第1章 §4 4.2 一元二次不等式及其解法（课件PPT）-【优化指导】2025-2026学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

预备知识 §4　一元二次函数与一元二次不等式 4.2　一元二次不等式及其解法 第一章 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 学习目标 1.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系(重点). 2．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集(难点). 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 ax2＋bx＋c>0 ax2＋bx＋c<0 所有未知数 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 {x|x<x1，或x>x2} R {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 × × × √ 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 D 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 D 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 C 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 C 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 AC 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 ABD 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 B 水平达标 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 B 水平达标 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 B 水平达标 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 水平达标 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 课时梯级训练（14） 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 谢谢观看 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 一元二次不等式 1．一元二次不等式的概念 (1)定义：形如____________________，或_____________________，或ax2＋bx＋c≥0，或ax2＋bx＋c≤0(其中x为未知数，a，b，c均为常数，且a≠0)的不等式叫作一元二次不等式． (2)解集：使一元二次不等式成立的_______________的值组成的集合叫作这个一元二次不等式的解集． (1)“一元”即只含一个未知数，其他元素均为常数(或参数)； (2)“二次”即未知数的最高次数必须为2，且其系数不能为0. 2．一元二次不等式的求解方法 函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与方程ax2＋bx＋c＝0的实数根，不等式ax2＋bx＋c＞0和ax2＋bx＋c＜0的解集之间的关系： y＝ax2＋bx＋c(a＞0) 方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 方程ax2＋bx＋c＝0的实数根 x1，x2＝ (x1<x2) x1＝x2＝－ 无实数根 y＝ax2＋bx＋c(a＞0) 函数y＝ax2＋bx＋c的图象 不等式ax2＋bx＋c>0的解集 __________________ {x|x≠－} __ 不等式ax2＋bx＋c<0的解集 __________________ ___ ___ “一元二次不等式ax2＋bx＋c>0”表示一元二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值大于0，图象在x轴的上方；一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集即一元二次函数图象在x轴上方部分对应的自变量的取值范围. 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)mx2－5x<0是一元二次不等式． (　 　) (2)若a>0，则一元二次不等式ax2＋1>0无解. (　 　) (3)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1，x2(x1<x2)，则一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为{x|x1<x<x2}． (　 　) (4)不等式x2－2x＋3>0的解集为R. (　 　) 2．不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是 (　　) A．　　 B． C．∅ D． 原不等式变形为(3x＋1)2≤0，∴x＝－. 3．不等式x(x＋1)≤0的解集为 (　　) A．[－1，＋∞) B．[－1，0) C．(－∞，－1] D．[－1，0] 解不等式得－1≤x≤0. 4．不等式－3x2＋5x－4>0的解集为________. 答案：∅　 原不等式变形为3x2－5x＋4<0.因为Δ＝(－5)2－4×3×4＝－23<0，所以3x2－5x＋4＝0无解．由函数y＝3x2－5x＋4的图象可知，3x2－5x＋4<0的解集为∅. 5．若一元二次不等式ax2＋2x－1＜0的解集为R，则a的取值范围是________________． 答案：(－∞， －1)　 由题意知 整理得解得a＜－1. 探究一　解不含参数的一元二次不等式 [例1] 求下列不等式的解集： (1)2x2＋7x＋3＞0； (2)－4x2＋18x－≥0； (3)－2x2＋3x－2＜0. (1)因为Δ＝72－4×2×3＝25＞0，所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不相等的实数根x1＝－3，x2＝－.又一元二次函数y＝2x2＋7x＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集为{x|x＞－，或x＜－3}． (2)原不等式可化为(2x－)2≤0，所以原不等式的解集为{x|x＝}． (3)原不等式可化为2x2－3x＋2＞0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7＜0，所以方程2x2－3x＋2＝0无实根，又一元二次函数y＝2x2－3x＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R. 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 (1)化标准：通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，二次项系数为正； (2)判别式：对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式； (3)求实根：求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实根； (4)画草图：根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图； (5)写解集：根据图象写出不等式的解集． [练1] 下列四个不等式中解集为R的是 (　　) A．－x2＋x＋1≥0 B．x2－2x＋5＞0 C．x2＋6x＋10＞0 D．2x2－3x＋4＜0 利用“Δ”判断，在不等式x2＋6x＋10＞0中，Δ＝62－40＜0，∴不等式x2＋6x＋10＞0的解集为R，其他可类似判断．故选C. 探究二　三个“二次”关系的应用 [例2] 已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|2＜x＜3}，求关于x的不等式cx2＋bx＋a＜0的解集． 方法一　由不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|2＜x＜3}可知a＜0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系可知＝－5，＝6.由a＜0知c＜0，＝－，故不等式cx2＋bx＋a＜0等价于x2＋x＋＞0，即x2－x＋＞0，解得x＜或x＞，所以不等式cx2＋bx＋a＜0的解集为{x|x＜，或x＞}． 方法二　由不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|2＜x＜3}可知a＜0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，所以ax2＋bx＋c＝a(x－2)(x－3)＝ax2－5ax＋6a，解得b＝－5a，c＝6a，故不等式cx2＋bx＋a＜0，即6ax2－5ax＋a＜0，从而6a·(x－)(x－)＜0，故原不等式的解集为{x|x＜，或x＞}． 1．三个“二次”关系的图示 2．含参数不等式相关问题的解答思路 (1)根据解集来判断二次项系数的符号； (2)根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所求解的不等式； (3)约去a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解． [练2] (1)(2025·西安高一检测)已知不等式ax2＋2x＋c>0的解集为，则a＋c＝ (　　) A．10 B．－5 C．－10 D．5 (2)(多选)关于x的不等式x2－2ax－8a2<0的解集为{x|x1<x<x2}，且x2－x1＝15，则a＝ (　　) A．－ B．－ C． D． (1)由题意得－和为方程ax2＋2x＋c＝0的两个根，且a<0，所以 －＝－＋，＝－×，解得a＝－12，c＝2，所以a＋c＝－10. (2)由题意知x1，x2是方程x2－2ax－8a2＝0的两根，所以x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2，则(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝4a2＋32a2＝36a2.又x2－x1＝15，所以36a2＝152，所以a＝±. 探究三　含参数的一元二次不等式的解法 [例3] 解关于x的不等式：ax2－2≥2x－ax(a＜0). 原不等式移项得ax2＋(a－2)x－2≥0，化简为(x＋1)·(ax－2)≥0. ∵a＜0，∴(x＋1)(x－)≤0. 当－2＜a＜0时，≤x≤－1； 当a＝－2时，x＝－1； 当a＜－2时，－1≤x≤. 综上所述， 当－2＜a＜0时，原不等式的解集为{x|≤x≤－1}； 当a＝－2时，原不等式的解集为{x|x＝－1}； 当a＜－2时，原不等式的解集为{x|－1≤x≤}． 含参一元二次不等式的解法 [练3] (多选)(2025·钦州高一检测)已知关于x的一元二次不等式ax2－(2a－1)x－2>0，其中a<0，则该不等式的解集可能是 (　 　) A．∅ B． C．∪(2，＋∞) D． 不等式变形为(x－2)(ax＋1)>0，又a<0，所以(x－2)<0， 当a＝－时，不等式解集为∅； 当a<－时，不等式解集为{x|－＜x＜2}； 当－<a<0时，不等式解集为{x|2＜x＜－}， 因此解集可能为ABD. 特别提醒：一元二次方程的解与相应不等式解集之间的关系. 1．(2025·昆明高一期中)设A＝{0，1，2，3}，B＝{x|x2－3x＋2>0}，则A∩B＝ (　　) A．{0，1} B．{0，3} C．{1，2} D．{2，3} 由x2－3x＋2>0，解得x<1或x>2，故B＝{x|x>2，或x<1}，故A∩B＝{0，3}． 2．(2025·临沂高一期末检测)不等式2x2＋5x－12＜0的解集为 (　　) A．(－∞，－4)∪(，＋∞) B．(－4，) C．(－∞，－)∪(4，＋∞) D. (－，4) 由2x2＋5x－12＜0可得(2x－3)(x＋4)＜0，解得－4＜x＜，因此，原不等式的解集为(－4，).故选B. 3．设m＋n＞0，则关于x的不等式(m－x)(n＋x)＞0的解集是 (　　) A．(－∞，－n)∪(m，＋∞) B．(－n，m) C．(－∞，－m)∪(n，＋∞) D．(－m，n) 方程(m－x)(n＋x)＝0的两根为m，－n. ∵m＋n＞0，∴m＞－n.结合函数y＝(m－x)·(n＋x)的图象(图略)，得原不等式的解集是(－n，m).故选B. 4．解关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a＞0. 原不等式可化为(x－1)(x－a)＞0， 当a＞1时，原不等式的解集为{x|x＜1，或x＞a}； 当a＝1时，原不等式的解集为{x|x≠1}； 当a＜1时，原不等式的解集为{x|x＜a，或x＞1}． $$