课时梯级训练(19) 函数的单调性（Word练习）-【优化指导】2025-2026学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

课时梯级训练(19)　函数的单调性 1．已知函数y＝f(x)在区间[－5，5]上单调递增，那么下列不等式中成立的是 (　　) A．f(4)>f(－π)>f(3) B．f(π)>f(4)>f(3) C．f(4)>f(3)>f(π) D．f(－3)>f(－π)>f(－4) D　解析：由函数y＝f(x)在区间[－5，5]上单调递增，得f(4)>f(π)>f(3)>f(－3)>f(－π)>f(－4).故选D. 2．下列函数中，在区间(0，2)上单调递增的是 (　　) A．y＝－3x＋2 B．y＝ C．y＝x2－4x＋5 D．y＝3x2＋8x－10 D　解析：显然A，B两项在区间(0，2)上单调递减，排除；对C项，函数在区间(－∞，2)上单调递减，也不符合题意；对D项，函数在(－，＋∞)上单调递增，所以在区间(0，2)上也单调递增．故选D. 3．已知函数y＝f(x)在R上为增函数，则下列结论一定正确的是 (　　) A．y＝在R上为减函数 B．y＝|f(x)|在R上为增函数 C．y＝[f(x)]2在R上为增函数 D．y＝－f(x)在R上为减函数 D　解析：由函数y＝f(x)在R上为增函数，可设y＝f(x)＝x.对于A，y＝＝，定义域为{x|x≠0}，不满足在R上为减函数，所以A错误；对于B，y＝|f(x)|＝|x|，在区间(－∞，0]上单调递减，在区间[0，＋∞)上单调递增，所以不满足在R上为增函数，所以B错误；对于C，y＝[f(x)]2＝x2，在区间(－∞，0]上单调递减，在区间[0，＋∞)上单调递增，所以不满足在R上为增函数，所以C错误；对于D，若函数y＝f(x)在R上为增函数，则对任意的x1，x2∈R，且x1<x2时，都满足f(x1)<f(x2)，当y＝－f(x)时，[－f(x1)]－[－f(x2)]＝f(x2)－f(x1)>0，即y＝－f(x)为R上的减函数．故选D. 4．函数f(x)＝x|x－2|的单调递增区间是 (　　) A．(－∞，1] B．[2，＋∞) C．(－∞，1]和[2，＋∞) D．(－∞，＋∞) C　解析：f(x)＝x|x－2|＝作出f(x)简图如图： 由图象可知f(x)的单调递增区间是(－∞，1]和[2，＋∞).故选C. 5．(多选)如果函数f(x)在区间[a，b]上单调递增，则对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列结论中正确的是 (　　) A．>0 B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0 C．f(a)≤f(x1)<f(x2)≤f(b) D．f(x1)≠f(x2) ABD　解析：由函数单调性的定义可知，若函数y＝f(x)在给定的区间上单调递增，则x1－x2与f(x1)－f(x2)同号，由此可知，选项A，B正确；对于C，若x1>x2，则f(x1)>f(x2)，故C不正确；对于D，因为f(x)在区间[a，b]上单调，且x1≠x2，所以f(x1)≠f(x2)，故D正确．故选ABD. 6．(多选)使函数f(x)＝ax2－2x＋1在区间[1，2]上单调递增的条件可以是 (　　) A．0<a<1 B．a≥1 C．a>1 D．－1<a<0 BC　解析：若f(x)在区间[1，2]上单调递增，则或解得a≥1.故选BC. 7．函数f(x)＝的单调递增区间为________． 答案：(－∞，＋∞)　解析：画出函数图象如图所示，由图象可知，f(x)在区间(－∞，＋∞)上是增函数，即f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞). 8．已知函数y＝f(x)是R上的增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，则实数x的取值范围为________． 答案：(－∞，1)　解析：∵f(x)在R上是增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)， ∴2x－3>5x－6，即x<1. ∴实数x的取值范围为(－∞，1). 9．判断函数f(x)＝在区间(1，＋∞)上的单调性，并用单调性的定义证明． 解：函数f(x)＝在区间(1，＋∞)上单调递减． 证明如下： 任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝－＝＝. ∵x1<x2，∴x2－x1>0， 又x1，x2∈(1，＋∞)， ∴x2＋x1>0，x－1>0，x－1>0. ∴>0，即f(x1)>f(x2). ∴f(x)在区间(1，＋∞)上单调递减． 10．(多选)已知函数f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋5，下列关于函数f(x)的单调性的说法正确的是 (　　) A．当a＝0时，函数f(x)在R上不具有单调性 B．当a＝1时，f(x)在区间(－∞，0)上单调递减 C．若f(x)的单调递减区间是(－∞，－4]，则a的值为－1 D．若f(x)在区间(－∞，3)上单调递减，则a的取值范围是[0，] BD　解析：当a＝0时，f(x)＝－12x＋5，在R上是减函数，A错误；当a＝1时，f(x)＝2x2－8x＋5，其单调递减区间是(－∞，2]，因此f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，B正确；由f(x)的单调递减区间是(－∞，－4]，得a的值不存在，C错误；在D中，当a＝0时，f(x)＝－12x＋5，在区间(－∞，3)上单调递减；当a≠0时，由得0<a≤，所以a的取值范围是[0，]，D正确．故选BD. 11．若函数f(x)＝在区间[m，＋∞)上单调递增，则实数m的取值范围是________． 答案：(－1，＋∞)　解析：f(x)＝＝＝2＋，根据函数图象平移法则，可理解为f(x)的图象是由h(x)＝－的图象向左平移一个单位长度，再向上平移两个单位长度得到的．如图，要使函数f(x)＝在区间[m，＋∞)上单调递增，则需满足m∈(－1，＋∞). 12．判断函数f(x)＝x＋(p>0)的单调性． 解：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝x1＋－(x2＋)＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)·.(*) 当x1，x2∈(0，)时，0<x1x2<p，x1－x2<0， 所以(*)式大于0，即f(x1)－f(x2)>0， 所以f(x1)>f(x2)， 即f(x)在(0，)上单调递减； 当x1，x2∈[，＋∞)时，x1x2>p，x1－x2<0， 所以(*)式小于0，即f(x1)－f(x2)<0， 所以f(x1)<f(x2)， 即f(x)在[，＋∞)上单调递增． 同理，可得当x∈(－，0)时， f(x)＝x＋单调递减； 当x∈(－∞，－]时，f(x)＝x＋单调递增． 综上所述，f(x)＝x＋(p>0)在(－∞，－]和[，＋∞)上单调递增，在(－，0)和(0，)上单调递减． 13．(2025·桂林高一期末)已知函数f(x)＝在R上单调递增，则实数a的取值范围是 (　　) A．(－1，1] B．(－1，2) C．[1，2) D．(1，＋∞) A　解析：根据题意，函数f(x)在x<1时单调递增，即a＋1>0，解得a>－1； 易知，二次函数y＝x2－2x＋4是开口向上且关于直线x＝1对称的抛物线，所以x≥1时单调递增；若满足函数f(x)在R上单调递增，则分段端点处的函数值需满足(a＋1)×1＋1≤12－2×1＋4，如图所示： 所以a＋2≤3，解得a≤1. 综上可得－1<a≤1.故选A. 14．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)对任意x，y∈(0，＋∞)，恒有f(xy)＝f(x)＋f(y)，且当0<x<1时，f(x)>0，f()＝1. (1)判断函数f(x)在区间(0，＋∞)上的单调性并加以证明； (2)若f(x)＋f(2－x)<2，求x的取值范围． 解：(1)函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减．证明如下： ∀x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝f(x2·)－f(x2)＝f()＋f(x2)－f(x2)＝f(). ∵x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2， ∴0<<1，∴f()>0. ∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)， ∴f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减． (2)令x＝y＝，则f()＝2f()＝2. 由f(x)＋f(2－x)<2，得f(x(2－x))<f()， ∴ 解得1－<x<1＋. 故x的取值范围是(1－，1＋). 学科网（北京）股份有限公司 $$