第4章 §3 3.2 对数函数y＝log2x的图象和性质（课件PPT）-【优化指导】2025-2026学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

对数运算与对数函数 第四章 §3　对数函数 3.2　对数函数y＝log2x的图象和性质 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 (0，＋∞) 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 R > < 增函数 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 (0，＋∞) R 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 < > 减函数 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 √ √ 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 C 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 D 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 C log425>log23.6 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 D C 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 D 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 C 水平达标 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 D 水平达标 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 水平达标 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 水平达标 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 课时梯级训练（31） 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 谢谢观看 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 学习目标 1.掌握对数函数y＝log2x的图象和性质(重点). 2．会利用y＝log2x的图象和性质解决问题(难点). 一、对数函数y＝log2x的图象和性质 图象特征 函数性质 过点(1，0) 当x＝1时，y＝0 在y轴的右侧 定义域是______________ 图象特征 函数性质 向上、向下无限延展 值域是___ 在直线x＝1右侧，图象位于x轴上方；在直线x＝1左侧，图象位于x轴下方 当x>1时，y____0； 当0<x<1时，y____0 函数图象从左到右是上升的 在定义域(0，＋∞)上是_________ 二、函数y＝logx的图象和性质 图象特征 函数性质 过点(1，0) 当x＝1时，y＝0 在y轴的右侧 定义域是_____________ 向上、向下无限延展 值域是___ 图象特征 函数性质 在直线x＝1右侧，图象位于x轴下方；在直线x＝1左侧，图象位于x轴上方 当x>1时，y____0；当0<x<1时，y____0 函数图象从左到右是下降的 在定义域(0，＋∞)上是_________ 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)对数函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数． (　 　) (2)若log2m＜log2n，则m＜n. (　 　) 2．函数y＝log2x的图象大致是 (　　) y＝log2x的图象位于y轴右侧，过点(1，0)，且y随x的增大而增大． 3．在同一坐标系中，函数y＝2x与y＝log2x的图象之间的关系是 (　　) A．关于y轴对称 B．关于x轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线y＝x对称 因为y＝2x与y＝log2x互为反函数，所以它们的图象关于直线y＝x对称． 4．函数f(x)＝log2(x＋1)的定义域为____________． 答案：(－1, ＋∞)　 由x＋1>0，得x>－1， 故f(x)的定义域为(－1，＋∞). 探究一　函数y＝log2x性质的运用 [例1] (1)已知对数函数f(x)的图象过点(，－2)，则不等式f(x＋1)>f(2x－1)的解集为 (　　) A．(0，1) B．(，1) C．(，2) D．(1，2) (2)log23.6与log425的大小关系为________________． (1)设f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，依题意loga＝－2， 解得a＝2， ∴f(x)＝log2x，∴f(x)在定义域(0，＋∞)上单调递增， 故由f(x＋1)>f(2x－1)，得解得<x<2.故选C. (2)∵log425＝log25，函数f(x)＝log2x在定义域上是增函数， ∴log25>log23.6，即log425>log23.6. 1．y＝log3x，y＝log4x，…与y＝log2x有相似的图象和性质． 2．利用y＝log2x的性质解题的思路 函数f(x)＝log2x在定义域(0，＋∞)上是增函数，利用单调性及函数值随自变量值变化而变化的性质，可以比较对数值的大小、解不等式、求函数的值域等． [练1] (1)如果－log2x<－log2y<0，那么 (　　) A．y<x<1 B．x<y<1 C．1<x<y D．1<y<x (2)已知函数y＝log2x的定义域是[1，64)，则值域是 (　　) A．R B．[0，＋∞) C．[0，6) D．[0，64) (1)∵－log2x<－log2y<0， ∴log2x>log2y>0. 又y＝log2x在定义域(0，＋∞)上是增函数，且log21＝0，∴x>y>1.故选D. (2)因为y＝log2x在定义域(0，＋∞)上是增函数，所以当x∈[1，64)时，log21≤log2x<log264，所以y∈[0，6).故选C. 探究二　y＝logx性质的运用 [例2] (1)不等式log(2x＋3)<log(5x－6)的解集为 (　　) A．(－∞，3) B．(－，3) C．(－，) D．(，3) (2)若函数f(x)＝logx在区间[2，2a]上的最大值与最小值的差为，则a＝________． (1)由题意得解得<x<3.故选D. 1．y＝logax(0＜a＜1)与y＝logx有相似的图象和性质． 2．利用y＝logx的性质解题的思路 函数f(x)＝logx在定义域(0，＋∞)上为减函数，利用单调性可以比较大小、解不等式等；也可以转化为y＝log2x，利用y＝log2x的性质解决问题. [练2] (1)比较log0.50.1与log0.51.2的大小； (2)解不等式logx>log(3x－2). (1)∵函数y＝log0.5x在定义域(0，＋∞)上为减函数，且0.1<1.2，∴log0.50.1>log0.51.2. (2)由y＝logx在定义域(0，＋∞)上为减函数，得解得x>1， ∴原不等式的解集为{x|x>1}． 探究三　y＝log2x的综合问题 [例3] 根据函数f(x)＝log2x的图象和性质解决以下问题． (1)若f(a)＞f(2)，求a的取值范围； (2)求y＝log2(2x－1)在x∈[2，14]上的最值． 函数y＝log2x的图象如图所示． (1)y＝log2x是增函数，若f(a)＞f(2)，即log2a＞log22，则a＞2，所以a的取值范围为(2，＋∞). (2)因为2≤x≤14， 所以3≤2x－1≤27. 又函数y＝log2x在定义域内为增函数， 所以log23≤log2(2x－1)≤log227＝3log23， 所以函数y＝log2(2x－1)在x∈[2，14]上的最小值为log23，最大值为3log23. [变式探究1] 借助本例f(x)＝log2x的图象，试判断方程()x－log2x＝0的解的个数． 在同一平面直角坐标系中画出函数y＝()x与y＝log2x的图象，如图所示． 由图知它们的图象有一个交点，即方程()x＝log2x仅有一个解，也就是方程()x－log2x＝0的解的个数为1. [变式探究2] 试判断log2(－x)＋x＋2＝0的解的个数． 原方程即为log2(－x)＝－x－2，分别作出y＝log2(－x)与y＝－x－2的图象，如图所示． 可知两图象有2个交点，故方程log2(－x)＋x＋2＝0的解的个数为2. 与对数函数有关的图象的画法 (1)列表描点法：列表，描点，连线． (2)利用对数函数与指数函数互为反函数的两个函数图象的对称性画图象． (3)对称变换法：y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称；y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于x轴对称；y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称． [练3] 已知函数y＝(log2x－2)(log4x－)，求该函数在x∈[1，4]上的值域． y＝(log2x－2)(log4x－)＝(2log4x－2)·(log4x－)， 令t＝log4x，当x∈[1，4]时，t∈[0，1]， 此时函数转化为y＝(2t－2)(t－)＝2t2－3t＋1＝2(t－)2－， 易知当t＝时，y取得最小值－，当t＝0时，y取得最大值1， ∴该函数在x∈[1，4]上的值域为[－，1]. 特别提醒：易忽视真数部分大于0的条件． 1．函数y＝log2x在[1，2]上的值域是 (　　) A．R B．(－∞，1] C．[0，1] D．[0，＋∞) ∵y＝log2x在[1，2]上为增函数，∴ymax＝log22＝1，ymin＝log21＝0，即值域为[0，1].故选C. 2．函数y＝的定义域是 (　　) A．(3，＋∞) B．[3，＋∞) C．(4，＋∞) D．[4，＋∞) 由得x≥4，∴此函数的定义域为[4，＋∞).故选D. 3．log23.4与log28.5的大小关系为________． 答案：log23.4＜log28.5　 因为函数y＝log2x在定义域(0，＋∞)上是增函数，且3.4＜8.5，所以log23.4＜log28.5. 4．函数f(x)＝log2x在区间[a，2a](a>0)上的最大值与最小值之差为________． 答案：1　 ∵f(x)＝log2x在区间[a，2a]上单调递增， ∴f(x)max－f(x)min＝f(2a)－f(a)＝log2(2a)－log2a＝1. $$