精品解析：四川省凉山州2024-2025学年高二下学期期末统一检测数学试题

凉山州2024-2025学年度下期期末统一检测高二年级试题 数学 全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确. 2.选择题使用2B铅笔涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效. 3.考试结束后，将答题卡收回. 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、单项选择题（共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题的选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 设集合，，若集合中有且仅有2个元素，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 设，则（ ） A. B. i C. 1 D. 4. 在的展开式中，的系数为（ ） A. 30 B. 15 C. D. 5. 已知数列的前项和为，，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 若直线被圆C截得的弦长为，则（　　） A. ±2 B. C. 2 D. 2 7. 已知函数（，）的图象关于原点对称，且与直线的所有交点中，最近的两点间的距离为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则使不等式成立的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求.） 9. 下列命题正确的是（ ） A. ，，是一组样本数据，去掉其中的一个最大数和一个最小数后，剩下的数的中位数不一定等于原样本的中位数 B. 若事件，相互独立，且，，则事件，不互斥 C. 若随机变量，，则 D. 若随机变量的方差，期望，则随机变量的期望 10. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A. B. 有两个极值点分别为或 C. 当时， D. 若，则解集为 11. 双曲线（，）的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，以为直径的圆与曲线的一条渐近线交于、两点，且，则下列说法一定正确的是（ ） A. 的离心率为 B. C. D. 当时，四边形的面积为 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、解答题（共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，，若，则实数__________. 13. 已知正实数，，满足，则的最小值为__________. 14. 已知抛物线的焦点为，过点斜率为的直线与交于，两点，过的中点作轴的垂线交于点，则__________. 四、解答题（共5个大题，共77分，解答过程写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数． （1）求在点处的切线方程； （2）求，的极值． 16. 如图，在圆锥中，为底面圆的内接四边形，对角线过圆心，圆锥母线长为，，. （1）若，平面与平面的交线为，证明：； （2）若，求平面与平面所成角的正弦值. 17. 已知锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为且． （1）求角B的大小； （2）求周长的最大值． 18. 某学校食堂每天中午提供，两种套餐，同学小李第一天午餐时随机选择一种套餐，如果前一天选择套餐，那么第二天选择套餐的概率为；如果前一天选择套餐，那么第二天选择套餐的概率为. （1）该食堂对套餐的菜品种类与品质等方面进行了改善后，调查了学生对套餐的满意程度情况，统计了100名学生的数据，如下表（单位：人） 套餐满意度情况 套餐改善前 套餐改善后 合计 满意 35 40 75 不满意 15 10 25 合计 50 50 100 根据小概率值的独立性检验，能否认为学生对套餐的满意程度与套餐的改善有关? （2）若套餐拟提供2种品类的素菜，（，）种品类的荤菜，同学小李从这些菜品中随机选择4种菜品，记选择素菜的种数为，求的最大值，并求此时的值. （3）设同学小李第天选择套餐的概率为，求. 参考数据：，其中 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 19. 设焦点在轴上的椭圆，，是的右顶点. （1）若离心率，求椭圆的标准方程； （2）在（1）的条件下，椭圆上存在一点，满足，求； （3）若的中垂线的斜率为2，与交于、两点，是否存在这样的椭圆，使得，若存在求的取值，若不存在请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 凉山州2024-2025学年度下期期末统一检测高二年级试题 数学 全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确. 2.选择题使用2B铅笔涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效. 3.考试结束后，将答题卡收回. 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、单项选择题（共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题的选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 设集合，，若集合中有且仅有2个元素，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得所满足的条件，即可求解. 【详解】因为，，集合中有且仅有2个元素， 则，所以实数的取值范围为. 故选：C. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用同角三角函数商的关系得，利用二倍角的正弦公式化简得，代入即可求解. 【详解】由有，所以， 故选：B. 3. 设，则（ ） A. B. i C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算化简，再根据共轭复数的定义求出 【详解】，所以， 故选：A. 4. 在的展开式中，的系数为（ ） A. 30 B. 15 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得展开式的通项公式为，求解即可. 【详解】因为二项式的展开式的通项公式为， 令，解得，所以， 所以的系数为. 故选：B. 5. 已知数列的前项和为，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据数列递推公式，前项和与通项公式之间的关系，求出数列通项公式，进而求出前项和公式，逐一判断各选项正误； 【详解】已知，则，所以A错误； 由，可得， 可得，即， 当时，，即数列自第二项开始是以1为首项，2为公比的等比数列，即，所以B错误； ，所以C正确， 当时，，符合条件， 当时，，所以D正确； 故选：CD. 6. 若直线被圆C截得的弦长为，则（　　） A. ±2 B. C. 2 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由直线和圆相交时的弦长公式求解即可. 【详解】由题意可得圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 又因为截得的弦长为， 所以， 化简得，解得. 故选：A. 7. 已知函数（，）的图象关于原点对称，且与直线的所有交点中，最近的两点间的距离为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据辅助角公式，化简函数解析式，根据函数图形的性质，求出具体解析式，逐一判断各选项正误. 【详解】已知， 函数图象关于原点对称，则，解得， 因为，所以，可得， 当时，，则， 则或， 结合最近的两点间的距离为，即得，此时应满足， 解得，所以， 故函数最小正周期为，所以，所以A错误； ，所以，所以B错误； ，所以C错误； ，所以，所以D正确； 故选：D. 8. 已知函数，则使不等式成立的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可判断函数为偶函数，再利用导数可确定在上单调递增，进而可解不等式. 【详解】由，解得或，定义域为，关于原点对称， 又， 所以函数为偶函数， 当时，，求导得， 令，求导得，所以， 又，所以， 所以在上单调递增， 由，得， 所以，解得，解得， 解得或. 所以使不等式成立的的取值范围是. 二、多项选择题（共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求.） 9. 下列命题正确的是（ ） A. ，，是一组样本数据，去掉其中的一个最大数和一个最小数后，剩下的数的中位数不一定等于原样本的中位数 B. 若事件，相互独立，且，，则事件，不互斥 C. 若随机变量，，则 D. 若随机变量的方差，期望，则随机变量的期望 【答案】BC 【解析】 【分析】根据中位数的定义，独立事件的乘法公式，正态分布的性质，和期望与方差的关系，逐一判断各选项正误. 【详解】当一组数据去掉其中的一个最大数和一个最小数后，没有改变数据顺序，所以中位数不变，所以A错误； 根据独立事件概率乘法公式可知，因为，， 所以，所以不互斥，所以B正确； 由题意得，正态分布对称轴为，，所以随机变量更加集中，所以，所以C正确； 根据期望与方差的关系可知，代入得，所以D错误； 故选：BC. 10. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A. B. 有两个极值点分别为或 C. 当时， D. 若，则解集为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用函数是奇函数可求得判断A；求得的极值点，利用奇函数的性质可判断B；利用奇函数的性质可求得的解析式判断C，利用时，可判断D. 【详解】对于A，因为是奇函数，所以，令， 可得，解得，故A正确； 对于B，当时，由，可得， 令，可得，解得或（舍去）， 当时，，当时，，所以是极大值点， 由奇函数的结称性可得是函数的极小点， 故函有两个极值点分别为或，故B错误； 对于C，当时，则，由，可得， 所以，故C正确； 对于D，由C可知， 当时，由， 当时，，所以，所以满足成立，故D错误. 故选：AC. 11. 双曲线（，）的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，以为直径的圆与曲线的一条渐近线交于、两点，且，则下列说法一定正确的是（ ） A. 的离心率为 B. C. D. 当时，四边形的面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据双曲线的渐近线的概念，圆和直线的位置关系，以及焦点三角形的性质，逐一判断各选项正误. 【详解】双曲线，则，，，，渐近线方程为，以为直径的圆方程为； 联立方程组得，解得，不妨设， 则，由，得， 解得，则，离心率，所以A正确； 可知，则，所以，所以B正确； 由，则，，，， 当位置互换时，，不符合条件，所以C错误； 由，则，所以， 已知，， 所以，所以D正确； 故选：ABD. 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、解答题（共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，，若，则实数__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的垂直的坐标公式求解即可. 【详解】因为， 所以. 因为，所以， 解得. 故答案为：. 13. 已知正实数，，满足，则的最小值为__________. 【答案】3 【解析】 【分析】由，再利用基本不等式求最值即可. 【详解】， 又，为正实数，所以， 则，当时取等， 所以的最小值为3. 故答案为： 14. 已知抛物线的焦点为，过点斜率为的直线与交于，两点，过的中点作轴的垂线交于点，则__________. 【答案】##0.25 【解析】 【分析】由题意可得直线的方程为，与抛物线方程联立方程组，求得的坐标，进而求得中点的坐标，进而可得的坐标，计算可求值. 【详解】由抛物线，可得焦点坐标为，直线的方程为， 由，可得，整理得， 解得或，当时，，当时，， 所以，，所以， 又中点，所以，所以， 所以. 故答案为：. 四、解答题（共5个大题，共77分，解答过程写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数． （1）求在点处的切线方程； （2）求，的极值． 【答案】（1） （2）时无极值 时极小值为，无极大值 【解析】 【分析】（1）利用导函数求得斜率，利用原函数求得切点坐标，代入点斜式即可得切线方程； （2）对的取值分类讨论，利用导函数研究函数的单调性，结合函数的单调性可得函数的极值点，再代入原函数即可得极值． 【小问1详解】 （1），， 则 ，， 所以在点处的切线方程为：， 即： ． 【小问2详解】 （2）由题意知的定义域为， 则， ①当时， 在上恒成立，在上单调递减，所以在上无极值； ②当时，令 ，则，令 ，则， 所以当时，单调递增，当时，单调递减， 所以在时，取得极小值 ，无极大值； 综上所述：当时，在上无极值， 当时，在上有极小值 ，无极大值． 16. 如图，在圆锥中，为底面圆的内接四边形，对角线过圆心，圆锥母线长为，，. （1）若，平面与平面的交线为，证明：； （2）若，求平面与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明，平面，平面， 平面， 平面平面，平面， . （2） 【解析】 【分析】（1）先证明线面平行，即平面，然后根据其性质即可得到. （2）方法一：采用向量法，先建立空间直角坐标系用向量的 形式将平面的法向量的坐标表示出来，然后利用向量夹角的余弦值公式求出两平面夹角的正弦值；方法二：采用几何法，作辅助线确定平面与平面所成的角，然后根据线角关系求出其正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意知，，， ，，，， 方法一：向量法 为矩形，因此可建立如图所示空间直角坐标系，过点平行于竖直向上为轴， ，，，，， ，，，， 设平面的法向量为，平面的法向量为. 则，所以，令，， ，所以，令，可得， ， 平面与平面所成角的正弦值为. 方法二：几何法： 过点分别向、引垂线，垂足分别为、，连接， 由（1）知，所以，， 为平面与平面所成角的平面角， ，， 根据余弦定理得：， 平面与平面所成角的正弦值为. 【点睛】 17. 已知锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为且． （1）求角B的大小； （2）求周长的最大值． 【答案】（1）； （2）3 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互换，将边长对应换成正弦，再根据两角和与差打开化简合并即可. （2）根据余弦定理可得出关系式，再根据基本不等式即可求解最值. 【小问1详解】 由及， 得， 根据正弦定理得． 因为，且为锐角三角形． 所以， 即， 即， 因为△ABC为锐角三角形，所以． 因此， 又，故； 【小问2详解】 由余弦定理知：， 即， 当且仅当时等号成立，此时△ABC为等边三角形，符合题意； 所以． 因此周长为， 即周长最大值为3． 18. 某学校食堂每天中午提供，两种套餐，同学小李第一天午餐时随机选择一种套餐，如果前一天选择套餐，那么第二天选择套餐的概率为；如果前一天选择套餐，那么第二天选择套餐的概率为. （1）该食堂对套餐的菜品种类与品质等方面进行了改善后，调查了学生对套餐的满意程度情况，统计了100名学生的数据，如下表（单位：人） 套餐满意度情况 套餐改善前 套餐改善后 合计 满意 35 40 75 不满意 15 10 25 合计 50 50 100 根据小概率值的独立性检验，能否认为学生对套餐的满意程度与套餐的改善有关? （2）若套餐拟提供2种品类的素菜，（，）种品类的荤菜，同学小李从这些菜品中随机选择4种菜品，记选择素菜的种数为，求的最大值，并求此时的值. （3）设同学小李第天选择套餐的概率为，求. 参考数据：，其中 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）学生对套餐的满意程度与套餐的优化无关 （2）当时，有最大值 （3） 【解析】 【分析】（1）利用独立性检验思想可求解. （2）根据超几何分布公式可得，利用二次函数的配方法可求最大值及此时的的值. （3）同学小李第天选择套餐的概率为，则第天选择套餐的概率为，，由此可得，求解即可. 【小问1详解】 零假设：学生对套餐的满意程度与套餐的优化相互独立. 没有充分理由证明不成立，即学生对套餐的满意程度与套餐的优化无关. 【小问2详解】 由题意知：小李同学选择荤菜种数的概率为： 由于，所以在处取得最大值. 【小问3详解】 同学小李第天选择套餐的概率为，则第天选择套餐的概率为，， ， 当时，，所以是以为首项，为公比的等比数列， 因此. 19. 设焦点在轴上的椭圆，，是的右顶点. （1）若离心率，求椭圆的标准方程； （2）在（1）的条件下，椭圆上存在一点，满足，求； （3）若的中垂线的斜率为2，与交于、两点，是否存在这样的椭圆，使得，若存在求的取值，若不存在请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）由离心率求出即可. （2）由（1）求出点，表示出点的坐标，再代入椭圆方程得解. （3）根据给定条件求出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理，结合向量垂直的坐标表示求解. 【小问1详解】 依题意，在椭圆中，， 由离心率，得，解得， 所以椭圆标准方程为：. 【小问2详解】 由（1）知，，设，由，得， 解得，由点在椭圆上，得，解得， 所以. 【小问3详解】 由线段的中垂线的斜率为2，得直线的斜率为，由，得， 直线过线段的中点，直线的方程为，即， 显然直线过椭圆内点，则直线与椭圆恒有两不同交点，设， 由消得， ，，由，得， 而，则有， 即， 即，解得， 所以存在这样的椭圆，使得，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $