第2章 §4 4.2 简单幂函数的图象和性质（Word教参）-【优化指导】2026-2027学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

4.2　简单幂函数的图象和性质 [对应学生用书P72] 学习目标 1.通过具体实例，结合y＝x，y＝，y＝x2，y＝，y＝x3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数． 2．会求幂函数的解析式，会根据幂函数的性质比较幂值的大小(重点). 一、幂函数的概念 一般地，形如y＝xα(α为常数)的函数，即底数是自变量，指数是常数的函数称为幂函数． (1)“xα”的系数为1； (2)“xα”的底数是自变量x，指数α为常数； (3)函数式只有一项． 二、幂函数的图象 五个常见幂函数的图象 “幂函数的图象”在第一象限被点(1，1)“束”在了一起. (1)α∈(1，＋∞)⇒y＝xα的图象经过区域(Ⅰ)； (2)α∈(0，1)⇒y＝xα的图象经过区域(Ⅱ)； (3)α∈(－∞，0)⇒y＝xα的图象经过区域(Ⅲ)； (4)在直线x＝1的右侧，从x轴起，幂函数y＝xα的指数α由小到大递增，即“指大图高”“指小图低”． 三、幂函数的性质 解析式 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x 图象 定义域 R R R {x|x≠0} [0，＋∞) 值域 R [0，＋∞) R {y|y≠0} [0，＋∞) 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 非奇非偶函数 单调性 在区间(－∞，＋∞)上单调递增 在区间(－∞，0]上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增 在区间(－∞，＋∞)上单调递增 在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递减 在区间[0，＋∞)上单调递增 公共点 都经过点(1，1) “幂函数y＝xα在区间(0，＋∞)上”当α>0时，y＝xα是增函数；当α<0时，y＝xα是减函数． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)幂函数的图象必过点(0，0)和(1，1). (　×　) (2)幂函数的图象可以出现在平面直角坐标系中的任意一个象限． (　×　) (3)函数y＝(m2＋2m－2)x是幂函数，则m的值为1或－3. (　×　) (4)幂函数y＝xα(α为常数)的定义域、值域、单调性、奇偶性会因α的不同而不同． (　√　) 2．已知幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，则f()＝ (　　) A． B． C． D． 答案：D 3．函数y＝x的图象是 (　　) 答案：C 4．若f(x)＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α的取值范围为__________． 答案：(0，＋∞) 探究一　幂函数的判断 [例1] (1)在函数y＝，y＝3x2，y＝x2＋2x，y＝1中，幂函数的个数为________． (2)已知f(x)＝(m＋1)xm+2是幂函数，则m＝________． (1)1　(2)0　解析：(1)函数y＝＝x-4为幂函数； 函数y＝3x2中x2的系数不是1，所以它不是幂函数； 函数y＝x2＋2x不是y＝xα(α为常数)的形式，所以它不是幂函数； 函数y＝1与y＝x0＝1(x≠0)不相等，所以y＝1不是幂函数． (2)∵函数f(x)＝(m＋1)xm+2是幂函数，∴m＋1＝1，即m＝0. 拓展·提升 1．幂函数y＝xα解析式中，xα的系数为1. 2．求幂函数解析式的依据及方法 (1)依据：若一个函数为幂函数，则该函数应具备幂函数解析式所具备的特征，这是解决与幂函数有关问题的隐含条件． (2)方法：设幂函数解析式为f(x)＝xα，根据条件求出α. [练1](多选)(2025·保定高一检测)下列函数为幂函数的是 (　　) A．y＝2x B．y＝x0 C．y＝2x D．y＝x-1 BD　解析：由幂函数的定义知，函数y＝x0，y＝x-1为幂函数． [练2](2025·宁波高一期中)已知幂函数f(x)的图象过点(2，4)，则f(3)的值为 (　　) A．4 B．6 C．9 D．16 C　解析：由题意可知，设幂函数f(x)＝xα，则2α＝4，即α＝2， 所以幂函数为f(x)＝x2，因此f(3)＝32＝9. 探究二　幂函数的图象特征 [例2] 幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在第一象限的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是 (　　) A．a>b>c>d B．d>b>c>a C．d>c>b>a D．b>c>d>a D　解析：根据幂函数的性质，在第一象限内，x＝1的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数增大，所以由题中图象得b>c>d>a.故选D. 拓展·提升 1．幂函数图象的特征 α的范围 第一象限图象特征 α<0 双曲线型(类似反比例函数) 0<α<1 抛物线且开口向右 α>1 抛物线且开口向上 2.依据图象高低判断幂指数大小的相关结论 (1)在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)； (2)在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高). [练3] 在下列四个图象中，y＝的图象大致是 (　　) D　解析：函数y＝的定义域为(0，＋∞)，是减函数．故选D. 探究三　幂函数性质的应用 [例3] 比较下列各组数的大小： 解：(1)∵y＝x为[0，＋∞)上的增函数，且2.3<2.4， ∴2.3＜2.4. (2)∵y＝x－为(0，＋∞)上的减函数，且<， (3)∵y＝x在[0，＋∞)上单调递增，且0.3＞0.2， ∴0.3＞0.2. 拓展·提升 1．α＞0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递增；α＜0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递减． 2．比较幂值大小的两种方法 [练4] (1)(2025·包头高一期中)a＝(－π)3，b＝－27，c＝(－5)0，则 (　　) A．a<b<c B．b<a<c C．c<a<b D．c<b<a (2)若幂函数f(x)的图象过点(2，8)，则满足不等式f(a－3)>f(1－a)的实数a的取值范围是________． (1)A　(2)(2，＋∞)　解析：(1)∵f(x)＝x3在R上单调递增，而a＝f(－π)，b＝f(－3)，根据单调递增的性质，得a<b<0，又c＝1，∴a<b<c. (2)设幂函数为f(x)＝xα，因为其图象过点(2，8)，所以2α＝8，解得α＝3，所以f(x)＝x3.因为f(x)＝x3在R上为增函数，所以由f(a－3)>f(1－a)，得a－3>1－a，解得a>2.所以满足不等式f(a－3)>f(1－a)的实数a的取值范围是(2，＋∞). 特别提醒：幂函数的图象不一定过原点． 1．已知幂函数的图象过点(2，4)，则其解析式为 (　　) A．y＝x＋2 B．y＝x2 C．y＝ D．y＝x3 B　解析：设幂函数的解析式为y＝xα，当x＝2时，y＝4，故2α＝4，即α＝2.故选B. 2．设α∈{1，2，3，，－1}，则使函数y＝xα的定义域为R且函数y＝xα为奇函数的所有α的值为 (　　) A．－1，3　 B．－1，1　 C．1，3　 D．－1，1，3 C　解析：y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x-1是常见的五个幂函数，显然y＝xα为奇函数时，α＝－1，1，3，又函数的定义域为R，所以α≠－1，故α＝1或α＝3.故选C. 3．(2025·沈阳高一期末检测)幂函数y＝x的大致图象是 (　　) A　解析：由y＝x＝，可知x≥0，故C，D错误；随着自变量的增大函数值增大，故B错误．故选A. 4．已知幂函数f(x)＝ (m∈Z)的图象与x轴，y轴都无交点，且关于原点对称，则函数f(x)的解析式是________． 答案：f(x)＝x-1　解析：∵函数的图象与x轴，y轴都无交点， ∴m2－1<0，解得－1<m<1. ∵图象关于原点对称，且m∈Z， ∴m＝0，∴f(x)＝x-1. 学科网（北京）股份有限公司 $$