课时梯级训练(13) 一元二次函数（Word练习）-【优化指导】2025-2026学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

课时梯级训练(13)　一元二次函数 1．一元二次函数y＝－x2＋2x－5，当x取全体实数时，y有 (　　) A．最大值－5 B．最小值－5 C．最大值－4 D．最小值－4 C　解析：配方，得y＝－(x－1)2－4，所以当x＝1时，ymax＝－4.故选C. 2．已知某一元二次函数的图象与函数y＝2x2的图象的形状一样，开口方向相反，且其顶点为(－1，3)，则此函数的解析式为 (　　) A．y＝2(x－1)2＋3 B．y＝2(x＋1)2＋3 C．y＝－2(x－1)2＋3 D．y＝－2(x＋1)2＋3 D　解析：设所求函数的解析式为y＝－2(x＋h)2＋k，根据顶点为(－1，3)，可得h＝1，且k＝3，故所求的函数解析式为y＝－2(x＋1)2＋3.故选D. 3．下列函数的图象通过平移能与一元二次函数y＝x2－2x－1的图象重合的是 (　　) A．y＝2x2－x＋1 B．y＝x2＋2x＋1 C．y＝x2－2x－1 D．y＝x2＋2x＋1 B　解析：∵经过平移后能与一元二次函数y＝x2－2x－1的图象重合，∴a＝1，观察选项，只有选项B符合题意．故选B. 4．若某产品的利润y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式为y＝－2x2＋40x＋300，则利润y取最大值时，产量x等于 (　　) A．10 B．20 C．30 D．40 A　解析：y＝－2(x－10)2＋500，当x＝10时，y取最大值．故选A. 5．(多选)如图是一元二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为直线x＝－1.则下列结论正确的有 (　　) A．b2＞4ac B．2a－b＝1 C．a－b＋c＝0 D．5a＜b AD　解析：因为图象与x轴交于两点，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，A正确；对称轴为直线x＝－1，即－＝－1，2a－b＝0，B错误；结合图象，当x＝－1时，y＞0，即a－b＋c＞0，C错误；由对称轴为直线x＝－1知，b＝2a，又函数图象开口向下，所以a＜0，所以5a＜2a，即5a＜b，D正确．故选AD. 6．(多选)已知函数f(x)＝x2－3x－4，则 (　　) A．函数f(x)的图象与x轴有两个不同的交点 B．函数f(x)有最大值 C．对任意x∈R，函数f(x)≥－恒成立 D．∃x∈R，使得函数f(x)＝π ACD　解析：令x2－3x－4＝0，解得x1＝4，x2＝－1，故函数f(x)的图象与x轴有两个不同的交点，A正确； f(x)＝x2－3x－4，二次函数图象开口向上，没有最大值，B错误； f(x)＝x2－3x－4＝(x－)2－≥－，C正确； f(x)＝x2－3x－4＝π，即x2－3x－4－π＝0，Δ＝25＋4π>0，方程有解，D正确．故选ACD. 7．如果一元二次函数y＝2x2＋mx－3图象的对称轴是直线x＝，则当x＝1时，y＝________． 答案：－3　解析：一元二次函数图象的对称轴为直线x＝－＝－＝，解得m＝－2，则y＝2x2－2x－3，把x＝1代入，得y＝－3. 8．已知x＞0，y＞0且x＋y＝1，则x2＋2y2的最小值为________． 答案：　解析：由题意知x＝1－y，代入所求可得x2＋2y2＝(1－y)2＋2y2＝3y2－2y＋1＝3(y－)2＋，所以当y＝时，x2＋2y2有最小值为. 9．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－1)在抛物线y＝(k2－1)x2－2(k－2)x＋1上，则此抛物线的对称轴方程是________． 答案：x＝－　解析：因为点A(－1，－1)在抛物线y＝(k2－1)x2－2(k－2)x＋1上， 所以解得k＝－3， 所以抛物线方程为y＝8x2＋10x＋1， 对称轴为直线x＝－＝－. 10．已知二次函数f(x)＝ax2－2ax＋1. (1)求f(x)图象的对称轴； (2)若f(－1)＝7，求a的值及f(x)的最值． 解：(1)因为二次函数f(x)＝ax2－2ax＋1， 所以其图象的对称轴为直线x＝－＝1. (2)因为f(－1)＝7，所以a＋2a＋1＝7， 所以a＝2.所以f(x)＝2x2－4x＋1. 因为a＝2>0，所以f(x)的图象开口向上， 又f(x)＝2x2－4x＋1的图象的对称轴为直线x＝1，所以最小值为f(1)＝－1，无最大值． 11．如果将一元二次函数y＝a(x＋m)2＋n的图象向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的函数图象的对称轴为直线x＝3，最大值为1，则m，n的值为 (　　) A． B． C． D． D　解析：由题意知，变换后所得函数的解析式为y＝a(x－3)2＋1，且a＜0，然后将函数y＝a(x－3)2＋1的图象先向上平移2个单位长度，得到函数y＝a(x－3)2＋3的图象，再将所得函数图象向左平移2个单位长度，可得到函数y＝a(x－1)2＋3的图象，因此故选D. 12．已知二次函数的最小值为3，且其图象过点(1，5)，(3，5). (1)求二次函数的解析式； (2)在区间[－1，1]上，二次函数的图象恒在y＝2x＋2m＋1的图象上方，求实数m的取值范围． 解：(1)由题意得二次函数的图象关于直线x＝2对称， 又其最小值为3， 故可设二次函数的解析式为y＝a(x－2)2＋3. 由图象过点(1，5)，得a＝2，故解析式为y＝2x2－8x＋11. (2)由题意得2x2－8x＋11>2x＋2m＋1在区间[－1，1]上恒成立，即2x2－10x＋10－2m>0在区间[－1，1]上恒成立． 设y＝2x2－10x＋10－2m(x∈[－1，1])，则只要其最小值大于0即可．因为y＝2x2－10x＋10－2m图象的对称轴为直线x＝，所以当x＝1时，y＝2x2－10x＋10－2m取得最小值2－2m，则2－2m>0，解得m<1，即实数m的取值范围是(－∞，1). 13．设abc＞0，则二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可能是 (　　) D　解析：由A，C，D知c＜0，∵abc＞0，∴ab＜0，∴其图象对称轴x＝－＞0，知A，C错误，D符合要求．由B知c＞0，∴ab＞0，∴x＝－＜0，B错误．故选D. 14．(多选)已知x＞0，y＞0且x＋y＝1，则下列等式可能成立的是 (　　) A．x2＋y2＝1 B．xy＝1 C．x2＋y＝ D．x2－y2＝ CD　解析：因为x＞0，y＞0且x＋y＝1，则y＝1－x＞0，所以0＜x＜1. 对于A选项，x2＋y2＝x2＋(1－x)2＝2(x－)2＋∈[，1)，A中的等式不成立； 对于B选项，由基本不等式可得xy≤()2＝，当且仅当x＝y＝时，等号成立，B中的等式不成立； 对于C选项，x2＋y＝x2＋1－x＝(x－)2＋∈[，1)，C中的等式可能成立； 对于D选项，x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝x－(1－x)＝2x－1∈(－1，1)，D中的等式可能成立．故选CD. 学科网（北京）股份有限公司 $$