第2章 §4 4.1 函数的奇偶性（Word教参）-【优化指导】2025-2026学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

§4　函数的奇偶性与简单的幂函数 4．1　函数的奇偶性 [对应学生用书P68] 学习目标 1.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义(重点). 2．了解奇偶函数的图象的对称性，掌握函数奇偶性的简单应用(难点). 函数的奇偶性 对比 奇函数 偶函数 定义 定义域 设函数f(x)的定义域是D，如果对任意的x∈D，有－x∈D，且 性质 f(－x)＝－f(x) f(－x)＝f(x) 图象特征 关于原点对称，反之亦然 关于y轴对称，反之亦然 奇偶性 当函数f(x)是奇函数或偶函数时，称f(x)具有奇偶性 (1)“对任意的x∈D，有－x∈D”指定义域D关于原点对称，且奇偶性是定义域D上的整体性质． (2)“f(－x)＝－f(x)”反映了关于原点的对称性，“f(－x)＝f(x)”反映了关于y轴的对称性． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)函数y＝|x|的图象关于y轴对称． (　√　) (2)若函数f(x)是奇函数，则f(0)＝0. (　×　) (3)定义在R上的函数f(x)满足f(－1)＝f(1)，则f(x)一定是偶函数． (　×　) (4)已知f(x)＝x3＋2x，则f(a)＋f(－a)的值是0. (　√　) 2．下列图象表示的函数具有奇偶性的是 (　　) 答案：B 3．若函数y＝f(x)，x∈[－2，a]是奇函数，则a的值为 (　　) A．－2 B．2 C．0 D．不能确定 答案：B 4．已知f(x)是偶函数，且f(2)＝2，则f(2)＋f(－2)＝________． 答案：4　解析：∵f(x)为偶函数，∴f(－2)＝f(2)＝2， ∴f(2)＋f(－2)＝4. 探究一　判断奇偶性 [例1] 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝； (2)f(x)＝|x－2|－|x＋2|. 解：(1)∵函数f(x)＝的定义域为{x|x∈R且x≠1}，定义域不关于原点对称， ∴该函数既不是奇函数也不是偶函数． (2)方法一(定义法)　函数f(x)＝|x－2|－|x＋2|的定义域为R，关于原点对称． ∵f(－x)＝|－x－2|－|－x＋2|＝|x＋2|－|x－2|＝－(|x－2|－|x＋2|)＝－f(x)， ∴函数f(x)＝|x－2|－|x＋2|是奇函数． 方法二(根据图象进行判断)　 f(x)＝|x－2|－|x＋2|＝画出图象如图所示， 图象关于原点对称，因此函数f(x)是奇函数． 拓展·提升 1．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件． 2．判断函数奇偶性的两种方法 (1)定义法 (2)图象法 [练1] (多选)(2025·长春高一期中)给定四个函数，其中是奇函数的有 (　　) A．f(x)＝x3 B．f(x)＝ C．f(x)＝x2＋1 D．f(x)＝|x|－1 AB　解析：f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)，且定义域为R，则f(x)＝x3为奇函数，A正确； f(－x)＝＝－＝－f(x)，且定义域为{x|x≠0}，则f(x)＝为奇函数，B正确； f(－x)＝(－x)2＋1＝x2＋1＝f(x)，显然f(x)＝x2＋1不为奇函数，C错误； f(－x)＝|－x|－1＝|x|－1＝f(x)，显然f(x)＝|x|－1不为奇函数，D错误．故选AB. 探究二　函数奇偶性的应用 [例2] (1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1，2a]，则a＝________，b＝________； (2)已知f(x)为R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－2x2＋3x＋1.则f(x)的解析式为________． 答案：(1)　0　(2)f(x)＝ 解析：(1)因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a－1＝－2a，解得a＝. 易知函数f(x)＝x2＋bx＋b＋1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b＝0. (2)当x<0时，－x>0，则f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋1＝－2x2－3x＋1. 由于f(x)是奇函数，则f(x)＝－f(－x)， 所以f(x)＝2x2＋3x－1. 当x＝0时，f(－0)＝－f(0)， 则f(0)＝－f(0)，即f(0)＝0. 所以f(x)的解析式为 f(x)＝ 拓展·提升 1．利用奇、偶性求参数的解题策略 (1)定义域含参数：根据奇、偶函数定义域[a，b]关于原点对称，利用a＋b＝0求参数； (2)解析式含参数：根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数利用待定系数法求解． 2．利用函数奇偶性求函数解析式的步骤 (1)在哪个区间上求解析式，x就设在哪个区间上； (2)转化到已知区间上，代入已知的解析式； (3)利用f(x)的奇偶性写出－f(－x)或f(－x)，从而解出f(x). [练2] (1)已知函数f(x)＝为奇函数，则a＝________． (2)已知函数f(x)为偶函数，且当x<0时，f(x)＝x＋1，则当x>0时，f(x)＝________________________. 答案：(1)－1　(2)－x＋1　解析：(1)因为f(x)是奇函数，f(－1)＝0，所以f(－1)＝－f(1)＝0，所以f(1)＝0，即＝0，解得a＝－1.经检验，a＝－1符合题意． (2)当x>0时，－x<0，∴f(－x)＝－x＋1， 又f(x)为偶函数，∴f(x)＝－x＋1. 探究三　奇、偶函数的图象的应用 [例3] 已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示． (1)请补全函数y＝f(x)的图象； (2)根据图象写出函数y＝f(x)的单调递增区间； (3)根据图象写出使f(x)＜0的x的取值集合． 解：(1)由题意作出函数图象如图所示． (2)由图可知，函数f(x)的单调递增区间为(－1，0)，(1，＋∞). (3)由图可知，使f(x)＜0的x的取值集合为{x|－2＜x＜2，且x≠0}． 拓展·提升 巧用奇、偶函数的图象求解问题 (1)依据：奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y轴对称． (2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决求值、比较大小及解不等式等问题． [练3] (多选)已知定义在区间[－7，7]上的一个偶函数，它在[0，7]上的图象如图所示，则下列说法正确的有 (　　) A．这个函数有两个单调递增区间 B．这个函数有三个单调递减区间 C．这个函数在其定义域内有最大值7 D．这个函数在其定义域内有最小值－7 BC　解析：根据偶函数在[0，7]上的图象及其对称性，作出其在[－7，7]上的图象，如图所示．由图象可知，这个函数有三个单调递增区间，有三个单调递减区间，在其定义域内有最大值7，最小值不是－7.故选BC. 探究四　奇偶性与单调性的综合 [例4] (1)(2025·沈阳高一期中)已知定义在R上的偶函数f(x)满足，∀x1，x2∈(－∞，0)(x1≠x2)，都有>0，且f(－3)＝0，则f(x－1)>0的解集为 (　　) A．(2，4) B．(－∞，－4) C．(－2，4) D．(4，＋∞) (2)定义在[－2，2]上的偶函数f(x)在区间[0，2]上单调递减，若f(1－m)<f(m)，则实数m的取值范围为________． (1)C　(2)[－1，)　解析：(1)因为f(x)是定义在R上的偶函数，且f(－3)＝0，f(x－1)>0， 所以f(|x－1|)>f(|－3|)， 由∀x1，x2∈(－∞，0)(x1≠x2)，都有>0， 即f(x)在(－∞，0)上单调递增，又f(x)是定义在R上的偶函数， 可得f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以|x－1|<3，即－3<x－1<3，解得－2<x<4， 则f(x－1)>0的解集为(－2，4).故选C. (2)∵函数f(x)是偶函数，∴f(x)＝f(|x|)， ∴f(1－m)＝f(|1－m|)，f(m)＝f(|m|)， ∴原不等式等价于解得－1≤m<，∴实数m的取值范围是[－1，). 拓展·提升 1．函数的奇偶性与单调性的关系 (1)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性； (2)偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性． 2．比较大小的求解策略 (1)若自变量在同一个单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小； (2)若自变量不在同一个单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一个单调区间上，然后利用单调性比较大小． 3．利用函数奇偶性与单调性解不等式的策略 (1)利用图象解不等式． (2)转化为简单不等式求解． ①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)的形式； ②根据函数的性质，去掉不等式中的“f”转化为简单不等式(组)求解． [练4] (1)已知奇函数f(x)在R上单调递减，且f(2)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是 (　　) A.[－2，2] B．[－1，1] C．[0，4] D．[1，3] (2)已知f(x)为奇函数，在区间[3，6]上单调递增，且在此区间上的最大值为8，最小值为－1，则2f(－6)＋f(－3)＝ (　　) A．－15 B．－13 C．－5 D．5 (1)C　(2)A　解析：(1)由函数f(x)为奇函数， f(2)＝－1，知f(－2)＝1，∵－1≤f(x－2)≤1， ∴f(2)≤f(x－2)≤f(－2). 又函数f(x)在R上单调递减， ∴－2≤x－2≤2，解得0≤x≤4.故选C. (2)因为函数f(x)在[3，6]上是增函数， 所以f(6)＝8，f(3)＝－1， 又函数f(x)为奇函数， 所以2f(－6)＋f(－3)＝－2f(6)－f(3)＝－2×8＋1＝－15.故选A. 特别提醒：一个函数的定义域关于原点对称是该函数具有奇偶性的必要不充分条件． 1．已知一个奇函数的定义域为{－1，2，a，b}，则a＋b等于 (　　) A．－1 B．1 C．0 D．2 A　解析：因为该奇函数的定义域为{－1，2，a，b}，且奇函数的定义域关于原点对称，所以a与b中一个等于1，一个等于－2，所以a＋b＝1＋(－2)＝－1.故选A. 2．下列函数是偶函数的为 (　　) A．y＝x B．y＝3x2 C．y＝x-1 D．y＝|x|(x∈[0，1]) B　解析：选项A，C中的函数是奇函数，选项B中的函数是偶函数，选项D中的函数既不是奇函数，也不是偶函数． 3．若f(x)是定义在R上的奇函数，f(3)＝2，则f(－3)＝________，f(0)＝________． 答案：－2　0　解析：因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－3)＝－f(3)＝－2，f(0)＝0. 4．已知f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)＝x2＋2x，则f(1)的值是________． 答案：1　解析：∵当x<0时，f(x)＝x2＋2x， ∴f(－1)＝－1，又f(x)是奇函数， ∴f(1)＝－f(－1)＝1. 学科网（北京）股份有限公司 $$