15.3.1等腰三角形（2）导与练 2025-2026学年 人教版八年级上册数学

15.3.1等腰三角形（2） 导与练 第2课时 等腰三角形的判定 知识要点： 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角 也相等（简写成 ). 易错点睛： 在ΔABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：1：2，则ΔABC的形状是_________ 【点睛】学生易填直角三角形而出错. 典例讲解： 例1、 如图，在ΔABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，且BE＝CF，BD＝CE. （1）求证：ΔDEF是等腰三角形； （2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数． 解题策略：证明两条线段相等，若两条线段在同一个三角形中，可转化为证明两个角相等，再利用等角对等边证明线段相等；若两条线段不在同一个三角形中，可通过证明三角形全等得出线段相等. 变式练习： 1、 如图，在ΔABC中，∠ACB＝90°，点D在BC的延长线上，点E在边AB上，DE交AC于点F，AE＝EF.求证：ΔDEB为等腰三角形. 2、 如图，在ΔABC中，点D，E分别在BC，AB上，BD＝BE，∠BAD＝∠BCE，AD与CE交于点F. （1）求证：BA＝BC；（2）判断ΔAFC的形状，并说明理由． 当堂练习： 1.（1）在ΔABC中，若∠A＝∠B，AC＝2，则BC的长为 ; （2）在ΔABC中，若∠A＝70°，∠C＝40°，BC＝3，则AC的长为_________ 2．如图，AE平分∠BAC，DE//AB，若AD＝5，则DE的长为__________ 3．如图，在ΔABC中，∠B＝∠C，点D，E都在边BC上，∠BAD＝∠CAE，若BD＝9，则CE的长为 __________ 4．如图，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC，BE＝BD，则图中的等腰三角形有_____个． 5．如图，在等腰ΔABC中，BD是ΔABC的角平分线，∠A＝36°，AB＝AC＝a，BC＝b，则CD的长为（ ） A. B. C.a-b D.b-a 6．如图，D为ΔABC的边AB的延长线上一点，DF⊥AC于点F，交BC于点E，且BE＝BD．求证：AB＝BC． 7.如图，在ΔABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BF平分∠ABC交AD于点E，交AC于点F．求证：AE=AF. 8． 如图，在ΔABC中，AB＝AC，D为BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．求证：AE＝AF． 9．如图，在ΔABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D． （1）若∠C＝42°，求∠BAD的度数； （2）若点E在边AB上，EF//AC交AD的延长线于点F．求证：AC＝BE＋EF． 10．【经典题】如图，在ΔABC中，AB＝AC，点D在AB上，点E在AC的延长线上，且BD＝CE，DE交BC于点F.求证：DF＝EF. 综合题探究 11．如图，在RtΔABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为AB上一点，BD＝BC，连接CD，过点C作CE⊥CD，CE＝CD，连接DE交CB于点F. （1）求证：ΔADC≌ΔBDF； （2）若点O为AB中点，求证：CF＝20D． 答案： 知识要点： 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边 也相等（简写成 等角对等边 ). 易错点睛： 在ΔABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：1：2，则ΔABC的形状是 等腰直角三角形 【点睛】学生易填直角三角形而出错. 典例讲解： 例1、如图，在ΔABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，且BE＝CF，BD＝CE. （1）求证：ΔDEF是等腰三角形； （2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数． 解：（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C． 在ΔDBE和ΔECF中，BE=CF, ∠B=∠C,BD=CE, ∴ΔDBE≌ΔECF(SAS).∴DE=EF. ∴DEF是等腰三角形. （2）解：如图，由（1）知ΔDBE≌ΔECF，∴∠1＝∠2． ∵∠DEC=∠DEF+∠2=∠B+∠1,∴∠DEF=∠B. ∵∠A+∠B+∠C=180°,∠B=∠C,∠A=40°, ∴∠B=70°∴∠DEF=70° 解题策略：证明两条线段相等，若两条线段在同一个三角形中，可转化为证明两个角相等，再利用等角对等边证明线段相等；若两条线段不在同一个三角形中，可通过证明三角形全等得出线段相等. 变式练习： 1、如图，在ΔABC中，∠ACB＝90°，点D在BC的延长线上，点E在边AB上，DE交AC于点F，AE＝EF.求证：ΔDEB为等腰三角形. 证明：AE＝EF，∴∠A＝∠AFE. ∵∠AFE=∠DFC,∴∠A=∠DFC. 乂∠ACB＝∠FCD＝90°， ∴∠A+∠B=90°,∠D+∠DFC=90°. ∴∠D=∠B. ∴DE＝BE，即ΔDEB为等腰三角形. 2、如图，在ΔABC中，点D，E分别在BC，AB上，BD＝BE，∠BAD＝∠BCE，AD与CE交于点F. （1）求证：BA＝BC；（2）判断ΔAFC的形状，并说明理由． （1）证明：在ΔBAD和ΔBCE中， ∠BAD=∠BCE, ∠B=∠B, BD=BE, ∴ΔBAD≌ΔBCE(AAS)∴BA=BC. （2）解：ΔAFC是等腰三角形． 理由如下：由（1）知BA＝BC，∴∠BAC＝∠BCA． 又∠BAD＝∠BCE， ∴∠BAC-∠BAD＝∠BCA-∠BCE. ∴∠FAC=∠FCA. ∵FA＝FC. ∴ΔAFC是等腰三角形. 当堂练习： 1.（1）在ΔABC中，若∠A＝∠B，AC＝2，则BC的长为 2 ; （2）在ΔABC中，若∠A＝70°，∠C＝40°，BC＝3，则AC的长为 3 2．如图，AE平分∠BAC，DE//AB，若AD＝5，则DE的长为 5 3．如图，在ΔABC中，∠B＝∠C，点D，E都在边BC上，∠BAD＝∠CAE，若BD＝9，则CE的长为 9 4．如图，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC，BE＝BD，则图中的等腰三角形有5个． 5．如图，在等腰ΔABC中，BD是ΔABC的角平分线，∠A＝36°，AB＝AC＝a，BC＝b，则CD的长为（ C ） A. B. C.a-b D.b-a 6．如图，D为ΔABC的边AB的延长线上一点，DF⊥AC于点F，交BC于点E，且BE＝BD．求证：AB＝BC． 证明：证∠C＋∠D＝90°，∠A＋∠D＝90°即可． 7.如图，在ΔABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BF平分∠ABC交AD于点E，交AC于点F．求证：AE=AF. 证明：∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBF． ∵∠BAC＝90°∴AD⊥BC， ∴∠ABF+∠AFB=∠CBF+∠BED=90°, ∴∠AFB=∠BED. ∵∠AEF=∠BED, ∴∠AFE=∠AEF, ∴AE=AF. 9． 如图，在ΔABC中，AB＝AC，D为BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．求证：AE＝AF． 证明：方法一：证ΔBDE≌ΔCDF； 方法二：连接AD，证AD平分∠BAC，ΔADE≌ΔADF. 9．如图，在ΔABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D． （1）若∠C＝42°，求∠BAD的度数； （2）若点E在边AB上，EF//AC交AD的延长线于点F．求证：AC＝BE＋EF． 解：（1）∵AB＝AC，AD⊥BC于点D， ∴∠BAD=∠CAD,∠ADC=90°, 又∠C＝42°，∴∠BAD＝∠CAD＝90°-42°＝48°； （2）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC于点D，∴∠BAD＝∠CAD， ∵EF//AC,∴∠F=∠CAD,∴∠BAD=∠F,∴AE=FE. ∴AC=AB=AE+BE=EF+BE. 10．【经典题】如图，在ΔABC中，AB＝AC，点D在AB上，点E在AC的延长线上，且BD＝CE，DE交BC于点F.求证：DF＝EF. 证法一：过点D作DM//AC交BC于点M，证ΔDMF≌ΔECF； 证法二：过点E作EN//AB交BC的延长线于点N，证ΔDBF≌ΔENF； 证法三：过点D作DG⊥BC于点G，过点E作EM⊥BC于点M，证ΔBDG≌ΔCEM，ΔDGF≌ΔEMF. 综合题探究 11．如图，在RtΔABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为AB上一点，BD＝BC，连接CD，过点C作CE⊥CD，CE＝CD，连接DE交CB于点F. （1）求证：ΔADC≌ΔBDF； （2）若点O为AB中点，求证：CF＝20D． 证明：（1）略； （2）法一，连接CO，过点D作DH⊥BC，垂足为H， ∵ΔADC≌ΔBFD，∴DC＝DF，又 DH⊥BC，∴CF＝2CH．易证ΔCDO≌ΔDCH， ∴CH=DO,∴CF=20D; 证法二，连接CO，在OB上截取OM＝OD，易证CO⊥AB， ∴CD＝CM，∵ΔADC≌ΔBFD，∴BF＝AD＝BM，又BD＝BC，∴CF＝DM＝2DO． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$