1.1 集合的概念 课堂实录-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

课堂实录 课题 1.1 集合的概念 课时 1 教学目标 理解集合及元素的概念，掌握元素与集合的关系（属于 / 不属于），能运用自然语言、列举法、描述法表示集合。 通过实例抽象集合特征，培养抽象概括能力；在表示集合的过程中，提升数学表达能力。 感受集合语言的严谨性，体会数学的逻辑性，激发学习兴趣。 发展数学抽象、逻辑推理素养，为后续学习奠定基础。 重难点 重点：集合的基本概念，元素与集合的关系，集合的表示方法。 难点：描述法表示集合时条件的准确提炼，元素互异性的理解与应用。 教学环节 学习活动 同学们，在我们的日常生活中，分类无处不在。比如说，超市里的商品会按照食品、日用品、文具等不同类别摆放，这样我们就能快速找到自己需要的东西；图书馆里的书籍也会按照学科、年代等进行分类，方便读者借阅。在数学的世界里，同样也存在着这样一种重要的分类方式，那就是集合。集合就像是一个 “大口袋”，把具有相同特征的对象都装了进去。从今天开始，我们就一同走进集合的奇妙世界，去探索它的奥秘。 集合概念讲解 大家先来看一些例子： 1 到 10 之间的所有偶数。同学们，你们能说出这些偶数都有哪些吗？对，有 2、4、6、8、10。这里，我们把 1 到 10 之间的每一个偶数当作一个元素，这些元素的全体就构成了一个集合。 我们学校今年入学的全体高一学生。每一位高一学生就是一个元素，所有高一学生组成了一个集合。 所有的正方形。不管这个正方形边长是多少，只要它满足正方形的定义，就都是这个集合里的元素。 到直线 l 的距离等于定长 d 的所有点。这些点也能组成一个集合。 方程 x² - 3x + 2 = 0 的所有实数根。我们通过求解这个方程，得到 x = 1 和 x = 2，这两个实数根就构成了一个集合。 地球上的四大洋，即太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋，它们也组成了一个集合。 现在，老师要问大家一个问题：上面这些例子都能组成集合，那它们有什么共同的特点呢？大家可以相互讨论一下。 （学生讨论后）好，哪位同学来说一说？嗯，这位同学说，它们都是把一些对象放在一起。非常好，请坐。其实，一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合，简称为集。就像我们刚才看到的，1 到 10 之间的偶数是元素，它们组成了集合；学校的高一学生是元素，组成了集合等等。 那同学们再思考一下，给定一个集合，它的元素必须具备什么样的条件呢？我们来看这个例子，“较小的数” 能不能构成一个集合呢？大家想一想，什么样的数算较小的数呢？是小于 10 的数，还是小于 5 的数，或者更小呢？好像不太明确，对吧？所以说，给定一个集合，它的元素必须是确定的。也就是说，给定一个集合，那么一个元素在或不在这个集合中就确定了。这就是集合元素的确定性。比如说，“1 到 11 之间的所有偶数” 构成一个集合，2、4、6、8、10 是这个集合的元素，1、3、5、7、9 就不是它的元素，这是非常明确的。 再看，一个给定集合中的元素还有一个特点，就是互不相同。也就是说，集合中的元素是不重复出现的。比如，集合 {1，1，2}，按照集合元素的要求，它应该写成 {1，2}，因为集合中的元素具有互异性。 还有，集合中的元素是没有顺序之分的。例如集合 {1，2，3} 和 {3，2，1}，虽然元素的排列顺序不一样，但它们表示的是同一个集合，这体现了集合元素的无序性。只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的。 元素与集合关系及常用数集 我们通常用大写拉丁字母 A、B、C…… 表示集合，用小写拉丁字母 a、b、c…… 表示集合中的元素。如果 a 是集合 A 的元素，就说 a 属于集合 A，记作 a∈A；如果 a 不是集合 A 中的元素，就说 a 不属于集合 A，记作 a∉A。比如说，若用 A 表示前面 “1 到 10 之间的所有偶数” 组成的集合，那么 4∈A，3∉A。 在数学里，有一些常用的数集，它们都有特定的记法。全体非负整数组成的集合称为非负整数集，也叫自然数集，记作 N，像 0、1、2、3…… 这些数都属于自然数集；全体正整数组成的集合称为正整数集，记作 N * 或 N+，注意这里不包含 0 哦；全体整数组成的集合称为整数集，记作 Z，整数包括正整数、负整数和 0；全体有理数组成的集合称为有理数集，记作 Q，有理数是整数和分数的统称；全体实数组成的集合称为实数集，记作 R，实数包括有理数和无理数。同学们一定要记住这些常用数集的符号表示哦，在后面的学习中会经常用到。 集合表示方法之列举法 我们已经了解了集合和元素的相关知识，那集合该怎么表示呢？有一种很直观的方法叫做列举法。比如说，“地球上的四大洋” 组成的集合，我们就可以把它的元素一一列举出来，写成 {太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}；“方程 x² - 3x + 2 = 0 的所有实数根” 组成的集合，通过求解方程我们知道根是 1 和 2，那么这个集合就可以表示为 {1，2}。像这样把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号 “{}” 括起来表示集合的方法就是列举法。 下面老师来举个例子，用列举法表示小于 10 的所有自然数组成的集合。设这个集合为 A，那么 A = {0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}。这里要注意，自然数包括 0 哦。再比如，方程 x² = x 的所有实数根组成的集合，我们先求解方程，移项得到 x² - x = 0，因式分解为 x (x - 1) = 0，解得 x = 0 或 x = 1，设这个集合为 B，那么 B = {0，1}。由于元素完全相同的两个集合相等，与列举的顺序无关，所以像刚才小于 10 的自然数组成的集合 A，还可以写成 A = {9，8，7，6，5，4，3，2，1，0} 等不同的列举顺序。 现在老师考考大家，用列举法表示由大于 0 且小于 10 的所有奇数组成的集合。给大家一点时间思考。好，哪位同学来说说？嗯，这位同学说，集合为 {1，3，5，7，9}，非常正确，请坐。 集合表示方法之描述法 那是不是所有的集合都适合用列举法来表示呢？我们来看这个例子，不等式 x - 7 <3 的解集，大家想想能不能用列举法表示呢？不等式的解是 x < 10，满足这个条件的实数有无数个，我们不可能把它们一一列举出来，所以这个时候列举法就不太适用了。那怎么办呢？我们可以利用解集中元素的共同特征来表示，也就是：x 是实数，且 x < 10，我们把这个解集表示为 {x∈R | x < 10}。这里 “|” 前面的 x 表示集合中的元素，“∈R” 表示元素 x 属于实数集，这是明确元素的范围，“|” 后面的 x < 10 是元素 x 所满足的条件。 再比如，整数集 Z 可以分为奇数集和偶数集。对于每一个 x∈Z，如果它能表示为 x = 2k + 1（k∈Z）的形式，那么 x 除以 2 的余数为 1，它就是一个奇数；反之，如果 x 是一个奇数，那么 x 除以 2 的余数为 1，它就能表示为 x = 2k + 1（k∈Z）的形式。所以，x = 2k + 1（k∈Z）就是所有奇数的一个共同特征，于是奇数集可以表示为 {x∈Z | x = 2k + 1，k∈Z}。同学们能理解吗？那偶数集又该怎么表示呢？大家思考一下。好，这位同学说，偶数集可以表示为 {x∈Z | x = 2k，k∈Z}，非常好，请坐。 一般地，设 A 是一个集合，我们把集合 A 中所有具有共同特征 P (x) 的元素 x 所组成的集合表示为 {x∈A | P (x)}，这种表示集合的方法称为描述法。有时候也可以用冒号或分号代替竖线，写成 {x∈A : P (x)} 或 {x∈A ; P (x)}。例如，实数集 R 中，有限小数和无限循环小数都具有 q/p（p，q∈Z，p≠0）的形式，这些数组成有理数集，我们将它表示为 Q = {x∈R | x = q/p，p，q∈Z，p≠0}。其中，q/p（p，q∈Z，p≠0）就是所有有理数具有的共同特征。 下面我们来做个练习，用描述法表示不等式 4x - 5 > 3 的解集。大家动手做一下。好，做完的同学请举手。这位同学来说说答案。嗯，答案是 {x∈R | 4x - 5> 3}，化简后为 {x∈R | x > 2}，非常正确。 课堂总结与互动 今天这节课，我们学习了集合的概念。知道了把一些元素组成的总体叫做集合，集合中的元素具有确定性、互异性和无序性；还学习了元素与集合的关系，用∈和∉来表示；认识了常用数集及其符号表示；以及集合的两种表示方法 —— 列举法和描述法。列举法适用于元素个数较少且容易一一列举的集合，描述法适用于元素具有明显共同特征的集合，尤其是元素个数无限的集合。 同学们对今天学的内容还有没有疑问？如果有问题，随时可以问老师。好，那老师来问大家几个问题，检验一下大家的掌握情况。 “所有的好人” 能不能构成一个集合？为什么？ 设集合 A = {1，2，2，3}，这个集合的表示正确吗？如果不正确，应该怎么改正？ 用适当的方法表示方程 x² - 4 = 0 的所有实数根组成的集合。 大家先独立思考，然后我们请同学来回答。 （学生回答问题，教师点评讲解） 通过这几个问题，老师发现大部分同学对今天的知识掌握得还不错。希望大家课后再复习巩固一下，做一做教材上相关的练习题，加深对集合概念的理解。下节课我们会进一步学习集合间的基本关系。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$