第1章 §2 2.1 第2课时 充要条件（Word教参）-【优化指导】2025-2026学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

第2课时　充要条件 [对应学生用书P20] 学习目标 1.通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义． 2．理解数学定义与充要条件的关系(重点). 充要条件 1．一般地，如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分且必要条件，简称p是q的充要条件，记作p⇔q． 2．p是q的充要条件也常常说成“p成立当且仅当q成立”，或“p与q等价”． 3．当p是q的充要条件时，q也是p的充要条件． (1)“p是q的充要条件”说明p是条件，q是结论； (2)“p的充要条件是q”说明q是条件，p是结论； (3)如果把p研究的范围看成集合A，把q研究的范围看成集合B，则可得下表： 关系 图示 结论 AB p是q的充分不必要条件 BA p是q的必要不充分条件 A＝B p是q的充要条件 A，B互 不包含 p是q的既不充分也不必要条件 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)若p是q的充要条件，则q成立当且仅当p成立． (　√　) (2)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题． (　√　) (3)若pq和qp有一个成立，则p一定不是q的充要条件． (　√　) 2．已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：A 3．若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的____________________． 答案：充要条件　解析：因为p⇔q，q⇔r，所以p⇔r.所以p是r的充要条件． 4．(教材P18练习1改编)下列各题中，p是q的充要条件的为________．(填序号) ①p：x＞0，y＞0，q：xy＞0； ②p：a＞b，q：a＋c＞b＋c. 答案：②　解析：在①中，p⇒q，qp，所以①中p不是q的充要条件．在②中，p⇔q，所以②中p是q的充要条件． 探究一　充要条件的判断 [例1] 判断下列各题中，p是不是q的充要条件． (1)p：x2－1＝0，q：|x|－1＝0； (2)p：x＜5，q：x＜3； (3)若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0； (4)p：|x|＞3，q：x2＞9. 解：(1)设A＝{x|x2－1＝0}＝{－1，1}，B＝{x||x|－1＝0}＝{－1，1}，所以A＝B，即“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的充要条件． (2)设A＝{x|x＜5}，B＝{x|x＜3}，因为AB，所以“x＜5”是“x＜3”的必要不充分条件． (3)若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，即p⇒q； 若a＝b＝0，则a2＋b2＝0，即q⇒p，故p⇔q， 所以p是q的充要条件． (4)由于p：|x|＞3⇔q：x2＞9，所以p是q的充要条件． 拓展·提升 1．定义给出了结论成立的充要条件． 2．判断充要条件的解题思路及方法 (1)解题思路：充要条件的判断思路同充分条件、必要条件的一样． (2)方法：①定义法，既要判断条件对结论的充分性，又要判断条件对结论的必要性； ②推出法，使用双向推出法，不是单向推出法； ③集合法，判断相应的两个集合互为子集，即判断两个集合相等． [练1] (1)P(x，y)是第二象限的点的充要条件是 (　　) A.x＜0，y＜0 B．x＜0，y＞0 C.x＞0，y＞0 D．x＞0，y＜0 (2)a，b中至少有一个不为零的充要条件是 (　　) A.ab＝0 B．ab＞0 C.a2＋b2＝0 D．a2＋b2＞0 (1)B　(2)D　解析：(1)因为P(x，y)是第二象限的点，所以x＜0，y＞0；当x＜0，y＞0时，P(x，y)是第二象限的点．所以P(x，y)是第二象限的点的充要条件是x＜0，y＞0.故选B. (2)a2＋b2＞0，则a，b不同时为零；a，b中至少有一个不为零，则a2＋b2＞0.故选D. 探究二　充要条件的证明 [例2] 证明：如图，梯形ABCD为等腰梯形的充要条件是AC＝BD. 证明：必要性：在等腰梯形ABCD中，AB＝DC，∠ABC＝∠DCB， 又BC＝CB，∴△BAC≌△CDB，∴AC＝BD. 充分性：如图，过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E. ∵AD∥BE，DE∥AC， ∴四边形ACED是平行四边形． ∴DE＝AC. ∵AC＝BD，∴BD＝DE，∴∠E＝∠1. 又AC∥DE，∴∠2＝∠E，∴∠1＝∠2. 在△ABC和△DCB中， ∴△ABC≌△DCB.∴AB＝DC. ∴梯形ABCD为等腰梯形． 综上可得，梯形ABCD为等腰梯形的充要条件是AC＝BD. 拓展·提升 1．充分、必要、充要条件都具有传递性，具体如下： (1)若p⇒q，q⇒s，则p⇒s. (2)若p⇔q，q⇔s，则p⇔s. 2．证明充要条件的两个思路 (1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性． (2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件． [练2] 已知α：1≤x≤2，β：1≤x≤a. 求证：a≥2是α⇒β成立的充要条件． 证明：充分性(若a≥2，则α⇒β). 若a≥2，则{x|1≤x≤2}⊆{x|1≤x≤a}， 所以由α：1≤x≤2可得出β：1≤x≤a， 故充分性成立． 必要性(若α⇒β，则a≥2). 若α：1≤x≤2可推出β：1≤x≤a， 则{x|1≤x≤2}⊆{x|1≤x≤a}， 所以a≥2，故必要性成立． 综上所述，a≥2是α⇒β成立的充要条件． 探究三　充分、必要及充要条件的应用 [例3] 求方程x2＋kx＋1＝0与x2＋x＋k＝0有一个公共实数根的充要条件． 解：若方程x2＋kx＋1＝0与x2＋x＋k＝0有一个公共实数根，设为x0， 则 由②得k＝－x－x0，代入①得x＝1，解得x0＝1. 因此，k＝－2. 反过来，当k＝－2时，x2＋kx＋1＝x2－2x＋1＝0，解得x1＝x2＝1； x2＋x＋k＝x2＋x－2＝0，解得x＝1或x＝－2，两方程有公共实数根1. 所以方程x2＋kx＋1＝0与x2＋x＋k＝0有一个公共实数根的充要条件为k＝－2. 拓展·提升 充分条件与必要条件的应用技巧 (1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题； (2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解． [练3] 若集合A＝{x|x>－2}，B＝{x|x≤b，b∈R}，试写出： (1)A∪B＝R的充要条件； (2)A∪B＝R的一个必要不充分条件； (3)A∪B＝R的一个充分不必要条件． 解：集合A＝{x|x>－2}，B＝{x|x≤b，b∈R}． (1)若A∪B＝R，则b≥－2， 故A∪B＝R的充要条件是b≥－2. (2)由(1)知A∪B＝R的充要条件是b≥－2，所以A∪B＝R的一个必要不充分条件可以是b≥－3. (3)由(1)知A∪B＝R的充要条件是b≥－2，所以A∪B＝R的一个充分不必要条件可以是b≥－1. 特别提醒：证明充要条件时，充分性与必要性易混． 1．“a＋b＜0”是“a＜0，b＜0”的 (　　) A.充分不必要条件 B.充要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 C　解析：因为a＋b＜0⇒a，b中至少有一个小于0；又a＜0，b＜0⇒a＋b＜0，所以“a＋b＜0”是“a＜0，b＜0”的必要不充分条件．故选C. 2．设A，B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A⊆B”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 C　解析：结合Venn图(图略)可知，由A∩B＝A，可得A⊆B，反之，若A⊆B，即集合A为集合B的子集，则A∩B＝A，故“A∩B＝A”是“A⊆B”的充要条件．故选C. 3．(2025·大理高一期末检测)若“不等式x－m＜1成立”的充要条件为“x＜2”，则实数m的值为____________________． 答案：1　解析：解不等式x－m＜1得x＜m＋1. 因为“不等式x－m＜1成立”的充要条件为“x＜2”，所以2＝m＋1，解得m＝1. 4．(2025·广州期末检测)“x＝2”是“x2－4＝0”的____________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”或“充要”) 答案：充分不必要　解析：x2－4＝0的解为x＝－2或x＝2，所以x＝2⇒x2＝4，但x2＝4 x＝2，故“x＝2”是“x2－4＝0”的充分不必要条件． 学科网（北京）股份有限公司 $$