2024-2025学年人教版八年级数学下册期末阶段复习《第16—17章》常考热点解答题专题提升训练

2024-2025学年人教版八年级数学下册期末阶段复习《第16—17章》常考热点解答题专题提升训练（附答案） 1．（1）计算：； （2）化简：． 2．计算及解不等式组 3．计算： (1)． (2)． 4．先化简，再求值：，其中． 5．如图，勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板p离地的垂直高度，将它往前推至C处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 6．（1）如图1，在和中，，，，且点D在边上滑动（点D不与点B，C重合），连接．求证：； [拓展延伸] （2）如图2，在四边形中，．若，，求的长； 7．如图，在中，． (1)在边上求作一点，连接，使．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，求的长． 8．定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形． (1)如图1，在邻余四边形中，，则_____； (2)如图2，在中，，，垂直平分交于点，垂足为，且，，为上一点，求证：四边形是邻余四边形； (3)如图3，在邻余四边形中，为中点，，，时，求的长． 9．已知中，，． (1)如图1，若，则______； (2)如图2在边的右侧作，且满足，连接，猜测，，三者之间的数量关系，并说明理由： (3)如图3，若以为边向左侧作等腰三角形，且满足，，连接，求的最小值． 10．如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴正半轴上，点在轴的正半轴上，点和点的坐标分别为，． (1)求线段的长； (2)点从原点出发沿射线以每秒个单位长度的速度运动，运动时间为，连接，设的面积为，试用含的代数式表示（不要求写出的取值范围）； (3)在（2）条件下，在线段上，当时，在射线上是否存在点，使为直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 11．如图，为等腰三角形，，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；动点同时从点出发，沿方向匀速运动，速度为．连接、，设运动时间为，请解答下列问题： (1)当时，求t的值； (2)设的面积为，求与t之间的函数关系式； (3)是否存在某一时刻t，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 12．如图，在笔直的河边的一侧是一片空旷的草地，牧马人从草地上的A处出发到河边饮马，然后前往草地上的B处．若测得A处到河边的距离（即图中的长度，，垂足为D）为12米，B处到河边的距离（即图中的长度，，垂足为E）为28米，且两处相距30米． (1)在图中画出从A到再到B的最短路径，并计算最短路径的长度（保留作图痕迹）； (2)C是河边上D，E两地之间的一个地点，且与D处相距16米，如果从A先到C处饮水，再回到B处，行走路程比（1）中的最短路径长多少？ 13．如图，连接A，B两城市的是一条东西走向的公路，C，D为两座工厂，且工厂C位于工厂D的北边，B市和工厂C之间有一大型水库．从工厂C修建了两条公路通往A市和工厂D，已知，，． (1)试通过计算说明长是工厂C到公路的最短距离； (2)若，求工厂C到B市的距离． 14．定义：两组邻边分别相等的四边形叫做筝形． (1)如图1，已知四边形是筝形，则其对角线与满足的关系是______； (2)如图2，中，，P为线段上一点，将沿向外翻折得，将沿向右翻折得，连接，若，判断四边形是否为筝形，请说明理由，并求出的长； (3)如图3，四边形中，，，，点E在上，，当时，请直接写出的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．（1）0；（2）1 【分析】（1）首先计算立方根，零指数幂和二次根式的乘法，然后计算加减； （2）首先计算完全平方公式，单项式乘以多项式，然后计算加减． 【详解】解：（1） ； （2） ． 【点睛】此题考查了立方根，零指数幂和二次根式的乘法，完全平方公式，单项式乘以多项式，解题的关键是掌握以上运算法则． 2． 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，求解不等式组的解集的知识，掌握相应的求解、运算方法，是解答本题的关键． 根据二次根式的混合运算法则计算即可； 【详解】解：原式． 3．(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键． （1）先计算立方根、算术平方根和绝对值，再计算加减法即可； （2）先去括号和绝对值符号，再计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．， 【分析】本题考查了分式的化简求值．先通分，再进行同分母的减法运算，接着约分得到最简分式，然后把代入计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 5． 【分析】设,则根据勾股定理计算即可． 本题考查了勾股定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得四边形是矩形， 故， 又，， 故， 设,则．             在中,由勾股定理得, 即,                     解得．                     答：绳索的长度为． 6．（1）见解析（2） 【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质得到，，得到，根据勾股定理计算即可； （2）作，使，连接，证明，得到，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 又， ∴； （2）作，使，连接，，如图， ∵， 即， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】主要考查了考查的是全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质，勾股定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 7．(1)图见解析 (2) 【分析】本题考查了尺规作图—作垂线，勾股定理的应用． （1）作的垂直平分线，再得出，结合三角形的外角的性质可得结论； （2）设，则，再利用勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求． . 理由：∵由作图可得为的垂直平分线， ∴， ∴， ∴. （2）解：∵． 设，则， 在中，由勾股定理得， 解得， 的长为. 8．(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】本题是四边形的综合题，涉及勾股定理，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用这些知识． （1）根据邻余四边形的定义即可求解； （2）根据垂直平分线的定义可得，，根据勾股定理可得，进而求出，再根据勾股定理的逆定理可得，推出，即可证明； （3）延长到点，使，连接，，证明，得到，，根据邻余四边形的定义分两种情况讨论：当时，当时，即可求解． 【详解】（1）解：在邻余四边形中，，且，， ， ， 故答案为：． （2）证明：垂直平分，， ，， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， ， ， ， 四边形是邻余四边形． （3）解：如图，延长到点，使，连接，， 为中点，， 是的垂直平分线， ∴， ∵为中点， ∴， 在和中， ， ，， 在邻余四边形中，， 可分两种情况讨论： 当时， 则， ； 当时， 则， ，与矛盾， 此种情况不存在； 综上，的长为． 9．(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据已知条件可判断是等腰直角三角形，然后根据勾股定理求解即可； （2）过A作，使，连接，根据等边对等角以及三角形内角和定理求出，根据勾股定理求出，根据证明，得出，然后在中根据勾股定理即可探究出结论； （3）解：在左侧作，取，连接，，设与相交于E，过B作于F，过E作于G， 根据证明，得出，则点M在直线上运动，故当即M和F重合时，最小，在中，根据含角的直角三角形的性质得出，根据勾股定理得出，在中，根据三角形内角和定理可求出，根据等边对等角得出，结合，可求出，根据勾股定理求出，在中根据等边对等角、三角形内角和定理求出∴，结合三角形的外角的性质可得出，根据等角对等边得出，在中，根据含角的直角三角形的性质得出得出，即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）解： 理由：过A作，使，连接， ∴，， ∵， ， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：在左侧作，取，连接，，设与相交于E，过B作于F，过E作于G ∵ ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴点M在直线上运动， ∴当即M和F重合时，最小， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即的最小值为． 【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，二次根式的运算等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形，结合数学结合的思想求解是解题的关键． 10．(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据点的坐标，可的的长，在中，运用勾股定理即可求解； （2）根据点的运动，可用含的式子表示的长，根据题意，分类讨论，结合几何图形面积的计算方法即可求解； （3）根据在线段上，由（2）可知，可证明是的角平分线，求为直角三角形，分类讨论，当时；当时；构成全等三角形，运用勾股定理，图形结合分析即可求解． 【详解】（1）解：点和点的坐标分别为，， ∴， 在中，， ∴； （2）解：如图所示，点从原点出发沿射线以每秒个单位长度的速度运动，运动时间为， ∴， ①当在上时，则， ∴； ②当在延长线上时，则， ∴； ∴综上所示，； （3）解：由（2）可知，当在上时，， 如图所示，点在上， 当时，， ，则， 过点作于，且， ∴，即， ， ，，， 平分， ①当时，过点作轴于点，作轴于点， ∵是角平分线，， ∴，且， ∴，即， 设，则，， 在中，， ∴， ， ∴； ②当时，过点作交射线于，过点作轴，交轴于点，交于点， ∴，又， ， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴， 设，则，， ，则， ∴，， ； 综上所述，点坐标为或． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中坐标于图形，勾股定理，全等三角形，角平分线定理，直角三角形的判定和性质等知识的综合，掌握全等三角形，勾股定理，角平分线的性质定理等知识，构成三角形全等是解题的关键． 11．(1) (2) (3)或或 【分析】本题是三角形的综合题，考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，含度角的直角三角形的性质，三角形的面积等知识，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键. （1）根据等腰三角形三线合一的性质可得，再列方程即可解答； （2）过点作于， 过点作于， 过点作于， 根据即可解答； （3）分三种情况： ①如图，，过点作于， ②如图，③如图，，过点作于，根据列方程即可解答. 【详解】（1）解：∵， ， ， ∴， ∴， 解得； （2）∵， ， ∴， 如图， 过点作于， 过点作于， 过点作于， ∴， 由题意得： ， ， ， 由（1）同理得： ， 在中，， 由勾股定理得：， ， ； （3）存在，分三种情况： ①如图，过点作于， ， 在中，， ， ∵， ， ； ②如图， ， ∵， ∴， ∴； ③如图，，过点作于， ∴， ∵，， ， ， ， ， ， ， 综上，的值是或或 12．(1)见解析，最短路径的长度米 (2)米 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，勾股定理的应用，轴对称最短问题，解题的关键是掌握利用轴对称解决最短问题． （1）作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于点P，连接，点P即为所求，利用勾股定理求出可得结论； （2）利用勾股定理求出，可得结论． 【详解】（1）解：（1）如图，最短路径为A→P→B． 过点作交的延长线于点T， ∵米，米，米， ∴（米）， ∴（米）， ∴最短路径的长（米）； （2）∵（米）， （米）， ∴行走路程比（1）中的最短路径长：米． 13．(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证明即可； （2）设，则，利用勾股定理，建立等式解方程即可． 【详解】（1）解：∵，，． 且， ∴， ∴， 根据垂线段最短， ∴长是工厂C到公路的最短距离． （2）解：设，则， 根据勾股定理，得， 解得， 答：工厂C到B市的距离为． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，垂线段最短，勾股定理，解方程，熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理是解题的关键． 14．(1)垂直平分 (2)四边形是筝形，理由见解析， (3) 【分析】（1）由筝形可得，，即垂直平分； （2）由折叠的性质可得，，，，，由等腰三角形的性质可得垂直平分，即，可证四边形是筝形，由面积法可求的长； （3）由折叠的性质可得，，，，，，可证，由勾股定理可求的长，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是筝形， ∴，， ∴垂直平分； 故答案为：垂直平分； （2）解：四边形是筝形，理由如下： 如图2，设与交于点H， 由折叠的性质得，垂直平分，垂直平分， ∴，，，， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴四边形是筝形， ∵，，， ∴， ∵，，， ∴， ∵ ∴， ∴； （3）解：如图3，将沿翻折得，将沿翻折得，在截取，连接，， ∵，， ∴， 由折叠得，，，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴当点A，点G，点H，点D共线时，有最大值， ∴的最大值． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了新定义，折叠的性质，垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握新定义，合理添加辅助线是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$