第19章 一次函数 专题3 一一次函数与面积问题 训练 2024—2025学年人教版数学八年级下册

专题３ 一次函数与面积问题 一、解决一次函数中面积问题必备知识点 1.坐标系中处理面积问题，要寻找并利用横平竖直的线， 通常有以下四种思路： ①公式法（规则图形）； 规则图形指的是一般已知三角形的底和高，常见的为三角形有一边在坐标轴（x轴或y轴）上，或者有一边平行于坐标轴，那么我们可以选择坐标轴上（或平行于坐标轴）的线段为底，找到与该边对应的高。 （图1） （图2） 如图1，线段AB在x轴上，那么选择AB为△ABC的底，点C纵坐标的绝对值为△ABC的高，那么△ABC的面积可表示为：S△ABC=； 如图2，线段AB在y轴上，那么选择AB为△ABC的底，点C横坐标的绝对值为△ABC的高，那么△ABC的面积可表示为：S△ABC=. ②割补法（分割求和、补形作差）； 若三角形的三边在象限内，没有哪条边与坐标轴平行，那么我们可以选择割补法，将其补全为矩形（长方形）或梯形，然后减去小三角形的面积进行求解；或者将之分割为两个小三角形（或其它熟悉的平面图形）进行计算，具体题目选择具体的割补方法。 ③转化法（例：同底等高）． 如图，满足S△ABP=S△ABC的点P都在直线l1，l2上． ④铅锤法（本质上仍然是割补法） 2.点到坐标轴的距离 点P（x，y）到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x| 3.坐标轴上线段长度公式 点A（x1，0），点B（x2，0），X轴上两点之间的距离公式：AB=|x1-x2|（右边点的横坐标减去左边点的横坐标）； 点P（0，y1），点A（0，y2），y轴上两点之间的距离公式：PQ=|y1-y2|（上面点的纵坐标减去下面点的纵坐标）。 4.平行于x轴或y轴的线段的长度的表示 当两个点的连线平行于x轴时，纵坐标相等，两点间的距离是横坐标差（右边点的横坐标—左边点的横坐标），如果不知道哪个点在右边，那么是两个点横坐标差的绝对值。即若点A坐标为（x1，y），点B坐标为（x2，y），那么AB之间的距离为：| x1-x2|。例：A（-1，3），B（4，3）（点B在点A的右边），AB的长度=4-（-1）=5 当两个点的连线平行于y轴时，横坐标相等，两点间的距离是纵坐标差（上面点的纵坐标—下面点的横坐标），如果不知道哪个点在上边，那么是两个点纵坐标差的绝对值。即若点P坐标为（x，y1），点Q坐标为（x，y2），那么PQ之间的距离为：| y1-y2|。例：P（1，3）Q（1，10）（点Q在点P的上面），PQ的长度=10-3=7. 5.平面图形的面积公式 三角形的面积： 矩形（长方形）的面积： 正方形的面积： 梯形的面积： 平行四边形的面积： 6.直线与坐标轴的交点坐标 一次函数y=kx+b（k≠0）与x轴的交点坐标：令y=0，即kx+b=0，解得：，坐标为： 一次函数y=kx+b（k≠0）与y轴的交点坐标：令x=0，则y=b，坐标为： 7.解题一般步骤： （1）确定交点坐标（可用参数表示）； （2）求出有关线段的长度； （3）将有关图形的面积化归为与坐标轴有联系的几个基本图形的和差倍分，然后根据题目特点利用图象与面积间的关系综合求解。 【典型例题】 类型一：一次函数与两坐标轴所围成三角形面积 例题1：如图，长方形OABC中，O为直角坐标系的原点，A、C两点的坐标分别为（2，0）、（0，4）． （1）直接写出B点坐标； （2）若过点C的直线CD交AB边于点D，且把长方形OABC的面积分为1：3两部分，求直线CD的解析式及直线CD与坐标轴所围成的三角形的面积； （3）若P点是y轴上一点，且△PAC为等腰三角形，请直接写出所有P点的坐标． 类型二：两直线与两坐标轴所围成三角形面积 例题2：如图，一次函数y=kx+b的图象与直线y＝x交于点A（4，3），与y轴交于点B，且OA=OB． （1）求一次函数的表达式； （2）求两直线与y轴围成的三角形的面积． （3）在x轴上是否存在点C，使△AOC是以OA为腰的等腰三角形？若存在，直接写出C的坐标；若不存在，说明理由． 类型三：由三角形的面积求点的坐标 例题3：已知A（0，a），B（b，0），a、b满足a+b=4，a-b=12， （1）求a、b的值； （2）在坐标轴上找一点D，使三角形ABD的面积等于三角形OAB面积的一半，求D点坐标； （3）作∠BAO平分线与∠ABC平分线BE的反向延长线交于P点，求∠P的度数． 类型四：利用割补法求三角形面积 例题4：如图，直线l1过点A（0，3），点D（3，0），直线l2：y=x+1与x轴交于点C，两直线l1，l2相交于点B． （1）求直线l1的解析式和点B的坐标； （2）求△ABC的面积． 类型五：利用面积求函数解析式 例题5：如图所示，已知直线y=x+3的图象与x轴、y轴交于A，B两点，直线l经过原点，与线段AB交于点C，把△AOB的面积分为2：1的两部分，求直线l的解析式． 【巩固练习】 1.如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为（15，21），一次函数y=−x+15的图象与边OC、AB分别交于D、E两点，点M是线段DE上的一个动点． （1）求证：OD=BE； （2）连结OM，若三角形ODM的面积为，求点M的坐标。 2.如图，在平面直角坐标系内，四边形OABC的顶点O是坐标原点，点A在x轴正半轴上，OA=1，点B的坐标为（5，3），点C在y轴正半轴上，BC⊥y轴，垂足为点C，连接AB，点P是x轴正半轴上的一个动点，设点P的横坐标为t（t＞0）． （1）点A的坐标为 ，点C的坐标为 ； （2）连接PB，设△PAB的面积为S． ①当0＜t＜1时，求S与t之间的函数关系式； ②当S=时，直接写出t的值； （3）点Q是BC边上一点，当△PAB是等腰三角形，且点P与点Q关于AB对称时，直接写出点Q的坐标． 3.如图，在平面直角坐标系中，过点C（0，6）的直线AC与直线OA相交于点A（4，2）． （1）求直线AC的表达式； （2）求△OAC的面积； （3）动点M在线段OA和射线AC上运动，是否存在点M，使△OMC的面积是△OAC的面积的？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由． 4.已知，如图，点A坐标为（6，0），直线y=x-2交y轴于点B． （1）求直线AB的函数解析式； （2）若点C为直线y=x-2上第四象限内一点，且满足△ABC的面积为13，求点C的坐标； （3）在（2）中C点坐标的条件下，在x轴上取两点M、N，点M在点N的左侧，使得MN=2，求使得四边形BMNC周长最小时点M、N的坐标． 5.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A、C分别在坐标轴上，顶点B的坐标为（4，2）．E为AB的中点，过点D（6，0）和点E的直线分别与BC、y轴交于点F、G． （1）求直线DE的函数关系式； （2）函数y=mx-1的图象经过点F且与x轴交于点H，求出点F的坐标和m值； （3）在（2）的条件下，求出四边形OHFG的面积． 6.如图，在平面直角坐标系中，直线y=-4x与直线y=4相交于点A，点P（a，b）为直线y=4上一动点，作直线OP．当点P在运动过程中，若△AOP的面积为8，求直线OP的解析式。 7.如图，直线l1的解析式为y=x+1，且l1与x轴交于点D，直线l2经过定点A、B，直线l1与l2交于点C． （1）求直线l2的解析式； （2）求△ADC的面积； （3）在x轴上是否存在一点E，使△BCE的周长最短？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 8.平面直角坐标系中，点A、点B的坐标分别是（-4，0）、（0，2）． （1）求直线AB的解析式； （2）如图1，点P是直线AB上一点，若△AOP的面积是△AOB面积的2倍，求点P的坐标； （3）若点P满足（2）的条件，且在第一象限内，如图2．点M是y轴负半轴上一动点，连接PM，过点P作PN⊥PM，交x轴于点N．当点M运动时，（ON-OM）的值是否为定值？若是，请求出它的值；若不是，请说明理由． 参考答案 1.【分析】（1）求出点D、E的坐标，即可求解； （2）三角形ODM的面积=×DO×m=×15m=，解得m=5，即可求解。 解：（1）当x=15时，y=−x+15=-9+15=6，故点E（15，6）， 对于y=−x+15，令x=0，则y=15， 故点D（0，15）， 则DO=15，BE=21-6=15=OD； （2） 点M在直线ED上，则设点M（m，-m+15）， 三角形ODM的面积=×DO×m=×15m=， 解得m=5， 故点M的坐标为（5，12）。 2.【分析】（1）根据OA，OC对称写出坐标即可． （2）①如图1中，过点B作BD⊥x轴于D．根据三角形面积公式求解即可． ②分两种情形：0＜t＜1或t＞1，利用三角形的面积构建方程求解即可． （3）如图2中，过点B作BD⊥x轴于D．设PQ交AB于J，连接PB．由题意，△PAB是等腰三角形，P，Q关于AB对称，利用勾股定理构建方程求出PA，再证明BQ=PA，即可解决问题． 解：（1）∵OA=1， ∴A（1，0）， ∵B（5，3），BC⊥y轴， ∴C（0，3）． 故答案为（1，0），（0，3）． （2）①如图1中，过点B作BD⊥x轴于D． ∵P（t，0），A（1，0），B（5，3），0＜t＜1， ∴PA=1-t，BD=3， ∴S=•PA•BD=×（1-t）×3=-t+， ∴S=-t+（0＜t＜1）． ②当0＜t＜1时，=-t+， 解得t=， 当t＞1时，=t-， 解得t=． 综上所述，满足条件的t的值为或． 3.解：（1）设直线AC的解析式是y=kx+b， 根据题意得：，解得： 则直线AC的解析式是：y=-x+6； （2）∵C（0，6），A（4，2）， ∴OC=6， ∴S△OAC=×6×4=12； （3）设OA的解析式是y=mx，则4m=2， 解得：m=． 则直线的解析式是：y=x， ∵当△OMC的面积是△OAC的面积的时， ∴M到y轴的距离是×4=1， ∴点M的横坐标为1或-1； 当M的横坐标是：1， 在y=x中，当x=1时，y=，则M的坐标是（1，）； 在y=-x+6中，x=1则y=5，则M的坐标是（1，5）． 则M的坐标是：M1（1，）或M2（1，5）． 当M的横坐标是：-1，在y=-x+6中，当x=-1时，y=7，则M的坐标是（-1，7）． 综上所述：M的坐标是：M1（1，）或M2（1，5）或M3（-1，7）． 4.【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）△ABC的面积=S四边形OBCA-S△AOB=×OB×xC+AO×|yC|-×AO×OB=13，即可求解； （3）作点C关于x轴的对称点C′（4，5），将点C′向左平移2个单位得到点C″（2，5），连接BC″交x轴于点M，将点M向右平移2个单位得到点N，则点M、N为所求点，此时四边形BMNC周长最小，即可求解． 解：（1）对于y=x-2，令x=0，则y=-2，故点B（0，-2）， 设直线AB的表达式为y=kx+b，则，解得： 故直线AB的表达式为y=x-2； （2）连接AC， 则△ABC的面积=S四边形OBCA-S△AOB=×OB×xC+AO×|yC|-×AO×OB=13， 即×2×xC+×6×（-yC）-×2×6=13， 即-3yC+xC=19①， 而yC=-34xC-2②， 联立①②并解得：，即点C（4，-5）； （3）作点C关于x轴的对称点C′（4，5），将点C′向左平移2个单位得到点C″（2，5），连接BC″交x轴于点M，将点M向右平移2个单位得到点N，则点M、N为所求点，此时四边形BMNC周长最小， 理由：∵MN∥C″C′且MN=C″C′， 故四边形MNC′C″为平行四边形， 故C′N=C″M=CN， 则四边形BMNC周长=MN+BM+BC+CN=MN+BM+BC+C′N=MN+BM+BC+C″M=CB+MN+BC″为最小， 由点B、C″的坐标得，直线BC″的表达式为y=x-2， 令y=0，即y=x-2=0， 解得x=， 故点M、N的坐标分别为（，0）、（，0）． 5.【分析】（1）由顶点B的坐标为（4，2），E为AB的中点，可求得点E的坐标，又由过点D（6，0），利用待定系数法即可求得直线DE的函数关系式； （2）由（1）可求得点F的坐标，又由函数y=mx-1的图象经过点F，利用待定系数法即可求得m值； （3）四边形OHFG的面积=S△GKF-S△OHK=×4×2-×1×=． 解：（1）设直线DE的解析式为：y=kx+b， ∵顶点B的坐标为（4，2），E为AB的中点， ∴点E的坐标为：（4，1）， ∵D（6，0）， 则，解得： ∴直线DE的函数关系式为：y=x+3； （2）∵点F的纵坐标为2，且点F在直线DE上， ∴x+3=2， 解得：x=2， ∴点F的坐标为（2，2）； ∵函数y=mx-1的图象经过点F， ∴2m-1=2， 解得：m=； （3）如图：设直线FH交y轴于点K， 对于y=x-1， 当y=0时，x-1=0，解得x=， 即H（，0）， 令x=0，则y=-1，则点K（0，-1）； 同理可得，点G（0，3），则KG=4， 四边形OHFG的面积=S△GKF-S△OHK=×4×2-×1×=． 6.解：∵直线y=-4x与直线y=4相交于点A，则点A（-1，4）， 设点P的坐标为（a，4）， 则△AOP的面积=AP×yA=×4×|a+1|， 解得a=3或-5， 故点P的坐标为（3，4）或（-5，4）， 由点O、P的坐标得：直线OP的表达式为y=x或y=-45x； 7.【分析】（1）利用待定系数法即可直接求得l2的函数解析式； （2）首先解两条之间的解析式组成的方程组求得C的坐标，然后利用三角形的面积公式即可求解； （3）求得C关于y轴的对称点，然后求得经过这个点和B点的直线解析式，直线与x轴的交点就是E． 解：（1）设l2的解析式是y=kx+b， 根据题意得：，解得： 则函数的解析式是：y=-x+4； （2）在y=x+1中令y=0，即y=x+1=0， 解得：x=-2， 则D的坐标是（-2，0）． 解方程组，解得： 则C的坐标是（2，2）． 则S△ADC=×AD×yC=×6×2=6； （3）存在，理由：设C（2，2）关于x轴的对称点C′（2，-2）， 连接BC′交x轴于点E，则点E为所求点， △BCE的周长=BC+BE+CE=BC+BE+C′E=BC+BC′为最小， 设经过（2，-2）和B的函数解析式是y=mx+n， 则，解得： 则直线的解析式是y=x+， 令y=0，则y=x+=0， 解得：x=． 则E的坐标是（，0）． 8.【分析】（1）利用待定系数法可求解析式； （2）设点P（a，a+2），由三角形的面积公式可求解； （3）过点P作PE⊥y轴于E，PF⊥x轴于F，由“AAS”可证△MPE≌△NPF，可得EM=FN，即可求解． 解：（1）设直线AB解析式为：y=kx+b， 由题意可得：，解得： ∴直线AB解析式为：y=x+2； （2）设点P（a，a+2）， ∵△AOP的面积是△AOB面积的2倍， ∴2××4×2=××4×|a+2|， ∴a=-12或4， ∴点P（4，4）或（-12，-4）； （3）（ON-OM）的值为定值，理由如下：如图，过点P作PE⊥y轴于E，PF⊥x轴于F， ∵点P（4，4）， ∴PE=PF， ∵PE⊥y轴，PF⊥x轴，∠EOF=90°， ∴四边形EOFP是矩形， ∴四边形EOFP是正方形， ∴EO=OF=PE=PF=4，∠EPF=90°=∠MPN， ∴∠EPM=∠FPN， 又∵PE=PF，∠PEM=∠NPF， ∴△MPE≌△NPF（AAS）， ∴EM=FN， ∴ON-OM=OF+FN-（EM-EO）=FO+EO=8， ∴（ON-OM）的值为定值． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$