课时梯级训练(23) 指数幂的拓展 指数幂的运算性质（Word练习）-【优化指导】2025-2026学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

课时梯级训练(23)　指数幂的拓展　指数幂的运算性质 1．若a＝，b＝，则a＋b的值为 (　　) A．1 B．5 C．－1 D．2π－5 A　解析：依题意，a＝＝3－π，b＝＝|2－π|＝π－2， 则a＋b＝(3－π)＋(π－2)＝1， 所以a＋b的值为1.故选A. 2．(2024·桂林高一期末)设a>0，则下列等式恒成立的是 (　　) A．am＋an＝am＋n B. am·an＝amn C．(am)n＝am＋n D. am·an＝am＋n D　解析：由指数幂运算法则可知am·an＝am＋n，(am)n＝amn，B，C错误，D正确，当a＝m＝n＝1时，am＋an＝2，am＋n＝1，故am＋an≠am＋n，A错误．故选D. 3．计算：的值为 (　　) A．17 B．18 C．6 D．5 B　解析：＋1＝1π＋24＋1＝18.故选B. 4．设a－a＝m，则＝ (　　) A．m2－2 B．2－m2 C．m2＋2 D．m2 C　解析：将a－a＝m两边平方， 得(a－a)2＝m2，即a－2＋a-1＝m2， 所以a＋a-1＝m2＋2， 即a＋＝m2＋2，所以＝m2＋2.故选C. 5．(多选)下列各式既符合分数指数幂的定义，值又相等的是 (　　) BC　解析：A不符合题意，(－1)和(－1)均符合分数指数幂的定义，但(－1)＝＝－1，(－1)＝＝1；B符合题意，；C符合题意，4＝＝2；D不符合题意，均符合分数指数幂的定义，但＝23＝8.故选BC. 6．(多选)下列各等式中成立的是 (　　) A．a＝(a>0) B．a＝(a>0) C．a＝(a>0) D．a＝－(a>0) BC　解析：a＝，a＝，a＝，a＝，只有B，C正确．故选BC. 7．－＋的值为________． 答案：　解析：原式＝()－()＋＝[()2]－[()3]＋＝－＋＝. 8．已知＋＝－a－b，求＋的值． 解：因为＋＝－a－b，所以＝－a，＝－b， 所以a≤0，b≤0，所以a＋b≤0， 所以原式＝|a＋b|＋a＋b＝－(a＋b)＋a＋b＝0. 9．已知2a＝3，3a＝4，求12的值． 解：12＝(22×3)＝2a×(3a)＝3×4＝6. 10．设x，y是正数，且xy＝yx，y＝9x，则x的值为 (　　) A． B． C．1 D． B　解析：∵x9x＝(9x)x，即(x9)x＝(9x)x， ∴x9＝9x.∴x8＝9.∴x＝＝.故选B. 11．若，则y的最小值是________． 答案：－　解析：由已知得， 所以y＝(x2－x)＝(x－)2－， 所以y的最小值是－. 12．已知函数f(x)＝ax＋a－x(a>0，且a≠1). (1)若f(1)＝3，求f(2)的值； (2)若a＝2，f(m)＝，求m的值． 解：(1)因为f(1)＝a＋＝3， 所以(a＋)2＝9，a2＋＋2＝9， 所以a2＋＝7，即f(2)＝7. (2)若a＝2，则f(x)＝2x＋2－x. 由f(m)＝得2m＋2－m＝. 令t＝2m(t>0)，则t＋＝，即4t2－17t＋4＝0， 所以t＝或t＝4，即2m＝或2m＝4， 所以m＝－2或m＝2. 13．设α，β是方程5x2＋10x＋1＝0的两个根，则2α·2β＝________，(2α)β＝________． 答案：　2　解析：由根与系数的关系得α＋β＝－2，αβ＝， 则2α·2β＝2α＋β＝2-2＝，(2α)β＝2αβ＝2. 14．已知2a·3b＝2c·3d＝6，求证：(a－1)(d－1)＝(b－1)(c－1). 证明：∵2a·3b＝6，∴2a-1·3b-1＝1， ∴(2a-1·3b-1)d-1＝1， 即2(a-1)(d-1)·3(b-1)(d-1)＝1.① 又2c·3d＝6，∴2c-1·3d-1＝1， ∴(2c-1·3d-1)b-1＝1， 即2(c-1)(b-1)·3(d-1)(b-1)＝1.② 由①②知2(a-1)(d-1)＝2(c-1)(b-1)， ∴(a－1)(d－1)＝(b－1)(c－1). 学科网（北京）股份有限公司 $$