15.3.2等边三角形（1）导与练 2025-2026学年 人教版八年级上册数学

15.3.2等边三角形（1） 第1课时 等边三角形的性质和判定 知识要点： 1.等边三角形的性质：（1）等边三角形的三个内角都 ，并且每一个内角都等于  ；（2）等边三角形是 图形，它有  对称轴． 2．等边三角形的判定：（1）三条边都 的三角形是等边三角形；（2）三个角都 的三角形是等边三角形；（3）有一个角是  的等腰三角形是等边三角形. 易错点睛： 如图，等边ΔABC的边长为6，点D为直线BC上一点，BD＝2，DE//AB交直线AC于点E，则DE的长为 _________ 【点睛】点D可能在点B的右边，也可能在点B的左边. 典例讲解： 题型一、等边三角形性质与判定的应用 例1、如图，等边△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，E为AD上一点，以BE为一边且在BE下方作等边△BEF，连接CF. (1) 求证：AE＝CF；(2)求∠ACF的度数． 解题策略：题目中出现等边三角形是注意三个性质的应用。 1、 如图,在△MNP中,∠P=60°,MN=NP,MQ⊥PN,垂足为Q,延长MN至点G,使NG=NQ.若△MNP的周长为12,MQ=a,则△MGQ的周长是 (　　) A.8+2a 　　　 B.8+a C.6+a 　　　 D.6+2a 2、如图,在四边形ABCD中,AB=AD,AB⊥BC,AD⊥DC,∠BAD=60°,点M,N分别在AB,AD边上,MC=NC.求证:△AMN是等边三角形. 题型二、等边三角形中的动点问题 例2、如图,在△ABC中,AB=BC=AC=12 cm,现有两点M,N分别从点A,B同时出发,沿三角形的边运动.已知点M的速度为1 cm/s,点N的速度为2 cm/s.当点M第一次到达点C时,M,N同时停止运动. (1)点M,N运动多长时间后,M,N两点恰好重合? (2)点M,N运动多长时间后,△AMN是等边三角形? 解题策略：根据题干分类讨论，利用等边建立方程求解。 变式练习： 3、如图1，等边△ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE. (1)△DBC和△EAC会全等吗？请说说你的理由； (2)试说明AE∥BC的理由； (3)如图2，当图1中动点D运动到边BA的延长线上时，所作仍为等边三角形，请问是否仍有AE∥BC？证明你的猜想． 当堂练习： 1． 如图，ΔABC是等边三角形，AD⊥BC于点D，若AB＝4，则BD＝ ,∠BAD=______ 2．如图，在ΔABC中，BC的垂直平分线分别交BC，AB于点F，E．若ΔAEC是等边三角形，则∠B= ________ 3．如图，P，Q是ΔABC的边BC上的两点，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，则∠BAC的大小是_________ 4．如图，直线a，b分别经过等边三角形ABC的顶点A和C，且a//b，∠1＝42°，则∠2的度数为：_____ 5． 如图，在等边ΔABC中，点D，E分别在边BC，AB上，且BD＝AE，AD与CE交于点F． （1）求证：AD＝CE；（2）求∠DFC的度数． 6.如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路（B，C为小路端点）和一棵小树（A为小树位置）．测得的相关数据为：∠ABC＝60°，∠ACB＝60°，BC＝48m，则AC＝ m． 7.如图，ΔABC是等边三角形，D，E，F分别是AB，BC，CA边上一点，且AD＝BE＝CF．判断DEF的形状并证明你的结论. 8.如图，在ΔABC中，∠BAC＝120°，AD平分∠BAC，DE//AB，AD＝3，CE＝5，则AC的长为（ B ）A.9 B.8 C.6 D.7 9.【经典题】如图，ZAOB＝60°，OA＝OB，C为线段OB上一点，以AC为边在右侧作等边ΔACD，连接BD．（1）求证：DB//OA；（2）探究AB，CB与BD之间的数量关系，说明理由． 10．【经典题】如图，在等边ΔABC中，DE//BC交AB于点D，交AC于点E，延长DE至点F，CG⊥DF于点G，且DG＝FG. （1）求证：BD＝CE；（2）求证：EF＝BC． 11．（1）【问题背景】如图1，ΔABC为等边三角形，D为AB上一点，F为BC延长线上一点，AD＝CF，连接DF交AC于点E，为了探究DE与EF的数量关系，小明同学发现在AC上截取AM＝AD，连接DM，可以找到解题思路，请你直接写出DE与EF的数量关系. （2）【变式应用】如图2，ΔABC为等边三角形，E为AC上一点，F为BC延长线上一点，AE＝CF，连接BE.求证：BE＝EF. （3）【拓展创新】如图3，在ΔABC中，∠ABC＝60°，∠BAC＝80°，AD平分∠BAC，CD平分∠ACB．求证：AB＝CD. 答案： 知识要点： 1.等边三角形的性质：（1）等边三角形的三个内角都 相等，并且每一个内角都等于 60° ；（2）等边三角形是 轴对称 图形，它有 3条对称轴． 2．等边三角形的判定：（1）三条边都 相等 的三角形是等边三角形；（2）三个角都 相等 的三角形是等边三角形；（3）有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形. 易错点睛： 如图，等边ΔABC的边长为6，点D为直线BC上一点，BD＝2，DE//AB交直线AC于点E，则DE的长为4或8 【点睛】点D可能在点B的右边，也可能在点B的左边. 典例讲解： 题型一、等边三角形性质与判定的应用 例1、如图，等边△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，E为AD上一点，以BE为一边且在BE下方作等边△BEF，连接CF. (2) 求证：AE＝CF；(2)求∠ACF的度数． 解：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠ABE＋∠EBC＝60°.∵△BEF是等边三角形， ∴EB＝BF，∠CBF＋∠EBC＝60°.∴∠ABE＝∠CBF.在△ABE和△CBF中，， ∴△ABE≌△CBF(SAS)．∴AE＝CF. (2)∵等边△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，∴∠BAE＝30°，∠ACB＝60°.∵△ABE≌△CBF，∴∠BCF＝∠BAE＝30°.∴∠ACF＝∠BCF＋∠ACB＝30°＋60°＝90°. 解题策略：题目中出现等边三角形是注意三个性质的应用。 1、如图,在△MNP中,∠P=60°,MN=NP,MQ⊥PN,垂足为Q,延长MN至点G,使NG=NQ.若△MNP的周长为12,MQ=a,则△MGQ的周长是 (　　)D A.8+2a 　　　 B.8+a C.6+a 　　　 D.6+2a 2、如图,在四边形ABCD中,AB=AD,AB⊥BC,AD⊥DC,∠BAD=60°,点M,N分别在AB,AD边上,MC=NC.求证:△AMN是等边三角形. 证明:如图,连接AC.∵AB⊥BC,AD⊥DC,∴∠B=∠D=90°. 在Rt△ABC与Rt△ADC中, ∴Rt△ABC≌Rt△ADC(HL).∴BC=DC. 在Rt△MBC与Rt△NDC中, ∴Rt△MBC≌Rt△NDC(HL).∴BM=DN. ∵AB=AD,∴AM=AN. 又∵∠BAD=60°,∴△AMN是等边三角形. 题型二、等边三角形中的动点问题 例2、如图,在△ABC中,AB=BC=AC=12 cm,现有两点M,N分别从点A,B同时出发,沿三角形的边运动.已知点M的速度为1 cm/s,点N的速度为2 cm/s.当点M第一次到达点C时,M,N同时停止运动. (1)点M,N运动多长时间后,M,N两点恰好重合? (2)点M,N运动多长时间后,△AMN是等边三角形? 解:(1)设点M,N运动x s后,M,N两点恰好重合.由题意,得x×1+12=2x,解得x=12. ∴点M,N运动12 s后,M,N两点恰好重合. (2)设点M,N运动t s后,△AMN是等边三角形,如图.由题意,得AM=t×1=t(cm),AN=AB-BN=(12-2t)cm.∵△AMN是等边三角形,∴t=12-2t,解得t=4. ∴点M,N运动4 s后,△AMN是等边三角形. 解题策略：根据题干分类讨论，利用等边建立方程求解。 变式练习： 3、如图1，等边△ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE. (1)△DBC和△EAC会全等吗？请说说你的理由； (2)试说明AE∥BC的理由； (3)如图2，当图1中动点D运动到边BA的延长线上时，所作仍为等边三角形，请问是否仍有AE∥BC？证明你的猜想． 解：（1）△DBC和△EAC全等． 理由：∵∠ACB＝60°，∠DCE＝60°，∴∠BCD＝60°－∠ACD，∠ACE＝60°－∠ACD，即∠BCD＝∠ACE.在△DBC和△EAC中，，∴△DBC≌△EAC(SAS)． (1) ∵△DBC≌△EAC，∴∠EAC＝∠B＝60°.又∵∠ACB＝60°，∴∠EAC＝∠ACB.∴AE∥BC.(3)结论：AE∥BC.理由：∵△ABC、△EDC为等边三角形，∴BC＝AC，DC＝CE，∠BCA＝∠DCE＝60.∴∠BCA＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD，即∠BCD＝∠ACE. 在△DBC和△EAC中，，∴△DBC≌△EAC(SAS)．∴∠EAC＝∠B＝60°.又∵∠ACB＝60°，∴∠EAC＝∠ACB.∴AE∥BC. 当堂练习： 1.如图，ΔABC是等边三角形，AD⊥BC于点D，若AB＝4，则BD＝ 2,∠BAD= 30° 2．如图，在ΔABC中，BC的垂直平分线分别交BC，AB于点F，E．若ΔAEC是等边三角形，则∠B=30° 3．如图，P，Q是ΔABC的边BC上的两点，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，则∠BAC的大小是＿120° 4．如图，直线a，b分别经过等边三角形ABC的顶点A和C，且a//b，∠1＝42°，则∠2的度数为：_____1020 5.如图，在等边ΔABC中，点D，E分别在边BC，AB上，且BD＝AE，AD与CE交于点F． （1）求证：AD＝CE；（2）求∠DFC的度数． 解：（1）证明略； (2)∠DFC=60°. 6． 如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路（B，C为小路端点）和一棵小树（A为小树位置）．测得的相关数据为：∠ABC＝60°，∠ACB＝60°，BC＝48m，则AC＝48m． 7． 如图，ΔABC是等边三角形，D，E，F分别是AB，BC，CA边上一点，且AD＝BE＝CF．判断DEF的形状并证明你的结论. 解：ΔDEF是等边三角形. ∵ΔABC为等边三角形，且AD＝BE， ∴AF=BD,∠A=∠B=60°, ∴ΔADF≌ΔBED(SAS).  同理证得ΔADF≌ΔCFE（SAS）， ∴ΔADF≌ΔBED≌ΔCFE（SAS），∴DF＝ED＝EF，：∴ΔDEF是等边三角形. 8． 如图，在ΔABC中，∠BAC＝120°，AD平分∠BAC，DE//AB，AD＝3，CE＝5，则AC的长为（ B ）A.9 B.8 C.6 D.7 9． 【经典题】如图，ZAOB＝60°，OA＝OB，C为线段OB上一点，以AC为边在右侧作等边ΔACD，连接BD．（1）求证：DB//OA；（2）探究AB，CB与BD之间的数量关系，说明理由． 证明：（1）易证ΔAOB为等边三角形，∴AB＝OA，∠OAB＝60°，易证ΔAOC≌ΔABD， ∴∠ABD＝∠AOB＝60°＝∠OAB， ∴BD//OA; （2）CB＋BD＝AB，理由如下：ΔAOC≌ΔABD，∴BD＝OC，∴CB+BD=CB+OC=OB=AB. 10．【经典题】如图，在等边ΔABC中，DE//BC交AB于点D，交AC于点E，延长DE至点F，CG⊥DF于点G，且DG＝FG. （1）求证：BD＝CE；（2）求证：EF＝BC． 证明：（1）易证ΔADE是等边三角形，∴AD＝AE，∵AB＝AC，∴BD＝CE； （2）连接CD，∵CG⊥DF，DG＝FG，∴CF＝CD， 设∠F＝∠CDF＝x， 则∠BDC＝180°-∠ADC ＝180°-（60°＋x）=120°-x，  ∠ECF=∠ECG+∠GCF=30°+(90°-x)=120°-x,  ∴∠BDC=∠ECF,:.ΔBDC≌ΔECF,∴EF=BC. 11．（1）【问题背景】如图1，ΔABC为等边三角形，D为AB上一点，F为BC延长线上一点，AD＝CF，连接DF交AC于点E，为了探究DE与EF的数量关系，小明同学发现在AC上截取AM＝AD，连接DM，可以找到解题思路，请你直接写出DE与EF的数量关系. （2）【变式应用】如图2，ΔABC为等边三角形，E为AC上一点，F为BC延长线上一点，AE＝CF，连接BE.求证：BE＝EF. （3）【拓展创新】如图3，在ΔABC中，∠ABC＝60°，∠BAC＝80°，AD平分∠BAC，CD平分∠ACB．求证：AB＝CD. 解：（1）DE＝EF； （2）在AB上截取AD＝AE，连接DE． ∵ΔABC为等边三角形， ∴∠ACB＝∠A＝60°，AB＝AC． ∵AD＝AE，∴ΔADE为等边三角形．∴DE＝AD＝AE，∠ADE＝60° ∵AE＝CF，AB＝AC，∠ACB=60°, ∴DE=CF,BD=CE,∠BDE=∠ECF=120° ∴ΔBDE≌ΔECF,∴BE=EF; （3）证明：在BC上截取BE＝AB，连接AE．∵∠ABC＝60°， ∴ΔABE为等边三角形． ∴AB＝AE，∠BAE=60°.∵∠ABC=60°,∠BAC=80°,∴∠EAC=∠BAC-∠BAE=20°,∠ACB=40°. ：∵AD平分∠BAC，CD平分∠ACB，． ∴∠BAD＝∠CAD＝40°，∠ACD＝∠BCD＝20°． ∴∠DAC=∠ACB=40°,∠ACD=∠EAC=20°. ∵AC=CA,∴ΔACD≌ΔCAE, ∴CD=AE.∵AE=AB,∴AB=CD. www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$