第二章几何图形的初步认识（期中知识清单）七年级数学上学期新教材冀教版

第二章 几何图形的初步认识　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 从生活中认识几何图形 1.1 几何图形 对于各种物体，如果不考虑它们的颜色、材质和质量等，而只关注它们的形状（如方的、圆的等）、大小（如长度、面积、体积等）和位置关系（如垂直、平行、相交等），就得到几何图形。如小学阶段学过的长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、点、线段、三角形、四边形等，都是几何图形。 示例：一个篮球不考虑它的颜色、材质，只关注它的形状和大小，就得到球这一几何图形。 1.2 立体图形与平面图形 几何图形包括立体图形（几何体）和平面图形。像长方体、圆柱、球等，它们都是立体图形；像线段、长方形、六边形、圆等，它们都是平面图形。 示例：粉笔盒近似于长方体，是立体图形；课桌桌面近似于长方形，是平面图形。 1.3 面、线、点 包围着几何体的是面，面与面相交形成线，线与线相交形成点。点、线、面是几何图形的基本要素。 示例：长方体有六个面（都是平的）；圆柱有三个面，两个底面是平的，一个侧面是曲的；球有一个面，是曲的。 1.4 点动成线、线动成面、面动成体 笔尖在纸上的滑动、汽车雨刷的摆动、旋转门的转动，分别给我们以“点动成线”“线动成面”“面动成体”的形象。 示例：雨点连成线是点动成线；旋转的门扇扫过的区域是线动成面；硬币绕竖直轴旋转形成球体是面动成体。 2. 线段、射线、直线 2.1 线段、射线、直线 位于线段 两端的点 ，，叫作这条线段的端点。 将线段 沿 方向（或 方向）无限延伸所形成的图形，叫作射线。点 （或点 ）叫作射线的端点。 将线段 沿这条线段向两方无限延伸所形成的图形，叫作直线。 示例：射线 与射线 端点不同、方向不同，是两条不同的射线；直线 （或直线 ）向两方无限延伸。 2.2 点与直线的位置关系 在同一个平面内，给定一个点与一条直线，它们的位置关系有两种情况：点 在直线 上（直线 经过点 ）；点 在直线 外（直线 不经过点 ）。 示例：点在直线上，是直线经过该点；点在直线外，是直线不经过该点。 2.3 基本事实：两点确定一条直线 经过一个点，有无数条直线；两点确定一条直线。 注意：基本事实是人们在长期实践中发现的正确结论，可以作为推理的依据。 示例：用两个钉子可以把一根木条固定在墙上，因为两点确定一条直线。 3. 线段长短的比较 3.1 线段长短的比较方法 方法一（度量法）：用刻度尺分别量出 ， 的长度，长度大的线段较长，长度小的线段较短；长度相等时，两条线段相等。 方法二（叠合法）：将线段 放到线段 上，使点 与点 重合，点 与点 落在点 （也是点 ）的同侧。 点 的位置 线段长短关系 点 与点 重合 线段 与 相等，记作 点 在线段 上 线段 小于 ，记作 点 在线段 的延长线上 线段 大于 ，记作 示例：比较两名同学的身高，可以看作比较两条线段的长短。 3.2 基本事实：两点之间，线段最短 两点之间，线段最短。 示例：从 地到 地，沿连接两地的线段走，路线最短。 3.3 两点之间的距离 两点之间线段的长度，叫作两点之间的距离。 示例：连接 ， 两点的线段的长度，就是点 与点 之间的距离。 4. 线段的和与差 4.1 线段的和与差 在直线 上顺次画出线段 ，，则线段 就是线段 与 的和，即 。 在直线 上画出线段 ，在 上截取线段 ，则线段 就是线段 与 的差，即 。 示例：画 ，延长 到点 ，使 ，则 。 4.2 线段的中点 线段 上的一点 把 分成两条线段 与 。如果 ，那么点 就叫作线段 的中点。此时，有 ，。 示例：若 是线段 的中点，，则 。 5. 角及角的度量 5.1 角的概念 有公共端点的两条射线所组成的图形叫作角，这个公共端点叫作角的顶点，这两条射线叫作角的边。 角也可以看作是一条射线绕着其端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。起始位置的射线叫作角的始边，终止位置的射线叫作角的终边。 示例：点 是角的顶点，射线 和 是角的边。 注意：在不作特别说明的情况下，初中阶段我们说的角都是小于平角的角。 5.2 角的表示方法 通常用符号”“表示角： 表示方法 写法 说明 三个大写字母 （或 ） 顶点写在中间 一个大写字母 顶点处只有一个角时使用 数字 ， 在角内靠近顶点标数字 希腊字母 ， 在角内靠近顶点标字母 示例： 表示以 为顶点、、 为边的角。 5.3 角的度量：度、分、秒 把 的角等分成 份，每份叫作 分的角， 分记作 ；把 的角再等分成 份，每份叫作 秒的角， 秒记作 。角的度、分、秒是 进制的。 示例：；。 6. 角的大小 6.1 角的大小比较 度量法：分别量出 和 的度数，哪个角的度数较大，哪个角就较大；当度数相等时，两个角相等。 叠合法：把 叠合在 上，使顶点 和 重合，边 和 重合，边 和 落在重合边的同侧。 边 的位置 角的大小关系 与 重合 两个角相等，记作 落在 的内部 小于 ，记作 落在 的外部 大于 ，记作 示例：比较两个角的大小，可先用量角器量出度数，度数大的角较大。 6.2 尺规作图 像这样只用直尺（无刻度）和圆规画图的方法称为尺规作图。 示例：用直尺和圆规作一个角等于已知角 。 7. 角的和与差 7.1 角的和与差 在 的内部画射线 ，那么，，， 之间有如下关系：，，。 示例：若 ，，则 。 7.2 角平分线 如果从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，那么这条射线叫作这个角的角平分线。 如果 ，那么射线 是 的平分线；反之，如果射线 是 的平分线，那么 。 示例：若射线 平分 ，，则 。 7.3 余角和补角 如果 ，那么我们就称 与 互为余角，简称互余。 如果 ，那么我们就称这两个角互为补角，简称互补。 示例：若 ，则它的余角为 ，它的补角为 。 注意：有一条公共边、另一边互为反向延长线且互补的两个角，叫作邻补角。 7.4 同角（等角）的余角、补角相等 同角（或等角）的余角相等，同角（或等角）的补角相等。 示例：若 与 都是 的余角，则 。 8. 平面图形的旋转 8.1 旋转及相关概念 像这样，在平面内，一个图形绕一个定点沿顺时针（或逆时针）方向转过一个角度，这样的图形运动叫作旋转，这个定点叫作旋转中心，转过的这个角叫作旋转角。 示例：钟表的指针绕轴心转动、风力发电机的叶片绕中心转动，都是旋转。 8.2 旋转的性质 旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小。 在平面内，旋转前后的两个图形有如下的性质：对应点到旋转中心的距离相等；两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等，它们都等于旋转角。 示例：三角形 绕点 旋转后，对应点到点 的距离不变，图形的形状、大小都不变。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 线段计数公式 直线上有 个点（含两端点）时，以这些点为端点的线段共有 条。 1.2 射线计数公式 直线上有 个点时，以这些点为端点的射线共有 条。 【使用提醒】射线有方向，每个点向两侧各引一条，故总数是点数的 倍，不要误数成 条。 1.3 角计数公式 从 的顶点 引出（含两边 、 在内共） 条射线时，小于平角的角共有 个。 【使用提醒】初中阶段说的角都是小于平角的角，数角时只数小于平角的角。 1.4 同一锐角的补角比余角大 设 为锐角，则它的补角为 ，余角为 ，两者相差 。 1.5 相邻角平分线的夹角等于两角和的一半 若 ，（），射线 平分 ，射线 平分 ，则 ；特别地，当 （即 、 成一条直线）时，。 【使用提醒】该结论要求 、 是相邻两角的平分线，且两角都在 的内部。 1.6 时钟指针的旋转角度 时针每小时转 （即每分钟转 ），分针每分钟转 ，秒针每秒钟转 。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 线段和差与中点问题的设元法 把最短的一段线段设为 ，用 表示其余线段，再根据”和、差、中点”的数量关系列出等式求 ，最后回代求目标线段。如 ，点 是 的中点，点 是 的中点，求 ：设 ，则 ，。 2.2 角的和差与角平分线问题的设元法 设最小角为 ，用 表示相关角，依据”和、差、角平分线”列等式求解。如 平分 ， 平分 ，，求 ：设 ，则 ，。 2.3 度、分、秒的加减运算 按度对度、分对分、秒对秒对齐相加减；相加满 向前一位进 ，相减不够时向前一位借 当 。如 。 2.4 尺规作图：作线段的和（差） 作一条射线，在其上顺次截取各段作”和”；先截取较长段、再在其上截去较短段作”差”。如已知线段 、，在射线 上顺次截取 、，则 。 2.5 尺规作图：作一个角等于已知角 画射线 → 以点 为圆心、任意长为半径画弧交 、 于 、 → 以 为圆心、 为半径画弧交 于 → 以 为圆心、 为半径画弧交前弧于 → 作射线 ，则 即为所求。 2.6 图形的旋转作图 连接旋转中心与已知点 → 以该连线为一边作等于旋转角的角 → 在角的另一边截取对应点到旋转中心距离相等的点 → 连接各对应点。如三角形 绕点 旋转，先连接 ，再作 ，截取 ，连接 即得。 2.7 位置关系的分类讨论 遇”点在直线上/直线外”“点在线段上/线段的延长线上”“射线在角的内部/外部”等表述，先按位置分情况讨论，再分别求解。如”点 在直线 上”与”点 在直线 外”是两种位置关系，结论不同。 3. 大小比较 / 度量 / 运算小技巧 技巧 要点 示例 线段长短比较 度量法直接量长度，长度大的较长；叠合法使一端点重合、另一端点落同侧，看落点位置 点 落在线段 上则 角大小比较 度量法比度数；叠合法使顶点与一边重合、另一边落同侧，看另一边落在内/外 落在 内部则 度分秒换算 进制：，；化大单位乘 ，化小单位除以 时钟角度 时针每分钟转 ，分针每分钟转 经过 时针转 ，分针转 折叠找角平分线 对折使角两边重合，折痕就是该角的平分线 折 使 、 重合，折痕 平分 4. 常见考试模型 4.1 中点模型 公式：若 、 依次是 、 的中点（即 是 的中点， 是 的中点），则 ，（即 ）。 限定：中点必须落在线段上；“延长线上的点”不是中点。 示例：如 是 的中点， 是 的中点，则 ，。 4.2 双角平分线模型 公式：射线 平分 ， 平分 ，则 ；当 、 成一直线（）时，。 限定：两角必须相邻（共边 ）、角平分线都在 内部。 示例：如 ， 平分 ， 平分 ，则 。 4.3 余角、补角方程模型 公式：一个角 的余角 ，补角 ；由”余角与补角的和（差）等于某值”列方程求 。 限定：只有锐角才有余角；补角与余角相差 。 示例：如 的余角与 的补角的和为 ，则 ，。 4.4 折叠模型 公式：沿折痕折叠使两部分重合，则折痕是角平分线，重合的角相等、重合的线段相等；如长方形沿 、 折叠后 、 共线，则 。 限定：折叠后的对应点、对应边、对应角重合相等，未重合的部分照常。 示例：如长方形纸片沿 、 折叠使 、 在同一直线上，则 。 4.5 旋转求对应点与旋转角 公式：旋转前后对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角；由”已知一组对应点”可确定旋转角和其余对应点。 限定：旋转不改变图形的形状和大小，只改变位置；注意顺时针、逆时针方向。 示例：如四边形 绕点 旋转后顶点 的对应点为 ，则 为旋转角，其余顶点按同一旋转角、同一方向确定。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：把”纸上画出的有限部分”当成射线、直线本身，忽略无限延伸 典例：如图，直线 与直线 在图中画出的部分没有交点，请判断直线 与直线 是否相交。 错解：图中直线 与直线 没有交点，所以它们不相交。 正解：画出来的直线只是有限的部分，直线是向两方无限延伸的；把 、 向两方延伸后，它们实际上是相交的。 原因：概念理解错误。学生把”纸上画出的有限线段”误当成”直线本身”，忽略了射线向一方、直线向两方无限延伸这一本质属性。判断两条直线（或射线与直线）是否相交，不能只看图中画出的部分，要想象它们无限延伸后的情形。 易错点 2：多个角共顶点时，仍用顶点的一个大写字母表示角 典例：如图，、、 有共同的顶点 ，能否用 表示其中的一个角？ 错解：可以， 表示 。 正解：当两个或两个以上的角有同一个顶点时，不能只用表示顶点的一个大写字母来表示其中的一个角，否则会产生混乱。应分别记作 、、。 原因：忽略了角的表示方法的适用前提。“用一个大写字母表示角（如 ）”只有当顶点处只有一个角时才能使用；顶点处有多个角时， 指代不明，必须用三个字母、数字或希腊字母区分。 易错点 3：度、分、秒按十进制运算，忘记 60 进制进位、借位 典例：计算：。 错解：。 正解：，其中 ，所以结果为 。 原因：把度、分、秒的 进制当成了 进制，相加满 没有向前一位进 。角的度量单位是 进制，与时间的时、分、秒一致：，，满 进 、借 当 。 易错点 4：把”余角”与”补角”的概念混淆 典例：一个角的余角是 ，求这个角的补角。 错解：这个角的补角是 。 正解：这个角 ，它的补角 。 原因：概念混淆。“余角”指和为 的两个角，“补角”指和为 的两个角。学生看到”余角”就直接用 去减，把”求补角”误算成”求余角”，根子在于没有分清”互余（和 ）“与”互补（和 ）“两个数量关系。 易错点 5：数线段、射线时漏数（只数相邻两点，漏掉方向） 典例：直线 上有 、、、 四个点，图中共有几条线段？几条射线？ 错解：线段有 条，射线有 条。 正解：线段有 、、、、、，共 条；以每个点为端点向两个方向各引一条射线，共 条。 原因：计数方法无序。数线段时只数相邻两点组成的线段，漏掉了不相邻两点（如 、、）组成的线段；数射线时忽略了射线有方向，每个端点可向两侧各引一条，总数应为点数的 倍。 易错点 6：“点 在直线 上”漏掉延长线上的情形 典例：已知线段 ，点 在直线 上，且 ，求 的长。 错解：。 正解：点 在直线 上，有两种情况。①当点 在 、 之间时，；②当点 在点 的延长线一侧时，。所以 的长为 或 。 原因：漏分类讨论。“点 在直线 上”包含”点 在线段 上（、 之间）“和”点 在线段的延长线上”两种情况，学生默认 在 、 之间，只按相减求值，漏掉了延长线上的情况。 学科网（北京）股份有限公司 $