1.2 集合间的基本关系 课堂实录-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

课堂实录 课题 1.2 集合间的基本关系 课时 1 教学目标 理解集合间包含、相等含义，能精准识别子集，掌握真子集概念。 从生活实例中抽象出集合关系，提升数学抽象素养，借分析、推理集合关系，增强逻辑思维能力。 感受集合关系在生活与数学中的广泛应用，激发学习热情，培养严谨治学态度。 重难点 重点：明晰集合间包含、相等关系，熟练掌握子集、真子集概念及 Venn 图表示。 难点：区分元素与集合、集合与集合的关系，理解空集性质及在集合关系中的应用。 教学环节 学习活动 一、课程导入 同学们，我们先来回顾一下之前学过的知识。大家还记得集合有哪两种表示方法吗？对，是列举法和描述法。那元素与集合又有哪几种关系呢？没错，是属于（∈）和不属于（∉）。那现在老师要提出一个新问题了，集合与集合之间又存在哪些关系呢？这就是我们今天要一起探究的内容 —— 集合间的基本关系。 二、新知识探究 我们知道，实数有相等、大小关系，比如 5 = 5，5 <7，5> 3 等等。那类比实数之间的关系，大家想一想集合之间会有什么关系呢？ 现在我们来看几个例子。 （1）设集合 A = {1，2，3}，集合 B = {1，2，3，4，5} ，大家观察一下这两个集合，能发现什么呢？对，集合 A 中的每一个元素，1、2、3，是不是都在集合 B 中呀。也就是说集合 A 中的任意一个元素都是集合 B 中的元素。 （2）设集合 A 为国兴中学高一（3）班男生的全体组成的集合，集合 B 为这个班学生的全体组成的集合。很明显，高一（3）班的男生肯定都是这个班学生的一部分，所以集合 A 中的任意一个元素也都是集合 B 中的元素。 （3）设集合 A = {x | x 是两条边相等的三角形} ，集合 B = {x | x 是等腰三角形} 。因为两条边相等的三角形就是等腰三角形呀，所以集合 A 中的元素也都在集合 B 中，即集合 A 中的任意一个元素都是集合 B 中的元素。 （4）设集合 A = {4，6，8} ，集合 B = {8，4，6} 。大家看，这两个集合的元素是不是完全一样呀，所以集合 A 中的任意一个元素肯定是集合 B 中的元素，反过来，集合 B 中的任意一个元素也都是集合 A 中的元素。 通过这些例子，我们可以归纳出这样的结论：一般地，对于两个集合 A，B，如果集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合 A 为 B 的子集。记作：A⊆B（或 B⊇A），读作：A 含于 B（或 B 包含 A）。为了直观地表示集合间的关系，我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为 Venn 图。比如，我们刚刚说的集合 A = {1，2，3} 是集合 B = {1，2，3，4，5} 的子集，用 Venn 图表示就可以这样画（在黑板上画出两个有包含关系的封闭图形，里面分别写上集合 A 和集合 B 的元素）。 那同学们想一想，与实数中的结论 “若 a ≥ b，且 b ≥ a，则 a = b” 相类比，在集合中，我们能得出什么结论呢？对啦，如果集合 A 是集合 B 的子集（A⊆B），且集合 B 是集合 A 的子集（B⊇A），那么集合 A 与集合 B 相等，记作 A = B。就像我们刚刚举的例子，集合 A = {4，6，8} ，集合 B = {8，4，6} ，A⊆B 且 B⊇A，所以 A = B。 接下来，我们再看集合 A = {1，2，3} ，集合 B = {1，2，3，4，5} ，虽然集合 A 是集合 B 的子集，但是集合 B 中有一些元素，像 4 和 5，是不在集合 A 中的。像这种情况，若集合 A 是集合 B 的子集，但存在元素 x ∈ B，且 x ∉ A，我们就称集合 A 是集合 B 的真子集，记作 A⫋B（或 B⫌A）。 同学们，我们再思考一个特殊的情况。我们把不含任何元素的集合称为空集，记作∅。比如说，方程 x² + 1 = 0 在实数范围内的解组成的集合，因为这个方程在实数范围内无解，所以它就是一个空集。我们规定空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。大家能理解吗？比如说集合 A = {1，2，3} ，空集就是集合 A 的子集，而且因为集合 A 不是空集，所以空集还是集合 A 的真子集。 三、深入理解与辨析 我们来仔细辨析一下这些概念。首先是子集和真子集，集合 A 是集合 B 的子集，包含了两种情况，一种是集合 A 和集合 B 相等，另一种就是集合 A 是集合 B 的真子集。比如说集合 A = {1，2，3} ，集合 B = {1，2，3} ，这时候 A 是 B 的子集，但不是真子集，因为它们相等；而集合 A = {1，2，3} ，集合 B = {1，2，3，4，5} ，A 就是 B 的真子集。 然后我们再看看包含关系（A⊆B）与属于关系（a ∈ A）的区别。包含关系刻画的是集合与集合之间的关系，比如说集合 A = {1，2} 是集合 B = {1，2，3} 的子集，我们用 A⊆B 来表示这种关系；而属于关系刻画的是元素与集合之间的关系，比如说 1 是集合 A = {1，2} 中的元素，我们就说 1 ∈ A。大家一定要分清楚这两种关系哦，可别混淆了。 还有，任何一个集合都是它本身的子集，即 A⊆A。这很好理解，集合 A 中的元素肯定都在集合 A 自己里面呀。 四、课本例题讲解 例 ：写出集合 {0，1，2} 的所有子集，并指出哪些是它的真子集。 我们按照子集元素个数从少到多来写。首先是空集∅，它是任何集合的子集。然后是元素个数为 1 的子集，有 {0}，{1}，{2} 。接着是元素个数为 2 的子集，有 {0，1}，{0，2}，{1，2} 。最后是元素个数为 3 的子集，就是集合本身 {0，1，2} 。所以集合 {0，1，2} 的所有子集为∅，{0}，{1}，{2}，{0，1}，{0，2}，{1，2}，{0，1，2} 。 那真子集呢？真子集是除了集合本身以外的子集，所以集合 {0，1，2} 的真子集为∅，{0}，{1}，{2}，{0，1}，{0，2}，{1，2} 。 五、总结归纳 同学们，我们来回顾一下今天所学的知识。今天我们学习了集合间的基本关系，有子集，如果集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的元素，就称集合 A 为 B 的子集，记作 A⊆B；集合相等，如果集合 A 是集合 B 的子集且集合 B 是集合 A 的子集，那么集合 A 与集合 B 相等，记作 A = B；真子集，若集合 A 是集合 B 的子集，但存在元素 x ∈ B 且 x ∉ A，就称集合 A 是集合 B 的真子集，记作 A⫋B；还有空集，不含任何元素的集合称为空集，记作∅，空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。大家一定要理解并记住这些概念，以及它们之间的区别和联系。 六、课后作业布置 课本习题 1.2 的第 1、2、3 题，通过这些题目来巩固今天所学的集合间基本关系的知识。大家要认真完成哦，下节课我们会一起对答案并进行讲解。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$