精品解析：贵州省黔西南布依族苗族自治州2024-2025学年高一下学期7月期末学业质量监测数学试题

黔西南州2024~2025学年度第二学期期末学业质量监测 高一数学 （本试题共4页，共四大部分，满分150分，考试时间为120分钟） 考生注意： 1.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由交集概念即可得解. 【详解】已知集合，，则. 故选：A. 2. 复数的共轭复数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由共轭复数的概念可得结果. 【详解】的共轭复数. 故选：C. 3. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 4 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据共线向量的坐标表示方法，列出方程，即可求解. 【详解】由向量，因为， 可得，解得. 故选：C. 4. 已知，若，则的最小值是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据基本不等式求解即可. 【详解】解：因为，， 所以基本不等式得，当且仅当时等号成立. 所以的最小值是 故选：D 5. 已知棱台的上、下底面面积分别是1，4，高为3，则该棱台的体积是（ ） A. 3 B. 7 C. 9 D. 21 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合棱台的体积公式，准确计算，即可求解. 【详解】由棱台的体积公式，可得. 故选：B. 6. 已知，且是第一象限角，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得，结合诱导公式逐一验算各个选项即可求解. 【详解】已知，且是第一象限角，则， 对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：D. 7. 在一家高科技公司，研发团队设计了一个高度机密的保险箱密码.为了防止密码被泄露，公司决定让两名顶级安全专家甲和乙分别独立破译密码.甲专家擅长某种加密算法，其独立破译密码的概率为，乙专家有更先进的解密工具，其独立破译密码的概率为，则两人中恰有一人破译密码的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】若两人中恰有一人破译密码，有两种情况：甲成功乙失败、甲失败乙成功，再结合独立事件的概率乘法公式可求得所求事件的概率. 【详解】若两人中恰有一人破译密码，有两种情况：甲成功乙失败、甲失败乙成功， 故所求概率为. 故选：B. 8. 已知函数则有（ ） A B. 的值域为 C. 在上单调递增 D. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的解析式计算得出的值，可判断A选项；求出函数的值域，可判断B选项；利用特殊值法可判断C选项；数形结合可判断D选项. 【详解】对于A选项，，故，A错； 对于B选项，当时，；当时，. 因此，函数的值域为，B错； 对于C选项，因为，，则， 故函数在不是增函数，C错； 对于D选项，如下图所示： 当时，直线与函数的图象有两个交点， 此时关于的方程有两个不相等的实数根， 故实数的取值范围是，D对. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 兴义市某中学高一年级进行年度表彰活动，对申报表彰的同学进行“德智体美劳”等方面进行考核，有五位同学因表现优异分别获得了各类别的“优秀之星”称号.具体获奖次数列举如下：、、、、，则下列说法中正确的是（ ） A. 这组数据的极差为 B. 这组数据的方差为 C. 这组数据的众数等于平均数 D. 这组数据的中位数是 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用极差的定义可判断A选项；利用方差公式可判断B选项；利用众数的定义以及平均数公式可判断C选项；利用中位数的定义可判断D选项. 【详解】由题意可知，这组数据的极差为，A对； 这组数据的中位数为，平均数为，众数为， 所以这组数据的众数等于平均数，CD都对； 这组数据的方差为，B错. 故选 ：ACD. 10. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由数量积是否为0验算A，由向量加法验算B，由向量减法、模的计算公式验算C，由投影向量的定义验算D. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，因为，所以，故C正确； 对于D，在上的投影向量为，故D正确. 故选：BCD. 11. 《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了：已知三角形三边、、，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即：，现有，其内角、、的对边分别为、、，且，的面积为，则下列结论正确的是（ ） A. 的周长为 B. 若为的外心，则 C. 内切圆的半径为 D. 在中，边的中线的长为 【答案】BCD 【解析】 【分析】设，则，，结合三角形面积公式求出，可求出的周长，可判断A选项；推导出，，结合平面向量数量积的运算性质可判断B选项；利用等面积法求出内切圆的半径，可判断C选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，设，则，， 所以， 故，则，，， 因此，的周长为，A错； 对于B选项，取线段的中点，连接，则， 所以， 同理可得， 因此，，B对； 对于C选项，设内切圆的半径为， 则， 故，C对； 对于D选项，因为为的中点，所以， 又因为，故， 即，即，故，D对. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若复数，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的模长公式可求得结果. 【详解】因为复数，则. 故答案为：. 13. 若事件A与B互斥，且，则______________． 【答案】0.8## 【解析】 【分析】根据题意结合互斥事件概率加法公式运算求解. 【详解】因为事件A与B互斥，且， 所以. 故答案为：. 14. 在ABC中，M是BC中点，AM＝3，BC＝10，则＝______________． 【答案】 【解析】 【详解】此题最适合的方法是特例法．假设ABC是以AB＝AC的等腰三角形，如图， AM＝3，BC＝10，AB＝AC＝． cos∠BAC＝．＝ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 现有一红一绿两颗质地均匀的正方体骰子，六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，在抛掷骰子的试验中： （1）若只抛掷红色的骰子，记下骰子落地时朝上的面的点数，写出该试验的样本空间；设“骰子朝上的点数大于3”，求事件的概率； （2）若同时抛掷两枚骰子，记下骰子朝上的面的点数.若用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次实验的结果.设“两个点数之和等于8”，“至少有一颗骰子的点数为5”，分别求出事件，的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据样本空间的定义、古典概型概率计算公式即可求解； （2）依次算出,，根据古典概型概率计算公式即可求解. 【小问1详解】 样本空间为，设“骰子朝上的点数大于3”，则， 所以事件的概率为； 【小问2详解】 由题意，设“两个点数之和等于8”，“至少有一颗骰子的点数为5”， 则， ， 所以， 所以. 16. 如图，在正方体中，点，分别为棱，的中点. （1）证明：平面； （2）求直线与直线所成的角的大小. 【答案】（1）证明过程见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）只需证明，再结合线面平行的判定定理即可得证； （2）将所求转换为直线与直线所成的角的大小，结合等边三角形的内角即可求解. 【小问1详解】 因为点，分别为棱，的中点， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 设正方体棱长为，由勾股定理可得， 所以三角形是边长为的等边三角形， 所以直线与直线所成的角的大小为， 因为， 所以直线与直线所成的角的大小为. 17. 为推广“康养胜地、人文兴义”旅游品牌，黔西南州文旅局在某旅行社举办“最美黔西南”知识竞赛，从参与活动的人员中随机抽取100名，根据他们的竞赛成绩（成绩均在内），按，，，，分成五组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求的值； （2）根据直方图估计本次竞赛成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （3）若将本次竞赛分数从高到低排序，分数位于前20%的人员，文旅局对其发放马岭河峡谷的免费门票，求获得免费门票的人员的最低分数. 【答案】（1）0.012 （2）75.4 （3）86 【解析】 【分析】（1）小矩形的面积之和为1，可求出； （2）算出各组频率，用频率乘以分数可以得到答案； （3）算出各组人数，前20%的人员为前20名，找出第20名所在分组，再按比例计算得到答案. 【小问1详解】 ，解得：. 【小问2详解】 频率分别依次为： ：0.08， ：0.24，：0.36，：0.2，：0.12， 平均分为， 所以平均分为75.4. 【小问3详解】 ，所以最低分数为第20名分数， 频数为12， 频数为20， 所以第20名在这一组中，， 所以最低分为86. 18. 在中，角，，所对的边分别为，，，. （1）求； （2）已知. （ⅰ）当时，求的值； （ⅱ）当时，求的周长. 【答案】（1） （2）（i）或；（ii） 【解析】 【分析】（1）由三角形内角和为，联立即可求解； （2）（i）由余弦定理即可求解；（ii）首先得，结合，，三角形内角和定理、两角和的正弦公式以及正弦定理即可求解. 【小问1详解】 因为，，所以； 【小问2详解】 （ⅰ）因为，，， 所以由余弦定理有，即， 化简得，解得或， （ⅱ）当时，由正弦定理有， 因为，所以，所以， 所以， 而， 所以， 由正弦定理有，即，解得， 所以的周长为. 19. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面平面，若. （1）求点到平面的距离； （2）求二面角的余弦值； （3）若为侧面内（包含边界）的一点，且四棱锥的体积为，求与平面所成角的正弦值的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，证得，利用面面垂直的性质定理，证得平面，得到点到的距离为，再直角中，即可求解； （2）取的中点，连接，分别证得和，得到为的平面角，在直角中，即可求解. （3）设四棱锥的高为，求得，取的中点，证得点在线段上运动，取的中点，证得平面，再连接，证得，求得长，在直角中，即可求解. 【小问1详解】 取的中点，连接，因为，所以， 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面，即点到的距离为， 又因，可得， 所以点到的距离为. 【小问2详解】 取的中点，连接， 因为底面是正方形，可得， 由（1）知，平面，且平面，所以， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以，所以为的平面角， 在直角中，可得， 所以，即二面角的余弦值为. 【小问3详解】 因为底面是正方形，且，所以正方形的面积为， 设四棱锥的高为， 因为四棱锥的体积为，可得，解得， 分别取的中点，连接， 可得，所以在同一个平面内， 因为，且平面，平面， 所以平面，同理可证平面， 又因为，且平面， 所以平面平面， 由（1）知平面，且点到的距离为， 所以到的距离为，即到的距离为， 即点在线段上运动，且点到平面距离为， 要使得与平面所成角的正弦值的最小值，则最长， 即点与重合时，与平面所成角的正弦值取得最小值， 取的中点，因为为的中点，可得， 因为平面，所以平面， 连接，因为平面，所以， 在直角中，，可得， 在直角中，可得，则， 即与平面所成角的正弦值的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黔西南州2024~2025学年度第二学期期末学业质量监测 高一数学 （本试题共4页，共四大部分，满分150分，考试时间为120分钟） 考生注意： 1.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数的共轭复数（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 4 D. 9 4. 已知，若，则的最小值是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 5. 已知棱台的上、下底面面积分别是1，4，高为3，则该棱台的体积是（ ） A. 3 B. 7 C. 9 D. 21 6. 已知，且是第一象限角，则（ ） A. B. C. D. 7. 在一家高科技公司，研发团队设计了一个高度机密的保险箱密码.为了防止密码被泄露，公司决定让两名顶级安全专家甲和乙分别独立破译密码.甲专家擅长某种加密算法，其独立破译密码的概率为，乙专家有更先进的解密工具，其独立破译密码的概率为，则两人中恰有一人破译密码的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数则有（ ） A. B. 的值域为 C. 在上单调递增 D. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 兴义市某中学高一年级进行年度表彰活动，对申报表彰的同学进行“德智体美劳”等方面进行考核，有五位同学因表现优异分别获得了各类别的“优秀之星”称号.具体获奖次数列举如下：、、、、，则下列说法中正确的是（ ） A. 这组数据的极差为 B. 这组数据的方差为 C. 这组数据众数等于平均数 D. 这组数据的中位数是 10. 已知向量，，则下列结论正确是（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量为 11. 《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了：已知三角形三边、、，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即：，现有，其内角、、的对边分别为、、，且，的面积为，则下列结论正确的是（ ） A. 的周长为 B. 若为的外心，则 C. 内切圆的半径为 D. 在中，边的中线的长为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若复数，则_____. 13. 若事件A与B互斥，且，则______________． 14. 在ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则＝______________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 现有一红一绿两颗质地均匀正方体骰子，六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，在抛掷骰子的试验中： （1）若只抛掷红色的骰子，记下骰子落地时朝上的面的点数，写出该试验的样本空间；设“骰子朝上的点数大于3”，求事件的概率； （2）若同时抛掷两枚骰子，记下骰子朝上的面的点数.若用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次实验的结果.设“两个点数之和等于8”，“至少有一颗骰子的点数为5”，分别求出事件，的概率. 16. 如图，在正方体中，点，分别为棱，的中点. （1）证明：平面； （2）求直线与直线所成的角的大小. 17. 为推广“康养胜地、人文兴义”旅游品牌，黔西南州文旅局在某旅行社举办“最美黔西南”知识竞赛，从参与活动的人员中随机抽取100名，根据他们的竞赛成绩（成绩均在内），按，，，，分成五组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求的值； （2）根据直方图估计本次竞赛成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （3）若将本次竞赛分数从高到低排序，分数位于前20%的人员，文旅局对其发放马岭河峡谷的免费门票，求获得免费门票的人员的最低分数. 18. 在中，角，，所对的边分别为，，，. （1）求； （2）已知. （ⅰ）当时，求值； （ⅱ）当时，求周长. 19. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面平面，若. （1）求点到平面的距离； （2）求二面角的余弦值； （3）若为侧面内（包含边界）的一点，且四棱锥的体积为，求与平面所成角的正弦值的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $