(2024河北秦皇岛青龙期中)手电筒射出去的光线,可看成  ( ) A.直线　　    B.射线　　    C.线段　　    D.折线     B     2.下列说法中,正确的个数是 ( ) ①线段AB和线段BA是同一条线段; ②射线AB与射线BA是同一条射线; ③直线AB与直线BA是同一条直线; ④射线AB的长是5 cm. A.1　　    B.2　　    C.3　　    D.4     B     解析　根据线段的表示方法可知,线段AB和线段BA是同一条 线段,故①正确;射线AB的端点是A,射线BA的端点是B,所以射 线AB和射线BA不是同一条射线,故②错误;根据直线的表示方 法可知,直线AB和直线BA是同一条直线,故③正确;由射线的 定义可知,射线是不能度量的,故④错误.综上可知,①③正确. 故选B. 3.(2025河北唐山路南期末)如图,下列给出的直线,射线,线段 能相交的是 ( )   A.a与b　　    B.b与d　　    C.b与c　　    D.c与d     C     解析    A.射线a从端点向一方无限延伸,与直线b不能相交,故 此选项不符合题意; B.射线d从端点向一方无限延伸,与直线b不能相交,故此选项 不符合题意; C.射线c从端点向一方无限延伸,与直线b能相交,故此选项符 合题意; D.射线c、d从端点向一方无限延伸,不能相交,故此选项不符 合题意.故选C. 4.根据图形填空: (1)图中以点O为端点的射线有_________条,分别是______ _________. (2)图中以点B为端点的线段有_________条,分别是______ _________. (3)图中共有_________条线段,分别是___________________ ____________. AB、BC、AC     　线段OA、OB、OC、     6     AB、BC     　线段OB、     3     OB、OC     　射线OA、     3     5.(2025河北保定定州期末)根据下列语句,画出图形. 如图,已知四点A,B,C,D. (1)画直线AB. (2)连接AC、BD,相交于点O. (3)画射线AD,BC,交于点P.   解析    (1)(2)(3)如图.  　点与直线的位置关系及直线的基本事实 6.【新课标·中华优秀传统文化】(2024河北秦皇岛海港期中) 书法是中华民族的瑰宝,作为艺术品,经常被人们挂起来欣赏. 我们在挂条幅时,要钉两个钉子才能固定,这里面包含的数学 事实是 ( ) A.两点之间,线段最短 B.两点确定一条直线 C.两点能够确定多条直线 D.点动成线     B     解析　我们在挂条幅时,要钉两个钉子才能固定,这样做应用 的数学知识是两点确定一条直线,故选B. 7.反向延长线段AB到点C,下列说法不正确的是( ) A.点C在射线BA上 B.点C在直线AB上 C.点C在线段AB上 D.点C在线段BA的延长线上     C     解析　因为反向延长线段AB到点C,所以点C在射线BA上,点C 在直线AB上,点C在线段BA的延长线上,点C不在线段AB上,所 以A、B、D正确,C不正确,故选C. 8.(2025北京朝阳期末)如图,下列表述点与直线关系的语句:① 点A在直线BC外;②直线m和n相交于点C;③点B既在直线l上 又在直线m上.其中正确的是 _______(直接填写序号).   　①②     解析　①②中的语句都正确,③点B既在直线l上又在直线n上, 故③错误. 故填①②. 9.(2025福建厦门一中期末,★★☆)下列几何图形与相应语言 描述相符的是 ( ) A.如图1,延长线段AB到点C B.如图2,点B在射线CA上 C.如图3,直线AB的延长线与直线CD 的延长线相交于点P D.如图4,射线CD和线段AB没有交点     D     解析    A.延长线段BA到点C,该选项不正确;B.点B在直线CA 上,故该选项不正确;C.直线AB与直线CD相交于点P,故该选项 不正确;D.射线CD和线段AB没有交点,故该选项正确.故选D. 10.(2024河北保定二模,★★☆)图中四条线段a,b,c,d和线段e 在同一条直线上的是 ( )   A.a　　    B.b　　    C.c　　    D.d     B     解析　利用直尺画出图形如下:   可以看出线段b与e在同一条直线上.故选B. 11.(2025重庆合川期末,★★☆)如图,点B,C,D,E在同一条直线 上,图中共有线段__________条,射线__________条.       12         10     解析　题图中线段有10条:线段AB、线段AC、线段AD、线 段AE、线段BC、线段BD、线段BE、线段CD、线段CE、线 段DE;以点A为端点的射线有4条,以点B为端点的射线有2条, 以点C为端点的射线有2条,以点D为端点的射线有2条,以点E 为端点的射线有2条,故射线有12条. 12.(2025河北廊坊安次期末,★★☆)如图,在平面内有A,B,C三 点. (1)画直线AC,线段BC和射线AB. (2)在线段BC上任取一点D(不同于点B,C),连接线段AD. (3)在(1)(2)的条件下,图中有_______条线段. 解析    (1)如图,直线AC,线段BC,射线AB即为所求. (2)如图,线段AD即为所求. (3)图中线段有AB,AD,AC,BD,BC,DC,共6条, 故答案为6. 13.【新课标·模型观念】如图所示.  　     　         … (1)观察:如果每过两点画一条直线,那么图①最多可以画_____ _____条直线;图②最多可以画_______条直线;图③最多可以 画_______条直线. (2)探索归纳:如果平面上有n(n≥3)个点,且每3个点均不在同 一条直线上,那么最多可以画______条直线(用含n的式子表 示). (3)解决问题:某校七年级6个足球队准备进行单循环赛(即每 两队之间赛一场),预计全部赛完共需多少场比赛? 解析    (1)如图.             图①最多可以画3条直线;图②最多可以画6条直线;图③最多 可以画10条直线. 故答案为3;6;10. (2)图①最多可以画3条直线,3=1+2; 图②最多可以画6条直线,6=1+2+3; 图③最多可以画10条直线,10=1+2+3+4; …… 如果平面上有n(n≥3)个点,且每3个点均不在同一条直线上, 那么最多可以画1+2+3+4+…+n-1= 条直线. 故答案为 . (3)预计全部赛完共需 ×6×(6-1)=15场比赛. 微专题　线段的计数 方法指导    确定平面内(或直线上)n个点形成线段的条数有 两种方法:其一,为了做到不重复不遗漏,可先确定一个端点与 其他端点组成的线段,再确定另一个端点与其他端点组成的 线段.依次类推,重复的线段除以2,得到总线段的条数.其二,利 用平面内n个点能形成 n(n-1)条线段计算. 1.如图,点E,B,F都在线段AC上,则图中共有线段 ( )   A.10 条　　    B.11条　　    C.12条 　　    D.13条     A     解析　题图中的线段有AE,AB,AF,AC,EB,EF,EC,BF,BC,FC,共 10条,故选A. 2.某班45名同学在毕业的一次聚会中,若每两人握1次手问好, 那么一共要握___________次手.     990     解析　因为45名同学在毕业的一次聚会中,每两人握1次手问 好,则每一个人要与其他44人握手一次,所以45人一共要握手  ×44×45=990(次). 3.(2024河北石家庄新华期中)如图所示,由济南始发终点至青 岛的某一次列车,运行途中停靠的车站依次是济南、淄博、 潍坊、青岛,那么要为这次列车制作的单程车票有_________种.       6     解析　从济南上车的旅客可能在淄博或潍坊或青岛下车,共 有3种可能,需要3种车票;从淄博上车的旅客可能在潍坊或青 岛下车,共有2种可能,需要2种车票;从潍坊上车的旅客在青岛 下车,只有1种可能,需要1种车票.3+2+1=6,故单程车票共有6种. END THANKS 感谢您的观看 $$第二章　几何图形的初步认识 2.5　角和角的度量  　角的定义及表示方法 1.(2025河北唐山路南期末)平板支架(如图1)方便用户在不同 位置和角度看平板,图2是支架侧面的平面示意图,其中∠1还 可以表示为 ( ) A.∠A　　    B.∠DAC　　     C.∠BAC　　    D.∠ACE     C     解析　∠1还可以表示为∠BAC.故选C. 2.(2025河北邯郸永年期末)下列四个图中,能用∠1、∠ AOB、∠O三种方法表示同一个角的是 ( )          D     解析    A.∠1可以用∠AOB表示,但不能用∠O表示,故A不符 合题意; B.∠1与∠AOB不是同一个角,故B不符合题意; C.∠1与∠AOB不是同一个角,故C不符合题意; D.∠1既能用∠AOB表示,也能用∠O表示,故D符合题意. 故选D. 3.(2024湖北十堰竹溪期末)下列关于角的说法正确的个数是  ( ) ①角是由两条射线组成的图形;②角的边越长,角越大;③在角 一边的延长线上取一点D;④角可以看作由一条射线绕着它的 端点旋转而形成的图形. A.1　　    B.2　　    C.3　　    D.4     A     解析　①角是由有公共端点的两条射线组成的图形,故原说 法错误;②角的大小与开口大小有关,角的边是射线,没有长短 之分,故原说法错误;③角的边是射线,不能延长,故原说法错 误;④角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图 形,故原说法正确.故选A. 4.各图中有关角的表示正确的有 ( ) A.1个　　    B.2个　　         B     C.3个　　    D.4个 解析　第一个图形应为∠CAB; 第二个图形中∠AOB是平角,正确; 第三个图形,射线与周角是两个概念,故射线AB不是周角; 第四个图形为∠CAB,正确. 综上所述,正确的有2个.故选B. 5.如图. (1)以B为顶点的角有几个?分别表示出来. (2)请指出以射线BA为边的角. (3)以射线DC为一边的角有几个?分别写出来.   解析    (1)以B为顶点的角有∠ABC,∠ABD,∠DBC,共3个. (2)以射线BA为边的角有∠ABE,∠ABC. (3)以射线DC为一边的角有∠BDC,∠EDC,共2个.  　角的度量及换算 6.(2023山东临沂中考)如图,用量角器测得∠ABC的度数是  ( ) A.50°　　    B.80°　　    C.130°　　    D.150°     C     解析　由题图可得∠ABC=130°.故选C. 7.(2024河北承德兴隆期中)下列各式正确的是 ( ) A.62.5°=62°50'　　　         B.31°12'36″=31.21° C.106°18'18″=106.33°　　    D.62°24'=62.24°     B     解析    62.5°=62°30',故A不正确; 31°12'36″=31.21°,故B正确; 106°18'18″=106.305°,故C不正确; 62°24'=62.4°,故D不正确. 故选B. 8.(2024河北唐山遵化期中)已知∠α=30°18',∠β=30.18°,∠γ=3 0.3°,则相等的两个角是( ) A.∠α和∠β　　    B.∠α和∠γ C.∠β和∠γ　　    D.无法确定     B     解析　因为∠α=30°18'=30.3°,∠β=30.18°,∠γ=30.3°,所以∠α =∠γ. 故选B. 9.(2025河北邯郸武安期末)比较大小:38°15'______38.15°(选填 “>”“<”“=”). 　>     解析　因为0.15°=(0.15×60)'=9', 所以38.15°=38°9', 所以38°15'>38°9',即38°15'>38.15°, 故答案为>. 10.用度、分、秒表示下列各角. (1)54.12°.    (2) °. 解析    (1)先把0.12°化为分,60'×0.12=7.2',再把0.2'化为秒,60″ ×0.2=12″,所以54.12°=54°7'12″. (2) °=20°+ °=20°+ ×60'=20°+30'=20°30'. 11.用度表示下列各角. (1)43°30'36″.    (2)65°25'12″. 解析    (1)43°30'36″=43°+ °+ '=43°+0.5°+0.6'=43.5°+  °=43.5°+0.01°=43.51°. (2)先把12″化为分, '×12=0.2',再把25.2'化为度, °×25. 2=0.42°,所以65°25'12″=65.42°. 12.(2024河北张家口桥西期末,★★☆)如图所示,直线m外有 一定点O,A是m上的一个动点,当点A从左向右运动时,观察∠α 的变化情况,正确的是 ( ) A.逐渐变大　　    B.逐渐变小     B     C.大小不变　　    D.无法确定 解析　由题意可知,∠α逐渐变小,故选B. 13.(2025湖南邵阳新邵期末,★★☆)下列换算中,正确的是          ( ) A.40.5°=40°50'　　    B.47.28°=47°12'48″ C.16°30'=16.5°　　    D.0.25°=15″     C     解析    A.40.5°=40°+0.5×60'=40°30',原换算错误; B.47.28°=47°+0.28×60'=47°16'+0.8×60″=47°16'48″,原换算 错误; C.16°30'=16°+ =16.5°,换算正确; D.0.25°=0.25×60'=15',原换算错误.故选C. 14.【新课标·几何直观】【新考向·规律探究题】观察下图,回 答下列问题: (1)图1中有几个角? (2)图2中有几个角? (3)图3中有几个角? (4)如图4所示,若一个角内有n条射线,则共有多少个角? 解析    (1)题图1中有2条射线,角的个数为 =1. (2)题图2中有3条射线,角的个数为 =3. (3)题图3中有4条射线,角的个数为 =6. (4)一个角内有n条射线时,共有(n+2)条射线,则角的个数为  . 微专题　钟面角问题 方法指引　钟面上的圆周被分成了12个大格、60个小格,每 一大格的度数为30°,每一小格的度数为6°.时针一小时走一大 格,即30°,一分钟走0.5°;分针一分钟走一小格,即6°;秒针一秒 钟走一小格,即6°. 1.(2025湖北武汉江汉期末)钟表上4:00时,时针与分针的夹角 是 ( ) A.120° 　　    B.105°　　    C.90° 　　    D.60°     A     解析    4:00时,时针指向4,分针指向12,时针与分针之间是4个 “大格”,因此时针与分针的夹角是30°×4=120°,故选A. 2.(2025重庆八中期末)从下午3点整开始,到时钟的分针与时 针第一次重合,经过的时间是 ( ) A.16分钟　　    B.  分钟 C.17分钟　　    D.  分钟     B     解析　钟面上,分针转动的速度为每分钟360°÷60=6°,时针转 动的速度为每分钟30°÷60=0.5°.下午3点时,时针与分针的夹 角是30°×3=90°,所以从下午3点整开始,到时钟的分针与时针 第一次重合,经过的时间是90°÷(6°-0.5°)= (分钟),故选B. 3.现代人常常受到颈椎不适的困扰,其症状包括:酸胀、隐 痛、发紧、僵硬等,而将两臂向上抬,举到10点10分处,每天连 续走200米,能有效缓解此症状.这里的10点10分处指的是时钟 在10点10分时时针和分针的夹角,则此时时针与分针的夹角 度数是( )   A.100°　　    B.105°　　    C.115°　　    D.120°     C     解析    10点10分时,分针指向2,时针在10和11之间,走过 =  个大格,所以时针和分针之间有 个大格,所以时针和分 针的夹角是30°× =115°,故选C. END THANKS 感谢您的观看 $$第二章　几何图形的初步认识 2.3　线段长短的比较  　比较线段长短的方法 1.(2024河北保定安新期末)如图,用圆规比较两条线段AB和A' B'的长短,其中正确的是 ( ) A.A'B'>AB B.A'B'=AB C.A'B'<AB     C     D.没有刻度尺,无法确定 解析　由题图可知,A'B'<AB.故选C. 2.七年级(1)班的同学想举行一次拔河比赛,他们想从两条绳 子中挑出一条较长的绳子,请你为他们选择一种合适的方法  ( ) A.把两条绳子的一端对齐,然后在同侧拉直两条绳子,另一端 在外面的即为长绳 B.把两条绳子接在一起 C.把两条绳子重合,观察另一端情况 D.没有办法挑选     A     解析　利用叠合法判断,可得A选项中叠合的方法正确. 3.为了比较线段AB和线段CD的长短,把线段CD移到线段AB 上,使点C与点A重合. (1)当点D落在线段AB上时,AB______CD. (2)当点D与点B重合时,AB______CD. (3)当点D落在线段AB的延长线上时,AB______CD.(填“>” “<”或“=”) 　<     　=     　>      　用直尺和圆规作一条线段等于已知线段 4.【新考向·尺规作图】如图,平面上有射线AP和点B、点C,按 下列语句要求画图:(1)连接AB.(2)用圆规在射线AP上截取AD =AB.(3)连接BC,并延长BC到E,使CE=BC.(4)连接DE.   解析    (1)(2)(3)(4)如图所示.    　线段的基本事实和两点之间的距离的概念 5.(2022广西柳州中考)如图,从学校A到书店B有①②③④四条 路线,其中最短的路线是( ) A.①　　    B.②　　    C.③　　    D.④     B     解析　由“两点之间,线段最短”可知,最短的路线是②.故选 B. 6.关于两点之间的距离,下列说法不正确的是 ( ) A.连接两点的线段就是两点之间的距离 B.连接两点的线段的长度,是两点之间的距离 C.如果线段AB=AC,那么点A到点B的距离等于点A到点C的距 离 D.两点之间的距离是连接这两点的所有的线中长度最短的     A     解析　根据两点之间的距离的概念,逐一判断. A.没有指明是连接两点的线段的长度,故A错误; B.符合两点之间的距离的概念,故B正确; C.如果线段AB=AC,那么点A到点B的距离等于点A到点C的距 离,故C正确; D.符合两点之间的距离与线段的基本事实,故D正确.故选A. 7.(2025河北石家庄裕华开学测试)在下列生活、生产现象中, 不可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的是  ( ) A.用两颗钉子就可以把木条固定在墙上 B.当木工师傅锯木板时,他会用墨盒在木板上弹出墨线,这样 会使木板沿直线锯下 C.把弯曲的公路改直,就能缩短路程 D.在正常情况下,射击时只要保证瞄准的一只眼在两个准星 确定的直线上,就能射中目标     C 解析    A.用两颗钉子就可以把木条固定在墙上,可以用基本 事实“两点确定一条直线”来解释,故本选项不符合题意. B.当木工师傅锯木板时,他会用墨盒在木板上弹出墨线,这样 会使木板沿直线锯下,可以用基本事实“两点确定一条直 线”来解释,故本选项不符合题意. C.把弯曲的公路改直,就能缩短路程,可以用基本事实“两点 之间,线段最短”来解释,不能用基本事实“两点确定一条直 线”来解释,故本选项符合题意. D.在正常情况下,射击时只要保证瞄准的一只眼在两个准星 确定的直线上,就能射中目标,可以用基本事实“两点确定一 条直线”来解释,故本选项不符合题意. 故选C. 8.【学科特色·最短距离问题】【学科特色·教材变式P72A组 T1】下面就两个情境请你作出评判. 情境一:如图,从教学楼到图书馆总有少数同学不走人行道而 横穿草坪,这是为什么呢?试用所学数学知识来说明这个问题. 情境二:如图,A,B是河流l两旁的两个村庄,现要在河边修一个 抽水站向两村供水,则抽水站修在什么地方才能使所需的管 道最短?请在图中表示出抽水站点P的位置,并说明你的理由.   你赞同以上哪种做法?你认为应用数学知识为人类服务时应 注意什么? 解析　情境一:两点之间,线段最短. 情境二:点P的位置如图所示.   理由:两点之间,线段最短. 赞同情境二中运用知识的做法.应用数学知识为人类服务时 应注意不能以破坏环境为代价. 9.(2024河北邯郸武安期末,★★☆)如图,已知工厂A,B在铁路l 两侧,在l上找一点建立货站,使该货站到工厂A与B的距离之和 最小,则这个点是 ( ) A.M　　    B.N　　     C.P　　    D.Q     B     解析　根据两点之间,线段最短,可知选B. 10.(2023河北沧州期中,★★☆)下列说法正确的是 ( ) A.线段AB的长度就是A,B两点间的距离 B.线段AB就是A,B两点间的距离 C.过A,B两点的直线的长度是A,B两点间的距离 D.火车从A地到B地行驶的路程为1 462 km,则A地与B地之间 的距离是1 462 km     A     解析　线段AB的长度就是A,B两点间的距离,故A正确,B错误; 直线不可度量,故C错误;路程不一定等于距离,故D错误.故选 A. 11.(2024河北石家庄裕华期中,★★☆)如图,琳琳将三角形沿 虚线剪去一个角得到四边形,设三角形ABC与四边形BCDE的 周长分别为m和n,则m与n的大小关系是___________,理论依据是___________________.   　两点之间,线段最短         m>n     解析　如图所示,延长BE,CD交于点A, 因为AE+AD>DE,三角形ABC与四边形BCDE的周长分别为m 和n,所以m与n的大小关系是m>n. 理论依据是两点之间,线段最短.   12.(2025河北石家庄行唐期末,★★☆)如图,已知四点A,B,C,D, 请按下列要求画图.(保留画图痕迹) (1)画直线AB. (2)画射线AC. (3)连接BC并延长BC到E,使得CE=AB+BC. (4)在线段BD上取点P,使PA+PC的值最小. 解析    (1)(2)(3)(4)如图所示.   13.【新课标·几何直观】已知直线l上A,B两点之间的距离是1 0 cm. (1)如果点C到A,B两点之间的距离之和恰好等于10 cm,那么点 C在什么位置? (2)如果点D到A,B两点之间的距离之和大于10 cm,那么点D在 什么位置? (3)小明说存在一点E,使点E到A,B两点之间的距离之和等于9 cm,你同意他的说法吗?为什么? (4)你发现平面上任意一点到A,B两点之间的距离之和与线段 AB的长度有什么关系? 解析    (1)若点C到A,B两点之间的距离之和恰好等于10 cm,则 点C在线段AB上任意位置都可以. (2)当点D到A,B两点之间的距离之和大于10 cm 时,点D在线 段AB外.有三种情况均符合要求,如图,点D在直线AB上且在点 A的左侧,或在直线AB上且在点B的右侧,或在直线l外.   (3)不同意.理由:根据两点之间,线段最短,可知E到A,B两点之 间的距离之和最小等于10 cm. (4)平面上任意一点到A,B两点之间的距离之和都大于或等于 线段AB的长度. END THANKS 感谢您的观看 $$第二章　几何图形的初步认识 2.6　角大小的比较  　角的大小的比较方法 1.用“叠合法”比较∠1与∠2的大小,正确的是 ( )  　　     　　     　　          D     解析　两个角共顶点,一边重合,另一边在重合的一边的同侧 才能比较大小. 2.(2024河北邢台信都期中)在∠AOB的内部任取一点C,作射 线OC,则一定存在 ( ) A.∠AOB>∠AOC　　    B.∠AOB<∠BOC C.∠BOC>∠AOC　　    D.∠AOC>∠BOC     A     解析　因为射线OC在∠AOB的内部,∠AOC与∠AOB有一公 共边,所以一定存在∠AOB>∠AOC.故选A. 3.(2025河北石家庄正定期末)已知∠α=27',∠β=0.45°,则∠α与 ∠β的大小关系是 ( ) A.∠α=∠β　　    B.∠α>∠β C.∠α<∠β　　    D.无法确定     A     解析　因为∠α=27',∠β=0.45°=60'×0.45=27', 所以∠α=∠β.故选A.  　作一个角等于已知角 4.如图,已知∠ABC,求作一个角,使它等于∠ABC(尺规作图,保 留作图痕迹,不写作法).   解析　如图所示,∠DEF即为所求.   5.(2024河北石家庄四十中期中,★★☆)如图1、图2所示,把一 副三角尺先后放在∠AOB上,则∠AOB的度数可能是  ( )        A.60°　　    B.50°　　    C.40°　　    D.30°     C 解析　由题图1可得∠AOB<45°,由题图2可得∠AOB>30°,所 以30°<∠AOB<45°,故选C. 6.(2023河北邢台三中期中,★★☆)如图,用尺规作∠AOC=∠ AOB的第一步是以点O为圆心,任意长为半径画弧①,分别交 OA、OB于点E、F,那么第二步的作图痕迹②的作法是 ( ) A.以点F为圆心,OE的长为半径画弧     D B.以点F为圆心,EF的长为半径画弧 C.以点E为圆心,OE的长为半径画弧 D.以点E为圆心,EF的长为半径画弧 解析　第二步的作图痕迹②的作法是以点E为圆心,EF的长 为半径画弧.故选D. 7.(2025河北唐山滦南期末,★★☆)若∠A=20°25',∠B=20°15'3 0″,∠C=20.25°,则有 ( ) A.∠A>∠B>∠C　　    B.∠B>∠A>∠C C.∠A>∠C>∠B　　    D.∠C>∠A>∠B     A     解析　因为∠C=20.25°=20°+0.25°=20°+0.25×60'=20°15',∠A =20°25',∠B=20°15'30″, 所以∠A>∠B>∠C.故选A. 8.【新课标·几何直观】【学科特色·教材变式P84练习】比较 两个角的大小,有以下两种方法. ①用量角器度量两个角的大小,用度数表示,则度数大的角大; ②构造图形,若一个角包含(或覆盖)另一个角,则这个角大. 对于如图所示的∠ABC与∠DEF,用以上两种方法分别比较 它们的大小. 注:构造图形时,作示意图(草图) 即可. 解析　方法①:因为∠ABC=46°,∠DEF=67°,所以∠DEF>∠ ABC. 方法②:如图.   把∠ABC放在∠DEF上,使B和E重合,边EF和BC重合,ED和BA 在EF的同侧,从图形中可以看出∠DEF>∠ABC. END THANKS 感谢您的观看 $$第二章　几何图形的初步认识 2.4　线段的和与差  　线段的和与差 1.(2024河北秦皇岛海港期中)如图,点C为线段AB上一点,AB= 6,BC=1,则线段AC的长为 ( )   A.5　　    B.4　　    C.3　　    D.1     A     解析　因为点C为线段AB上一点,AB=6,BC=1, 所以AC=AB-BC=6-1=5,故选A. 2.【学科特色·教材变式P75例1】(2024河北石家庄裕华期中) 如图①,已知线段a,b,则图②中线段AB的长为 ( )        A.a-b　　    B.a+b　　    C.2a-b　　    D.a-2b     C     解析　题图②中线段AB的长为2a-b,故选C. 3.【学科特色·易错题】(2024河北唐山遵化期中)已知线段AB =5 cm,BC=4 cm,且A,B,C三点在同一直线上,则线段AC的长度 为 ( ) A.1 cm　　    B.1 cm或9 cm C.2 cm或8 cm　　    D.9 cm     B     解析　应分两种情况: 当点C在线段AB上时,如图:   因为AB=5 cm,BC=4 cm, 所以AC=AB-BC=5-4=1(cm); 当点C在线段AB的延长线上时,如图:   因为AB=5 cm,BC=4 cm, 所以AC=AB+BC=5+4=9(cm). 综上所述,线段AC的长度为1 cm或9 cm,故选B. 易错警示　本题易因考虑不全而漏解. 4.【新考向·尺规作图】【学科特色·教材变式P77T3】(2024 陕西咸阳实验中学期中)已知线段a,b,点A,P的位置如图所示, 画射线AP,并用尺规在射线AP上求作线段AB,使得AB=AP+b- a.(保留作图痕迹,不写作法)   解析　如图所示.      　线段的中点 5.(2024河北石家庄长安期中)点O为线段AB上一点,能说明点 O是线段AB中点的是 ( ) A.AO+OB=AB　　    B.AB-BO=AO C.AB= AO　　     D.AB=2AO     D     解析　当点O是AB的中点时,OA=OB= AB,所以AB=2AO.故 选D. 6.(2025山东济南商河期末)如图,C,D是线段AB上的两点,且D 是线段AC的中点,若AB=11,DB=8,则CB的长为 ( )   A.3　　    B.4　　    C.5　　    D.6     C     解析　因为AB=11,DB=8,所以AD=AB-DB=3. 又因为点D是AC的中点,所以DC=AD=3. 所以CB=DB-DC=8-3=5.故选C. 7.【学科特色·单中点模型】如图,点A,B在数轴上表示的数分 别为-1和2,若点B是AC的中点,则点C表示的数是 ( )   A.4　　    B.5　　    C.6　　    D.7     B     解析　因为点A,B在数轴上表示的数分别为-1和2,所以AB=2- (-1)=3.因为点B是AC的中点,所以BC=BA=3,所以点C表示的数 是2+3=5,故选B. 8.(2025福建泉州丰泽期末)如图,点C是线段AB上一点,D是线 段BC的中点,若AB=10 cm,AC=4 cm,则AD的长度为________.       7 cm     解析　因为AB=10 cm,AC=4 cm, 所以BC=AB-AC=6 cm, 因为D是线段BC的中点, 所以CD=BD= BC=3 cm, 所以AD=AC+CD=7 cm. 9.【学科特色·劳动生产】下图是一个盛装葡萄酒的瓶子,已 量得瓶塞AB与标签CD的高度之比为2∶3,且标签底部DE=  AB,C是BD的中点,又量得AE=330 mm,求标签CD的高度.   解析　设DE的长为x mm, 因为DE= AB,所以AB=2DE=2x mm. 又因为AB∶CD=2∶3,所以CD=3x mm. 因为C是BD的中点, 所以BC=CD=3x mm. 因为AE=330 mm,AE=AB+BC+CD+DE=2x+3x+3x+x=9x(mm), 所以x= ,所以CD=3× =110(mm), 所以标签CD的高度为110 mm. 10.(2025河北张家口万全期末,★☆☆)如图,C是AB的中点,D 是BC的中点,下列等式不正确的是 ( )   A.CD=AD-BC　 B.CD=AC-DB C.CD= AB　　    D.CD= AB-DB     C     解析　因为C是AB的中点,D是BC的中点, 所以AC=BC= AB,CD=BD= BC, 因为CD=AD-AC, 所以CD=AD-BC,故A正确. 因为CD=BC-DB, 所以CD=AC-DB,故B正确. 因为AC=BC= AB,CD=BD= BC, 所以CD= AB,故C错误. 因为CD=BC-DB, 所以CD= AB-DB,故D正确. 故选C. 11.(2024河北邯郸永年期中,★★☆)如图,A,B,C,D是直线上顺 次的四点,M,N分别是AB,CD的中点,且MN=6 cm,BC=3 cm,则 AD的长为 ( )   A.8 cm　　    B.9 cm　　    C.10 cm　　    D.11 cm     B     解析　因为MN=6 cm,BC=3 cm, 所以MB+CN=MN-BC=3(cm). 因为M,N分别是AB,CD的中点, 所以AB=2MB,CD=2CN. 所以AB+CD=2MB+2CN=2(MB+CN)=6(cm). 所以AD=AB+BC+CD=(AB+CD)+BC=6+3=9(cm).故选B. 12.(2025河北唐山迁安期末,★★☆)在数轴上有A,B,C三点,其 中点A表示的数是2,点B表示的数是-4,如果其中一点是以另 外两点为端点的线段的中点,则点C表示的数是 ( ) A.-10或-1　　     B.-1或8或2 C.-10或8或1　　    D.-10或-1或8     D     解析　当其中一点是以另外两点为端点的线段的中点时,有 以下3种情况: ①C为线段AB的中点,所以点C表示的数为 =-1; ②A为线段CB的中点,所以点C表示的数为2×2-(-4)=8; ③B为线段AC的中点,所以点C表示的数为-4×2-2=-10. 综上,点C表示的数是-10或-1或8. 故选D. 13.(★★☆)如图,有两根木条,木条AB长为80 cm,木条CD长为 130 cm,在它们的中点处各有一个小圆孔M、N(圆孔直径忽略 不计,M、N抽象成两个点),将它们的一端重合,放置在同一条 直线上,此时两根木条的小圆孔之间的距离MN是 ( )   A.25 cm　　     B.105 cm C.25 cm或105 cm　　    D.50 cm或210 cm     C     解析　本题有两种情况: ①当木条AB与木条CD一端重合,且剩余两端在重合端同侧 时, MN= CD- AB=65-40=25(cm); ②当木条AB与木条CD一端重合,且剩余两端在重合端两侧时, MN= CD+ AB=65+40=105(cm). 综上所述,两根木条的小圆孔之间的距离MN是25 cm或105 cm.故选C. 14.【学科特色·方程思想】(2024山东济南槐荫校级月考,★ ★☆)如图,B,C两点把线段MN分成三部分,MB∶BC∶CN=2∶ 3∶4,点P是MN的中点,PC=1 cm,则MN的长为_____________.       18 cm     解析　因为MB∶BC∶CN=2∶3∶4, 所以设MB=2x cm,BC=3x cm,CN=4x cm, 所以MN=MB+BC+CN=9x cm, 因为P是MN的中点, 所以PC=PN-CN= MN-CN, 所以 x-4x=1,解得x=2,所以MN=9×2=18(cm). 15.【新考向·尺规作图】(2024河北石家庄行唐期末,★★☆) 如图,已知线段a,线段AB,点C在线段AB的延长线上,且BC=AB, 点D在线段BC上,且CD=a. (1)用尺规在图中补全图形.(不写作法,保留作图痕迹) (2)若AC=4,CD=1. ①点D是线段BC的中点吗?请说明理由. ②点E在线段AD上,若AE∶DE=3∶2,求BE的长. 解析    (1)在线段AB的延长线上截取线段BC,使得BC=AB,在 线段BC上截取线段CD,使得CD=a, 如图即为所求.   (2)①点D是线段BC的中点. 理由:因为AC=4,BC=AB, 所以BC=AB=2, 因为CD=1, 所以BD=BC-CD=1, 所以BD=CD, 所以点D是线段BC的中点. ②如图,因为AC=4,CD=1,所以AD=3, 因为AE∶DE=3∶2, 所以DE= AD= ×3= , 由①知BD=1,所以BE= . 16.【新课标·几何直观】如图,由于保管不善,长为40米的拔河 比赛专用绳AB左右两端各有一段(AC和BD)磨损了,磨损后的 麻绳不再符合比赛要求.已知磨损的麻绳总长度不足20米,只 利用麻绳AB和一把剪刀(剪刀只用于剪断麻绳)就可以得到一 条长为20米的拔河比赛专用绳EF. 请你按照要求完成下列任务: (1)在图中标出点E、点F的位置,并简述画图方法. (2)说明(1)中EF符合要求. 解析    (1)如图,在CD上取一点M,使CM=CA,F为BM的中点,点 E与点C重合.(画图方法不唯一)   (2)因为F为BM的中点,所以MF=BF. 因为AB=AC+CM+MF+BF,CM=CA, 所以AB=2CM+2MF=2(CM+MF)=2EF. 因为AB=40米, 所以EF=20米. 因为AC+BD<20米,AB=AC+BD+CD=40米, 所以CD>20米. 所以点F在线段CD上.故(1)中EF符合要求. END THANKS 感谢您的观看 $$第二章　几何图形的初步认识 2.1　从生活中认识几何图形  　几何图形及分类 1.【新课标·中华优秀传统文化】(2025贵州贵阳期末)如图所 示的是一种常见的“斗笠”,用数学的眼光可将“斗笠”看 成 ( ) A.棱柱 　　    B.球 　　     C.圆锥 　　    D.圆柱     C     2.下列各组图形中,都是平面图形的是 ( ) A.三角形、圆、球、圆锥　　     B.点、线段、棱锥、棱柱 C.角、三角形、正方形、圆　　     D.点、角、线段、长方体     C     解析    A.球、圆锥是立体图形,不合题意;B.棱锥、棱柱是立 体图形,不合题意;C.角、三角形、正方形、圆都是平面图形, 符合题意;D.长方体是立体图形,不合题意.故选C.  　几何图形的构成 3.下列几何体中,只有平的面的是 ( )  　     　     　          B     解析    A.圆柱的两个底面为平的面,侧面为曲的面;B.长方体6 个面都是平的面;C.圆台的两个底面为平的面,侧面为曲的面; D.球表面为曲的面.故选B. 4.(2024四川成都郫都期末)下列几何体面数最少的是  ( )  　　     　　     　　          C 解析　长方体是由6个平的面围成的,圆柱是由1个曲的面和2 个平的面围成的,圆锥是由1个曲的面和1个平的面围成的,三 棱柱是由5个平的面围成的,所以面数最少的是圆锥.故选C. 5.【新课标·国防教育】“力箭一号”运载火箭在酒泉卫星发 射中心采用“一箭六星”的方式,成功将六颗卫星送入预定 轨道,首次飞行任务取得圆满成功.把卫星看成点,则卫星在预 定轨道飞行留下的痕迹体现了 ( ) A.点动成线　　    B.线动成面 C.面动成体　　    D.面与面相交形成线     A     解析　把卫星看成点,卫星在预定轨道飞行留下的痕迹体现 了点动成线,故选A. 6.粉刷墙壁时,粉刷工人用滚筒在墙上刷过几次后,墙壁马上 换上了“新装”,在这个过程中你认为下列判断正确的是  ( ) A.点动成线　　    B.线动成面 C.面动成体　　    D.面与面相交形成线     B     解析　滚筒看成线,滚动的过程中形成面,故选B. 7.(2025河北石家庄栾城月考)将如图所示的平面图形绕直线l 旋转一周,得到的立体图形是( )    　     　     　          D     解析　因为直角三角形绕直角边所在直线旋转一周可得圆 锥,长方形绕一边所在直线旋转一周可得圆柱,所以D中立体 图形符合题意.故选D. 8.【跨语文·语句】朱自清的《春》中有描写春雨的语句“像 牛毛,像花针,像细丝,密密地斜织着”,这里把雨看成了线,这 种生活现象反映的数学原理是_________. 　点动成线     解析　“雨”可以看成“点”,“牛毛、花针、细丝”可以 看成“线”,因此这种生活现象反映的数学原理是点动成线. 9.如图,四个几何体分别是三棱柱、四棱柱、五棱柱和六棱 柱,三棱柱有5个面,9条棱,6个顶点,观察图形,填空. (1)四棱柱有________个面,_________条棱,________个顶点; (2)五棱柱有________个面,_________条棱,_________个顶点; (3)六棱柱有________个面,_________条棱,_________个顶点; (4)由此猜想n棱柱有__________个面,________条棱,____个顶 点(n为大于2的正整数).     2n         3n         (n+2)         12         18         8         10         15         7         8         12         6     10.【学科特色·教材变式P64T1】下图是把一个正方体的一 角挖去一个小正方体后得到的几何体,请指出它有几个面,几 条棱,几个顶点.   解析　在一个正方体的一角挖去一个小正方体后, 面增加了3个,棱增加了9条,顶点增加了6个, 所以该几何体有9个面,21条棱,14个顶点. 11.(2025河北唐山遵化期末,★★☆)下列图形属于圆柱的有  ( )   A.2个　　    B.3个　　     C.1个　　    D.5个     C     解析　属于圆柱的有1个.故选C. 12.(2024河南平顶山期中,★☆☆)下列说法不正确的是 ( ) A.五棱柱有10个顶点 B.棱柱侧面的形状可能是一个三角形 C.“天空划过一道流星”能说明“点动成线” D.圆锥由两个面围成,这两个面中,一个面是平的,一个面是曲 的     B 解析　五棱柱有10个顶点,A正确;棱柱侧面的形状是平行四 边形,不可能是一个三角形,B错误;“天空划过一道流星”能 说明“点动成线”,C正确;圆锥由两个面围成,这两个面中,一 个面是平的,一个面是曲的,D正确.故选B. 13.(2023江苏扬州中学模拟,★★☆)不透明的箱子中装有一 个几何体模型,小乐和小欣摸该模型并描述它的特征.小乐:它 有4个面是三角形;小欣:它有6条棱.则该几何体模型的形状可 能是 ( ) A.三棱锥　　    B.三棱柱　　    C.四棱锥　　    D.四棱柱     A     解析　因为该几何体有4个面是三角形,所以该几何体不能是 棱柱(棱柱侧面均为四边形,只有三棱柱上、下底面是三角 形),因为该几何体有6条棱,且四棱锥有8条棱,所以只有A选项 符合题意.故选A. 14.(★★☆)下列几何图形: ①线段;②三角形;③长方体;④正方形;⑤圆;⑥圆锥;⑦圆柱;⑧ 四棱锥;⑨六棱柱. 其中立体图形有m个,平面图形有n个,则m-n=_________.     1     解析　③⑥⑦⑧⑨是立体图形,共5个,即m=5, ①②④⑤是平面图形,共4个,即n=4,则m-n=1. 15.【学科特色·易错题】(★★☆)已知长方形的长为4 cm,宽 为3 cm,将其绕它的一边所在的直线旋转一周,得到一个立体 图形,则该立体图形的体积为____________________.(结果保 留π)     36π cm3或48π cm3     解析　以4 cm长的边所在的直线为轴,旋转一周所得到的是 底面半径为3 cm,高为4 cm的圆柱,因此体积为π×32×4=36π(cm 3);以3 cm长的边所在的直线为轴,旋转一周所得到的是底面 半径为4 cm,高为3 cm的圆柱,因此体积为π×42×3=48π(cm3).综 上,该立体图形的体积为36π cm3或48π cm3. 16.(2025河北邯郸临漳期中,★★☆)如图,小军和小红分别以 直角梯形的上底和下底所在的直线为轴,将梯形旋转一周,得 到了甲、乙两个立体图形. 小军:我们旋转的平面图形是完全一样的,所以旋转后得到的 两个立体图形的体积相等. 小红:我不同意你的看法,我认为甲、乙两个立体图形的体积 不相等. (1)你同意_______的说法. (2)甲、乙两个立体图形的体积比是多少? 解析    (1)我同意小红的说法. 详解:甲的体积=π×32×6- π×32×(6-3)=45π(cm3), 乙的体积=π×32×3+ π×32×(6-3)=36π(cm3), 所以甲、乙两个立体图形的体积不相等. (2)甲的体积=45π cm3,乙的体积=36π cm3,所以甲、乙两个立 体图形的体积比=45π∶36π=5∶4. 17.【新课标·几何直观】如图所示,左边是小颖的圆柱形的笔 筒,右边是小彬的六棱柱形的笔筒.仔细观察两个笔筒,并回答 下面的问题. (1)圆柱、六棱柱各由几个面组成?它们都是平的吗? (2)圆柱的侧面与底面相交成几条线?它们是直 的吗? (3)六棱柱有几个顶点?经过每个顶点有几条棱? (4)试写出圆柱与棱柱的一个相同点与一个不同点. 解析    (1)圆柱有3个面,其中有2个是平的面,1个是曲的面;六 棱柱有8个面,且8个面都是平的面. (2)圆柱的侧面与底面相交成2条线,且它们都是曲的. (3)六棱柱有12个顶点,经过每个顶点有3条棱. (4)相同点:都是柱体. 不同点:棱柱与圆柱的底面形状不同,棱柱的底面是多边形,圆 柱的底面是圆.(答案不唯一) END THANKS 感谢您的观看 $$第二章　几何图形的初步认识 2.8　平面图形的旋转  　旋转及其相关概念 1.(2024河北石家庄赵县期中)有下列现象:①高层公寓电梯的 上升;②传送带的移动;③方向盘的转动;④风车的转动;⑤钟 摆的运动;⑥荡秋千运动.其中属于旋转的有 ( ) A.2个　　    B.3个　　    C.4个　　    D.5个     C     解析　①高层公寓电梯的上升,是平移.②传送带的移动,是平 移.③方向盘的转动,是旋转.④风车的转动,是旋转.⑤钟摆的 运动,是旋转.⑥荡秋千运动,是旋转.故选C. 2.下图表示的是各图形旋转前后的位置(点A,B,C,D的对应点 分别为A',B',C',D'). (1)图1是以点______为中心______时针旋转的,在图1中标出 各点的对应点. (2)图2是以点______为中心______时针旋转的,在图2中标出 各点的对应点. (3)图3是以点______为中心 ______时针旋转的,在图3中 标出各点的对应点. 解析    (1)图1是以点B为中心顺时针旋转的,标出各点的对应 点如图1所示. (2)图2是以点A为中心逆时针旋转的,标出各点的对应点如图2 所示. (3)图3是以点D为中心逆时针旋转的,标出各点的对应点如图 3所示.  　旋转的性质 3.(2025河北张家口万全期末)如图,△DEF是由△ABC绕着点 O顺时针旋转得到的,以下说法不一定正确的是 ( ) A.∠COF=∠BOE　　     B.∠OAC=∠ODF C.OC=OF　　     D.BC=DF     D     解析　因为△DEF是由△ABC绕着点O顺时针旋转得到的,所 以∠COF=∠BOE,∠OAC=∠ODF,OC=OF,BC=EF,由已知条 件无法得到BC=DF.故选D. 4.(2025河北邢台襄都期末)如图,将三角形ABC绕点C顺时针 旋转α(0°<α<180°)得到三角形EDC.若∠ACB=30°,∠BCE=100 °,则α的值为 ( )   A.60°　　    B.70°　　     C.40°　　    D.100°     B     解析　因为将三角形ABC绕点C顺时针旋转α(0°<α<180°)得 到三角形EDC, 所以∠ACE=∠BCD=α, 因为∠BCE=100°, 所以α=∠BCE-∠ACB=100°-30°=70°. 故选B. 5.(2024河北石家庄长安期中)如图,将三角形AOB绕点O按逆 时针方向旋转45°后得到三角形A'OB',若∠AOB=15°,则∠ AOB'的度数是( )   A.60°　　    B.30°　　    C.15°　　    D.45°     B     解析　因为将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A' OB', 所以∠A'OA=45°,∠AOB=∠A'OB'=15°, 所以∠AOB'=∠A'OA-∠A'OB'=45°-15°=30°.故选B. 6.(2024甘肃陇南武都期末)如图,在△ABC中,∠B=20°,∠ACB =30°,AB=2 cm,将△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重 合,且点C恰好为AD的中点.(注:三角形三个内角的和等于180°) (1)指出旋转中心,并求出旋转的度数. (2)求出∠BAE的度数和AE的长.   解析    (1)由题意得,∠BAC=180°-∠B-∠ACB=180°-20°-30°=1 30°,即∠BAD=130°, 因为将△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合, 所以旋转中心为点A,旋转的度数为130°. (2)因为将△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合, 所以∠EAD=∠CAB=130°,AE=AC,AD=AB=2 cm, 所以∠BAE=360°-130°-130°=100°, 因为点C恰好为AD的中点, 所以AC= AD=1 cm,所以AE=1 cm.  　旋转作图 7.(2024河北邢台信都期中)如图,已知三角形ABC. (1)请画出三角形ABC绕点A逆时针旋转90°得到的三角形AB' C',其中B与B'是对应顶点. (2)在(1)的条件下,若∠BAC=35°,求∠BAC'的度数.   解析    (1)如图所示,△AB'C'即为所求图形.   (2)因为三角形ABC绕点A逆时针旋转90°得到三角形AB'C',所 以∠CAC'=90°, 因为∠BAC'=∠CAC'+∠BAC,∠BAC=35°, 所以∠BAC'=125°. 8.(2024河北石家庄新华期中,★☆☆)如图,△ABC绕点C顺时 针旋转70°到△DEC的位置.如果∠ECD=30°,那么∠ACE等于  ( )   A.70°　　    B.50°　　    C.40°　　    D.30°     C     解析　因为△ABC绕点C顺时针旋转70°到△DEC的位置,所 以∠ACD=70°,因为∠ECD=30°, 所以∠ACE=∠ACD-∠ECD=40°,故选C. 9.(2022四川南充中考,★★☆)如图,将直角三角尺ABC绕顶点 A顺时针旋转到△AB'C'的位置,点B'恰好落在CA的延长线上, ∠B=30°,∠C=90°,则∠BAC'的度数为 ( )   A.90°　　    B.60°　　     C.45°　　    D.30°     B     解析　因为∠B=30°,∠C=90°, 所以∠CAB=180°-∠B-∠C=60°, 因为将直角三角尺ABC绕顶点A顺时针旋转到△AB'C'的位置, 所以∠C'AB'=∠CAB=60°. 因为点B'恰好落在CA的延长线上, 所以∠BAC'=180°-∠CAB-∠C'AB'=60°.故选B. 10.(2025河北邢台威县期末,★★☆)如图,把四边形ABOC绕点 O顺时针旋转得到四边形DFOE,则下列角中不是旋转角的是  ( ) A.∠BOF　　    B.∠AOD　　    C.∠COF　　    D.∠COE     C     解析　旋转角有∠BOF,∠AOD,∠COE.故选C. 11.(2025河北承德期末,★☆☆)如图,将△ABC绕点A逆时针旋 转两次得到△AB'C',每次旋转的角度都是60°.若∠BAC'=145°, 则∠BAC=__________°.       25     解析　因为将△ABC绕点A逆时针旋转两次得到△AB'C',每次 旋转的角度都是60°, 所以∠CAC'=120°, 因为∠BAC'=145°, 所以∠BAC=∠BAC'-∠CAC'=25°. 12.(2025甘肃平凉崆峒期末,★★☆)如图,将△ABC绕点C顺时 针旋转得到△DEC,使点A的对应点D落在边BC上. (1)若∠A=60°,∠E=40°,求旋转角的度数. (2)若AC=5,CE=7,求BD的长度.   解析    (1)由旋转的性质得∠B=∠E=40°, 因为∠A=60°, 所以∠ACB=180°-∠A-∠B=80°, 因为将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC,使点A的对应点 D落在边BC上, 所以旋转角的度数为80°. (2)由旋转的性质可得BC=CE=7,CD=AC=5, 所以BD=BC-CD=2. 13.【新课标·几何直观】如图所示的是由边长为1的小正方形 组成的8×4的网格,每个小正方形的顶点叫作格点.点A,B,C,D 均在格点上,在网格中将点D按下列步骤移动: 第一步:点D绕点A顺时针旋转180°得到点D1; 第二步:点D1绕点B顺时针旋转90°得到点D2; 第三步:点D2绕点C顺时针旋转90°回到点D. (1)请用圆规画出点D→D1→D2→D经过的路径. (2)求所画图形的周长(结果保留π). 解析    (1)点D→D1→D2→D经过的路径如图所示.   (2)周长= ×8π+ ×8π+ ×8π=8π. END THANKS 感谢您的观看 $$第二章　几何图形的初步认识 2.7　角的和与差 2.1　从生活中认识几何图形  　角的和与差 1.(2025河北秦皇岛期末)如图所示,∠AOD-∠AOC等于  ( )   A.∠AOC　　    B.∠BOC　　    C.∠BOD　　    D.∠COD D          解析　结合图形,可知∠AOD-∠AOC=∠COD.故选D. 2.(2025陕西咸阳永寿期末)如图,将一个三角尺60°角的顶点 与另一个三角尺的直角顶点重合,∠1=30°,则∠2的大小是  ( )   A.30°　　    B.40°　　    C.50° 　　    D.60°     D     解析　因为∠BAC=60°,∠1=30°, 所以∠EAC=60°-30°=30°. 因为∠EAD=90°,所以∠2=90°-30°=60°. 故选D. 3.(2025河北衡水桃城开学测试)在同一平面内有∠AOB=70°5 2',∠BOC=35°20',则∠AOC的度数是 ( ) A.106°12'　　    　  　   B.35°32' C.106°12'或35°32'　　    D.105°72'或35°32'     C     解析　如图1所示, 当射线OC在∠AOB内部时,∠AOC=∠AOB-∠BOC=70°52'-35 °20'=35°32';  　      如图2所示, 当射线OC在∠AOB外部时,∠AOC=∠AOB+∠BOC=70°52'+3 5°20'=105°72'=106°12'. 综上,∠AOC的度数为35°32'或106°12'. 故选C. 4.将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠,BC,BF为折痕,则 ∠CBF的度数为 ( )   A.60°　　    B.75°　　    C.90°　　    D.95°     C     解析　根据折叠的性质可得∠A'BC=∠ABC,∠E'BF=∠EBF, 因为∠ABC+∠FBE+∠A'BC+∠E'BF=180°,所以∠ABC+∠ FBE=∠A'BC+∠E'BF=∠CBF= ×180°=90°.故选C. 5.∠α=15°12',∠β=15.12°. (1)∠α______∠β(填“>”“<”或“=”); (2)∠α+∠β=_____________°.     30.32     　>     解析    (1)∠α=15°12'=15.2°,∠β=15.12°,故∠α>∠β. (2)因为15°12'=15.2°, 所以∠α+∠β=15.2°+15.12°=30.32°. 6.计算: (1)90°-28°12'36″.(2)180°-56°23'48″. 解析    (1)原式=89°59'60″-28°12'36″=61°47'24″. (2)原式=179°59'60″-56°23'48″=123°36'12″.  　角的平分线 7.(2023河北石家庄晋州期中)已知射线OC在∠AOB的内部,下 列4个表述:①∠AOC= ∠AOB;②∠AOC=∠BOC;③∠AOB= 2∠BOC;④∠AOC+∠BOC=∠AOB.其中,能表示射线OC是∠ AOB的平分线的有 ( ) A.1个　　    B.2个　　    C.3个　　    D.4个     C     解析　①因为∠AOC= ∠AOB,所以∠AOB=2∠AOC=∠ AOC+∠BOC,所以∠AOC=∠BOC,所以OC平分∠AOB,即OC 是∠AOB的平分线; ②因为∠AOC=∠BOC,所以OC平分∠AOB,即OC是∠AOB的 平分线; ③因为∠AOB=2∠BOC=∠AOC+∠BOC,所以∠AOC=∠ BOC,所以OC平分∠AOB,即OC是∠AOB的平分线; ④当∠AOC=30°,∠BOC=40°,∠AOB=70°时,满足∠AOC+∠ BOC=∠AOB,但OC不是∠AOB的平分线.故选C. 8.【学科特色·双角平分线模型】(2025广东广州荔湾期末)如 图,OB是∠AOC的平分线,OD是∠COE的平分线,如果∠AOB =40°,∠COE=60°,则∠BOD的度数为( )   A.50°　　    B.60°　　    C.70° 　　    D.80°     C     解析　因为OB是∠AOC的平分线,OD是∠COE的平分线, 所以∠BOC=∠AOB,∠COD= ∠COE, 因为∠AOB=40°,∠COE=60°, 所以∠BOC=40°,∠COD=30°, 所以∠BOD=∠BOC+∠COD=40°+30°=70°. 故选C. 模型解读　双角平分线模型:两角共一边,求角平分线夹角. 分 两种情况:当两角没有公共部分时,角平分线夹角=共边两角 和的一半=另外两边夹角的一半;当两角有公共部分时,角平 分线夹角=共边两角差的一半=另外两边夹角的一半. 9.(2024河北唐山滦南期中)如图,O为直线AB上一点,∠DOE=9 0°,OD是∠AOC的平分线,若∠AOC=70°. (1)求∠BOD的度数. (2)试判断OE是否平分∠BOC,并说明理由.   解析    (1)因为OD是∠AOC的平分线,∠AOC=70°, 所以∠AOD=∠COD= ∠AOC= ×70°=35°, 因为∠AOD+∠BOD=180°, 所以∠BOD=180°-∠AOD=180°-35°=145°. (2)OE平分∠BOC. 理由:因为∠COE+∠COD=∠DOE,∠DOE=90°, 所以∠COE=∠DOE-∠COD=90°-35°=55°. 因为∠AOD+∠DOE+∠BOE=180°, 所以∠BOE=180°-∠AOD-∠DOE=180°-35°-90°=55°, 所以∠COE=∠BOE=55°,所以OE平分∠BOC.  　余角、补角的概念及性质 10.(2024甘肃中考)若∠A=55°,则∠A的补角为 ( ) A.35°　　    B.45°　　    C.115° 　　    D.125°     D     解析　∠A的补角为180°-55°=125°,故选D. 11.(2024河北石家庄晋州期中)若∠α=54°32',则∠α的余角的 大小是 ( ) A.35°38'　　    B.35°28'　　     C.125°28'　　    D.125°38'     B     解析　因为∠α=54°32', 所以∠α的余角=90°-54°32'=89°60'-54°32'=35°28',故选B. 12.【学科特色·教材变式P89T5】数学课上,老师在黑板上写 了一个题:如图,O是直线AB上的一点,∠BOD=23°,OD,OE分别 是∠BOC,∠AOC的平分线. 下面是四个小组提出的问题,请你帮忙解答. (1)图中所有互余的角有_______对. (2)图中与∠COD互补的角是_______. (3)求∠AOE的度数. (4)猜想OD与OE的位置关系. 解析    (1)因为∠BOD=23°,OD是∠BOC的平分线, 所以∠COD=∠BOD=23°,∠BOC=2∠BOD=46°, 所以∠AOC=180°-∠BOC=134°, 因为OE是∠AOC的平分线, 所以∠AOE=∠COE= ∠AOC=67°, 所以∠BOD+∠AOE=90°,∠BOD+∠COE=90°, ∠COD+∠AOE=90°,∠COD+∠COE=90°, 所以∠BOD与∠AOE互余,∠BOD与∠COE互余,∠COD与∠ AOE互余,∠COD与∠COE互余, 所以题图中所有互余的角有4对.故答案为4. (2)因为∠COD=∠BOD=23°,∠BOD+∠AOD=180°,所以∠ COD+∠AOD=180°, 所以与∠COD互补的角是∠AOD. (3)由(1)可得,∠AOE=67°. (4)由(1)可得∠DOE=90°,所以OD⊥OE. 13.【学科特色·多解法】(2023北京中考,★★☆)如图,∠AOC =∠BOD=90°,∠AOD=126°,则∠BOC的大小为( )   A.36°　　    B.44°　　    C.54°　　    D.63°     C     解析　【解法一】逐步计算法:因为∠AOC=90°,∠AOD=126 °,所以∠COD=∠AOD-∠AOC=36°,因为∠BOD=90°,所以∠ BOC=∠BOD-∠COD=90°-36°=54°.故选C. 【解法二】整体法:因为∠AOD+∠BOC=∠AOC+∠COD+∠ BOC=∠AOC+∠BOD=90°+90°=180°,∠AOD=126°,所以∠ BOC=180°-126°=54°.故选C. 14.【学科特色·易错题】(2024河北唐山遵化期中,★★☆)如 果互补的两个角有一条公共边,那么这两个角的平分线所成 的角 ( ) A.一定是直角　　     B.一定是锐角 C.是锐角或钝角　　    D.是直角或锐角     D     解析　两角互补,则两角之和为180度,有两种情况,如图:   所以互补的两个角的平分线所成的角可能为直角也可能为锐 角.故选D. 15.(2025河北保定高碑店期末,★★☆)如图,三角尺ABP的直 角顶点P在直线CD上,点A,B在直线CD的同侧. (1)如图①,若∠APC=40°,求∠BPD的度数. (2)如图②,若PM平分∠APC,PN平分∠BPD,求∠MPN的度数.  　      解析    (1)根据题意,得∠APB=90°,则∠BPD=180°-∠APC-∠ APB=50°. (2)根据角平分线的定义,得∠APM= ∠APC,∠BPN= ∠ BPD. 因为∠APC+∠BPD=180°-∠APB=90°, 所以∠APM+∠BPN=45°, 所以∠MPN=∠APM+∠BPN+∠APB=45°+90°=135°. 16.【新课标·几何直观】(2024河北邯郸永年期中)已知O为直 线AB上一点,作射线OC、OD、OM,且OM平分∠AOC. (1)如图1,当OC、OD、OM均在AB上方时,若∠COD=60°,∠ BOC=10°,求∠DOM的度数. (2)如图2,当OC、OM在AB上方,OD在AB下方时,若∠COD=90 °,∠AOD∶∠BOC=1∶10,求∠DOM的度数. (3)在(2)的条件下,作射线OP,若∠BOP与∠AOM互余,请画出 图形,并求∠COP的度数.          解析    (1)由题意得∠AOC=180°-10°=170°, 因为OM平分∠AOC,所以∠MOC=170°÷2=85°. 所以∠DOM=85°-60°=25°. 故∠DOM的度数为25°. (2)设∠AOD=α,则∠BOC=10α,∠AOC=90°-α, 由题意得∠AOC+∠BOC=90°-α+10α=180°, 所以α=10°.所以∠AOC=90°-10°=80°. 因为OM平分∠AOC, 所以∠AOM= ∠AOC= ×80°=40°. 所以∠DOM=40°+10°=50°. 故∠DOM的度数是50°. (3)当射线OP在AB上方时,如图,   因为∠BOP与∠AOM互余, 所以∠BOP+∠AOM=90°. 所以∠MOP=180°-(∠BOP+∠AOM)=90°. 因为∠COM=∠AOM=40°, 所以∠COP=∠MOP-∠COM=90°-40°=50°. 当射线OP在AB下方时,如图,   因为∠BOP+∠AOM=90°,∠AOM=40°, 所以∠BOP=50°. 所以∠COP=180°-∠AOC+∠BOP=180°-80°+50°=150°. 故∠COP的度数是50°或150°. END THANKS 感谢您的观看 $$