14.3.2角的平分线的判定 导与练 2025-2026学年 人教版八年级数学上册

14.3.2角的平分线的判定 导与练 知识要点： 1． 角的内部到角的两边的距离   __的点在角的平分线上. 2．到三角形三边距离相等的点是三角形______________ 易错点睛 如图，L1，L2，L3是三条两两相交的笔直公路，现欲修建一个加油站，使它到三条公路的距离相等，这个加油站的位置共有（    ) A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【点睛】  应考虑内角平分线的交点或内、外角平分线的交点。 典型例题： 题型一 角的平分线的判定及其应用 例1、如图，∠MON＝60°，A，B分别为射线OM，ON上的动点（点A，B不与点0重合），在∠MON的内部，ΔAOB的外部有一点P，且AP＝BP，∠APB＝120°．求证：点P在∠MON的平分线上. 解题策略：利用角的平分线的判定定理时，一般过某一点作角的两边的垂线，即添加辅助线，这是解决此类问题的基本方法. 变式练习： 1、 两块完全一样的三角尺按如图所示的方式摆放，它们的一组对应直角边分别在△ABC的边AB,AC上，且这组对应边所对的顶点重合于点M，则点M一定（  ) A. 在ZA的平分线上 B.在AC边的高上 C.在AB边的中线上    D.以上都有可能 2、 如图，已知AB//CD，AD⊥CD，AE⊥BC，∠DAC＝35°，AD＝AE，则∠B的度数为（ ) A.50° B.60° C.70° D.80° 第2题 第3题 3、 如图，在ΔABC中，0是ΔABC内一点，且点0到ΔABC三边的距离相等．若∠A＝70°，则∠BOC＝_____________ 4、 如图，已知D，E，F分别是ΔABC的三边上的点，CE＝BF，且ΔDCE 的面积与ΔDBF的面积相等.求证：AD平分∠BAC. 题型二 角的平分线的性质与判定的综合应 例2、如图，ΔABC的两个外角的平分线BP与CP相交于点P．求证：∠1＝∠2． 变式练习： 1、如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC＝110°，则∠MAB的度数是（ ） A.30° B.35° C.45° D.60° 2、如图，BP，CP分别是ΔABC的外角∠MBC，∠BCN的平分线，PMLAB于点M，PN⊥AC于点N．若∠BAC＝44°，求∠BAP的度数 基础练习： 1、如图，在ΔABC中，作∠ABC，∠ACB相邻的外角的平分线相交于点F，连接AF，则下列结论正确的是（  )  A.AF平分BC B.AF⊥BC C.AF平分∠BAC D.以上结论都正确 2、如图，在RtΔABC中，C＝90°，D是AC上一点，DE⊥AB于点E，且DE＝DC．若 ∠A＝36°，则∠DBC的度数为   第1题 第2题 第3题 3、如图，点P是∠MON内一点，PA⊥ON于点A，PB⊥OM于点B，且PA＝PB，若∠MON＝50°，C为OA上一点且∠OPC＝30°，则∠PCA的度数为  4、如图，CA＝CB，点E在BC上，点D在AC的延长线上，且CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝90°，AE的延长线交BD于点F，连接CF. （1）求证：AF⊥BD； （2）求证：CF平分∠AFD． 5、如图，D为ΔABC外一点，DA＝DB，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E， ∠DAC=∠DBE.  （1）求证：CD平分∠ACE； （2）若EC＝1，BC＝4，求AC的长． 综合应用 6、在ΔABE与ΔACD中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠EAD＝α，BE与CD交于点O，连接AO.  （1）求证：BE＝CD； （2）求证：OA平分∠BOD； （3）当α＝30°时，直接写出∠AOC的度数为   ° 答案： 知识要点： 2． 角的内部到角的两边的距离  相等__的点在角的平分线上. 2．到三角形三边距离相等的点是三角形角平分线的交点 易错点睛 如图，L1，L2，L3是三条两两相交的笔直公路，现欲修建一个加油站，使它到三条公路的距离相等，这个加油站的位置共有（ D  ) A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【点睛】  应考虑内角平分线的交点或内、外角平分线的交点。 典型例题： 题型一 角的平分线的判定及其应用 例1、如图，∠MON＝60°，A，B分别为射线OM，ON上的动点（点A，B不与点0重合），在∠MON的内部，ΔAOB的外部有一点P，且AP＝BP，∠APB＝120°．求证：点P在∠MON的平分线上. 证明：如图，过点P分别作PC⊥⊥OM，PD⊥ON，垂足分别为C，D，则∠ACP＝∠ODP＝∠BDP＝90°． 在四边形OCPD中， ∠CPD＝360°-∠ACP-∠MON-∠ODP=360°-90°-60°-90°=120°. ∵∠APB=120°,∴∠APB=∠CPD. ∴∠CPD-∠APD=∠APB-∠APD, 即∠APC＝∠BPD. 在ΔAPC和ΔBPD中，∠ACP=∠BDP, ∠APC=∠BPD,AP=BP, ∴ΔAPC≌ΔBPD(AAS)·∴PC=PD. ∴点P在∠MON的平分线上. 解题策略：利用角的平分线的判定定理时，一般过某一点作角的两边的垂线，即添加辅助线，这是解决此类问题的基本方法. 变式练习： 5、 两块完全一样的三角尺按如图所示的方式摆放，它们的一组对应直角边分别在△ABC的边AB,AC上，且这组对应边所对的顶点重合于点M，则点M一定（ A ) B. 在ZA的平分线上 B.在AC边的高上 C.在AB边的中线上    D.以上都有可能 6、 如图，已知AB//CD，AD⊥CD，AE⊥BC，∠DAC＝35°，AD＝AE，则∠B的度数为（ C ) A.50° B.60° C.70° D.80° 第2题 第3题 7、 如图，在ΔABC中，0是ΔABC内一点，且点0到ΔABC三边的距离相等．若∠A＝70°，则∠BOC＝125° 8、 如图，已知D，E，F分别是ΔABC的三边上的点，CE＝BF，且ΔDCE 的面积与ΔDBF的面积相等.求证：AD平分∠BAC. 证明：如图，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N. ∵ΔDCE的面积与ΔDBF的面积相等， CE·DN=BF·DM. ∵CE=BF,∴DN=DM.又DN⊥AC，DM⊥AB，∴AD平分∠BAC.  题型二 角的平分线的性质与判定的综合应 例2、如图，ΔABC的两个外角的平分线BP与CP相交于点P．求证：∠1＝∠2． 证明：如图，过点P分别作PE⊥AB的延长线于点E，PG⊥AC的延长线于点PH⊥BC于点H ∵BP是∠EBC的平分线，PE⊥AB,PH⊥BC, ∴PE＝PH.同理可证PG＝PH，∴PE＝PG. 又PE⊥AB，PG⊥AC，∴AP是∠BAC的平分线. ∴∠1=∠2. 方法总结:有关角的平分线的几何问题中常见的添加辅助线的 方法：若OP为∠AOB的平分线，则： （1）向角的另一边作垂线段，构造直角三角形，如图①； （2）作对折线，即在OA上截取OC＝0D，构造全等三角形，如图②. 变式练习： 1、如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC＝110°，则∠MAB的度数是（ B ） A.30° B.35° C.45° D.60° 1、 如图，BP，CP分别是ΔABC的外角∠MBC，∠BCN的平分线，PMLAB于点M， PN⊥AC于点N．若∠BAC＝44°，求∠BAP的度数 解：如图，过点P作PD⊥BC 于点D.  ∵BP是∠MBC的 平分线，PM⊥AB，PD⊥BC,  ∴PM＝PD.同理，PN＝PD， ∴PM=PN. 又PM⊥AB，PN⊥AC，∴AP平分∠BAC. ∴∠BAP=∠BAC=x44°=22°. 基础练习： 1、如图，在ΔABC中，作∠ABC，∠ACB相邻的外角的平分线相交于点F，连接AF，则下列结论正确的是（ C )  A.AF平分BC B.AF⊥BC C.AF平分∠BAC D.以上结论都正确 2、如图，在RtΔABC中，C＝90°，D是AC上一点，DE⊥AB于点E，且DE＝DC．若 ∠A＝36°，则∠DBC的度数为  27° 第1题 第2题 第3题 3、如图，点P是∠MON内一点，PA⊥ON于点A，PB⊥OM于点B，且PA＝PB，若∠MON＝50°，C为OA上一点且∠OPC＝30°，则∠PCA的度数为  55° 4、如图，CA＝CB，点E在BC上，点D在AC的延长线上，且CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝90°，AE的延长线交BD于点F，连接CF. （1）求证：AF⊥BD； （2）求证：CF平分∠AFD． 证明：（1）证ΔACE≌ΔBCD（SAS），∴∠CAE＝∠CBD， ∴∠AFB=∠ACE=90°,∴AF⊥BD;  （2）过点C分别作CM上AE于点M．CN⊥BD于点N， 证△ACM≌ΔBCN.∴CM＝CN.∴.CF平分∠AFD.  5、如图，D为ΔABC外一点，DA＝DB，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E， ∠DAC=∠DBE.  （1）求证：CD平分∠ACE； （2）若EC＝1，BC＝4，求AC的长． （1）证明略 （2）在RtΔDCF与RtΔDCE中，DC=DC, DE=DF,  ..RtΔDCF≌RtΔDCE(HL),∴CF=CE=1.  ∵ΔDAF≌ΔDBE，∴AF＝BE＝BC＋CE＝5，∴AC＝AF＋CF＝6． 综合应用 6、在ΔABE与ΔACD中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠EAD＝α，BE与CD交于点O，连接AO.  （1）求证：BE＝CD； （2）求证：OA平分∠BOD； （3）当α＝30°时，直接写出∠AOC的度数为  105° 解：（1）∵∠BAC＝∠EAD，．∴∠BAC＋∠CAE＝∠EAD＋∠CAE， 即∠BAE＝∠CAD.在ΔABE与ΔACD中： AB=AC,∠BAE=∠CAD.AE=AD. ∴ΔABE≌ΔACD(SAS),∴BE=CD;  （2）过点A作AM⊥BE，AN⊥CD，垂足为M，N，则∠AMB＝∠ANC＝90° ∵ΔABE≌ΔACD， ∴∠B=∠C.  在ΔABM与ΔACN中：∠B=∠C，∠AMB＝∠ANC，AB=AC,∴ΔABM≌ΔACN（AAS）， ∴AM＝AN. ∵AM⊥BE.AN⊥CD，∴OA平分∠BOD； （3）105°； ∵∠B＝∠C．∴∠BOC＝∠BAC＝30°，∴∠BOD＝150°． ∴OA平分∠BOD． ∴∠AOD=∠AOB=75°,∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=105°.  www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$