第24章 圆 数学活动：探究四点共圆的条件 （课件）-2025—2026学年人教版九年级数学上册

数学（人教版） 九年级 上册 数学活动：探究四点共圆的条件 第二十四章 圆 过一个点的圆不确定 过两个点的圆不确定 1.过平面内任意一点能确定一个圆吗？两个点呢、三个点呢？ 情境引入 过不在同一直线上的三个点可以确定一个圆 4.我们已对上述三种情况有了深刻的认识，那么请问过平面内四个点能确定一个圆吗？ 情境引入 探究：过三点作圆可以看成是过三角形的顶点作圆，那过同一平面内任意三点不共线的四点作圆同样可以看作是过四边形的顶点作圆，那同学们会作吗？ 合作探究 思考：下列图形的四个顶点能否作一个圆？ 合作探究 画一画： 00 问题：四个顶点能作一个圆的四边形有什么特征？ 猜想：对角互补的四边形的四个顶点共圆 没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现---牛顿 已知：在四边形 ABCD 中，∠B+∠D=180°． 求证：过点 A、B、C、D 可作一个圆． 猜想：过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆． 分析：假设过 A、B、C、D 四点不能作一个圆，过 A、B、C 三点作圆，则点 D 要么在圆外，要么在圆内． 合作探究 已知：在四边形 ABCD 中，∠B+∠D=180°． 求证：过点 A、B、C、D 可作一个圆． 证明：假设过A、B、C、D四点不能作一个圆．过A、B、C 三点作圆，若点 D在圆内． 　 延长AD与圆交于点E，连接 CE，则∠B+∠AEC =180°． 　 ∵∠B+∠ADC =180°， ∴∠AEC=∠ADC． ∵∠ADC=∠AEC+∠DCE ， 这与∠AEC=∠ADC矛盾，故假设不成立． 因此点D不在过点A、B、C 三点的圆内． 合作探究 证明：假设过 A、B、C、D 四点不能作一个圆．过A、B、C 三点作圆，若点 D 在圆外． 　　设AD与圆交于点E，连接 CE，则∠B+∠AEC =180°． 已知：在四边形 ABCD 中，∠B+∠D=180°． 求证：过点 A、B、C、D 可作一个圆． 　 ∵∠B +∠D=180°， ∴∠AEC=∠D． ∵∠AEC=∠D+∠DCE ， 这与∠AEC=∠D矛盾，故假设不成立． 因此点D不在过点A、B、C 三点的圆外． 合作探究 已知：在四边形 ABCD 中，∠B+∠D=180°． 求证：过点 A、B、C、D 可作一个圆． 证明：综上所述，点D不在过点A、B、C三点的圆外，也不在过点 A、B、C 三点的圆内． 所以点D在过点 A、B、C 三点的圆上，即过点 A、B、C、D 可作一个圆． 合作探究 结 论：过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆. 对角互补的四边形的四个顶点共圆. 1.如图，∠DCE是四边形ABCD的一个外角，如果∠DCE=∠A,那么同时过点 A、B、C、D （填“能”或“不能”）作一个圆． 2.如图，经过四边形ABCD的四个顶点可以作一个圆若∠A=115°，则∠C的度数为 ． 3.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°, ∠CAD=26°, 则∠ABD的度数为 ． （第2题） （第1题） 能 65° 64° （第3题） 达标检测 4.已知：如图，四边形AOBC，∠AOB＝∠ACB＝90°， AC＝BC.求证：OC平分∠AOB. 延伸拓展 ？ M 猜想：固定线段同侧所对的角相等，则四点共圆 挑战自我 三角形的三条高线交于一点． 已知：如图，△ABC的两条高BD，CE交于点H，连接AH并延长 交BC于F． 求证：AF⊥BC． 进而得到三角形的 三条高线交于一点. 1，怎样的四点才会共圆？ 课堂总结 2，本节课体现了哪些数学思想 探索真理比占有真理更为可贵---爱因斯坦 2，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边的中点，F是AD边上 一动点，将△EAF沿EF所在的直线折叠得△EA'F，连接 DA'， 求 DA'长度的最小值． 课后作业： 1、整理笔记（收集在试卷夹中） $$