第6章 §3 3.1 3.2 从频数到频率 频率分布直方图（Word教参）-【优化指导】2025-2026学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

§3　用样本估计总体的分布 3．1　从频数到频率 3．2　频率分布直方图 [对应学生用书P136] 学习目标 1.能根据实际问题的特点，选择恰当的统计图表对数据进行可视化描述，体会合理使用统计图表的重要性． 2．了解频数与频率的关系． 3．掌握频率分布直方图的画法，会用频率分布直方图或频率折线图估计总体分布(重点). 一、频数与频率 名称 概念 联系 区别 频数 将样本按照一定的方法分成若干组，每组内含有的个体数目 都可以客观地反映总体分布 如果总体容量比较小，频数也可以较客观地反映总体分布 频率 频数与总数的比值 频率反映了相对总数而言的相对强度，其所携带的总体信息远超过频数，当总体容量较大时，频率就更能客观地反映总体分布 “频率”即出现的次数与总数的比率，在统计中，频率是频数与总数的比值，经常用样本数据的频率去估计总体中相应的频率，即对总体分布进行估计，注意频率的取值范围. 二、频率分布直方图 1．频率分布直方图 频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各个小组的频率的大小． 其画图步骤为 2．频率折线图 在频率分布直方图中，按照分组原则，再在左边和右边各加一个区间．从所加的左边区间的中点开始，用线段依次连接各个矩形的顶端中点，直至右边所加区间的中点，就可以得到一条折线，我们称之为频率折线图． 随着样本容量的增大，所划分的区间数也可以随之增多，而每个区间的长度则会相应随之减小，相应的频率折线图就会越来越接近于一条光滑曲线． (1)“频率分布表”能比较准确地反映样本的频率分布，而“频率分布直方图”则能清楚直观地显示各组频率的分布情况及各组频率之间的差别． (2)当考虑数据落在若干个组内的频率之和时，可以用相应矩形面积之和来表示． (3)对于同一组数据，不同的组距决定不同的组数，得到的频率分布直方图也会不同． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)频率分布直方图中的纵坐标指的是频率的值． (　×　) (2)频率分布直方图中各小矩形的面积之和可以不为1. (　×　) (3)将数据分组时，一般要求各组的组距相等． (　√　) (4)频率分布直方图中的横坐标指的是对应的数据(含单位). (　√　) 2．频率分布直方图中，小矩形的面积等于 (　　) A．组距 B．频率 C．组数 D．频数 B　解析：根据小矩形的底边长及高的意义，可知小矩形的面积为一组样本数据的频率． 3．在画频率分布直方图时，某组的频数为10，样本容量为50，总体的个体数为600，则该组的频率是 (　　) A． B． C． D．不确定 A　解析：该组的频率是＝. 4．用样本频率分布估计总体频率分布的过程中，下列说法正确的是 (　　) A．总体容量越大，估计越精确 B．总体容量越小，估计越精确 C．样本容量越大，估计越精确 D．样本容量越小，估计越精确 答案：C 探究一　频率的计算 [例1] 学期结束前，班主任想知道同学们对班长一个学期以来的工作表现的满意程度，特向全班40名学生(除班长外)做问卷调查，其结果如下： 反馈意见 非常满意 较满意 基本满意 不满意 非常不满意 频数 3 20 12 4 1 (1)请计算每一种反馈意见的频率； (2)你认为本次调查对班长下学期的连任有不利影响吗？为什么？ 解：(1)非常满意的频率为＝0.075；较满意的频率为＝0.5；基本满意的频率为＝0.3；不满意的频率为＝0.1；非常不满意的频率为＝0.025. (2)本次调查对班长下学期的连任没有不利影响，因为对班长一个学期以来工作表现基本满意及以上的同学占绝大多数，频率是0.075＋0.5＋0.3＝0.875. 拓展·提升 用频率估计总体的思路 频率反映了相对总数而言的相对强度，其携带的总体信息要超过频数，频数受总体数量影响较大，所以频率能客观地反映总体分布．在生活中，经常用样本的频率分布去估计总体的频率分布． [练1] (2025·咸阳高一检测)已知一个样本的容量为72，分成5组，已知第一、五组的频数都为8，第二、四组的频率都为，则第三组的频数为 (　　) A．16 B．20 C．24 D．36 C　解析：因为频率＝，所以第二、四组的频数都为72×＝16，所以第三组的频数为72－2×8－2×16＝24.故选C. 探究二　频率分布直方图的画法 [例2] 为了解一大片经济林的生长情况，人们随机测量了其中的100株树木的底部周长(单位：cm)，得到如下数据： 135　98　 102　110　99　 121　110　96 100　103　125　97　 117　113　110　92 102　109　104　112　105　124　87　 131 97　 102　123　104　104　128　109　123 111　103　105　92　 114　108　104　102 129　126　97　 100　115　111　106　117 104　109　111　89　 110　121　80　 120 121　104　108　118　129　99　 90　 99 121　123　107　111　91　 100　99　 101 116　97　 102　108　101　95　 107　101 102　108　117　99　 118　106　119　97 126　108　123　119　98　 121　101　113 102　103　104　108 请据此绘制频率分布直方图、频率折线图． 解：从数据中可以看出，这组数据的最大值为135，最小值为80，故极差为55，可将其分为11组，组距为5.列表如下： 周长分组/cm 频数 频率 [80，85) 1 0.01 0.002 [85，90) 2 0.02 0.004 [90，95) 4 0.04 0.008 [95，100) 14 0.14 0.028 [100，105) 24 0.24 0.048 [105，110) 15 0.15 0.03 [110，115) 12 0.12 0.024 [115，120) 9 0.09 0.018 [120，125) 11 0.11 0.022 [125，130) 6 0.06 0.012 [130，135] 2 0.02 0.004 合计 100 1.00 0.2 画频率分布直方图、频率折线图如图所示． 拓展·提升 绘制频率分布直方图的注意点 (1)各组频率的和等于1，因此，各小矩形的面积的和也等于1. (2)频率分布直方图比频率分布表更直观、形象地反映了样本的分布规律． (3)在平面直角坐标系内画频率分布直方图时，x＝样本数据，y＝，这样每一组的频率可以以该组的组距为底，为高的小矩形的面积来表示，其中，矩形的高＝＝×频数． (4)同样一组数据，如果组距不同，横轴、纵轴单位不同，得到的频率分布直方图的形状也会不同． (5)同一个总体，由于抽样的随机性，如果随机抽取另外一个容量为100的样本，所形成的样本频率分布直方图一般会与前一个样本频率分布直方图有所不同，但它们都可以近似地看作总体的分布． [练2] 为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举行了一次“环保知识竞赛”，共有900名学生参加了这次竞赛．为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩(得分均为整数，满分为100分)进行统计．请你根据尚未完成的频率分布表和频率分布直方图(如下图)，解答下列问题： 分组 频数 频率 [50.5，60.5) 4 0.08 [60.5，70.5) 0.16 [70.5，80.5) 10 [80.5，90.5) 16 0.32 [90.5，100.5] 合计 50 (1)填充频率分布表的空格(将答案直接填在表格内)； (2)补全频率分布直方图(将答案直接补在图上). 解：(1) 分组 频数 频率 [50.5，60.5) 4 0.08 [60.5，70.5) 8 0.16 [70.5，80.5) 10 0.20 [80.5，90.5) 16 0.32 [90.5，100.5] 12 0.24 合计 50 1.00 (2)频率分布直方图如图所示． 探究三　频率分布直方图的应用 [例3] (多选)在一次测验中共有500名同学参赛，经过评判，这500名考生的得分都在[40，90]之间，其得分的频率分布直方图如图，则下列结论正确的是 (　　) A．a＝0.005 B．这500名参赛者得分的平均数为65分 C．得分在[60，80)之间的频率为0.5 D．得分在[40，60)之间的共有200人 ACD　解析：根据题中频率分布直方图可得a＝＝0.005，A正确； 平均数为45×0.005×10＋55×0.035×10＋65×0.030×10＋75×0.020×10＋85×0.010×10＝64.5，B错误； 得分在[60，80)之间的频率为0.030×10＋0.020×10＝0.5，C正确； 得分在[40，60)之间的共有(0.035＋0.005)×10×500＝200(人)，D正确．故选ACD. 拓展·提升 1．直方图中每一个小矩形的面积是样本数据落在这个区间上的频率，所有的小矩形的面积之和等于1，即频率之和为1. 2．求某区间取值的频率的方法 (1)分解法：即将该区间分解成多组，则数据落在该区间上的频率等于各组频率之和； (2)间接法：即利用“各组频率之和为1”这一结论求解，即用1减去其余各组频率，便可得所求频率值. [练3] (1)某社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据制作了样本的频率分布直方图(如图).为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层随机抽样的方法抽出100人做进一步调查，则在[2 500，3 000)段应抽出 (　　) A.25人 B．50人 C．100人 D．125人 (2)(2025·焦作高一期末)随机抽查了某校100名高三年级学生的视力情况，得到的频率分布直方图如图所示，由于不慎将部分数据丢失，但知道后5组的频数和为64，设视力在4.6到4.8之间的学生人数为a，各组中频率最大的为0.34，则a的值为 (　　) A．64 B．54 C．48 D．27 (1)A　(2)B　解析：(1)10 000人中在[2 500，3 000)段的有10 000×0.000 5×500＝2 500(人)，利用分层随机抽样从10 000人中抽取100人做进一步调查， 设在[2 500，3 000)段应抽取x人，则＝，解得x＝25.故选A. (2)前两组的频数之和为100×0.1×(0.5＋1.1)＝16，第四组的频数为100×0.34＝34， 后五组的频数之和为64，所以，前三组的频数之和为100－64＝36，故第三组的频数为36－16＝20，因此，a＝20＋34＝54.故选B. 特别提醒：频率分布直方图、频率、频数的关系． 1．(2025·哈尔滨高一期末)现有一个容量为50的样本，其数据的频数分布表如下表所示： 组号 1 2 3 4 5 频数 8 11 10 x 9 则第4组的频数和频率分别是 (　　) A．12，0.06 B．12，0.24 C．18，0.09 D．18，0.36 B　解析：第4组的频数x＝50－(8＋11＋10＋9)＝50－38＝12，频率为＝0.24.故选B. 2．(2025·珠海高一期末)某研究机构为了了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间(单位：min)进行统计，得到样本的频率分布直方图(如图所示)，则a的值为 (　　) A．0.200 B．0.040 C．0.020 D．0.010 C　解析：由题中频率分布直方图可知，每组频率依次为0.1，10a，0.45，10a，0.05， 则0.1＋10a＋0.45＋10a＋0.05＝20a＋0.6＝1，解得a＝0.020.故选C. 3．如图所示是一样本的频数分布直方图，则样本数据落在[15，20]内的频率为 (　　) A.0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5 B　解析：由题中频数分布直方图知，样本数据落在[15，20]内的频率为＝0.3.故选B. 4．某商场在庆“五一”的促销活动中，对9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示．已知9时至10时的销售额为25万元，则11时至12时的销售额为________万元． 答案：100　解析：由题中频率分布直方图，可得9时至10时的销售额与11时至12时的销售额的频率之比为＝， 又9时至10时的销售额为25万元，因此11时至12时的销售额为25×4＝100(万元). 学科网（北京）股份有限公司 $$