第二十四章　圆 课件 2025—2026学年人教版数学九年级上册

第二十四章　圆 24.3　正多边形和圆 正多边形的有关概念 1. 下列关于正多边形的判断正确的是（　D　） A. 各边相等的多边形是正多边形 B. 各角相等的多边形是正多边形 C. 各角相等的圆内接多边形是正多边形 D. 各边相等的圆内接多边形是正多边形 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3. 已知：如图所示，△ABC是☉O的内接等腰三角形，顶角∠BAC＝36°，弦 BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB，连接AE，BE，CD，AD. 求证：五边形 AEBCD是正五边形. 2. 正多边形的中心角与该正多边形一个内角的关系是（　B　） A. 互余 B. 互补 C. 互余或互补 D. 不能确定 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB. 又∵∠BAC＝36°， ∴∠ABC＝∠ACB＝72°. 又∵BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB， ∴∠BAC＝∠BCE＝∠ACE＝∠ABD＝∠DBC＝36°，∴ ＝ ＝ ＝ ＝ . ∴AE＝BE＝BC＝CD＝DA. ∵ ＝3 ＝ ， ∴∠AEB＝∠EBC. 同理可证∠EBC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAE. ∴五边形AEBCD为正五边形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 与正多边形有关的计算 4. 若一个正多边形的中心角等于其内角，则这个正多边形的边数为（　B　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5. 教材P106例题变式 　如图所示，☉O的半径等于4 cm，正六边形ABCDEF内 接于☉O. （1）求圆心O到AF的距离. 解：（1）过点O作OH⊥AF于点H，连接OA，OF. ∵在正六边形ABCDEF中，∠BAF＝120°， ∴∠OAF＝60°，∴∠AOH＝30°. ∵OA＝4 cm，∴AH＝ OA＝2 cm， ∴OH＝ ＝ ＝2 （cm）， ∴圆心O到AF的距离为2 cm. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （2）求正六边形ABCDEF的面积. 解：（2）∵OA＝OF，∠OAF＝60°， ∴△OAF是等边三角形，∴AF＝OA＝4 cm， ∴S△AOF＝ ×4×2 ＝4 （cm2）， ∴正六边形ABCDEF的面积＝6S△AOF＝24 cm2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 画正多边形 6. 如图所示，分别按要求画出下列各图中☉O的内接正多边形. （1）正三角形 （2）正方形 （3）正六边形 （4）正八边形 解：如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 因混淆正多边形的内切圆与外接圆的半径而导致错误 7. （安庆怀宁期末）下列说法正确的是（　C　） A. 等边三角形的内切圆与外接圆半径之比为1∶ B. 正方形的内切圆与外接圆半径之比为1∶2 C. 正六边形的内切圆与外接圆半径之比为 ∶2 D. 以上说法都不正确 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8. 几何直观 　如图所示，正六边形ABCDEF的边CD，EF分别与☉O相切于点 C，F，连接OF，CO，则∠COF的度数是（　A　） A. 120° B. 144° C. 150° D. 160° A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9. 新情境 　蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形.如图所示是部 分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直 角坐标系中，点P，Q，M均为正六边形的顶点.若点P，Q的坐标分别为（－ 2 ，3），（0，－3），则点M的坐标为（　A　） A. （3 ，－2） B. （3 ，2） C. （2，－3 ） D. （－2，－3 ） A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10. 如图所示，在正八边形ABCDEFGH中，AB＝2，连接AD，AF，DF，则 △ADF的面积为 ⁠. 4＋3 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11. 推理能力 　如图所示，点M，N分别在正五边形ABCDE的边BC，CD上， 且BM＝CN，AM交BN于点P. （1）求证：AM＝BN. 解：（1）证明：∵多边形ABCDE是正五边形， ∴AB＝BC，∠ABM＝∠BCN. 在△ABM和△BCN中， ∴△ABM≌△BCN（SAS），∴AM＝BN. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （2）求∠APN的度数. 解：（2）∵多边形ABCDE是正五边形， ∴∠ABC＝∠ABN＋∠CBN＝ ＝108°. ∵△ABM≌△BCN，∴∠BAM＝∠CBN. ∵∠APN是△ABP的外角，∴∠APN＝∠ABN＋∠BAM＝ ∠ABN＋∠CBN＝108°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12. 几何直观 　如图所示，正方形ABCD内接于☉O，E为 的中点. （1）作等边三角形EFG，使点F，G分别在 和 上. 解：（1）如图所示，连接EO并延长交☉O于点H，以点H为圆 心，HO为半径画圆，交☉O于点F，G，连接EF，FG，EG， 点F，G，△EFG即为所求. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （2）在（1）的条件下，求∠BOG的度数. 解：（2）连接OB，OG，如图所示. ∵△EFG是等边三角形，∴EH⊥GF， ∴∠GOH＝2∠GEH＝2×30°＝60°. ∵四边形ABCD是正方形，∴∠BOH＝45°， ∴∠BOG＝∠BOH＋∠GOH＝45°＋60°＝105°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （3）若正方形ABCD的边长为4，求（1）中等边三角形EFG的边长. 解：（3）如图所示，连接OF，过点O作ON⊥EF于点N，设 EH交BC于点M. ∵OM⊥BC，∴BM＝ BC＝ ×4＝2. ∵在Rt△BOM中，OM＝2，∴OB＝2 . ∵在Rt△FON中，∠OFN＝30°，OF＝2 ， ∴ON＝ ，∴FN＝ ＝ ， ∴EF＝2 ，∴等边三角形EFG的边长为2 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 $$第二十四章　圆 24.1　圆的有关性质 24.1.4　圆周角　 第2课时　圆内接四边形 圆内接四边形的性质 1. 如图所示，四边形ABCD是☉O的内接四边形，若∠D＝85°，则∠B的度数 为（　A　） A. 95° B. 105° C. 115° D. 125° A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2. 如图所示，点A，B，C均在☉O上，若∠ACB＝130°，则∠α的度数为 （　A　） A. 100° B. 110° C. 120° D. 130° A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3. （青岛一模）如图所示，四边形ABCD内接于☉O，AB是☉O的直径，点E 在☉O上，且∠AED＝32°，则∠DCB的度数是（　B　） A. 116° B. 122° C. 132° D. 148° B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4. （深圳龙岗区三模）如图所示，圆内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相 交于点E，F，且∠E＝40°，∠ADC＝85°，那么∠A的度数为 ⁠. 45°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5. 如图所示，四边形ABCD为☉O的内接四边形，已知∠C＝∠D，则AB与 CD的位置关系是 ⁠. AB∥CD　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6. 推理能力 　如图所示，已知A，B，C，D是☉O上的四点，延长DC，AB 相交于点E，若BC＝BE. 求证：△ADE是等腰三角形. 证明：∵BC＝BE， ∴∠E＝∠BCE. ∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠A＋∠DCB＝180°. ∵∠BCE＋∠DCB＝180°，∴∠A＝∠BCE， ∴∠A＝∠E，∴AD＝DE， ∴△ADE是等腰三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 认错圆内接四边形的对角致使计算有误 7. 四边形ABCD是☉O的内接四边形，且∠A∶∠B∶∠C＝2∶1∶4，则∠D ＝ 度. 150　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8. 如图所示，在圆内接四边形ABCD中，∠BCD＝105°，连接OB，OC， OD，BD，∠BOC＝2∠COD. 则∠CBD的度数是（　A　） A. 25° B. 30° C. 35° D. 40° A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9. 如图所示，四边形ABCD内接于☉O，点P为边AD上任意一点（点P不与点 A，D重合），连接CP. 若∠B＝120°，则∠APC的度数可能为（　D　） A. 30° B. 45° C. 50° D. 65° D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10. （深圳罗湖区模拟）如图所示，四边形ABCD是☉O的内接四边形，连接 OC，BD，DB平分∠ADC，OC⊥BD，若∠A等于50°，则∠ADB的度数 为 ⁠. 11. 在☉O中，若弦BC垂直平分半径OA，则弦BC所对的圆周角等于 ⁠ ⁠. 25°　 60°或 120°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12. 几何直观 　如图所示，四边形ABCD内接于☉O，F是 上一点，且 ＝ ，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC. （1）若∠B＝125°，∠BAC＝25°，求∠E的度数. 解：（1）∵四边形ABCD内接于☉O，∠ABC＝125°， ∴∠ADC＝180°－∠ABC＝180°－125°＝55°. ∵ ＝ ，∠BAC＝25°， ∴∠DCE＝∠BAC＝25°， ∴∠E＝∠ADC－∠DCE＝55°－25°＝30°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 （2）若☉O的半径为6，且∠B＝2∠ADC，求AC的长. 解：（2）如图所示，连接AO，CO，过点O作 OH⊥AC于点H， 则AO＝CO＝6. ∵四边形ABCD内接于☉O，∴∠B＋∠ADC＝180°. ∵∠B＝2∠ADC， ∴∠ADC＝60°，∠B＝2∠ADC＝120°， ∴∠AOC＝2∠ADC＝120°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA＝ （180°－∠AOC）＝30°. ∵AO＝6，OH⊥AC，∴OH＝ AO＝3， 由勾股定理，得AH＝ ＝ ＝3 . ∵OH⊥AC，OH过圆心O，∴AH＝CH＝3 ， ∴AC＝AH＋CH＝6 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13. 创新意识 　定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平 分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角. 如图①所示，∠E是△ABC中∠A的遥望角，如图②所示，四边形ABCD内接于 ☉O， ＝ ，四边形ABCD的外角平分线DF交☉O于点F，连接BF并延长 交CD的延长线于点E. 求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角. 证明：如图所示，延长BC到点T. ∵四边形FBCD内接于☉O， ∴∠FDC＋∠FBC＝180°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ∵∠FDE＋∠FDC＝180°，∴∠FDE＝∠FBC. ∵DF平分∠ADE，∴∠ADF＝∠FDE. ∵∠ADF＝∠ABF，∴∠ABF＝∠FBC， ∴BE是∠ABC的平分线. ∵ ＝ ，∴∠ACD＝∠BFD. ∵∠BFD＋∠BCD＝180°，∠DCT＋∠BCD＝180°， ∴∠DCT＝∠BFD，∴∠ACD＝∠DCT， ∴CE是△ABC的外角平分线， ∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 $$第二十四章　圆 24.4　弧长和扇形面积 第1课时　弧长和扇形面积 与弧长有关的计算 1. 已知100°的圆心角所对的弧长l＝5π，则该圆的半径R等于（　C　） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 2. （广安中考）如图所示，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝10，∠C＝ 70°，以AB为直径作半圆，与AC，BC分别相交于点D，E，则 的长度为 （　C　） A. B. C. D. C C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3. 教材P115习题24.4T1（2）变式 　已知扇形半径是3 cm，弧长是2π cm，则扇 形的圆心角为 ⁠°. 120　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 与扇形面积有关的计算 4. 在圆心角为120°的扇形AOB中，半径OA＝6 cm，则扇形AOB的面积是 （　C　） A. 6π cm2 B. 8π cm2 C. 12π cm2 D. 24π cm2 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5. 教材P116习题24.4T8变式 　如图所示，某小区要绿化一扇形OAB空地，准备 在小扇形OCD内种花，在其余区域内（阴影部分）种草，测得∠AOB＝ 120°，OA＝15 m，OC＝10 m，则种草区域的面积为（　B　） A. m2 B. m2 C. m2 D. m2 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6. 已知扇形的弧长为8π cm，面积为24π cm2，则该扇形的圆心角度数 为 ⁠. 7. （深圳中考）如图所示，在矩形ABCD中，BC＝ AB，O为BC的中点， OE＝AB＝4，则扇形EOF的面积为 ⁠. 240°　 4π　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 计算弧长时忽略一条弦所对的弧有两条 8. 在一个半径为6 cm的圆中，有一条长度为6 cm的弦，则这条弦所对的弧长 为 ⁠. 2π cm或10π cm　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9. （荆州一模）古希腊数学家曾给出一个估算地球周长（或子午圈长）的简单方 法.如图所示，点A和点B分别表示埃及的西恩纳和亚历山大两地，B地在A地的 北方，两地的经度大致相同，且实际距离（ 的长）为800 km.当太阳光线在A 地直射时，同一时刻在B地测量太阳光线偏离直射方向的角为α，实际测得α是 7.2°.由此估算地球周长用科学记数法表示为（　A　） A. 4×104 km B. 2×104 km C. 4×103 km D. 2×105 km A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10. 如图所示，在△ABC中，CA＝CB＝4，∠BAC＝α，将△ABC绕点A逆时针 旋转2α，得到△AB'C'，连接B'C并延长交AB于点D，当B'D⊥AB时， '的长是 （　B　） A. π B. π C. π D. π 第10题图 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11. （广元中考）如图所示，半径为5的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C是 上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，若CD＝CE，则图中阴影 部分面积为（　B　） A. B. C. D. 第11题图 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12. 小明家有一个如图所示的闹钟，他观察发现圆心角∠AOB＝90°，测得 的长为36 cm， 的长为 cm. 第12题图 12　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13. 如图所示，在圆心角为90°的扇形ACB内，以BC为直径作半圆，连接AB. 若阴影部分的面积为（π－1），则AC＝ ⁠. 第13题图 2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14. 推理能力 　（乐山中考）如图所示，☉O是△ABC的外接圆，AB为☉O的 直径，过点C作☉O的切线CD交BA延长线于点D，点E为 上一点，且 ＝ . （1）求证：DC∥AE. 解：（1）证明：连接OC，如图所示.∵CD为☉O的切线， 点C在☉O上，∴∠OCD＝90°， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ∴∠DCA＋∠OCA＝90°. ∵AB为☉O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠B＋∠OAC＝90°. ∵OC＝OA，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠B＝∠DCA. ∵ ＝ ，∴∠B＝∠CAE， ∴∠CAE＝∠DCA，∴DC∥AE. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 （2）若EF垂直平分OB，DA＝3，求阴影部分的面积. 解：（2）连接OE，BE，如图所示. ∵EF垂直平分OB，∴OE＝BE. ∵OE＝OB，∴△OEB为等边三角形， ∴∠BOE＝60°，∴∠AOE＝180°－60°＝120°. ∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA＝30°. ∵DC∥AE，∴∠D＝∠OAE＝30°. ∵∠OCD＝90°，∴OD＝2OC＝OA＋AD. ∵OA＝OC，∴OC＝AD＝3， ∴AO＝OE＝OC＝3，∴EF＝ OE＝ ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ∴△OAE的面积＝ AO·EF＝ . ∵扇形OAE的面积＝ ＝3π，∴阴影部分的面积＝扇形OAE的面积－ △OAE的面积＝3π－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15. 运算能力　如图所示，点P是△ABC内一点，PD⊥BC，垂足为点D，将线 段PD绕点P顺时针旋转90°得到扇形DPE，过点E作EM⊥PE交AB于点M， 连接PM，与 交于点F，过点P作PN⊥PM交BC于点N. （1）求证：△PEM≌△PDN. 解：（1）证明：∵EM⊥PE，PD⊥BC， ∴∠PEM＝∠PDN＝90°. ∵PM⊥PN，∠EPD＝90°， ∴∠EPD＝∠MPN＝90°， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ∴∠EPD－∠MPD＝∠MPN－∠MPD， ∴∠EPM＝∠DPN. 在△EPM和△DPN中， ∴△PEM≌△PDN（ASA）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 （2）已知PD＝3，EM＝ . ①通过计算比较线段PN和 哪个长度更长. ②计算图中阴影部分的面积.（结果保留π） 解：（2）①∵PD＝3，EM＝ ，△EPM≌△DPN， ∴DN＝EM＝ ，∴PN＝ ＝ ＝2 ， 在Rt△PDN中，DN＝ PN， ∴∠DPN＝30°，∴∠DPF＝90°－30°＝60°， ∴ 的长＝ ＝π. ∵2 ＞π，∴线段PN的长度更长. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ②∵PD＝3，EM＝ ，∠DPN＝30°，△EPM≌△DPN， ∴PE＝PD＝3，∠EPM＝∠DPN＝30°， ∴阴影部分的面积＝S△PEM－ ＝ ×3× － ＝ － π. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 $$第二十四章　圆 24.2　点和圆、直线和圆的位置关系 24.2.1　点和圆的位置关系 点和圆的位置关系 1. 教材P101习题24.2T1变式 　已知☉O的半径为2 cm，点P在☉O外，则OP 可能等于（　D　） A. 1 cm B. 1.5 cm C. 2 cm D. 2.5 cm 2. 在平面直角坐标系中，☉O的半径为5，点P的坐标为（3，4），则点P的位 置为（　B　） A. 在☉O外 B. 在☉O上 C. 在☉O内 D. 不能确定 D B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 3. 如图所示，A，B，C是某社区的三栋楼，若在AC的中点D处建一个5G基 站，其覆盖半径为300 m，则这三栋楼中在该5G基站覆盖范围内的是（　D　） A. A，B，C都不在 B. 只有B C. 只有A，C D. A，B，C D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 4. 一个点到圆上的最小距离为4 cm，最大距离为9 cm，则圆的半径为 ⁠ cm. 2.5或 6.5　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 5. 如图所示，已知矩形ABCD的边AB＝3 cm，AD＝4 cm.若以点A为圆心作 ☉A，使B，C，D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则☉A的 半径r的取值范围是什么？ 解：连接AC. ∵AB＝3 cm，AD＝4 cm，∴BC＝4 cm，由勾股定理，得AC＝ 5 cm. ∵B，C，D三点至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外， ∴☉A的半径r的取值范围是3 cm＜r＜5 cm. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 确定圆的条件 6. （烟台芝罘区期末）如图所示，平面直角坐标系中一条圆弧经过网格点A， B，C，其中，B点坐标为（4，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标为（　C　） A. （2，1） B. （2，2） C. （2，0） D. （2，－1） C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 7. 如图所示，点A，B，C在同一直线上，点M在直线AC外，经过图中的三个 点作圆，可以作 个. 3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 三角形的外接圆与外心 8. 下列关于三角形的外心的说法正确的是（　C　） A. 三角形的外心在三角形外 B. 三角形的外心到三边的距离相等 C. 三角形的外心到三个顶点的距离相等 D. 等腰三角形的外心在三角形内 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 9. 如图所示，已知△ABC内接于☉O，AB是直径，弦CE⊥AB于点F，C是 的中点，连接BD并延长交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CE，BC于点 P，Q，求证：点P是△ACQ的外心. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 证明：∵C是 的中点， ∴ ＝ ，∴∠CAD＝∠ABC. ∵AB是☉O的直径，∴∠ACB＝90°， ∴∠CAD＋∠AQC＝90°. 又∵CE⊥AB，∴∠ABC＋∠PCQ＝90°， ∴∠AQC＝∠PCQ，∴在△PCQ中，PC＝PQ. ∵CE⊥直径AB，∴ ＝ ， ∴ ＝ ，∴∠CAD＝∠ACE. 在△APC中，有PA＝PC，∴PA＝PC＝PQ， ∴点P是△ACQ的外心. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 反证法 10. 用反证法证明命题：若☉O的半径为r，点P到圆心的距离d大于r，则点P 在☉O的外部.首先应假设（　D　） A. d＜r B. d≤r C. 点P在☉O外 D. 点P在☉O上或点P在☉O内 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 11. （泰州海陵区月考）我们可以用反证法来证明“在一个三角形中，至少有一 个内角小于或等于60°”.下面写出了证明该问题过程中的四个步骤：①这与 “三角形的内角和等于180°”这个定理矛盾.②所以在一个三角形中，至少有一 个内角小于或等于60°.③假设三角形没有一个内角小于或等于60°，即三个内 角都大于60°.④则三角形的三个内角的和大于180°.这四个步骤正确的顺序 是 ⁠. ③④①②　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 确定圆时忽视“不在同一条直线上”的前提条件而出错 12. 下列关于确定一个圆的说法正确的是（　C　） A. 三个点一定能确定一个圆 B. 以已知线段为半径能确定一个圆 C. 以已知线段为直径能确定一个圆 D. 菱形的四个顶点能确定一个圆 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 三角形外心位置考虑不全而出错 13. △ABC为☉O的内接三角形，若∠AOC＝160°，则∠ABC的度数是 （　D　） A. 80° B. 160° C. 80°或20° D. 80°或100° D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 14. （杭州萧山区期中）用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角 不大于45°”，应先假设（　B　） A. 两个锐角都小于45° B. 两个锐角都大于45° C. 有一个锐角小于45° D. 有一个锐角大于或等于45° B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 15. 如图所示，O为锐角三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中点E 在△ABC的外部，下列叙述正确的是（　B　） A. O是△AEB的外心，O是△AED的外心 B. O是△AEB的外心，O不是△AED的外心 C. O不是△AEB的外心，O是△AED的外心 D. O不是△AEB的外心，O不是△AED的外心 第15题图 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 16. 如图所示，已知P是☉O外一点，Q是☉O上的动点，线段PQ的中点为点 M，连接OP，OM. 若☉O的半径为2，OP＝4，则线段OM的最小值是 （　B　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 第16题图 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 17. 探究拓展 　在如图所示的方格纸中，每个方格的边长为1，A，O两点皆在 格线的交点上，现在此方格纸格线的交点上另外找两点B，C，使得△ABC的外 心为O，则BC的长度为（　D　） A. 4 B. 5 C. D. 2 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 18. 已知直线l：y＝x－4，点A（1，0），点B（0，2）.设点P为直线l上一动 点，当点P的坐标为 时，过P，A，B不能作出一个圆. 19. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝2 ，BC＝4，D是AB的中点，若以 点D为圆心，r为半径作☉D，使点B在☉D内，点C在☉D外，则r的取值范围 为 ⁠. （2，－2）　 ＜r＜ 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 （1）画出该圆片的圆心. 解：（1）如图所示，分别作弦AB和AC的垂直平分线，交点O即为所求的圆 心. 20. 应用意识 　如图所示，将图中的圆片复原，已知弧上三点A，B，C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 （2）若△ABC是等腰三角形，底边BC＝16 cm，腰AB＝10 cm，求圆片的半 径R. 解：（2）如图所示，连接AO，OB，BC，BC交OA于点D. ∵BC＝16 cm，∴BD＝8 cm. ∵AB＝10 cm，∴AD＝6 cm. 在Rt△BOD中，OD＝（R－6） cm， ∴R2＝82＋（R－6）2， 解得R＝ cm，∴圆片的半径R为 cm. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 21. （滨州邹平期中）如图所示，在△ABD中，AE，BE分别平分∠BAD和 ∠ABD. 延长AE交△ABD的外接圆于点C，连接CB，CD，ED. （1）若∠CBD＝40°，求∠BAD的度数. 解：（1）∵AE平分∠BAD，∴∠BAD＝2∠CAD， ∵∠CAD＝∠CBD＝40°，∴∠BAD＝80°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 （2）求证：点C是△BDE的外心. 解：（2）∵AE，BE分别平分∠BAD和∠ABD， ∴∠BAC＝∠DAC，∠ABE＝∠DBE， ∴ ＝ ，∴BC＝CD. ∵∠CBD＝∠CAD， ∴∠CBE＝∠CBD＋∠DBE， ∠BEC＝∠BAC＋∠ABE， ∴∠CBE＝∠BEC，∴BC＝EC，∴BC＝EC＝DC， ∴点B，E，D在以C为圆心的同一圆上， ∴点C是△BDE的外心. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 22. 如图所示，C是AB上一点，点D，E分别位于AB的异侧，AD∥BE，且 AD＝BC，AC＝BE. （1）求证：CD＝CE. 解：（1）证明：∵AD∥BE，∴∠A＝∠B. 在△ADC和△BCE中，∵ ∴△ADC≌△BCE（SAS），∴CD＝CE. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 （2）当AC＝2 时，求BF的长. 解：（2）由（1）可知CD＝CE，∴∠CDE＝∠CED. 由（1）可知△ADC≌△BCE， ∴∠ACD＝∠BEC， ∴∠CDE＋∠ACD＝∠CED＋∠BEC， 即∠BFE＝∠BEF，∴BE＝BF， 即BF＝BE＝AC＝2 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 解：（3）∵△CDE的外心在该三角形的外部， ∴△CDE是钝角三角形. ∵∠CDE＝∠CED，∴0°＜∠CDE＜45°. ∵AD∥BE，∴∠ADE＝∠BED， ∴∠ADE＝∠BED＝∠BFE＝∠AFD， ∴∠ADE＝ （180°－α）＝90°－ α. ∵∠AFD＝∠CDE＋25°， ∴α＋∠ADF＋∠CDE＋25°＝180°， 即∠CDE＝65°－ α， ∴0°＜65°－ α＜45°，解得40°＜α＜130°. （3）若∠A＝α，∠ACD＝25°，且△CDE的外心在该三角形的外部，请直接 写出α的取值范围. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 $$第二十四章　圆 24.1　圆的有关性质 24.1.1　圆 学科核心素养 具体内容 抽象能力 能通过画圆的过程得到圆的描述性定义；类比角的平分线和线段的垂直平分线，得到圆的集合定义；结合图例理解弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念；根据圆的轴对称性探索得到垂径定理；探索圆周角与圆心角及所对弧的关系，了解并证明圆周角定理及其推论；从数形结合的角度探索得到点与圆的位置关系，理解直线与圆的位置关系；掌握切线的概念、判定及性质，探索并证明切线长定理；了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系，归纳得到正多边形有关计算的方法；推理得到圆的弧长、扇形面积的计算公式，理解圆锥有关的计算方法 学科核心 素养 具体内容 几何直观 能用尺规作图：过不在同一直线上的三点作圆；作三角形的外接圆、内切圆；作圆的内接正方形和内接正六边形；过圆外一点作圆的切线.通过尺规作图提高动手操作能力和几何语言表达能力，发展几何直观 运算能力 能运用圆心角及圆周角的性质进行圆有关的角度计算；能运用垂径定理、勾股定理及切线有关的定理，进行圆有关的线段计算；通过转化为直角三角形进行正多边形与圆的有关计算；会计算圆的弧长、扇形的面积，并能逆用公式求半径或圆心角；会求圆锥的表面积和侧面积 学科核心 素养 具体内容 推理能力 能运用圆的有关性质、切线的判定与性质、三角形的外心（内心） 的性质等，进行与圆有关的推理证明，进一步提升逻辑推理能力 应用意识 通过列举实例感受圆无处不在，会运用勾股定理解决实际问题，能 根据圆的内心、外心的性质解决实际问题 创新意识 结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养综合运用所学知识分 析问题、解决问题的能力，形成独立思考、敢于质疑的科学态度与 理性精神 圆的定义 1. 抽象能力　下列关于圆的叙述正确的是（　B　） A. 圆是由圆心唯一确定的 B. 圆是一条封闭的曲线 C. 在同一平面内，到定点的距离小于或等于定长的所有点组成圆 D. 圆内任意一点到圆心的距离都相等 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2. 数学文化　早在两千多年前的战国时期，《墨经》一书中就给出了圆的描述性 定义：“圜，一中同长也”，这就是说，圆是平面内到定点的距离等于定长的点 的集合.其中“定长”指的是 ⁠. 半径　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 圆的有关概念 3. 如图所示，已知A，B，C，D四点都在☉O上，则☉O中的弦的条数为 （　B　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 第3题图 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4. 如图所示，AB是☉O的直径，CD是☉O的弦，AB⊥CD于点E，则图中共 有劣弧 条，写出图中的两条优弧，如 ⁠. 第4题图 5　 ， （答案不唯一）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 对等弧的概念理解有误，判断出错 5. 下列说法：①直径是最长的弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧； ④长度相等的两条弧是等弧；⑤半径相等的两个圆是等圆.其中正确的有 （　C　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6. 如图所示，☉O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE＝OB，∠AOC ＝87°，则∠E等于（　B　） A. 42° B. 29° C. 21° D. 20° 第6题图 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7. 如图所示，OA是☉O的半径，B为OA上一点（且不与点O，A重合），过 点B作OA的垂线交☉O于点C. 以OB，BC为边作矩形OBCD，连接BD. 若 CD＝6，BC＝8，则AB的长为 ⁠. 第7题图 4　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8. 教材P81练习T3变式 　如图所示，BD，CE是△ABC的高，求证：E，B， C，D四点在同一个圆上. 证明：取BC的中点F，连接DF，EF. ∵BD，CE是△ABC的高， ∴△BCD和△BCE都是直角三角形， ∴DF，EF分别为Rt△BCD和Rt△BCE斜边上的中线， ∴DF＝EF＝BF＝CF，∴E，B，C，D四点在以点F为圆心， BC为半径 的圆上. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9. 几何直观 　如图所示，已知MN为直径，圆心O是AD的中点，四边形 ABCD，EFGD是正方形，小正方形的面积为16，求圆的半径. 解：连接OC，OF，如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ∴小正方形的边长为4，r2＝（x＋4）2＋42＝x2＋8x＋32， ∴x2＋（2x）2＝x2＋8x＋32， ∴x2＋（2x）2＝r2. ∵OF2＝OG2＋FG2，小正方形的面积为16， 解得x1＝4，x2＝－2（舍去）， ∴r2＝5×42，∴r＝4 （负值舍去）. 设AD＝2x. ∵CO2＝DO2＋CD2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 $$第二十四章　圆 24.2　点和圆、直线和圆的位置关系 24.2.2　直线和圆的位置关系　 第3课时　切线长定理和三角形的内切圆 切线长定理 1. 如图所示，P为☉O外一点，PA，PB分别切☉O于A，B两点，若PA＝3， 则PB＝（　B　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2. 教材P101习题24.2T6变式 　如图所示，PA，PB分别是☉O的切线，A，B 为切点，AC是☉O的直径，已知∠BAC＝35°，∠P的度数为（　D　） A. 35° B. 45° C. 60° D. 70° D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3. 如图所示，PA切☉O于点A，PB切☉O于点B，连接OP交☉O于点C，下 列说法：①PA＝PB；②∠1＝∠2；③OP垂直平分AB. 其中正确说法的序号 是 ⁠. ①②③　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 三角形的内切圆 4. 教材P100例2变式 　如图所示，△ABC的内切 圆☉O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F. 已知△ABC的周长为36，AB ＝9，BC＝14，则AF的长为（　A　） A. 4 B. 5 C. 9 D. 13 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5. 如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，☉O是△ABC的内切圆，D，E，F是 切点. （1）求证：四边形ODCE是正方形. 解：（1）证明：∵☉O是△ABC的内切圆，∴OD⊥BC， OE⊥AC. 又∠C＝90°，∴四边形ODCE是矩形.∵OD＝ OE，∴四边形ODCE是正方形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （2）如果AC＝6，BC＝8，求内切圆☉O的半径. 解：（2）∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8， ∴AB＝ ＝10.由切线长定理， 得AF＝AE，BD＝BF，CD＝CE， ∴CD＋CE＝BC＋AC－BD－AE＝BC＋AC－AB＝4，则CE＝2，即☉O的半径为2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 混淆三角形的内心与外心的性质 6. （滨州一模）如图所示，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心， 连接OB，IA. 若∠CAI＝37°，则∠OBC的度数为 ⁠. 16°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7. 如图所示，在△ABC中，∠A＝60°，BC＝6，它的周长为16.若☉O与 BC，AC，AB三边分别切于E，F，D点，则DF的长为（　A　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8. 如图所示，点O是△ABC的内心，也是△DBC的外心.若∠A＝84°，则∠D 的度数为（　B　） A. 42° B. 66° C. 76° D. 82° B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9. 如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，☉O是△ABC的内切圆，三个切 点分别为D，E，F，若BF＝2，AF＝3，则△ABC的面积是 ⁠. 6　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10. （潍坊一模）如图所示，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接 圆☉O相交于点D，过点D作直线DG∥BC. （1）求证：DG是☉O的切线. 解：（1）证明：连接OD交BC于点H，如图所示. ∵点E是△ABC的内心， ∴AD平分∠BAC， 即∠BAD＝∠CAD，∴ ＝ ， ∴OD⊥BC，BH＝CH. ∵DG∥BC，∴OD⊥DG， ∴DG是☉O的切线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （2）求证：DE＝CD. 解：（2）证明：连接BD，如图所示. ∵点E是△ABC的内心，∴∠ABE＝∠CBE. ∵∠DBC＝∠BAD， ∴∠DEB＝∠BAD＋∠ABE＝∠DBC＋∠CBE＝∠DBE， 即∠BED＝∠DBE，∴BD＝DE. ∵ ＝ ，∴BD＝CD，∴DE＝CD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （3）若DE＝2 ，BC＝8，求☉O的半径. 解：（3）连接OB，如图所示.设☉O的半径为r. 由（1）得OD⊥BC，BH＝CH， ∵BC＝8，∴BH＝CH＝4. ∵DE＝2 ，BD＝DE，∴BD＝2 . 在Rt△BHD中，BD2＝BH2＋HD2， ∴（2 ）2＝42＋HD2，解得HD＝2（负值舍去）， 在Rt△BHO中， r2＝BH2＋（r－2）2，解得r＝5.则☉O的半径为5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11. 如图所示，在△ABC中，内切圆☉I与AB，BC，CA分别切于点F，D， E，连接BI，CI，FD，ED. （1）若∠A＝60°，求∠BIC与∠FDE的度数. 解：（1）∵☉I是△ABC的内切圆，∴∠IBC＝ ∠ABC， ∠ICB＝ ∠ACB， ∴∠IBC＋∠ICB＝ （∠ABC＋∠ACB）. 又∵∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A＝120°， ∴∠IBC＋∠ICB＝60°， ∴∠BIC＝180°－（∠IBC＋∠ICB）＝120°.连接IF，IE. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ∵☉I是△ABC的内切圆，∴∠IFA＝∠IEA＝90°. ∵∠A＝60°， ∴∠FIE＝360°－∠IFA－∠IEA－∠A＝120°， ∴∠FDE＝ ∠FIE＝60°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （2）若∠BIC＝α，∠FDE＝β，试猜想α与β的关系，并证明你的结论. 解：（2）猜想：α＝180°－β.证明：由（1）知∠FIE＝180°－∠A. 又∠FIE＝2∠FDE， ∴∠A＝180°－2∠FDE＝180°－2β. ∵∠BIC＝180°－（∠IBC＋∠ICB）＝180°－ （∠ABC＋∠ACB）＝180°－ （180°－∠A）＝90°＋ ∠A， ∴∠BIC＝α＝90°＋ （180°－2β）， ∴α＝180°－β. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12. 推理能力 　如图所示，AB为☉O的直径，△ABC内接于☉O，BC＞AC， ＝ ，延长CP交☉O于点D，连接BP，BD＝PD. （1）求证：点P是△ABC的内心. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解：（1）证明：∵AB为☉O的直径， ∴∠ACB＝90°. ∵ ＝ ， ∴∠ACD＝∠BCD，∴CD平分∠ACB. ∵PD＝BD，∴∠BPD＝∠PBD. ∵∠BPD＝∠BCP＋∠CBP， ∠DBP＝∠ABD＋∠ABP，∠ABD＝∠DCB， ∴∠CBP＝∠ABP， ∴BP平分∠ABC， ∴点P是△ABC的内心. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （2）已知☉O的直径是5 ，CD＝7，求BC的长. 解：（2）如图所示，连接AD，过点B作BH⊥CD于点H. ∵AB是☉O的直径， ＝ ， ∴AD＝BD，∠ADB＝90°， ∴△ABD是等腰直角三角形. ∵AB＝5 ，∴BD＝5. ∵∠BCD＝∠ACD＝ ∠ACB＝45°，BH⊥CD， ∴∠BCH＝∠CBH＝45°， ∴BH＝CH，∴BC＝ BH. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ∵BD2＝DH2＋BH2，∴25＝（7－BH）2＋BH2， ∴BH＝4或BH＝3， ∴BC＝4 或BC＝3 . 又∵BC＞AC，∴BC＝4 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 $$第二十四章　圆 数学活动 车轮做成圆形的数学道理 1. （南宁青秀区期中）项目化学习：车轮的形状. 【问题提出】车轮为什么要做成圆形，这里面有什么数学原理？ 【合作探究】 （1）探究A组：如图①所示，圆形车轮半径为4 cm，其车轮轴心O到地面的距离 始终为 cm. （2）探究B组：如图②所示，正方形车轮的轴心为O，若正方形的边长为4 cm， 则车轮轴心O最高点与最低点的高度差为 cm. 4　 2 －2　 1 2 3 4 （3）探究C组：如图③所示，有一个破损的圆形车轮，半径为4 cm，破损部分是 一个弓形，其所对圆心角为90°，其车轮轴心为O，让车轮在地上无滑动地滚动 一周，求点O经过的路程. 探究发现：车辆的平稳关键看车轮轴心是否稳定. 1 2 3 4 解：（3）如图所示. 从图①运动到图②，点O绕点A旋转了45°，点O的运动距离为 ＝π（cm）； 从图②运动到图③，点O绕点B旋转了45°，点O的运动距离为 ＝π（cm）； 从图③运动到图④，点O移动的距离是圆心角为270°、半径为4 cm的弧长： ＝6π（cm）. 综上，让车轮在地上无滑动地滚动一周，点O经过的路程为π＋π＋6π＝8π（cm）. 1 2 3 4 （4）探究D组：使“莱洛三角形”沿水平方向向右滚动，在滚动过程中，其每时 每刻都有“最高点”，“中心点”也在不断移动位置，那么在“莱洛三角形”滚 动一周的过程中，其“最高点”和“中心点”所形成的轨迹图案大致是下列选项 中的 ⁠. A　 【拓展延伸】如图④所示，分别以正三角形的三个顶点A，B，C为圆心，以正 三角形的边长为半径作60°圆弧，这个曲线图形叫做“莱洛三角形”. 1 2 3 4 　探究四点共圆的条件 2. （江门鹤山期末）【综合与实践】九年级同学小明在刘老师的指导下开展“探 究四点共圆的条件”的数学活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆. 继续探究如下： 【提出问题】 如图①所示，在线段AC同侧有两点B，D，连接AD，AB，BC， CD，如果∠B＝∠D，那么A，B，C，D四点在同一个圆上. 1 2 3 4 探究证明过程展示： 如图②所示，作经过点A，C，D的☉O，在劣弧AC上取一点E（不与A，C 重合），连接AE，CE，则∠AEC＋∠D＝180°（依据1）. ∵∠B＝∠D， ∴∠AEC＋∠B＝180°， ∴点A，B，C，E四点在同一个圆上（依据2）， ∴点B，D在点A，C，E所确定的☉O上， ∴点A，B，C，D四点在同一个圆上. 1 2 3 4 【反思归纳】 （1）上述探究过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？ 依据1： ；依据2： ⁠ ⁠. 圆内接四边形的对角互补　 过不在同一直线上的三个点有 且只有一个圆　 1 2 3 4 【拓展延伸】 （2）如图③所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，将△ABC绕点A 逆时针旋转，得到△ANM，旋转角为α（0＜α＜90°），连接CM并延长交BN于 点D，连接BM. 小明发现，旋转过程中，点D始终为BN的中点，为验证这一结 论，小明连接AD，判断A，D，B，C四点共圆后可得出结论. 请你帮小明完成探究过程： ①求证：A，D，B，C四点共圆. ②求证：ND＝DB. 1 2 3 4 解：（2）①证明：设AB交CD于点O，如图所示. 由旋转变换的性质可知∠CAM＝∠BAN， ∵AC＝AM，AB＝AN， ∴∠ABN＝∠ANB＝∠ACM＝∠AMC， ∴点A，D，B，C四点共圆. ②证明：∵点A，C，B，D四点共圆， ∴∠ADB＋∠ACB＝180°. ∵∠ACB＝90°，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BN， ∵AB＝AN，∴ND＝DB. 1 2 3 4 设计图案 3. 综合实践： 在生活中经常看到一些拼合图案（如图所示），它们或是用单独的正方形或是用 多种正多边形混合拼接成的，拼成的图案要求严丝合缝，不留空隙.从数学角度 看，这些工作就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分覆盖，通常把这类 问题叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌）的问题. 1 2 3 4 （1）如果限用一种正多边形来覆盖平面的一部分，正六边形是否能镶嵌成一个 平面图形？请说明理由. 解：（1）能，理由：如限用一种正多边形镶嵌，则一顶点的周围角的和等于360°即可，360°÷120°＝3， 即正六边形能镶嵌成一个平面图形. （2）同时用正方形和正八边形是否能镶嵌成一个平面图形？请说明理由. 解：（2）能，理由：设在一个顶点周围有m个正方形的角，n个正八边形的角， 那么m，n应是方程90°m＋135°n＝360°的正整数解. 即2m＋3n＝8的正整数解，有m＝1，n＝2， ∴同时用正方形和正八边形能镶嵌成一个平面图形. 1 2 3 4 4. 阅读理解，并解答问题： 观察发现： 如图①所示是一块正方形瓷砖，分析发现这块瓷砖上的图案是按图②所示的过程 设计的，其中虚线所在的直线是正方形的对称轴. 问题解决： 用四块如图①所示的正方形瓷砖按下列要求拼成一个新的大正方形，并在图③和 图④中各画一种拼法. 1 2 3 4 （1）图③中所画拼图拼成的图案是轴对称图形，但不是中心对称图形. 解：（1）如图所示（答案不唯一）. （2）图④中所画拼图拼成的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形. 解：（2）如图所示（答案不唯一）. 1 2 3 4 $$第二十四章　圆 本章综合提升 1. 转化思想 在本章中，转化思想的应用主要体现在四处：（1）圆中的线段计算，转化 到三角形中进行；（2）通过弧的联系实现圆周角、圆心角之间的数量转化； （3）不规则图形面积的求解，化为规则图形面积的和或差；（4）圆锥侧面积的 有关计算，化“曲面”为“平面”. 　　【例1】　（南通如皋一模）如图所示，☉O的直径AB＝8，C为☉O上一 点，在AB的延长线上取一点P，连接PC交☉O于点D，PO＝4 ，∠OPC＝ 30°. （1）求CD的长. 解：（1）过点O作OE⊥CD于点E，连接OC，OD， 如图所示， ∴CE＝DE. ∵PO＝4 ，∠OPC＝30°， ∴OE＝ PO＝2 . ∵直径AB＝8，∴OD＝4， ∴DE＝ ＝ ＝2， ∴CD＝2DE＝4. （2）计算图中阴影部分的面积. 解：（2）∵OD＝2DE， ∴∠DOE＝30°，∴∠COD＝60°， ∴阴影部分的面积为 － ×4×2 ＝ －4 . 　　【变式训练1】 空间观念　如图所示，已知圆锥的底面半径是4 cm，母线长为12 cm，C为 母线PB的中点，则从A到C在圆锥的侧面上的最短距离为 cm. 6 　 2. 方程思想 方程思想是指利用题目中的已知量、未知量之间的数量关系，设出未知数， 建立方程或方程组来解决问题. 本章中运用垂径定理和勾股定理求线段长以及弧长、扇形面积、圆锥侧面积 的有关计算，均可能用到设未知数列方程解答. 　　【例2】　（南充嘉陵区期中）如图所示，D是☉O弦BC的中点，A是☉O 上的一点，OA与BC交于点E，已知AO＝8，BC＝12. （1）求线段OD的长. 解：（1）连接OB，如图所示. ∵OD过圆心，且D是弦BC的中点， ∴OD⊥BC，BD＝ BC＝6. 在Rt△BOD中，OD2＋BD2＝BO2. ∵BO＝AO＝8，BD＝6， ∴OD＝2 . （2）当EO＝ BE时，求DE的长. 解：（2）在Rt△EOD中，OD2＋ED2＝EO2. 设BE＝x，则OE＝ x，DE＝6－x， 由勾股定理，得（2 ）2＋（6－x）2＝（ x）2， 解得x1＝－16（舍去），x2＝4. 则DE＝2. 　　【变式训练2】 运算能力　已知一段弧长为9.42 cm，该段弧所在的圆的半径为6 cm，则这 段弧所对的圆心角度数为 .（π取3.14） 90°　 3. 分类讨论思想 本章中，圆中有关角度、线段的计算，直线和圆的位置关系的探讨等，只要 没有现成的图形往往需要分类讨论得出结果. 　　【例3】　（南京建邺区期中）△ABC是☉O的内接三角形，AB＝AC， ☉O的半径为2，O到BC的距离为1. （1）求BC的长. 解：（1）分两种情况考虑： 当△ABC为锐角三角形时，如图①所示， 过点A作AD⊥BC于点D，由题意得到AD过圆心O，连接OB， ∵OD＝1，OB＝2， ∴在Rt△OBD中，根据勾股定理，得 BD＝ ＝ ，∴BC＝2BD＝2 . 当△ABC为钝角三角形时，如图②所示， 过点A作AD⊥BC于点D，由题意得到AD的延长线过圆心O，连接OB， ∵OD＝1，OB＝2， ∴在Rt△OBD中，根据勾股定理，得BD＝ ， ∴BC＝2BD＝2 . （2）∠BAC的度数为 ⁠. 60°或120°　 　　【变式训练3】 应用意识 　如图所示，水平放置的圆形管道横截面的半径为50 cm，现在水 面宽度AB为60 cm，当水面宽度为80 cm时，则水面比原来上涨的高度为 ⁠ ⁠. 10 cm 或70 cm　 1. （无锡惠山区月考）下列说法正确的是（　B　） A. 弦是直径 B. 半圆是弧 C. 等弧就是长度相等的两条弧 D. 圆是轴对称图形，对称轴是任意一条直径 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 2. （池州青阳三模）如图①所示，平底烧瓶是实验室中使用的一种烧瓶类玻璃器 皿，主要用来盛液体物质，可以轻度受热.如图②所示，它的截面图可以近似看 作是由☉O去掉两个弓形后与矩形ABCD组合而成的图形，其中BC∥MN，若 ☉O的半径为25，AB＝36，BC＝14，MN＝30，则该平底烧瓶的高度为 （　D　） A. 20 B. 40 C. 60 D. 80 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 3. （商洛镇安三模）如图所示，四边形ABCD内接于☉O，AB是☉O的直径， 点E在☉O上，且∠ADC＝125°，则∠BEC的度数是（　D　） A. 25° B. 55° C. 45° D. 35° D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 4. （烟台龙口一模）如图所示，在正方形网格中，A，B，C，D，E，P均在 格点处，则点P是下列哪个三角形的外心（　D　） A. △ACE B. △ABD C. △ACD D. △BCE D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 5. （南京浦口区三模）如图所示，☉O与矩形ABCD的三边AB，BC，CD分别 相切于点E，F，G，连接OB，OD，OB＝4，OD＝3，则AB的长为 （　D　） A. 5 B. 2 ＋2 C. 4 D. 2 ＋1 第5题图 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 6. （深圳罗湖区模拟）如图所示，AB是☉O的直径， ＝ ＝ ，∠COD ＝40°，则∠AOE＝ ⁠. 第6题图 60°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 7. （赣州二模）如图所示，△ABC的顶点A，B在☉O上，AC交☉O于点D， 连接BD，已知∠A＝45°. （1）若☉O的半径为3，求弦BD的长. 解：（1）如图所示，连接OB，OD，∴OB＝OD＝3. ∵∠A＝45°， ∴∠DOB＝90°， ∴△OBD是等腰直角三角形， ∴BD＝ ＝ ＝3 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 （2）当∠ABC＋∠ADB＝180°，求证：BC是☉O的切线. 解：（2）证明：延长BO交☉O于点E，连接AE，如图所示. ∵BE为☉O的直径，∴∠EAB＝90°. ∴∠E＋∠ABE＝90°. ∵∠ABC＋∠ADB＝180°， ∠E＋∠ADB＝180°， ∴∠E＝∠ABC，∴∠ABC＋∠ABE＝90°， ∴∠CBE＝90°，即EB⊥BC. ∵BE是☉O的直径，∴BC是☉O的切线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 8. （山西中考）如图所示，已知△ABC，以AB为直径的☉O交BC于点D，与 AC相切于点A，连接OD. 若∠AOD＝80°，则∠C的度数为（　D　） A. 30° B. 40° C. 45° D. 50° 第8题图 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 9. （凉山州中考）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半 径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直 平分线CD交AB于点D，交 于点C，测出AB＝40 cm，CD＝10 cm，则圆形 工件的半径为（　C　） A. 50 cm B. 35 cm C. 25 cm D. 20 cm 第9题图 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 10. （泰安中考）两个半径相等的半圆按如图所示方式放置，半圆O'的一个直径 端点与半圆O的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是（　A　） A. π－ B. π C. π－ D. π－ A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 11. （滨州中考）如图所示，四边形ABCD内接于☉O，若四边形OABC是菱 形，则∠D＝ ⁠. 第11题图 60°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 12. （北京中考）如图所示，☉O的直径AB平分弦CD（不是直径）.若∠D＝ 35°，则∠C＝ ⁠. 第12题图 55°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 13. （南充中考）如图所示，AB是☉O的直径，位于AB两侧的点C，D均在 ☉O上，∠BOC＝30°，则∠ADC＝ ⁠°. 第13题图 75　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 14. （凉山州中考）如图所示，☉M的圆心为M（4，0），半径为2，P是直线y ＝x＋4上的一个动点，过点P作☉M的切线，切点为Q，则PQ的最小值 为 ⁠. 第14题图 2 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 15. （自贡中考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，☉O是△ABC的内切圆，切点分 别为D，E，F. （1）图①中三组相等的线段分别是CE＝CF，AF＝ ，BD＝ ⁠； 若AC＝3，BC＝4，则☉O半径长为 ⁠. AD　 BE　 1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 （2）如图②所示，延长AC到点M，使AM＝AB，过点M作MN⊥AB于点N. 求证：MN是☉O的切线. 解：（2）证明：过点O作OH⊥MN于点H，连接OD，OE，OF，如图所 示，则∠OEC＝∠OFC＝90°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 ∵AD＝AF，∴AN－AD＝AC－AF，即DN＝CF. ∵∠ACB＝∠OEC＝∠OFC＝∠90°， ∴四边形OECF是矩形.∴CF＝OE， ∴DN＝OE. ∵∠ANM＝90°＝∠ODN＝∠OHN， ∴四边形OHND是矩形，∴OH＝DN， ∴OH＝OE，即OH是☉O的半径. ∵OH⊥MN，∴MN是☉O的切线. ∵∠ANM＝90°＝∠ACB，∠A＝∠A，AM＝AB， ∴△AMN≌△ABC（AAS），∴AN＝AC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 16. （烟台中考节选）如图所示，AB是☉O的直径，△ABC内接于☉O，点I为 △ABC的内心，连接CI并延长交☉O于点D，E是 上任意一点，连接AD， BD，BE，CE. （1）若∠ABC＝25°，求∠CEB的度数. 解：（1）∵AB是☉O的直径， ∴∠ADB＝∠ACB＝90°. 又∵∠ABC＝25°， ∴∠CAB＝90°－25°＝65°. ∵四边形ABEC是☉O的内接四边形， ∴∠CEB＋∠CAB＝180°， ∴∠CEB＝180°－∠CAB＝115°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 （2）找出图中所有与DI相等的线段，并证明. 解：（2）DI＝AD＝BD，证明：如图所示，连接AI， ∵点I为△ABC的内心， ∴∠CAI＝∠BAI，∠ACI＝∠BCI＝ ∠ACB＝45°， ∴ ＝ ，∴∠DAB＝∠DCB＝∠ACI，AD＝BD. ∵∠DAI＝∠DAB＋∠BAI，∠DIA＝∠ACI＋∠CAI， ∴∠DAI＝∠DIA，∴DI＝AD＝BD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 17. （山东中考）如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DAB＝60°， AB＝BC＝2AD＝2.以点A为圆心，以AD为半径作 交AB于点E，以点B为 圆心，以BE为半径作 交BC于点F，连接FD交 于另一点G，连接CG. （1）求证：CG为 所在圆的切线. 解：（1）证明：连接BG，如图所示， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 根据题意可知：AD＝AE，BE＝BF， 又∵AB＝BC，∴CF＝AE＝AD. ∵BC＝2AD， ∴BF＝BE＝AD＝AE＝CF. ∵AD∥BC，∴四边形ABFD是平行四边形， ∴∠BFD＝∠DAB＝60°. ∵BG＝BF，∴△BFG是等边三角形， ∴GF＝BF，∴GF＝BF＝FC. ∴点G在以BC为直径的圆上，∴∠BGC＝90°， ∴CG为 所在圆的切线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 （2）求图中阴影部分面积.（结果保留π） 解：（2）过点D作DH⊥AB于点H，如图所示， 由图可得：S阴影＝S▱ABFD－S扇形AED－S扇形BEG－S△BFG， 在Rt△AHD中，∵AD＝1，∠DAB＝60°，∴∠ADH＝30°， ∴AH＝ ，DH＝ ＝ ， ∴S▱ABFD＝AB·DH＝2× ＝ ， 由（1）可知，扇形ADE和扇形BGE全等， ∴S扇形AED＝S扇形BGE＝ ＝ ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 等边三角形BFG的面积为 GF·DH＝ ×1× ＝ ， ∴S阴影＝S▱ABFD－S扇形AED－S扇形BEG－S△BFG＝ － － － ＝ － . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 $$第二十四章　圆 24.4　弧长和扇形面积 第2课时　圆锥的侧面积和全面积 圆锥的有关计算 1. 抽象能力　（无锡梁溪区二模）将圆心角为150°的扇形围成一个圆锥，若底 面圆的直径为10 cm，则该圆锥的侧面积为（　B　） A. 50π B. 60π C. 90π D. 120π 2. 若一个圆锥的底面半径为3 cm，母线长为5 cm，则这个圆锥的全面积为 （　B　） A. 15π cm2 B. 24π cm2 C. 39π cm2 D. 48π cm2 B B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3. （东营中考）如果圆锥侧面展开图的面积是15π，母线长是5，那么这个圆锥的 底面半径是（　A　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. （宿迁中考）若圆锥的底面半径为2 cm，侧面展开图是一个圆心角为120°的 扇形，则这个圆锥的母线长是 cm. 5. （齐齐哈尔中考）若圆锥的底面半径是1 cm，它的侧面展开图的圆心角是直 角，则该圆锥的高为 cm. 6. 圆锥的底面半径是40 cm，母线长90 cm，它的侧面展开图的圆心角是 ⁠°. A 6　 　 160　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 混淆圆锥的底面半径和侧面展开扇形的半径 7. 运算能力　已知圆锥侧面展开图的圆心角是120°，底面圆的面积为15 cm2， 求圆锥的侧面积. 解：∵S圆＝πr2＝15，∴r＝ ，则根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长， ∴l＝2πr＝2π× ，则由弧长公式可得扇形的半径长为R＝ ＝ 3 （cm）. ∴由扇形的面积公式可求出圆锥侧面积是 S＝π× ×3 ＝45（cm2）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8. 如图所示，正六边形ABCDEF的边长为6，连接AC，以点A为圆心，AC为半 径画弧CE，得扇形ACE，将扇形ACE围成一个圆锥，则圆锥的高为（　D　） A. 3 B. 6 C. 3 D. 第8题图 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. 如图所示，圆锥的底面半径是2，母线长是6，如果A是底面圆周上一点，从 点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，那么这根绳子的长度可能是 （　D　） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 第9题图 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. 探究拓展 　（镇江模拟）如图所示，在菱形纸片ABCD中，AB＝6， ∠ABC＝60°，分别剪出扇形ABC和☉O，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面. 若点O在BD上，则BO的最大值是（　B　） A. 6 －1 B. 6 －2 C. 3 ＋1 D. 3 ＋2 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11. 小红需要用扇形薄纸板制作一个底面半径为9厘米、高为12厘米的圆锥形生日 帽，如图所示，则该扇形薄纸板的圆心角的度数为 ⁠. 216°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12. 在纸上剪下一个圆和一个扇形纸片，使它们恰好围成一个圆锥（如图所 示），如果扇形的圆心角为90°，扇形的半径为4，那么所围成的圆锥的高 为 ⁠. 第12题图 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13. 空间观念　（娄底中考）如图所示，在△ABC中，AC＝3，AB＝4，BC边 上的高AD＝2，将△ABC绕着BC所在的直线旋转一周得到的几何体的表面积 为 ⁠. 第13题图 14π　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14. （自贡中考）如图所示，小珍同学用半径为8 cm，圆心角为100°的扇形纸 片，制作一个底面半径为2 cm的圆锥侧面，则圆锥上粘贴部分的面积 是 cm2. 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15. 运算能力　如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，∠BAD＝ 120°，AB＝AD＝4，BC＝6，以点A为圆心在这个梯形内画出一个最大的扇形 （图中阴影部分）. （1）求这个扇形的面积. 解：（1）过点A作AE⊥BC于点E. ∵AE⊥BC，AD∥BC，∴AE⊥AD. ∵∠BAD＝120°，AB＝4， ∴∠BAE＝30°，∴BE＝ AB＝2.由勾股定理，得AE＝2 . ∴扇形的面积为 ＝4π. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 （2）若将这个扇形围成圆锥，求这个圆锥的底面积. 解：（2）设圆锥的底面半径为r，则2πr＝ ， 解得r＝ .若将这个扇形围成圆锥， 这个圆锥的底面积为π×（ ）2＝ π. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. （广东中考）综合与实践 【主题】滤纸与漏斗 【素材】如图①所示. ①一张直径为10 cm的圆形滤纸； ②一只漏斗口直径与母线均为7 cm的圆锥形过滤漏斗. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 【实践操作】 步骤1：取一张滤纸； 步骤2：按如图②所示步骤折叠好滤纸； 步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形； 步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图①所示漏斗中. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 【实践探索】 （1）滤纸是否能紧贴此漏斗内壁（忽略漏斗管口处）？用你所学的数学知识说 明理由. 解：（1）滤纸能紧贴此漏斗内壁.理由如下： 由2πr＝ ，得 ＝ ，如图①所示，n1＝90°×2＝180°， 如图②所示， ＝ ＝ ，∴n2＝180°. ∵n1＝n2，∴滤纸能紧贴此漏斗内壁. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 （2）当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积.（结果保留π） 解：（2）如图③所示，过点C作CF⊥DE于点F，由题意知CD＝DE＝CE＝ 5 cm，∴∠CDE＝60°. 则DF＝ DE＝ cm， 在Rt△CDF中，CF2＝ ＝ cm， ∴V＝π· × × ＝ π （cm3）. 答：圆锥形的体积是 π cm3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 $$第二十四章　圆 24.1　圆的有关性质 24.1.2　垂直于弦的直径 圆的对称性 1. 下列结论错误的是（　B　） A. 圆是轴对称图形 B. 圆的对称轴是直径 C. 过圆上一点可作出圆的对称轴 D. 圆的每一条对称轴都经过圆心 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 垂径定理 2. （台州仙居期末）如图所示，AB是☉O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点 E，则下列结论中不成立的是（　C　） A. ＝ B. ＝ C. OE＝BE D. CE＝DE C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3. （湖州中考）如图所示，OA是☉O的半径，弦BC⊥OA于点D，连接OB. 若☉O的半径为5 cm，BC的长为8 cm，则OD的长是 cm. 3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 垂径定理的推论 4. 下列命题正确的有（　A　） ①平分弦所对的两条弧的直线必垂直于弦；②垂直于弦的直线平分弦；③平分弦 的直线必垂直于弦；④与直径不垂直的弦不能被该直径平分；⑤平分弦的直径必 平分弦所对的两条弧. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5. 如图所示，在☉O中，半径OC与AB交于点D，若D为AB的中点，AB＝8 cm，OB＝5 cm，则CD的长为 cm. 2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 垂径定理及其推论的应用 6. 跨学科·化学　如图所示，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5 cm，瓶内液 体的最大深度CD＝2 cm，则截面圆中弦AB的长为（　C　）cm. A. 4 B. 6 C. 8 D. 8.4 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7. 如图所示，某窗户由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB＝3 m，弓形的高 EF＝1 m，现计划安装玻璃，请帮工程师求出 所在☉O的半径r. 解：由题意，得OA＝OE＝r m. ∵EF＝1 m，∴OF＝（r－1）m. ∵OE⊥AB， ∴AF＝ AB＝ ×3＝1.5（m）. 在Rt△OAF中，OF2＋AF2＝OA2， 即（r－1）2＋1.52＝r2.解得r＝ ，即 所在☉O的半径为 m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 忽略一组平行弦可能分别位于圆心同侧或两侧而漏解 8. 已知☉O的半径为13 cm，AB，CD是☉O的两条弦，且AB∥CD，AB＝24 cm，CD＝10 cm，则弦AB与CD之间的距离为 cm. 7或17　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9. （西安模拟）唐代李皋发明了“桨轮船”，他设计的桨轮船在船的舷侧或尾部 装有带有桨叶的桨轮，通过人力踩动桨轮轴来推动船体前进.这种船的桨轮下半 部浸入水中，上半部露出水面，因其推进方式类似车轮，故又被称为“桨轮船” 或“轮船”.如图所示，该桨轮船的轮子的横截面为☉O，轮子被水面截得的线 段AB长为12 m，轮子的吃水深度CD长为2 m，则该桨轮船轮子的半径为 （　C　） A. 8 m B. 6 m C. 10 m D. 12 m C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10. 若圆的半径为3，圆中一条弦为2 ，则此弦中点到弦所对劣弧的中点的距 离为 ⁠. 1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11. 推理能力 　如图所示，AB，CD是☉O的弦，OM⊥AB，ON⊥CD，垂足 分别为M，N，且∠AMN＝∠CNM. （1）OM与ON相等吗？为什么？ 解：（1）MO＝NO. 理由如下： ∵OM⊥AB，ON⊥CD，∴∠AMO＝∠CNO＝90°. ∵∠AMN＝∠CNM， ∴∠OMN＝∠ONM， ∴MO＝NO. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 （2）判断AB与CD是否相等，并说明理由. 解：（2）AB＝CD. 理由如下：如图所示，连接OA，OC. ∵OM⊥AB，ON⊥CD， ∴AM＝ AB，CN＝ CD，∠AMO＝∠CNO＝90°. 在Rt△AOM与Rt△CON中， ∴Rt△AOM≌Rt△CON（HL）， ∴AM＝CN，∴AB＝CD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12. 应用意识 　如图所示，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB＝60米，拱高 PD＝18米. （1）求圆弧所在的圆的半径r的长. 解：（1）如图所示，连接OA. 由题意，得AD＝ AB＝30 米，OD＝（r－18）米， 在Rt△ADO中，由勾股定理，得r2＝302＋（r－18）2， 解得r＝34米. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 （2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米， 即PE＝4米时，是否要采取紧急措施？ 解：（2）如图所示，连接OA'. ∵OE＝OP－PE＝34－4＝30（米）， ∴在Rt△A'EO中，由勾股定理，得A'E2＝A'O2－OE2，即A'E2 ＝342－302， 解得A'E＝16米. ∴A'B'＝32米.∵32＞30， ∴不需要采取紧急措施. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13. 几何直观 　如图所示，在平面直角坐标系中，以点C（2， ）为圆心， 以2为半径的圆与x轴交于A，B两点. （1）求A，B两点的坐标. 解：（1）过点C作CM⊥x轴于点M，则MA＝MB，连接AC. ∵点C的坐标为（2， ），∴OM＝2，CM＝ . 在Rt△ACM中，CA＝2， ∴AM＝ ＝1， ∴BM＝1，OA＝OM－AM＝1，OB＝OM＋BM＝3， ∴A点的坐标为（1，0），B点的坐标为（3，0）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 （2）若二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点A，B，试确定此二次函数的解 析式. 解：（2）将（1，0），（3，0）代入y＝x2＋bx＋c， 得 解得 ∴二次函数的解析式为y＝x2－4x＋3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 $$第二十四章　圆 24.1　圆的有关性质 24.1.4　圆周角　 第1课时　圆周角定理及其推论 圆周角的概念 1. 下列各图中的角，其中为圆周角的是（　B　） B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 圆周角定理 2. （湖南中考）如图所示，AB，AC为☉O的两条弦，连接OB，OC，若∠A ＝45°，则∠BOC的度数为（　C　） A. 60° B. 75° C. 90° D. 135° 第2题图 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3. 如图所示，在☉O中，AB是直径，弦AC的长为5 cm，点D在圆上且∠ADC ＝30°，则☉O的半径为 cm. 第3题图 5　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 圆周角定理的推论 4. 如图所示，在☉O中，弦AB，CD相交于点P. 若∠A＝48°，∠APD＝ 80°，则∠B的大小为（　A　） A. 32° B. 42° C. 52° D. 62° A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5. （湖北中考）如图所示，AB为半圆O的直径，点C为半圆上一点，且∠CAB ＝50°.①以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交BA，BC于点D，E；② 分别以点D，E为圆心，大于 DE的长为半径作弧，两弧交于点P；③作射线 BP. 则∠ABP＝（　C　） A. 40° B. 25° C. 20° D. 15° C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6. 如图所示，AB是☉O的直径，AB＝AC，BC交☉O于点D，AC交☉O于点 E，∠BAC＝45°.给出以下结论：①∠EBC＝22.5°；②BD＝DC；③ ＝ ；④AE＝BC. 其中正确结论的序号是 ⁠. ①②③　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7. 如图所示，AB是☉O的直径，C为 的中点，CD⊥AB于点D，交AE于点 F，连接AC，求证：AF＝CF. 证明：如图所示，连接BC. ∵AB是☉O的直径， ∴∠ACB＝90°， 即∠ACF＋∠BCD＝90°. ∵CD⊥AB，∴∠B＋∠BCD＝90°， ∴∠ACF＝∠B. ∵C为 的中点，∴ ＝ ， ∴∠B＝∠CAE，∴∠ACF＝∠CAE， ∴AF＝CF. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 忽略一条弦对应的圆周角有两个而致错 8. ☉O的半径是2，弦AB＝2，点C为☉O上的一点（不与点A，B重合），则 ∠ACB的度数为 ⁠. 30°或150°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9. 如图所示，在☉O中，半径OA，OB互相垂直，点C在劣弧AB上.若∠ABC ＝19°，则∠BAC＝（　D　） A. 23° B. 24° C. 25° D. 26° D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10. 如图所示，AB为☉O的直径，∠BED＝20°，则∠ACD的度数为 （　C　） A. 80° B. 75° C. 70° D. 65° C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11. 应用意识 　如图所示，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点P处 安装了一台监视器，它的监控角度是55°，为了监控整个展区，最少需要在圆形 边缘上共安装这样的监视器 台. 4　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12. （连云港中考）如图所示，AB是圆的直径，∠1，∠2，∠3，∠4的顶点均 在AB上方的圆弧上，∠1，∠4的一边分别经过点A，B，则∠1＋∠2＋∠3＋ ∠4＝ ⁠. 90°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13. 教材P88练习T3变式 　如图所示，OA，OB，OC都是☉O的半径，∠ACB ＝2∠BAC. （1）求证：∠AOB＝2∠BOC. 解：（1）证明：∵∠ACB＝ ∠AOB，∠BAC＝ ∠BOC， ∠ACB＝2∠BAC， ∴∠AOB＝2∠BOC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 （2）若AB＝4，BC＝ ，求☉O的半径. 解：（2）如图所示，过点O作半径OD⊥AB于点E，连接 DB，∴AE＝BE. ∵∠AOB＝2∠BOC，∠DOB＝ ∠AOB， ∴∠DOB＝∠BOC. ∴BD＝BC. ∵AB＝4，BC＝ ，∴BE＝2，DB＝ ， 在Rt△BDE中，∠DEB＝90°， ∴DE＝ ＝1. 在Rt△BOE中，∠OEB＝90°，∴OB2＝（OB－1）2＋22， 解得OB＝ ，即☉O的半径是 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14. 几何直观 　如图所示，☉C经过原点且与两坐标轴分别交于点A（0，2）和 点B（2 ，0）. （1）求线段AB的长及∠ABO的大小. 解：（1）∵A（0，2），B（2 ，0）， ∴OA＝2，OB＝2 .在 Rt△AOB中，AB＝ ＝ ＝4. 如图所示，连接OC. ∵∠AOB＝90°， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ∴AB为☉C的直径，C为AB的中点， ∴AC＝OC＝ AB＝2＝OA， ∴△AOC是等边三角形， ∴∠OAB＝60°，∴∠ABO＝30°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解：（2）在☉C上存在点P，使得△POB是等腰三角形. 如图所示，作OB的垂直平分线MN，交☉C于M，N两点，交OB于点D，连接OM，MB，ON，BN. 由垂径定理，可得MN必经过点C，即MN是☉C的直径.由（1）知∠ABO＝30°，BC＝2，∴CD＝1，DM＝3， DN＝1.∴M（ ，3），N（ ，－1）.∵MN垂直平分OB， ∴△OBM和△OBN都是等腰三角形，∴M，N均符合P点的要求. ∵MN是☉C的直径，∴∠MON＝90°. ∵∠BMO＝∠OAB＝60°，∴△OBM是等边三角形. （2）在☉C上是否存在点P，使得△POB是等腰三角形？若存在，请求出 ∠BOP的度数；若不存在，请说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由于此时同时满足BO＝MO，因此不需要再考虑BO为腰的情况. ∴∠BOM＝60°，∠BMN＝30°，∴∠BON＝30°. 故存在符合条件的P点，分别是P1（ ，3），∠BOP1＝60°； P2（ ，－1），∠BOP2＝30°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 $$第二十四章　圆 24.2　点和圆、直线和圆的位置关系 24.2.2　直线和圆的位置关系　 第2课时　切线的判定和性质 切线的判定 1. （盐城东台模拟）如图所示，AB是半圆O的直径，点C在半圆上（不与A， B重合），DE⊥AB于点D，交BC于点F，下列条件能判定CE是切线的是 （　C　） A. ∠E＝∠CFE B. ∠E＝∠ECF C. ∠ECF＝∠EFC D. ∠ECF＝60° 第1题图 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2. 如图所示，△ABC的一边AB是☉O的直径，请你添加一个条件，使BC是☉O 的切线，你所添加的条件为 ⁠. 第2题图 ∠ABC＝90°（答案不唯一）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3. （泰安二模）如图所示，以△ABC的边AB为直径的☉O恰好过BC的中点 D，过点D作DE⊥AC于点E，连接OD，则下列结论中：①OD∥AC；②∠B ＝∠C；③2OA＝AC；④DE是☉O的切线.正确的序号是 ⁠. ①②③④　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4. （临沂沂水二模）如图所示，在△ABC中，∠C＝64°，以AB为直径的☉O 与AC相交于点D，E为 上一点，且∠ADE＝40°. （1）求∠BAE的度数. 解：（1）连接BE，如图所示. ∵AB是☉O的直径， ∴∠AEB＝90°. ∵∠ABE＝∠ADE＝40°， ∴∠BAE＝90°－40°＝50°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （2）若∠EAD＝76°，求证：CB为☉O的切线. 解：（2）证明：∵∠EAD＝76°，∠BAE＝50°， ∴∠CAB＝76°－50°＝26°. ∵∠C＝64°，∴∠ABC＝180°－64°－26°＝90°， ∴直径AB⊥BC，∴CB为☉O的切线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 切线的性质 5. 如图所示，AB是☉O的切线，A为切点，连接OA，点C在☉O上， OC⊥OA，连接BC并延长，交☉O于点D，连接OD，若∠B＝65°，则 ∠DOC的度数为（　B　） A. 45° B. 50° C. 65° D. 75° B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6. （石家庄模拟）已知PA，PB是☉O的切线，A，B是切点，点C是☉O上不 同于点A，点B的一个动点，若∠P＝54°，则∠ACB的度数是（　D　） A. 63° B. 117° C. 53°或127° D. 117°或63° D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解：△PDE是等腰三角形. 理由：连接OD，如图所示. ∵OC⊥AB， ∴∠CEO＋∠OCE＝90°. ∵OC＝OD，∴∠OCE＝∠ODE. ∵PD切☉O于点D，∴∠ODE＋∠PDE＝90°. ∵∠OEC＝∠PED，∠OCE＝∠ODE， ∴∠PDE＝∠PED，∴PD＝PE， ∴△PDE是等腰三角形. 7. 如图所示，AB是☉O的直径，半径OC⊥AB，P是AB延长线上一点，PD切 ☉O于点D，CD交AB于点E，判断△PDE的形状，并说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 不能作出恰当的辅助线证明切线 8. 教材P101习题24.2T4变式 　如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，以点A为圆心，以3 cm为半径作☉A，当AB＝ cm时，BC是☉A的切线. 第8题图 6　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9. 如图所示，PA，PB分别与☉O相切于A，B两点，点C为☉O上一点，连接 AC，BC，若∠P＝70°，则∠ACB的度数为（　B　） A. 50° B. 55° C. 60° D. 65° 第9题图 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10. 应用意识 　如图所示是一个圆形餐盘的正面及其固定支架的截面图，凹槽 ABCD是矩形.当餐盘正立且紧靠支架于点A，D时，恰好与BC边相切，则此餐 盘的半径等于 cm. 10　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11. （汕头龙湖区一模）下面是小明设计的“过圆外一点作圆的切线”的尺规作 图过程. 已知：P是☉O外一点.求作：经过点P的☉O的切线.作法：如图所示，① 连接 OP，作线段OP的垂直平分线交OP于点A； ② 以点A为圆心，OA的长为半径作圆，交☉O于B，C两点； ③ 作直线PB，PC. 直线PB，PC就是所求作的切线. 请根据小明的作法完成作图和证明. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解：图形如图所示.证明：连接OB，OC. ∵PO为☉A的直径， ∴∠PBO＝∠PCO＝90°（直径所对的圆周角是直角）.∴PB⊥OB， PC⊥OC. ∴PB，PC为☉O的切线（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12. 几何直观 　如图所示，在平面直角坐标系中，☉P经过x轴上一点C，与y 轴分别相交于A，B两点，连接AP并延长分别交☉P，x轴于点D，E，连接 DC并延长交y轴于点F. 若点D，F的坐标分别是（6，－1），（0，1）. （1）求证：DC＝FC. 解：（1）证明：如图所示， 过点D作DH⊥x轴于点H，则∠CHD＝∠COF＝90°. ∵点F的坐标为（0，1），点D的坐标为（6，－1）， ∴DH＝OF＝1. ∵∠FCO＝∠DCH， ∴△FOC≌△DHC（AAS），∴DC＝FC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （2）判断☉P与x轴的位置关系，并说明理由. 解：（2）☉P与x轴相切.理由：如图所示，连接CP. ∵AP ＝PD，DC＝CF，∴CP∥AF， ∴∠PCE＝∠AOC＝90°， ∴☉P与x轴相切. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 $$第二十四章　圆 24.2　点和圆、直线和圆的位置关系 24.2.2　直线和圆的位置关系　 第1课时　直线和圆的位置关系 直线和圆的位置关系的判定 1. （昆明盘龙区模拟）“光盘行动”倡导厉行节约，反对铺张浪费，带动大家珍 惜粮食，如图所示是“光盘行动”的宣传海报，图中餐盘与筷子可看成直线和圆 的位置关系是（　B　） A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 平行 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2. （连云港灌云期末）在平面直角坐标系中，以点（－3，4）为圆心，3为半径 的圆（　A　） A. 与x轴相离，与y轴相切 B. 与x轴相离，与y轴相交 C. 与x轴相切，与y轴相交 D. 与x轴相切，与y轴相离 A 3. 教材P101习题24.2T2变式 　在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4. 当r＝2 cm时，直线AB与☉C位置关系是 ⁠. 相离　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4. 如图所示，正方形ABCD的边长为2，AC和BD相交于点O，过点O作 EF∥AB，交BC于点E，交AD于点F，则以点B为圆心， 长为半径的圆与 直线AC，EF分别是什么位置关系？ 解：由题意，得BO⊥AC， BO＝ BD＝ ＝ ， 即点B到AC的距离为 ，与☉B的半径相等， ∴直线AC与☉B相切.∵EF∥AB，∠ABC＝90°， ∴BE⊥EF，垂足为E，且BE＝ BC＝ ×2＝1＜ ，∴直线EF与☉B相交. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 直线和圆的位置关系的性质 5. 若直线a与半径为4的☉O相交，则圆心O到直线a的距离可能为（　A　） A. 3 B. 4 C. 4.5 D. 5 6. 在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，以点A为圆心，半径为4.8 的圆与直线BC的公共点的个数为 ⁠. A 1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7. 已知☉O的半径r＝7 cm，直线l1∥l2，且l1与☉O相切，圆心O到l2的距离为 9 cm.求l1与l2的距离. 解：当l2与l1在圆的同侧时，如图所示. ∴l1与l2的距离m＝9－7＝2（cm）. 当l2与l1在圆的两侧时，如图所示. ∴l1与l2的距离m＝9＋7＝16（cm）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 不能准确区别线段、射线、直线与圆的位置关系 8. （常德澧县期中）如图所示，已知∠ACB＝30°，CM＝2，AM＝5，以点M 为圆心，r为半径作☉M，☉M与线段AC有公共点时，则r的取值范围 是 ⁠. 1≤r≤5　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9. 已知☉O的半径为3 cm，P为直线l上一点，若OP＝5 cm，则直线l与☉O的 位置关系是（　D　） A. 一定相交 B. 一定相切 C. 一定相离 D. 可能相交，也可能相切或相离 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10. 如图所示，在平面直角坐标系中，☉P与x轴分别交于A，B两点，点P的坐 标为（3，－1），AB＝2 .将☉P沿着与y轴平行的方向平移多少距离时， ☉P与x轴相切？（　D　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 1或3 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11. （武汉江岸区月考）已知☉O的面积为16π cm2，若点O到直线m的距离为π cm，则直线m与☉O的位置关系是 ⁠. 12. 推理能力 　如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝ 2，以点C为圆心，r为半径作圆.若该圆与线段AB只有一个交点，则r的取值范 围为 ⁠. 相交　 r＝ 或2＜r≤2 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13. 已知圆心O到直线m的距离为d，☉O的半径为r. （1）当d，r是方程x2－9x＋20＝0的两根时，判断直线m与☉O的位置关系. 解：（1）解方程x2－9x＋20＝0，得x1＝5，x2＝4，所以d＝5，r＝4或d＝ 4，r＝5. 当d＝5，r＝4时，d＞r，此时直线m与☉O相离； 当d＝4，r＝5时，d＜r，此时直线m与☉O相交. （2）当d，r是方程x2－4x＋p＝0的两根时，直线m与☉O相切，求p的值. 解：（2）当直线m与☉O相切时，d＝r，即Δ＝16－4p＝0，解得p＝4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14. 应用意识 　如图所示，A城气象台测得台风中心在A城正西方向300千米的 B处，并以每小时10 千米的速度向北偏东60°的BF方向移动，距台风中心 200千米的范围是受台风影响的区域. A城会受到这次台风的影响吗？若A城受到这次台风的影响，请计算A城遭受这 次台风影响的时间.若A城不会受到这次台风的影响，请计算说明. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解：会受到影响. 如图所示，过点A作AC⊥BF于点C. 在Rt△ABC中，∠CBA＝30°，BA＝ 300千米， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ∵150＜200，∴A城会受到这次台风的影响.如图所示，设BF上D，E两点到A 的距离为200千米，则台风中心在线段DE上时，对A城均有影响，而在DE以外 时，对A城没有影响. ∵AC＝150千米，AD＝AE＝200千米， ∴DC＝ ＝50 （千米）， ∴DE＝2DC＝2×50 ＝100 （千米）， ∴t＝ ＝10（小时）. ∴A城遭受这次台风影响的时间为10小时. ∴AC＝ AB＝ ×300＝150（千米）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 $$第二十四章　圆 24.1　圆的有关性质 24.1.3　弧、弦、圆心角 圆心角 1. 下面四个图中的角，为圆心角的是（　D　） 2. 已知弦AB把圆周分成1∶9两部分，则弦AB所对圆心角的度数为 ⁠. D 36°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 弧、弦、圆心角之间的关系 3. 下列说法正确的是（　B　） A. 相等的圆心角所对的弧相等 B. 在同圆中，等弧所对的圆心角相等 C. 在同圆中，相等的弦所对的弧相等 D. 相等的弦所对的弧相等 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4. （淄博桓台一模）如图所示，☉O的直径AB与弦DE交于点C，且CD＝CO. 若弧AD的度数为40°，则弧AE的度数为（　B　） A. 50° B. 60° C. 75° D. 85° 第4题图 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5. 如图所示，AB是☉O的直径， ＝ ＝ ，∠COD＝32°，则∠AEO的 度数为 ⁠. 第5题图 48°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6. 如图所示，正方形ABCD内接于☉O，M为 的中点，连接AM，BM，求 证：AM＝BM. 证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝BC， ∴ ＝ .∵M为 的中点，∴ ＝ ， ∴ ＝ ，∴AM＝BM. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 错误地以为弧有2倍关系，对应的弦也有2倍关系 7. 如图所示，在☉O中， ＝2 ，则以下数量关系正确的是（　C　） A. AB＝AC B. AC＝2AB C. AC＜2AB D. AC＞2AB 第7题图 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8. 如图所示，已知∠AOB＝∠COD，下列结论不一定成立的是（　D　） A. AB＝CD B. ＝ C. △AOB≌△COD D. △AOB是等边三角形 第8题图 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9. （北京西城区期中）计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务 完成的百分比.如图所示是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图，当任 务完成的百分比为x时，线段MN的长度记为d（x）.下列描述正确的是 （　D　） A. 当x1＜x2时，d（x1）＜d（x2） B. 当d（x1）＜d（x2）时，x1＜x2 C. x1＝2x2时，d（x1）＝2d（x2） D. x1＋x2＝1时，d（x1）＝d（x2） D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10. 如图所示，在半径为5的☉A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC， ∠EAD，已知DE＝6，∠BAC＋∠EAD＝180°，则圆心A到弦BC的距离等 于 ⁠. 3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11. 教材P89习题24.1T4变式 　如图所示，AB，CD为☉O的两条弦，AB＝ CD. 求证：∠AOC＝∠BOD. 证明：∵AB＝CD， ∴ ＝ ， ∴∠AOB＝∠COD， ∴∠AOB－∠BOC＝∠COD－∠BOC， 即∠AOC＝∠BOD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12. 如图所示，AB是☉O的直径， ＝ ，∠COD＝60°. （1）请判断△AOC的形状，并说明理由. 解：（1）△AOC是等边三角形.理由如下： ∵ ＝ ， ∴∠AOC＝∠COD＝60°. ∵OA＝OC，∴△AOC是等边三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 （2）求证：OC∥BD. 解：（2）证明：∵ ＝ ，∴∠AOC＝∠COD＝ ∠AOD. 又∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠B. ∵∠AOD＝∠ODB＋∠B＝2∠B， ∴∠B＝ ∠AOD，∴∠AOC＝∠B，∴OC∥BD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13. 如图所示，∠AOB＝90°，C，D是 的三等分点，AB分别交OC，OD 于点E，F，求证：AE＝BF＝CD. 证明：连接AC，BD. ∵C，D是 的三等分点，∠AOB＝90°， ∴AC＝CD＝BD，∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝30°. ∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝45°. ∵∠AEC是△AOE的外角， ∴∠AEC＝∠AOC＋∠OAB＝30°＋45°＝75°. 在△AOC中，OA＝OC， ∴∠ACO＝ ×（180°－30°）＝75°， ∴∠ACO＝∠AEC，∴AC＝AE. 同理可得BD＝BF，∴AE＝BF＝CD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14. 推理能力 　如图所示，在☉O中，C，D是直径AB上的两点，且AC＝BD，EG⊥AB，FH⊥AB，分别交AB于点C，D，点E，G，F，H在☉O上. （1）若EG＝8，AC＝2，求☉O半径. 解：（1）如图所示，连接EO. 设☉O的半径为r. ∵EG⊥AB，∴CE＝CG＝ EG＝4. ∵AC＝2，∴OC＝r－2. 在Rt△CEO中，OE2＝CE2＋OC2， ∴r2＝42＋（r－2）2，解得r＝5，∴☉O的半径为5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 （2）求证： ＝ . 解：（2）证明：如图所示，连接OF. ∵AC＝BD，OA＝OB， ∴OC＝OD. ∵EG⊥AB，FH⊥AB， ∴∠ECO＝∠FDO＝90°. 在Rt△COE和Rt△DOF中， ∴Rt△COE≌Rt△DOF（HL）， ∴∠AOE＝∠BOF，∴ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 （3）若C，D分别为OA，OB的中点，则 ＝ ＝ 成立吗？请说明理由. 解：（3） ＝ ＝ 成立.理由如下： ∵C，D分别为OA，OB的中点， ∴OC＝ OE，∴∠OEC＝30°，∴∠AOE＝60°， 同理∠BOF＝60°，∴∠EOF＝60°，∴ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 $$