15.3.1等腰三角形（1）导与练 2025-2026学年 人教版八年级数学上册

15.3.1等腰三角形（1）导与练 第1课时 等腰三角形的性质 知识要点： 1． 等腰三角形的两个底角_________ 2．等腰三角形的 __________ 、_________、_________ 相互重合. 3．等腰三角形是_________ 图形，其对称轴是__________________. 易错点睛： 1. 等腰三角形的两边长分别为6cm，13cm，其周长为_________  2．已知等腰三角形的一个角为另一个角的2倍，则这角为 __________________ 典型例题： 题型一、利用等腰三角形的性质进行计算 例1、 如图，在ΔABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AC，AB上，且BC＝BD，AD＝DE＝EB，求∠A的度数. 解题策略利用等腰三角形的性质求角度，若没有已知角度，常通过设未知数，利用“等边对等角”、三角形外角的性质或三角形内角和定理表示相关角，构造方程求解。 变式练习： 1、 如图，在ΔABC中，AB＝AC，∠BAC=120°，AD是边BC上的中线，且BD＝8B，∠ADE的度数为（ ) A.10°  B.15°  C.20°  D.300  2、如图，AB//DE，ΔABC是等腰三角形，∠ABC＝124°，∠CDE＝72°，则∠ACD的度数为（ ) A.16°  B.28°  C.44°  D.45°  第1题 第2题 3、如图，∠A＝10°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠DEF的度数为_________ 4、如图，在ΔABC中，∠C＝84°，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧分别交于点M，N，作直线MN交AC于点D；以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP，此时射线BP恰好经过点D，则∠A＝_________ 题型二、利用等腰三角形的性质进行证明 例2、 如图，AB＝AE，BC＝ED，∠B＝∠E，AM⊥CD，垂足为M.求证：CM＝DM. “叠合型”等腰三角形的辅助线作法：作底边上的高、作顶角平分线、连接AD并延长 变式练习： 1、 如图，在ΔABC中，点D，E在BC上，AB＝AC，BD＝CE.求证：AD＝AE. 2、 如图，已知AB＝AC＝AD，AD//BC，求证：∠C＝2∠D． 3、如图，在ΔADC中，AD＝CD，且AB//DC，CB⊥AB于点B，CELAD的延长线于点E，连接BE.求证：AC垂直平分BE. 基础训练： 1.如图，在ΔABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，若∠C＝65°，则∠DBC的度数是 _________ 2.等腰三角形的一个外角等于100°，则其顶角的度数为_________ 3.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则它的底角的度数为_________ 第1题 第4题 第5题 4. 如图，直线l1//l2，点A在直线l1上，点B在直线l2上，AB＝BC，∠C＝30°，∠1＝80°，则∠2的度数为 _________. 5.如图，在ΔABC中，D是BC上一点，AC＝AD＝DB，∠BAC＝102°，则∠ADC的度数为_________ 6.如图，在四边形ABCE中，∠E＝90°，CA平分∠BCE，AB＝AC．求证：BC＝2CE． 7.如图，在ΔABC中，AB＝BC，F为AC的中点，FD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，直线DE，与AC交于点G．求证：∠ABC＝2∠G． 综合题探究 8.如图1，在ΔABC中，点D在边BC上，AB＝AD＝DC，E为BD的中点． （1）若∠C＝35°，直接写出∠EAD的度数为 _________; （2）如图2，过点D作DF⊥AD交AC于点F，过点F作FM⊥CD，垂足为M． ①求证：∠EAD＝∠FDM； ②求证：AE＝DF＋FM. 答案版 知识要点： 1.等腰三角形的两个底角 相等 2．等腰三角形的 顶角平分线 、底边上的高、底边上的中线 相互重合. 3．等腰三角形是 轴对称 图形，其对称轴是底边的垂直平分线. 易错点睛： 1.等腰三角形的两边长分别为6cm，13cm，其周长为32 cm.  2．已知等腰三角形的一个角为另一个角的2倍，则这角为 36°或90° 典型例题： 题型一、利用等腰三角形的性质进行计算 例3、 如图，在ΔABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AC，AB上，且BC＝BD，AD＝DE＝EB，求∠A的度数. 解：设∠A＝x°. ∵AD=DE, ∴∠AED=∠A=x° ∵DE=EB,∠AED=∠EBD+∠BDE,  ∴∠EBD=∠BDE=（x）0. ∴∠BDC=∠A+∠EBD=（x）0 ∵BC=BD,  ∴∠C=∠BDC=（x）0 ∵AB=AC,  ∴∠ABC=∠C= （x）0 ∵∠A+∠ABC+∠C=180°, ∴x＋x＋x＝180，解得x＝45． ∴∠A=45°. 解题策略利用等腰三角形的性质求角度，若没有已知角度，常通过设未知数，利用“等边对等角”、三角形外角的性质或三角形内角和定理表示相关角，构造方程求解。 变式练习： 1.如图，在ΔABC中，AB＝AC，∠BAC=120°，AD是边BC上的中线，且BD＝8B，∠ADE的度数为（B ) A.10°  B.15°  C.20°  D.300  2、如图，AB//DE，ΔABC是等腰三角形，∠ABC＝124°，∠CDE＝72°，则∠ACD的度数为（ C ) A.16°  B.28°  C.44°  D.45°  第1题 第2题 3、如图，∠A＝10°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠DEF的度数为 100° 4、如图，在ΔABC中，∠C＝84°，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧分别交于点M，N，作直线MN交AC于点D；以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP，此时射线BP恰好经过点D，则∠A＝ 320 题型二、利用等腰三角形的性质进行证明 例4、 如图，AB＝AE，BC＝ED，∠B＝∠E，AM⊥CD，垂足为M.求证：CM＝DM. 解：如图，连接AC，AD. 在ΔABC和ΔAED中，AB=AE,，∠B＝∠E,BC=ED,  ∴ΔABC≌ΔAED(SAS).  ∴AC=AD.  ∵AM⊥CD,  ∴CM=DM.  “叠合型”等腰三角形的辅助线作法：作底边上的高、作顶角平分线、连接AD并延长 变式练习： 1.如图，在ΔABC中，点D，E在BC上，AB＝AC，BD＝CE.求证：AD＝AE. 证明：∵AB＝AC. ∴∠B=∠C.  又BD＝CE， ∴ΔABD≌ΔACE(SAS)∴AD=AE.  2、 如图，已知AB＝AC＝AD，AD//BC，求证：∠C＝2∠D． 证明：∵AB＝AC＝AD， ∴∠C=∠ABC,  ∠D=∠ABD. ∵AD//BC,∴∠CBD=∠D.  ∴∠ABC=∠ABD+∠CBD=2∠D. ∴∠C=2∠D.  3、如图，在ΔADC中，AD＝CD，且AB//DC，CB⊥AB于点B，CELAD的延长线于点E，连接BE.求证：AC垂直平分BE. 证明：AD＝CD， ∴∠DAC=∠DCA.  ∵AB//DC,  ∴∠DCA=∠CAB.  ∴∠DAC=∠CAB.  ∵CE⊥AE,CB⊥AB,  ∴∠CEA=∠CBA=90°,CE=CB.  ∴点C在线段BE的垂直平分线上．   在RtΔCEA和RtΔCBA中， AC=AC, CE=CB,  ∴RtΔCEA≌RtΔCBA(HL).  ∴AE＝AB.∴点A在线段BE的垂直平分线上。 ∴AC垂直平分BE. 基础训练： 1.如图，在ΔABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，若∠C＝65°，则∠DBC的度数是 15° 2.等腰三角形的一个外角等于100°，则其顶角的度数为 20°或80° 3.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则它的底角的度数为 70°或20°  第1题 第4题 第5题 4.如图，直线l1//l2，点A在直线l1上，点B在直线l2上，AB＝BC，∠C＝30°，∠1＝80°，则∠2的度数为 40°. 5.如图，在ΔABC中，D是BC上一点，AC＝AD＝DB，∠BAC＝102°，则∠ADC的度数为 52° 6.如图，在四边形ABCE中，∠E＝90°，CA平分∠BCE，AB＝AC．求证：BC＝2CE． 证明：过点A作AD⊥BC于点D，证ΔADC≌ΔAEC，BC＝2CD＝2CE． 7.如图，在ΔABC中，AB＝BC，F为AC的中点，FD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，直线DE，与AC交于点G．求证：∠ABC＝2∠G． 证明：连接BF． ∵AB＝BC，F为AC的中点， ∴BF⊥AC，∠ABC＝2∠ABF． ∴∠A+∠ABF=90°∵DE⊥AB,∠A+∠G=90°. ∵∠G=∠ABF,∴∠ABC=2∠G.  综合题探究 8.如图1，在ΔABC中，点D在边BC上，AB＝AD＝DC，E为BD的中点． （1）若∠C＝35°，直接写出∠EAD的度数为 20°; （2）如图2，过点D作DF⊥AD交AC于点F，过点F作FM⊥CD，垂足为M． ①求证：∠EAD＝∠FDM； ②求证：AE＝DF＋FM. 解：（1）20°； （2）①证明：∵AB＝AD，E为BD的中点， ∴AE⊥BC,∴∠EAD+∠ADE=90°.  ∵AD⊥DF,∴∠ADF=90°,∴∠FDM+∠ADE=90°∴∠EAD=∠FDM;  ②证明：法一，在AE上截取AN＝DF，连接DN. ∵∠EAD＝∠FDM，AD＝DC， ∴ΔAND≌ΔDFC,∠ADN=∠C,DN=FC,∠ADN=∠C=∠DAC...DN//AC,  ∴∠NDE=∠C.∵AE⊥BC,FM⊥BC,∴ΔNDE≌ΔFCM,  ∴NE=FM.∴AE=AN+NE=DF+FM.  法二，过点C作CH⊥DF交DF的延长线于点H，易证CH//AD. ∴∠HCF=∠DAC=∠ACB.∵FM⊥BC,CH⊥DH∵FM=FH.  易证ΔADE≌ΔDCH，∴AE＝DH＝DF＋FH＝DF＋FM. www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$