15.3.2等边三角形（2）导与练 2025-2026学年 人教版八年级数学上册

15.3.2等边三角形（2） 第2课时 含30°角的直角三角形 知识要点： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的 _____ 易错点睛： 已知ΔABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，AC＝2BD，则∠BAC＝__________ 【点睛】易忽略图中ΔABC的顶角为钝角而漏解。 典例讲解： 题型一、含300直角三角形性质的应用 例1、某市在“旧城改造”中，计划在市内一块如图所示的三角形空地中种植草皮美化环境，已知这种草皮每平方米要80元，求买这种草皮至少需多少元． 解题策略：当图中含有30°时直接构造直角三角形求解。 变式练习： 1、如图,一架直升机上午8时从A地出发,以200千米/时的速度向正北方向飞行,9时到达B处.据机场导航站传来的信息,在C处有一座高山,因受天气影响,高山周围80千米能见度低,飞机飞行将会遇到危险.经测量,∠NAC=15°,∠NBC=30°.则该直升机继续向正北方向飞行有无危险? 题型二、与线段有关的证明 例2、如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q，PQ＝3，PE＝1. (1)求证：BE＝AD； (2)求AD的长． 变式练习： 2、如图，等边△ABC的边长为8，D为AB边上一动点，过点D作DE⊥BC于点E，过点E作EF⊥AC于点F. (1)若AD＝2，求AF的长；(2)当AD取何值时，DE＝EF? 当堂练习： 1． 在ΔABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AC＝2．则AB的长为 _______ 2．如图，在ΔABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠A＝30°，BD＝2，则∠BCD＝ ______ ,BC=AD= _______ 3．如图，在ΔABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB，交BC于点D，若CD＝1，则BD＝ _____ 4．如图，ΔABC是等边三角形，AD⊥AB交BC的延长线于点D．若AB＝2，则CD的长为 ___ 5．如图，在ΔABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，AD平分∠BAC．若DE＝1，则BC的长是 _____ 6．如图，在等边ΔABC中，点D，E分别在BC，AC上，DE//AB，EF⊥DE，交BC的延长线于点F，若CE＝2，求DF的长． 7．如图，在ΔABC中，AB＝AC，AD是ΔABC的中线，AF平分∠CAD，DF//AC． （1）求证：AD＝DF；（2）若∠BAC＝120°，AB＝10，求DF的长． 8.在ΔABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，BC＝23，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，AE＝，则ΔEBD的面积为（ ） A. B. C. D. 9． 如图，ΔABC是等边三角形，D是AC的中点，E是BC延长线上一点，CE＝CD，ED的延长线交AB于点F. （1）求证：EF⊥AB；（2）求证：DE＝2DF． 10．【改编题】如图，在ΔABC中，∠C＝45°，∠ABC＝120°，BC的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，AB的垂直平分线FH交AB于点F，交AC于点H. （1） 直接写出∠A的度数是 （2）求的值. 11．如图，在RtΔABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝15°，AB的垂直平分线交BC于点D． （1）若AC＝1，求BD的长； （2）在AB的上方作∠ABE＝105°，且∠DEB＝30°，求的值. 答案： 知识要点： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的 一半 易错点睛： 已知ΔABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，AC＝2BD，则∠BAC＝30°或150° 【点睛】易忽略图中ΔABC的顶角为钝角而漏解。 典例讲解： 题型一、含300直角三角形性质的应用 例1、某市在“旧城改造”中，计划在市内一块如图所示的三角形空地中种植草皮美化环境，已知这种草皮每平方米要80元，求买这种草皮至少需多少元． 解：如图，过点C作CD⊥BA，交BA的延长线于点D. ∵∠BAC＝150°，∴∠DAC＝30°. ∵CD⊥BD，AC＝60 m，∴CD＝AC＝30 m. 又∵AB＝40 m，∴S△ABC＝AB·CD＝×40×30＝600(m2)． ∵这种草皮每平方米要80元， ∴买这种草皮至少需600×80＝48 000(元)． 解题策略：当图中含有30°时直接构造直角三角形求解。 变式练习： 1、如图,一架直升机上午8时从A地出发,以200千米/时的速度向正北方向飞行,9时到达B处.据机场导航站传来的信息,在C处有一座高山,因受天气影响,高山周围80千米能见度低,飞机飞行将会遇到危险.经测量,∠NAC=15°,∠NBC=30°.则该直升机继续向正北方向飞行有无危险? 解:如图,过点C作CD⊥AB于点D. ∵∠NBC=30°,∴CD=BC. ∵∠NAC=15°, ∴∠ACB=15°. ∴AB=BC=200×(9-8)=200(千米). ∴CD=×200=100(千米)>80千米. ∴该直升机继续向正北方向飞行没有危险. 题型二、与线段有关的证明 例2、如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q，PQ＝3，PE＝1. (1)求证：BE＝AD； (2)求AD的长． 【点拨】根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出BP＝2PQ，再根据AD＝BE＝BP＋PE代入数据进行计算即可． 证明：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝CA，∠BAE＝∠C＝60°. 又∵AE＝CD， ∴△ABE≌△CAD. ∴BE＝AD. （2）：由(1)知△ABE≌△CAD，∴∠ABE＝∠CAD. ∴∠BPD＝∠PAB＋∠ABE＝∠PAB＋∠CAD＝∠BAC＝60°. 又∵BQ⊥AD，∴∠PBQ＝30°. ∴BP＝2PQ＝6.∴BE＝BP＋PE＝6＋1＝7. ∴AD＝7. 变式练习： 2、如图，等边△ABC的边长为8，D为AB边上一动点，过点D作DE⊥BC于点E，过点E作EF⊥AC于点F. (1)若AD＝2，求AF的长；(2)当AD取何值时，DE＝EF? 解：（1）由题意知AB＝BC＝AC＝8，∠B＝∠A＝∠C＝60°. ∴BD＝AB－AD＝8－2＝6. ∵DE⊥BC，∴∠BDE＝90°－60°＝30°. ∴BE＝BD＝3.∴EC＝8－3＝5. ∵EF⊥AC，∴∠FEC＝90°－60°＝30°. ∴FC＝5×＝. ∴AF＝8－＝. （2）：当DE＝EF时，易证△BDE≌△CEF， ∴BE＝CF，BD＝CE. ∵CF＝CE，∴BE＝CE. 又∵BE＋CE＝8，∴CE＝. ∴BD＝. ∴AD＝. 即当AD＝时，DE＝EF. 当堂练习： 1.在ΔABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AC＝2．则AB的长为 4 2．如图，在ΔABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠A＝30°，BD＝2，则∠BCD＝ 30° ,BC=AD= 6 3．如图，在ΔABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB，交BC于点D，若CD＝1，则BD＝ 2 4．如图，ΔABC是等边三角形，AD⊥AB交BC的延长线于点D．若AB＝2，则CD的长为 2 5．如图，在ΔABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，AD平分∠BAC．若DE＝1，则BC的长是 3 6．如图，在等边ΔABC中，点D，E分别在BC，AC上，DE//AB，EF⊥DE，交BC的延长线于点F，若CE＝2，求DF的长． 解：易证ΔDCE为等边三角形，．∴F＝30°，∴DF＝2DE＝4． 7．如图，在ΔABC中，AB＝AC，AD是ΔABC的中线，AF平分∠CAD，DF//AC． （1）求证：AD＝DF；（2）若∠BAC＝120°，AB＝10，求DF的长． 解：（1）证明：∵AF平分∠CAD， ∴∠DAF＝∠FAC． ∵DF//AC,∴∠F=∠FAC.∴∠DAF=∠F,∴AD=DF; （2）∵AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴．∠B＝∠C＝30° ∵AB＝AC，D为BC的中点， ∴AD⊥BC,.AD=AB=5. ∵AD=DF,∴DF=5. 8.在ΔABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，BC＝23，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，AE＝，则ΔEBD的面积为（ B ） A. B. C. D. 9.如图，ΔABC是等边三角形，D是AC的中点，E是BC延长线上一点，CE＝CD，ED的延长线交AB于点F. （1）求证：EF⊥AB；（2）求证：DE＝2DF． 解：（1）∵ΔABC是等边三角形， ∴AB＝BC，∠ABC＝∠ACB＝60°． ∵CD=CE,∴∠E=∠CDE.  ∵∠ACB=∠E+∠CDE, ∴∠E=∠CDE=30°∴∠ABC+∠E=90°, ∴∠BFE=90°∴EF⊥AB; （2）过点D作DH⊥BC，垂足为H． ∵∠E＝30°， ∴DE＝2DH． ∵AB＝BC，D为AC的中点， ∴BD平分∠ABC．∵EF⊥AB，DH⊥BC，∴DF＝DH． ∵DE＝2DH， ∴DE＝2DF． 10．【改编题】如图，在ΔABC中，∠C＝45°，∠ABC＝120°，BC的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，AB的垂直平分线FH交AB于点F，交AC于点H. （2） 直接写出∠A的度数是 （2）求的值. 解：（1）15°； （2）连接BE，BH，易证AH＝BH，∠BHE＝30°，CE＝BE，∠BEH＝90°， ∴BH=2BE,∴AH=2CE,.. 11．如图，在RtΔABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝15°，AB的垂直平分线交BC于点D． （1）若AC＝1，求BD的长； （2）在AB的上方作∠ABE＝105°，且∠DEB＝30°，求的值. 解：（1）连接AD，易证AD＝DB，∠ADC＝30°，∴DB=AD=2AC=2; （2）过点B作BFLDE，垂足为F，易得∠EDB＝30°＝∠E，∴BE=DB=AD.∵BF⊥DE,∴DE=2EF. 易证ΔEBF≌ΔDAC，∴EF＝CD，=2. www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$