课时梯级训练(8) 全称量词命题与存在量词命题（Word练习）-【优化指导】2025-2026学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

课时梯级训练(8)　全称量词命题与存在量词命题 1．下列语句是存在量词命题的是 (　　) A．整数n是2和5的倍数 B．存在整数n，使n能被11整除 C．若3x－7＝0，则x＝ D．∀x∈R，|x|＋1≥1 B　解析：对于A，不是命题，不能判断真假，A错误； 对于B，命题含有存在量词“存在”，故B是存在量词命题，B正确； 对于C，是“若p，则q”形式的命题，C错误； 对于D，是全称量词命题，D错误． 故选B. 2．以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是 (　　) A．锐角三角形的内角是锐角或钝角 B．至少有一个实数x，使x2≤0 C．两个无理数的和必是无理数 D．存在一个负数x，使>2 B　解析：选项A是全称量词命题； 选项B为存在量词命题，当x＝0时，x2＝0成立，所以B正确； 因为＋(－)＝0，所以选项C为假命题； 对于任何一个负数x，都有<0，所以选项D错误．故选B. 3．下列命题中的假命题是 (　　) A．∃x∈R，x3≤0 B．∃x∈R，(x＋1)3<0 C．∀x∈R，x2≥0 D．∀x∈R，(x＋1)2>0 D　解析：当x＝－1时，(x＋1)2＝0，故选D. 4．“∀x∈(0，1)，x＋m－1＜0”是真命题，则m的取值范围是 (　　) A．{m|m<1} B．{m|m>1} C．{m|m≤0} D．{m|m≥0} C　解析：对于命题：对任意x∈(0，1)，不等式m＜1－x恒成立，而x∈(0，1)，有1－x∈(0，1)，∴m≤0.故选C. 5．(多选)下列结论正确的是 (　　) A．∀n∈N＋，2n2＋5n＋2能被2整除是真命题 B．∀n∈N＋，2n2＋5n＋2不能被2整除是真命题 C．∃n∈N＋，2n2＋5n＋2不能被2整除是真命题 D．∃n∈N＋，2n2＋5n＋2能被2整除是真命题 CD　解析：当n＝1时，2n2＋5n＋2不能被2整除，当n＝2时，2n2＋5n＋2能被2整除， 所以A，B错误，C，D正确． 故选CD. 6．(多选)下列命题正确的是 (　　) A．∀x∈{－1，1}，2x＋1>0 B．∃x∈Q，x2≠3 C．∀x∈R，x2－1>0 D．∃x∈N，|x|≤0 BD　解析：对于A，x＝－1时，2x＋1＜0，选项A错误； 对于B，例如x＝2，选项B正确； 对于C，比如x＝0时，－1<0，选项C错误；例如x＝0，选项D正确．故选BD. 7．将命题“x2＋y2≥2xy”改写为全称量词命题为______________________________． 答案：对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立　 解析：命题“x2＋y2≥2xy”是指对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立，故命题“x2＋y2≥2xy”改写成全称量词命题为对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立． 8．下列命题中，是全称量词命题的是________，是存在量词命题的是________．(填序号) ①正方形的四条边相等； ②有两个角相等的三角形是等腰三角形； ③正数的平方根不等于0； ④至少有一个正整数是偶数． 答案：①②③　④　解析：①可表述为“每一个正方形的四条边都相等”，是全称量词命题；②是全称量词命题，即“凡是有两个角相等的三角形都是等腰三角形”；③可表述为“所有正数的平方根都不等于0”，是全称量词命题；④是存在量词命题． 9．用量词符号“∀”“∃”表述下列命题： (1)所有实数x都能使x2＋x＋1＞0成立； (2)对所有实数a，b，方程ax＋b＝0恰有一个解； (3)一定有整数x，y，使得3x－2y＝10成立． 解：(1)∀x∈R，x2＋x＋1＞0. (2)∀a，b∈R，ax＋b＝0恰有一个解． (3)∃x，y∈Z，3x－2y＝10. 10．下列各命题中，真命题是 (　　) A．∀x∈R，1－x2＜0 B．∀x∈N，x2≥1 C．∃x∈Z，x3＜1 D．∃x∈Q，x2＝2 C　解析：∃x∈Z，x3＜1正确．A，B，D不正确．故选C. 11．若“∃x∈R，x2＋3x＋m＝0”是真命题，则实数m的取值范围是________． 答案：{m|m≤}　解析：由已知，得Δ＝32－4m≥0，解得m≤，所以实数m的取值范围是{m|m≤}． 12．指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断真假： (1)存在一个实数，使等式x2＋x＋8＝0成立； (2)每个二次函数的图象都与x轴相交． 解：(1)存在量词命题．因为x2＋x＋8＝(x＋)2＋＞0，所以该命题为假命题． (2)全称量词命题．如函数y＝x2＋1的图象与x轴不相交，所以该命题为假命题． 13．(多选)下列命题是真命题的有 (　　) A．设M，N为两个集合，若M⊆N，则对任意x∈M，都有x∈N B．设M，N为两个集合，若M⃘N，则存在x∈M，使得x∉N C．∀x∈{y|y是无理数}，x2是有理数 D．∀x∈{y|y是无理数}，x3是无理数 AB　解析：根据M⊆N的定义可知，任意x∈M，都有x∈N，故选项A正确； 若M⃘N，则存在x∈M，使得x∉N，故选项B正确； 对于选项C，D，π，是无理数，而π2是无理数，()3＝3是有理数，故选项C，D错误．故选AB. 14．判断下列命题的真假： (1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P； (2)每一条线段的长度都能用正有理数来表示； (3)至少有一个直角三角形不是等腰三角形； (4)∃x∈R，x2－3x＋2＝0； (5)∀x，y∈Z，(x－y)2＝x2－2xy＋y2. 解：(1)是真命题． (2)是假命题，如边长为1的正方形，对角线长度为，就不能用正有理数表示． (3)是真命题，如有一个内角为30°的直角三角形就不是等腰三角形． (4)是真命题，x＝2，或x＝1都能使x2－3x＋2＝0成立． (5)是真命题，因为完全平方公式对任意实数都成立，显然对整数成立． 学科网（北京）股份有限公司 $$