15.1.2线段的垂直平分线（2）导与练 2025-2026学年 人教版八年级数学上册

15.1.2线段的垂直平分线（2）导与练 第2课时 线段的垂直平分线的作法与应用 知识要点： 1．如果两个图形成轴对称，那么其对称轴是任何一对对应点所连线段的   2．对于轴对称图形，连接任意一对对应点，作所连线段的垂直平分线  ，可得到这个轴对称图形的  __________ 易错点睛 等腰三角形的对称轴是（   ) A.底边上的高 B.底边上的中线 C.顶角的角平分线 D.底边的垂直平分线 【点睛】  对称轴是直线而不是线段。 典型例题： 题型一 利用基本作图解决选址问题 例1、如图，电信部门要在公路l2同侧、l1异侧的两个城镇A，B之间修建一座信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路L1，l2的距离也必须相等，则发射塔C应修建在什么位置？请用尺规作图的方法作出所有符合条件的点C的位置.（不写作法，保留作图痕迹） 变式练习： 1、 如图，A，B表示两个村庄，l表示河流,要在河边修建一个水泵站P，要求水泵站P到村庄A,B的距离相等，用尺规作图的方法作出水泵站P的位置（不写作法，保留作图痕迹） 2、 如图，某校两个班的学生分别在C，D两处参加植树活动，现要在道路AO，OB的交叉区域内设一个茶水供应点M，使点M到两条道路的距离相等，且MD＝MC，用尺规作图的方法作出茶水供应点M的位置.（不写作法，保留作图痕迹） 题型二 利用基本作图进行问题探究 例2、如图，已知△ABC和ΔA＇B＇C＇关于直线MN对称，ΔA＇B＇C＇和ΔA＂B”C”关于直线EF对称 （1）画出直线EF；（不写作法，保留作图痕迹） （2）若直线MN与EF相交于点0，试探究∠BOB”与直线MN，EF所夹锐角＜α的数量关系. 变式练习： 1、 如图，已知ΔABC. （1）尺规作图： ①作线段AB的垂直平分线l； ②作射线CM平分∠ACB，与直线l交于点D，连接AD，BD.（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，∠ACB和∠ADB的数量关系为   （3）证明你所发现的（2）中的结论． 基础练习： 1、 作出下列轴对称图形的对称轴． 2、下列说法不正确的是（ ） A.两个关于某直线对称的图形一定全等 B.轴对称图形的对称点一定在对称轴的两侧 C.成轴对称的两个图形的对应点连线的垂直平分线是它们的对称轴 D.平面上两个全等的图形不一定关于某条直线对称 3、如图，在ΔABC中，AC＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，连接PA使得PA＋PC＝BC，并说明理由. 4、如图，电信部门要修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等，发射塔应修建在什么位置？请用规作图标出它的位置. 5、请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹。 （1）如图①，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D，画出四边形ABCD的对称轴m； （2） 如图②，四边形ABCD中，AD／／BC，4∠A＝∠D，画出BC边的垂直平分线n. 答案： 知识要点： 1．如果两个图形成轴对称，那么其对称轴是任何一对对应点所连线段的  垂直平分线 2．对于轴对称图形，连接任意一对对应点，作所连线段的垂直平分线  ，可得到这个轴对称图形的  对称轴 易错点睛 等腰三角形的对称轴是（ D ) A.底边上的高 B.底边上的中线 C.顶角的角平分线 D.底边的垂直平分线 【点睛】  对称轴是直线而不是线段。 典型例题： 题型一 利用基本作图解决选址问题 例1、如图，电信部门要在公路l2同侧、l1异侧的两个城镇A，B之间修建一座信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路L1，l2的距离也必须相等，则发射塔C应修建在什么位置？请用尺规作图的方法作出所有符合条件的点C的位置.（不写作法，保留作图痕迹） 解：如图，点C1，C2即为所求． 方法总结：（1）要找与两个点距离相等的点，就在这两点所连线段的垂直平分线上找；（2）要找与两条直线距离相等的点，就在这两条直线相交所成角的平分线上找。 变式练习： 3、 如图，A，B表示两个村庄，l表示河流,要在河边修建一个水泵站P，要求水泵站P到村庄A,B的距离相等，用尺规作图的方法作出水泵站P的位置（不写作法，保留作图痕迹） 4、 如图，某校两个班的学生分别在C，D两处参加植树活动，现要在道路AO，OB的交叉区域内设一个茶水供应点M，使点M到两条道路的距离相等，且MD＝MC，用尺规作图的方法作出茶水供应点M的位置. （不写作法，保留作图痕迹） 解：如图，点M即为所求. 题型二 利用基本作图进行问题探究 例2、如图，已知△ABC和ΔA＇B＇C＇关于直线MN对称，ΔA＇B＇C＇和ΔA＂B”C”关于直线EF对称 （1）画出直线EF；（不写作法，保留作图痕迹） （2）若直线MN与EF相交于点0，试探究∠BOB”与直线MN，EF所夹锐角＜α的数量关系. 解：（1）如图，直线EF即为所求． （2）∠BOB＂＝2∠α．理由如下： ∵ΔABC和ΔA＇B＇C＇关于直线MN对称， ∴BO与B＇0关于直线MN对称． ∴∠BOM=∠B'OM. 同理可得∠B＇OE＝∠B'OE， ∴∠BOB"=2∠B'OM+2∠B'OE=2∠MOE=2∠α. 变式练习： 2、 如图，已知ΔABC. （1）尺规作图： ①作线段AB的垂直平分线l； ②作射线CM平分∠ACB，与直线l交于点D，连接AD，BD.（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，∠ACB和∠ADB的数量关系为∠ACB+∠ADB=180°  （3）证明你所发现的（2）中的结论． （1）解：①②如图所示． （3）证明：如图，过点D分别作DELCA于点E，DF⊥CB的延长线于点F，则 ∠DEA=∠DFB=90°.点D在AB的垂直平分线上， ∴DA＝DB. ∵CD平分∠ACB，DE⊥CA，DF⊥CB，∴DE＝DF． 在RtΔDAE和RtΔDBF中 DA=DB,  DE=DF,  ∴RtΔDAE≌RtΔDBF(HL). ∴∠ADE=∠BDF.∴∠ADB=∠EDF.  ∵∠ECF+∠EDF=360°-∠CED-∠CFD=360°- 90°-90°＝180°，∴∠ECF＋∠ADB＝180°，即 ∠ACB+∠ADB=180°.  基础练习： 2、 作出下列轴对称图形的对称轴． 答案略 2、下列说法不正确的是（B） A.两个关于某直线对称的图形一定全等 B.轴对称图形的对称点一定在对称轴的两侧 C.成轴对称的两个图形的对应点连线的垂直平分线是它们的对称轴 D.平面上两个全等的图形不一定关于某条直线对称 3、如图，在ΔABC中，AC＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，连接PA使得PA＋PC＝BC，并说明理由. 解：如图，作AB的垂直平分线PD交BC于点P， 垂足为D，连接PA， 点P即为所求.理由如下： ∵PD垂直平分AB， ∴PA=PB, ∴PA+PC=PB+PC=BC. 4、如图，电信部门要修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等，发射塔应修建在什么位置？请用规作图标出它的位置. 解：分别作∠mOn和它邻补角的平分线l1，l2，作AB的垂直平分线l3，L3与l1，l2的交点P1，P2即为发射塔的位置。 5、请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹。 （1）如图①，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D，画出四边形ABCD的对称轴m； （3） 如图②，四边形ABCD中，AD／／BC，4∠A＝∠D，画出BC边的垂直平分线n. 解：（1）如图①，直线m即为所求． （2）如图②，直线n即为所求． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$