第19章 一次函数 专题3 一一次函数与面积问题 训练 2024—2025学年人教版数学八年级下册

专题３   一次函数与面积问题

一、解决一次函数中面积问题必备知识点

1.坐标系中处理面积问题，要寻找并利用横平竖直的线，

通常有以下四种思路：

①公式法（规则图形）；

规则图形指的是一般已知三角形的底和高，常见的为三角形有一边在坐标轴（x轴或y轴）上，或者有一边平行于坐标轴，那么我们可以选择坐标轴上（或平行于坐标轴）的线段为底，找到与该边对应的高。

           

     （图1）                          （图2）

如图1，线段AB在x轴上，那么选择AB为△ABC的底，点C纵坐标的绝对值为△ABC的高，那么△ABC的面积可表示为：S△ABC=；

如图2，线段AB在y轴上，那么选择AB为△ABC的底，点C横坐标的绝对值为△ABC的高，那么△ABC的面积可表示为：S△ABC=.

②割补法（分割求和、补形作差）；

若三角形的三边在象限内，没有哪条边与坐标轴平行，那么我们可以选择割补法，将其补全为矩形（长方形）或梯形，然后减去小三角形的面积进行求解；或者将之分割为两个小三角形（或其它熟悉的平面图形）进行计算，具体题目选择具体的割补方法。

③转化法（例：同底等高）．

如图，满足S△ABP=S△ABC的点P都在直线l1，l2上．

④铅锤法（本质上仍然是割补法）

              

2.点到坐标轴的距离

点P（x，y）到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|

3.坐标轴上线段长度公式

点A（x1，0），点B（x2，0），X轴上两点之间的距离公式：AB=|x1-x2|（右边点的横坐标减去左边点的横坐标）；

点P（0，y1），点A（0，y2），y轴上两点之间的距离公式：PQ=|y1-y2|（上面点的纵坐标减去下面点的纵坐标）。

4.平行于x轴或y轴的线段的长度的表示

当两个点的连线平行于x轴时，纵坐标相等，两点间的距离是横坐标差（右边点的横坐标—左边点的横坐标），如果不知道哪个点在右边，那么是两个点横坐标差的绝对值。即若点A坐标为（x1，y），点B坐标为（x2，y），那么AB之间的距离为：| x1-x2|。例：A（-1，3），B（4，3）（点B在点A的右边），AB的长度=4-（-1）=5

当两个点的连线平行于y轴时，横坐标相等，两点间的距离是纵坐标差（上面点的纵坐标—下面点的横坐标），如果不知道哪个点在上边，那么是两个点纵坐标差的绝对值。即若点P坐标为（x，y1），点Q坐标为（x，y2），那么PQ之间的距离为：| y1-y2|。例：P（1，3）Q（1，10）（点Q在点P的上面），PQ的长度=10-3=7.

5.平面图形的面积公式

三角形的面积：

矩形（长方形）的面积：

正方形的面积：

梯形的面积：

平行四边形的面积：

6.直线与坐标轴的交点坐标

一次函数y=kx+b（k≠0）与x轴的交点坐标：令y=0，即kx+b=0，解得：，坐标为：

一次函数y=kx+b（k≠0）与y轴的交点坐标：令x=0，则y=b，坐标为：

7.解题一般步骤：

（1）确定交点坐标（可用参数表示）；

（2）求出有关线段的长度；

（3）将有关图形的面积化归为与坐标轴有联系的几个基本图形的和差倍分，然后根据题目特点利用图象与面积间的关系综合求解。

【典型例题】

类型一：一次函数与两坐标轴所围成三角形面积

例题1：如图，长方形OABC中，O为直角坐标系的原点，A、C两点的坐标分别为（2，0）、（0，4）．

（1）直接写出B点坐标；

（2）若过点C的直线CD交AB边于点D，且把长方形OABC的面积分为1：3两部分，求直线CD的解析式及直线CD与坐标轴所围成的三角形的面积；

（3）若P点是y轴上一点，且△PAC为等腰三角形，请直接写出所有P点的坐标．

 

 

 

 

 

类型二：两直线与两坐标轴所围成三角形面积

例题2：如图，一次函数y=kx+b的图象与直线y＝x交于点A（4，3），与y轴交于点B，且OA=OB．

（1）求一次函数的表达式；

（2）求两直线与y轴围成的三角形的面积．

（3）在x轴上是否存在点C，使△AOC是以OA为腰的等腰三角形？若存在，直接写出C的坐标；若不存在，说明理由．

 

 

 

 

 

 

类型三：由三角形的面积求点的坐标

例题3：已知A（0，a），B（b，0），a、b满足a+b=4，a-b=12，

（1）求a、b的值；

（2）在坐标轴上找一点D，使三角形ABD的面积等于三角形OAB面积的一半，求D点坐标；

（3）作∠BAO平分线与∠ABC平分线BE的反向延长线交于P点，求∠P的度数．