15.1.2线段的垂直平分线（1） 导与练 2025-2026学年 人教版八年级数学上册

15.1.2线段的垂直平分线（1） 导与练 第1课时 线段的垂直平分线的性质与判定 知识要点： 1． 线段垂直平分线上的点与这条线段   的距离相等. 2．与线段     的点在这条线段的垂直平分线上. 易错点睛： 已知直线l与线段AB交于点O，点P在直线l上，且PA＝PB，下列结论：①OA＝OB，②PO⊥AB，③∠APO＝∠BPO，④点P在线段AB的垂直平分线上.其中结论正确的序号有      典型例题： 题型一 线段垂直平分线的性质的应用 1．求线段长 例1、 如图，在ΔABC中，DE是AC的垂直平分线，若ΔABC的周长为23，ΔABD的周长为15，则AE的长为（   ) A.3 B.4 C.6 D.8 变式练习： 1、 如图，在ΔABC中，AB和AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，且点D在点E的左侧．若BC＝6cm，则ΔADE的周长是(  )  A.3cm B.12cm C.9 cm D.6cm 第1题 第2题 2、如图，AD⊥BE，BD＝DE，点E在线段AC的垂直平分线上．若AB＝6cm，BD＝3cm，则DC的长为(  )  A.3cm B.6cm C.9 cm D.12cm 2.证明角相等 例2、如图，AB＝CD，点E在线段AC，BD的垂直平分线上.求证：∠ABE＝∠CDE.  变式练习： 1、 如图，在四边形ABCD中，AD//BC，O为对角线AC的中点，过点0作AC的垂线分别交AD，BC于点E，F，连接AF.求证：AE=AF.  题型二、线段垂直平分线的判定 例3、如图，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，DE＝DF.求证：AD垂直平分EF.  变式练习： 1、 如图，AD与BC相交于点0，OA＝OC，∠A＝∠C，BE＝DE.求证：OE垂直平分BD. 2、 如图，在RtΔABC中，∠C＝90°∠CAB的平分线AD交BC于点D，DE垂直平分AB.求∠B的度数. 基础练习： 1、 如图所示，AD是线段BC的垂直平分线，垂足为D，下列结论：①AB=AC,②∠B=∠C,③∠BAD=∠CAD,④BD＝CD，∠ADB＝∠ADC＝90°．其中结论正确的个数有（  ) A．1个 B．2个 C．3个  D．4个 2、如图，在ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，CD平分∠ACB，若∠A＝50°，则∠B的度数：_______ 第1题 第2题 第3题 第4题 2、 如图，在ΔA.0BC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，若BC＝6，AC＝5，则ΔACE的周长为   4、如图，在ΔABC中，DE是AC的垂直平分线，若AE＝3，ΔABD的周长为13，则ΔABC的周长为   5、如图，在ΔABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交边AB于点D，交边AC于点E，若ΔABC与ΔEBC的周长分别是40和24，求AB的长． 6、如图，点D在ΔABC的边BC上，且BC＝BD＋AD，则点D在线段 AC 的垂直平分线上. 7、如图，在ΔABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，∠CAD＝20°，∠ACB的补角是110°．求证：BE＝AC． 8、如图，直线AC是线段BD的垂直平分线，垂足为E.求证：∠ABC＝∠ADC. 综合探究 8、 如图，在ΔABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC于点G，且平分BC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F. （1）判断BE与CF的数量关系，并说明理由； （2）如果AB＝8，AC＝6，求AE的长． 答案： 知识要点： 1.线段垂直平分线上的点与这条线段  两个端点 的距离相等. 2．与线段  两个端点距离相等  的点在这条线段的垂直平分线上. 易错点睛： 已知直线l与线段AB交于点O，点P在直线l上，且PA＝PB，下列结论：①OA＝OB，②PO⊥AB，③∠APO＝∠BPO，④点P在线段AB的垂直平分线上.其中结论正确的序号有      【点睛】  易出现如图的错误. 典型例题： 题型一 线段垂直平分线的性质的应用 1．求线段长 例2、 如图，在ΔABC中，DE是AC的垂直平分线，若ΔABC的周长为23，ΔABD的周长为15，则AE的长为（  ) A.3 B.4 C.6 D.8 解析：∵DE垂直平分AC，∴AD＝CD，AE＝CE. ∵ΔABC的周长为23，ΔABD的周长为15， ∴AB+AC+BC=23,AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=15. ∴.AC=23-15=8.,∴AE=AC=4.  答案：B 变式练习： 2、 如图，在ΔABC中，AB和AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，且点D在点E的左侧．若BC＝6cm，则ΔADE的周长是( D )  A.3cm B.12cm C.9 cm D.6cm 第1题 第2题 2、如图，AD⊥BE，BD＝DE，点E在线段AC的垂直平分线上．若AB＝6cm，BD＝3cm，则DC的长为( C )  A.3cm B.6cm C.9 cm D.12cm 2.证明角相等 例2、如图，AB＝CD，点E在线段AC，BD的垂直平分线上.求证：∠ABE＝∠CDE.  证明：如图，连接AE，CE. ∵点E在线段AC，BD的垂直平分线上， ∴AE=CE,BE=DE. 在ΔABE和ΔCDE中：AB=CD,AE=CE,BE=DE ∴ΔABE≌ΔCDE(SSS)·∴∠ABE=∠CDE. 变式练习： 2、 如图，在四边形ABCD中，AD//BC，O为对角线AC的中点，过点0作AC的垂线分别交AD，BC于点E，F，连接AF.求证：AE=AF.  证明：∵AD//BC， ∴∠OAE=∠OCF.  在ΔAOE和ΔCOF中， ∠OAE=∠OCF,  OA=OC,  ∠AOE=∠COF, ∴ΔAOE≌ΔCOF(ASA)·∴OE=OF. 又AC⊥EF，∴AC垂直平分EF·∴AE＝AF． 题型二、线段垂直平分线的判定 例3、如图，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，DE＝DF.求证：AD垂直平分EF.  证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠AED=∠AFD=90°. 在RtΔAED和RtΔAFD中， AD=AD, DE=DF, ∴RtΔAED≌RtΔAFD(HL).  ∴AE=AF.  又DE＝DF， ∴点A，D都在EF的垂直平分线上． ∴AD是线段EF的垂直平分线，即AD垂直平分EF. 变式练习： 3、 如图，AD与BC相交于点0，OA＝OC，∠A＝∠C，BE＝DE.求证：OE垂直平分BD. 证明：在ΔAOB和ΔCOD中： ∠A=∠C, OA=OC, ∠AOB=∠COD, ΔAOB≌ΔCOD(ASA). ∴OB=OD. ∴0在线段BD的垂直平分线上。 ∴BE=DE, ∴点E在线段BD的垂直平分线上。 ∴OE是线段BD的垂直平分线，即OE垂直平分BD. 4、 如图，在RtΔABC中，∠C＝90°∠CAB的平分线AD交BC于点D，DE垂直 平分AB.求∠B的度数. 解：∵DE垂直平分AB， ∴AD=BD,∠AED=∠BED=90° 在RtΔADE和RtΔBDE中： AD=BD, DE=DE, ∴RtΔADE≌RtΔBDE(HL). ∴∠DAE=∠B·∵∠C=90°, ∴∠CAB＋∠B＝90°∴AD平分∠CAB， ∴∠CAB=2∠DAE·∴2∠DAE+∠B=2∠B+∠B=3∠B=90°·∴∠B=30°. 基础练习： 3、 如图所示，AD是线段BC的垂直平分线，垂足为D，下列结论：①AB=AC,②∠B=∠C,③∠BAD=∠CAD,④BD＝CD，∠ADB＝∠ADC＝90°．其中结论正确的个数有（ D ) A．1个 B．2个 C．3个  D．4个 2、如图，在ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，CD平分∠ACB，若∠A＝50°，则∠B的度数：___300_____ 第1题 第2题 第3题 第4题 3、如图，在ΔABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，若BC＝6，AC＝5，则ΔACE的周长为 11  4、如图，在ΔABC中，DE是AC的垂直平分线，若AE＝3，ΔABD的周长为13，则ΔABC的周长为  19 5、如图，在ΔABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交边AB于点D，交边AC于点E，若ΔABC与ΔEBC的周长分别是40和24，求AB的长． ∵DE是AB的垂直平分线， ∴AE=BE； ∵△ABC的周长=AB+AC+BC，△EBC的周长=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC， ∴△ABC的周长-△EBC的周长=AB， ∴AB=40-24=16（cm）． 故答案为：16． 6、如图，点D在ΔABC的边BC上，且BC＝BD＋AD，则点D在线段 AC 的垂直平分线上. 7、如图，在ΔABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段 CE的中点，∠CAD＝20°，∠ACB的补角是110°．求证：BE＝AC． 证明：如图，连接AE. ∵∠ACB的补角是110°。 ∴∠ACB=180°-110°=70° ∵∠DAC=20°,∴∠DAC+∠ACD=90° ∴∠ADC=90°,∴AD⊥EC. 又D为线段CE的中点， ∴DE＝DC，∴AD垂直平分CE，∴AE＝AC. ∵EF垂直平分AB，∴AE＝BE，∴BE＝AC. 8、如图，直线AC是线段BD的垂直平分线，垂足为E.求证：∠ABC＝∠ADC. 证明：∵直线AC是线段BD的垂直平分线， ∴AB=AD,BC=DC. 在ΔABC和ΔADC中， AC=AC,            AB=AD, BC=DC, ∴ΔABC≌ΔADC(SSS).∴∠ABC=∠ADC. 综合探究 9、 如图，在ΔABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC于点G，且平分BC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F. （1）判断BE与CF的数量关系，并说明理由； （2）如果AB＝8，AC＝6，求AE的长． 解：（1）BE＝CF．理由如下：如图，连接BD，CD． ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，  ∴∠EAD=∠FAD,DE=DF,∠BED=∠CFD=90°.  ∵DG⊥BC且平分BC， ∴BD=CD.  在RtΔBED和RtΔCFD中， BD=CD,  DE=DF,  ∴RtΔBED≌RtΔCFD（HL）. ∴BE=CF. （2）在ΔAED和ΔAFD中， ∠AED=∠AFD=90°,∠EAD=∠FAD, AD=AD,  ∴ΔAED≌ΔAFD（AAS）． ∴AE=AF. ∵AB=AE+BE=8,AC=AF-CF=AE-BE=6, ∴AB+AC=2AE=14, ∴AE=7. www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$