第1章 §1 1.1 第1课时 集合的概念（课件PPT）-【优化指导】2025-2026学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

预备知识 §1　集　合 1．1　集合的概念与表示 第1课时　集合的概念 第一章 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 学习目标 1.通过实例，了解集合与元素的含义，能够利用集合中元素的三个特性解决一些简单的问题． 2．理解元素与集合的属于关系(重点). 3．识记常见数集的表示符号． 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 指定的某些对象 每个对象 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 不相同 没有重复 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 ∈ ∉ 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 N N＋或N* Z Q R R＋ 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 × × × √ 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 A 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 C 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 BCD 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 C 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 2，1，0 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 B BCD 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 A 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 证明 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 证明 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 证明 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 C 水平达标 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 C 水平达标 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 C 水平达标 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 水平达标 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 课时梯级训练（1） 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 谢谢观看 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 一、集合的概念 1．集合的定义及表示 把_____________________的全体称为集合，通常用大写英文字母A，B，C，…表示． 2．元素的定义及表示 集合中的____________叫作这个集合的元素，通常用小写英文字母a，b，c，…表示． 3．集合中元素的特性 (1)确定性：集合中的元素是确定的； (2)互异性：一个集合中的任何两个元素都_________．也就是说，集合中的元素____________． (3)无序性：集合中元素是没有顺序的． (1)“指定对象”可以是人、物、数、符号等任何事物，有广泛性． (2)“全体”为整体、总体、全部等． 二、元素与集合的关系 1．元素与集合的关系 关系 语言描述 记法 读法 属于 a是集合A中的元素 a___A a属于集合A 不属于 a不是集合A中的元素 a___A a不属于集合A (1)符号“∈”“∉”只能用在元素与集合之间，表示元素与集合之间的从属关系，注意开口方向． (2)∈和∉具有方向性，左边是元素，右边是集合． 2．常见的数集及符号表示 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 正实数集 符号 ___ ________ ___ ___ ___ ______ “N＋(N*)”是所有正整数组成的集合，N是由0和所有的正整数组成的集合，所以N比N＋(N*)多一个元素0. 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)如果小明的身高是1.78 m，那么他应该是由高个子学生组成的集合中的一个元素． (　 　) (2)方程x2－2x＋1＝0的解集中含有2个元素. (　 　) (3)0∈N*. (　 　) (4)改变一个集合中元素的顺序，所得集合仍与原来的集合相等. (　 　) 2．下列给出的对象中，能组成集合的是 (　　) A．与定点A，B等距离的点 B．比较小的数 C．无限接近于0的数 D．非常长的河流 3．设集合A只含有一个元素a，则下列表述正确的是 (　　) A．0∈A B．a∉A C．a∈A D．a＝A 4．用符号“∈”或“∉”填空． (1)1________N*；(2)－3________N；(3)____________Q； (4)π____________Q；(5)－________R. 答案：(1)∈　(2)∉　(3)∈　(4)∉　(5)∈ 探究一　集合的判断 [例1] (多选)下列各组对象能组成一个集合的是 (　 　) A．某校高一年级成绩优秀的学生 B．平面直角坐标系中横、纵坐标相等的点 C.不小于3的自然数 D．2024年巴黎奥运会金牌获得者 A中“成绩优秀”没有明确的标准，所以不能组成一个集合；B，C，D中的对象都满足确定性，所以能组成集合．故选BCD. 1．集合中的元素是确定的，也是互不相同的． 2．判断一组对象能否组成集合的关键 判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果该组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合．同时还要注意集合中元素的其他性质． [练1] 判断下列每组对象能否组成一个集合： (1)我国的小城市； (2)某校2025年在校的所有高个子同学； (3)不超过20的非负数； (4)方程x2－9＝0在实数范围内的解． (1)“我国的小城市”无明确的标准，对于某个城市是否“小”无法客观地判断，因此，“我国的小城市”不能组成一个集合． (2)“高个子”无明确的标准，对于某个同学是不是“高个子”无法客观地判断，不能组成集合． (3)任给一个实数x，可以明确地判断x是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x＞20或x＜0”两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能组成集合． (4)由x2－9＝0，得x1＝－3，x2＝3.∴方程x2－9＝0在实数范围内的解为－3，3，能组成集合． 探究二　元素与集合关系的判断 [例2] (1)下列五个关系中，正确的个数为 (　　) ①∈R；②∉Q；③π∈Q；④|－3|∉N；⑤－∈Z. A．1 B．2 C．3 D．4 (2)若集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为____________． [思路导引] (1)由于∈R，－∈Z，是无理数，故①②⑤正确．因为π是无理数，|－3|＝3是自然数，所以③④错误．故选C. (2)由题意可得x为自然数，所以可以为2，3，6，因此x的值可以为0，1，2.因此集合A中的元素为0，1，2. 1．集合中的元素也可以是集合，如：“我校所有的班级”中的每个班级既是一个元素又是一个集合． 2．判断元素与集合的关系的方法 (1)直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可； (2)推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可. [练2] (1)设x∈N，且∈N，则x的值可能是 (　　) A．0 B．1 C．－1 D．0或1 (2)(多选)下列结论中，正确的是 (　　 ) A．若a∈N，则∉N B．若a∈Z，则a2∈Z C．若a∈Q，则|a|∈Q D．若a∈R，则∈R (1)∵－1∉N，∴排除C；0∈N，而无意义，排除A，D.故选B. (2)A不正确，反例：a＝1∈N，＝1∈N.故选BCD. 探究三　集合中元素特性的运用 [例3] (1)由实数x，－x，|x|，，－所组成的集合，含有元素的个数最多为 (　　) A．2 B．3 C．4 D．5 ∵＝|x|，－＝－|x|，∴当x＝0时，这几个实数均为0；当x＞0时，它们分别是x，－x，x，x，－x；当x＜0时，它们分别是x， －x，－x，－x，x.最多表示2个不同的数，故集合中的元素最多为2个．故选A. (2)已知集合A含有三个元素a－2，2a2＋5a，12，且－3∈A，求实数a的值． 因为－3∈A，所以a－2＝－3或2a2＋5a＝－3，解得a＝－1或a＝－. 当a＝－1时，a－2＝－3，2a2＋5a＝－3，不满足集合中元素的互异性，所以舍去a＝－1； 当a＝－时，经检验，符合题意．故a＝－. [变式探究] 若将本例(2)中“－3∈A”改为0∈A，求实数a的值． 由0∈A得a－2＝0或2a2＋5a＝0，解得a＝2或a＝0或a＝－. 若a＝2，则A中有三个元素0，18，12，符合题意； 若a＝0，则A中有三个元素－2，0，12，符合题意； 若a＝－，则A中有三个元素－，0，12，符合题意，故a的值为2，0或－. 根据集合中元素的特性求参数的步骤 [练3] 设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1). 求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素； (2)集合A不可能是单元素集． (1)若a∈A，则∈A. 又2∈A，所以＝－1∈A. 因为－1∈A，所以＝∈A. 因为∈A，所以＝2∈A. 根据集合中元素的互异性可知，A中必还有另外两个元素为－1，，结论得证． (2)若A为单元素集，则a＝， 即a2－a＋1＝0，方程无实数解． 所以a≠，所以集合A不可能是单元素集． 特别提醒：与集合有关的问题求参数时，一定要注意元素的互异性，否则易出现错误． 1．下列各项中，不能组成集合的是 (　　) A．所有的正数 B．等于2的数 C．接近于0的数 D．不等于0的偶数 由集合元素的特性知C不能组成集合．故选C. 2．用“book”中的字母组成的集合中元素的个数为 (　　) A．1 B．2 C．3 D．4 由集合中元素的互异性可知，该集合中共有“b”“o”“k” 3个元素．故选C. 3．已知集合A由小于1的数组成，则有 (　　) A．3∈A B．1∈A C．0∈A D．－1∉A 因为集合A由小于1的数组成，所以3∉A，1∉A，0∈A，－1∈A.故选C. 4．方程x2－1＝0与方程x＋1＝0的所有解组成的集合中共有________个元素． 答案：2　 由x2－1＝0，得x＝±1；由x＋1＝0，得x＝－1，故集合中只有2个元素1和－1. $$