课时梯级训练(40) 从频数到频率 频率分布直方图（Word练习）-【优化指导】2025-2026学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

课时梯级训练(40)　从频数到频率　频率分布直方图 1．(2025·哈密高一期末)一个容量100的样本，其数据的分组与各组的频数如下表： 组别 (0，10] (10，20] (20，30] (30，40] (40，50] (50，60] (60，70] 频数 12 13 24 15 16 13 7 则样本数据落在(0，40]内的频率为 (　　) A．0.42 B．0.39 C．0.52 D．0.64 D　解析：由题中频数分布表知，样本数据落在(0，40]内的频率为＝0.64.故选D. 2．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：cm)数据绘制成频率分布直方图(如图).若要从身高在[120，130)，[130，140)，[140，150]三组内的学生中，用分层随机抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为 (　　) A．3 B．4 C．5 D．6 A　解析：∵频率分布直方图中各个小矩形的面积之和为1， ∴10×(0.005＋0.035＋a＋0.02＋0.01)＝1， 解得a＝0.03， 由频率分布直方图可知在[120，130)，[130，140)，[140，150]三个区域内的学生总数为 100×10×(0.03＋0.02＋0.01)＝60， 其中身高在[140，150]内的学生人数为×18＝3. 故选A. 3．如图是某班50名学生期中考试物理成绩的频率分布直方图，其中成绩(单位：分)分组区间是[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，则图中x的值等于 (　　) A．0.120 B．0.180 C．0.012 D．0.018 D　解析：根据频率分布直方图，可得10(0.006＋0.006＋0.010＋0.054＋x＋0.006)＝1，解得x＝0.018.故选D. 4．(多选)下列说法中错误的是 (　　) A．用样本的频率分布估计总体的频率分布时，样本容量越大，所分的组数越多，估计越精确 B．一个容量为n的样本，分成若干组，已知某组的频数和频率分别是40，0.125，则n的值为240 C．频率分布直方图中，小矩形的高等于该组的频率 D．将频率分布直方图中小矩形上面一边的一个端点顺次连接起来，就可以得到频率折线图 BCD　解析：A中，大样本往往更接近于总体，故A正确；B中，n＝40÷0.125＝320，故B错误；C中，频率分布直方图中，小矩形的高等于该小组的，故C错误；D中，应将频率分布直方图中各小矩形上端的中点顺次连接起来得到频率折线图，故D错误．故选BCD. 5．某校抽取100名学生测身高，其中身高最大值为186 cm，最小值为154 cm，根据身高数据绘制频率分布直方图，组距为5，且第一组下限为153.5，则组数为________． 答案：7　解析：第一组[153.5，158.5)；第二组[158.5，163.5)；第三组[163.5，168.5)；第四组[168.5，173.5)；第五组[173.5，178.5)；第六组[178.5，183.5)；第七组[183.5，188.5].所以组数为7. 6．已知某一段公路限速70 km/h，现抽取400辆通过这一段公路的汽车的速度，其频率分布直方图如图所示，则这400辆汽车中在该路段超速的有______辆． 答案：80　解析：速度在(70，80]内的频率为 1－(0.01×10＋0.03×10＋0.04×10)＝0.2， ∴在(70，80]内的频数为0.2×400＝80. 故在该路段超速的车有80辆． 7．(2025·衡水高一期末)某市为迎接运动会而招收志愿者，现已有高一540人、高二360人、高三180人报名参加志愿活动．根据活动安排，拟采用分层随机抽样的方法，从已报名的志愿者中抽取120名．对抽出的120名同学某天参加活动的时间进行了统计，活动时间均在39.5至99.5 min之间，其频率分布直方图如下： (1)需从高一、高二、高三报名的学生中各抽取多少人； (2)请补全频率分布直方图． 解：(1)报名的学生共有1 080人，抽取的比例为＝， 所以高一抽取540×＝60(人)，高二抽取360×＝40(人)，高三抽取180×＝20(人). (2)第三组的频率为1－(0.1＋0.15＋0.3＋0.25＋0.05)＝0.15，故第三组的小矩形的高度为0.015，补全频率分布直方图如图所示． 8．生产过程中，测得纤维产品的纤度(表示纤细的一种量)，共有100个数据，将数据分组如下表： 分组 频数 频率 [1.30，1.34) 4 [1.34，1.38) 25 [1.38，1.42) 30 [1.42，1.46) 29 [1.46，1.50) 10 [1.50，1.54] 2 合计 100 (1)完成频率分布表，并画出频率分布直方图； (2)估计纤度落在[1.38，1.50)内的可能性及纤度小于1.42的可能性各是多少． 解：(1)频率分布表如下： 分组 频数 频率 [1.30，1.34) 4 0.04 [1.34，1.38) 25 0.25 [1.38，1.42) 30 0.30 [1.42，1.46) 29 0.29 [1.46，1.50) 10 0.10 [1.50，1.54] 2 0.02 合计 100 1.00 频率分布直方图如图所示． (2)利用样本估计总体，则纤度落在[1.38，1.50)内的可能性即为纤度落在[1.38，1.50)内的频率，即为0.30＋0.29＋0.10＝0.69＝69%. 纤度小于1.42的可能性即为纤度小于1.42的频率，即为0.04＋0.25＋0.30＝0.59＝59%. 9．(多选)为征求个人所得税法修改建议，某机构调查了10 000名当地职工的月收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图如下． 下列说法正确的是 (　　) A.月收入低于5 000元的职工有5 500名 B．如果个税起征点调整至5 000元，估计有50%的当地职工会被征税 C．月收入高于或等于7 000元的职工约为当地职工的5% D．根据此次调查，为使60%以上的职工不用缴纳个税，起征点应位于[5 000，6 000)内 ACD　解析：月收入低于5 000元的职工有10 000×(0.000 1＋0.000 2＋0.000 25)×1 000＝5 500(名)，A正确；如果个税起征点调整至5 000元，由(0.000 25＋0.000 15＋0.000 05)×1 000×100%＝45%，可估计有45%的当地职工会被征税，B不正确；月收入高于或等于7 000元的职工约占0.000 05×1 000×100%＝5%，C正确；月收入低于5 000元的频率为0.55，低于6 000元的频率为0.8，D正确．故选ACD. 10．如图是某高校土木工程系大三年级55名学生期末考试专业成绩的频率折线图，其中组距为10，且本次考试中最低分为50分，最高分为100分．根据图中所提供的信息，判断下列说法正确的是 (　　) A．成绩是75分的有20人 B．成绩是100分的人数比成绩是50分的人数多 C．成绩落在70～90分的有35人 D．成绩落在75～85分的有35人 C　解析：A错误，成绩落在70～80分的人数为10××55＝20，但不能说成绩是75分的有20人；B错误，由题中频率折线图看不出成绩是100分的人数比成绩是50分的人数多，只能看出成绩落在50～60分的人数和成绩落在90～100分的人数相等；C正确，成绩落在70～90分的有(10×＋10×)×55＝35(人)；D错误，无法判断成绩落在75～85分的人数．故选C. 11．在样本的频率分布直方图中，共有8个小长方形，若最后一个小长方形的面积等于其他7个小长方形的面积和的，且样本容量为200，则第8组的频数为________． 答案：40　解析：设最后一个小长方形的面积为x，则其他7个小长方形的面积为4x，从而x＋4x＝1，所以x＝0.2.故第8组的频数为200×0.2＝40. 12．某电子商务公司对10 000名网络购物者2023年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间[0.3，0.9]内，其频率分布直方图如图所示． (1)直方图中的a＝________； (2)在这些购物者中，消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为________． 答案：(1)3.0　(2)6 000　解析：(1)由0.1×1.5＋0.1×2.5＋0.1a＋0.1×2.0＋0.1×0.8＋0.1×0.2＝1，解得a＝3.0. (2)区间[0.3，0.5)内的频率为0.1×1.5＋0.1×2.5＝0.4，故[0.5，0.9]内的频率为1－0.4＝0.6. 因此，消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为0.6×10 000＝6 000. 13．如图是一次考试结果的频率分布直方图，若规定成绩60分以上(含60分)为考试合格，则这次考试的合格率为________． 答案：72%　解析：由题图知合格率为(0.024＋0.012)×20×100%＝72%. 14．某市2024年4月1日～4月30日对空气污染指数的监测数据如下(主要污染物为可吸入颗粒物)： 61，76，70，56，81，91，92，91，75，81，88，67，101，103，95，91，77，86，81，83，82，82，64，79，86，85，75，71，49，45. (1)列出频率分布表； (2)画出频率分布直方图； (3)根据国家标准，污染指数在0～50之间时，空气质量为优；在51～100之间时，为良；在101～150之间时，为轻微污染；在151～200之间时，为轻度污染． 请你依据所给数据和上述标准，对该市的空气质量给出一个简短评价． 解：(1)频率分布表如下： 分组 频数 频率 [41，51) 2 [51，61) 1 [61，71) 4 [71，81) 6 [81，91) 10 [91，101) 5 [101，111] 2 合计 30 1 (2)频率分布直方图如图所示． (3)答对下述两条中的一条即可： ①该市一个月中空气污染指数有2天处于优的水平，占当月天数的；有26天处于良的水平，占当月天数的；处于优或良的天数为28，占当月天数的.说明该市空气质量基本良好． ②处于轻微污染的有2天，占当月天数的；污染指数在80以上接近轻微污染的天数15，加上处于轻微污染的天数2，占当月天数的，超过50%.说明该市空气质量有待进一步改善． 15．(多选)2024年3月6日，小明同学因发热而住院，如图是根据护士为他测量的体温所绘制的体温折线图． 根据图中的信息可得 (　　) A．护士每隔6 h给小明测量一次体温 B．近三天来，小明的最低体温是38 ℃ C．从体温看，小明的病情在不断好转 D．如果连续36 h体温不超过37.2 ℃的话，可认为基本康复，那么小明最快可以在3月10日凌晨5时出院 AC　解析：根据题中横轴表示的意义，可知护士每隔6 h给小明测量一次体温，故A正确； 从题中折线统计图中的最高点和最低点对应的纵轴意义，可知近三天最低体温是36.8 ℃，故B错误； 从题图中可知小明的体温总体呈下降趋势，并趋于稳定，因此病情在好转，故C正确； 3月8日18时小明的体温是37 ℃，其后的体温未超过37.2 ℃，自3月8日18时起计算，连续36小时后对应的时间为3月10日凌晨6时，因此小明最快可以在3月10日凌晨6时出院，故D错误．故选AC. 学科网（北京）股份有限公司 $$