课时梯级训练(24) 指数函数的概念（Word练习）-【优化指导】2025-2026学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

课时梯级训练(24)　指数函数的概念 1．设指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，则下列等式不正确的是 (　　) A．f(x＋y)＝f(x)·f(y) B．f((xy)n)＝[f(x)]n·[f(y)]n C．f(x－y)＝ D．f(nx)＝[f(x)]n B　解析：由am＋n＝am·an及am－n＝知A，C，D正确．故选B. 2．若函数y＝(a－2)2ax是指数函数，则 (　　) A．a＝1或a＝3 B．a＝1 C．a＝3 D．a>0且a≠1 C　解析：由指数函数定义知解得a＝3.故选C. 3．为了保证信息安全，传输必须使用加密方式，有一种方式的加密、解密原理如下： 明文密文密文明文 已知加密函数为y＝ax－2(x为明文，y为密文)，如果明文“3”通过加密后得到的密文为“6”，发送后，接受方通过解密得到明文“3”，若接受方收到密文“14”，则密文“14”对应的明文是 (　　) A．1 B．2 C．3 D．4 D　解析：依题意知y＝ax－2中，当x＝3时，y＝6，故6＝a3－2，解得a＝2，所以加密函数为y＝2x－2，当y＝14时，由14＝2x－2，解得x＝4.故选D. 4．函数y＝1－2x，x∈[0，1]的值域是 (　　) A．[0，1] B．[－1，0] C．[0，] D．[－，0] B　解析：由指数函数y＝2x在x∈[0，1]上单调递增，知1≤2x≤2，∴y＝1－2x∈[－1，0].故选B. 5．(多选)如图，某湖泊的蓝藻的面积y(单位：m2)与时间t(单位：月)的关系满足y＝at，则下列说法正确的是 (　　) A．蓝藻面积每个月的增长率为100% B．蓝藻每个月增加的面积都相等 C．第6个月时，蓝藻面积会超过60 m2 D．若蓝藻面积蔓延到2 m2，3 m2，6 m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则一定有t1＋t2＝t3 ACD　解析：由题图可知，函数y＝at的图象经过点(1，2)，即a1＝2，则a＝2，∴y＝2t， ∴2t+1－2t＝2t不是常数，则蓝藻每个月的面积是上个月的2倍，因而每个月的增长率为100%，A正确，B错误； 当t＝6时，y＝26＝64>60，C正确； 若蓝藻面积蔓延到2 m2，3 m2，6 m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则2t1＝2，2t2＝3，2t3＝6，于是2t1·2t2＝2×3，即2t1＋t2＝6，因而t1＋t2＝t3，D正确．故选ACD. 6．(多选)已知函数f(x)＝则下列说法正确的是 (　　) A．f(x)的值域为[0，＋∞) B．f(x)的图象与直线y＝2有两个交点 C．f(x)在其定义域上不具有单调性 D．f(x)是偶函数 ABC　解析：函数f(x)的图象如图所示， 由图可知，f(x)的值域为[0，＋∞)，A正确；f(x)的图象与直线y＝2有两个交点，B正确； f(x)在R上不具有单调性，C正确；f(x)不具有奇偶性，D错误．故选ABC. 7．若函数f(x)＝(a2－2a＋2)(a＋1)x是指数函数，则a＝________． 答案：1　解析：由指数函数的定义得解得a＝1. 8．若函数f(x)是指数函数，且f(2)＝9，则f(－2)＝________，f(1)＝________． 答案：　3　解析：设f(x)＝ax(a>0，且a≠1). ∵f(2)＝9， ∴a2＝9，a＝3，即f(x)＝3x， ∴f(－2)＝3-2＝，f(1)＝3. 9．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝2x. (1)求函数f(x)的解析式； (2)若|f(m)|＝4，求实数m的值． 解：(1)因为函数f(x)是定义在R上的奇函数， 所以f(0)＝0，又当x>0时，f(x)＝2x， 设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝2－x， 又f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)， 即－f(x)＝2－x，所以f(x)＝－2－x. 综上，f(x)＝ (2)因为f(x)＝ |f(m)|＝4，显然m≠0， 所以或 解得m＝2或m＝－2. 10．函数y＝－1的值域为 (　　) A．[1，＋∞) B．(－1，1) C．[－1，＋∞) D．[－1，1) D　解析：∵2x>0，∴4－2x<4.又∵4－2x≥0，∴0≤4－2x<4.令t＝4－2x，则t∈[0，4)，∴∈[0，2)， ∴y∈[－1，1)，即函数的值域是[－1，1).故选D. 11．已知实数a≠1，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为________． 答案：　解析：当a<1时，41-a＝21，解得a＝； 当a>1时，代入不成立．故a的值为. 12．某林区2023年木材蓄积量为200万立方米，因为采取了封山育林、严禁采伐等措施，所以木材蓄积量的年平均递增率能达到5%. (1)若经过x年后，该林区的木材蓄积量为y万立方米，求y＝f(x)的表达式，并求此函数的定义域； (2)求经过多少年后，该林区的木材蓄积量能达到300万立方米．(1.058≈1.48，1.059≈1.55). 解：(1)由题意可知，f(x)＝200(1＋5%)x，函数的定义域为N＋. (2)由200(1＋5%)x＝300，得1.05x＝1.5， 由1.058≈1.48，1.059≈1.55可知，经过9年后，该林区的木材蓄积量能达到300万立方米． 13．已知函数f(x)满足f(x＋1)的定义域是[0，31)，则f(2x)的定义域是 (　　) A．[1，32) B．[－1，30) C．[0，5) D．(－∞，30] C　解析：∵f(x＋1)的定义域是[0，31)，∴0≤x<31， ∴1≤x＋1<32，∴f(x)的定义域是[1，32)， ∴f(2x)有意义必须满足20＝1≤2x<32＝25，∴0≤x<5.故选C. 14．若函数f(x)＝则函数f(x)的值域是________． 答案：(－1，0)∪(0，1)　解析：由x<0，得0<2x<1. ∵x>0，∴－x<0，0<2－x<1， ∴－1<－2－x<0， ∴函数f(x)的值域为(－1，0)∪(0，1). 学科网（北京）股份有限公司 $$