14.3.1 角的平分线的性质 导与练 2025-2026学年 人教版八年级数学上册

14.3.1 角的平分线的性质 导与练 知识要点： 1． 角的平分线上的点到角的两边的    相等. 2．三角形三条     的交点到三边的距离相等. 3．如图，根据角平分线的性质填空： (1) ∵∠1=∠2,AD⊥CD,AB⊥BC,∴ =   (2)∵∠3=∠4,CD⊥AD,CB⊥AB,∴     =     易错点睛： 如图，AD平分∠EAF，过点D作BCLAD，分别交AE，AF于点B，C.求证：BD=DC. 证明：∵AD平分∠EAF，BD⊥AD,CD⊥AD, ∴BD=CD.  请指出上述证明过程中的错误之处. 【点睛】 误把BD，CD当作点D到AE，AF两边的距离而出错。 典型例题： 题型一 与角的平分线有关的尺规作图 例1、如图①，在ΔABC中，∠B＝∠C，D是BA延长线上一点，E是AC的中点. （1）实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母.（不写作法，保留作图痕迹） ①作∠DAC的平分线AM； ②连接BE并延长交AM于点F. （2）猜想与证明：试猜想AF与BC有怎样的位置关系和数量关系，并说明理由， 技巧点拨：两条线段之间的关系有位置关系和数量关系两种.位置关系包括垂直、平行等，数量关系包括相等、和差倍分等.当题目条件中的等线段、等角较多时，可考虑利用全等三角形进行证明. 变式练习： 1、 已知：∠AOB.求作：∠AOB的平分线. 作法：（1）以点0为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N. （2）分别以点M，N为圆心，大于为半径画弧，两弧在ZAOB的内部相交于点C. （3）画射线OC，射线OC即为所求（如图）．请你根据提供的材料回答下列问题. （1） 这种作已知角的平分线的方法的依据是  .（填序号） ①“SSS” ②“SAS” ③“AAS” ④“ASA” （2）请你证明OC为∠AOB的平分线． 2、如图，AB//CD，以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交CD于点M. （1）若∠ACD＝135°，求∠MAB的度数； （2）若CN⊥AM，垂足为N，求证：ΔACN≌ΔMCN.  题型二  角的平分线的性质的应用 1．利用角的平分线的性质求线段长度 例2、如图，在ΔABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点 E.若ΔBDE的周长是4cm，求AB的长． 解题策略：已知三角形的周长求某条线段的长时，若没有其他条件可得线段长度，则考虑进行转化，将三角形三边的长转化为一条线段的长. 变式练习： 1、如图，在RtΔABC中，∠C＝90°，利用尺规在BC，BA上分别截取BE， BD，使BE＝BD；分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在LCBA的内部相交于点F；作射线BF交AC于点G.若CG＝1，P为AB上一动点，则GP的最小值为（ ) A.无法确定 B. C.1           D.2  2、如图，AB//CD，0为∠BAC与∠ACD的平分线的交点，过点0作OE⊥AC于点E，OG⊥CD于点G，延长GO交AB于点F.若OE＝2，则FG的长为 ． 第1题 第2题 2． 利用角的平分线的性质面积 例3、如图，已知ΔABC的周长是20，B0，CO分别平分∠ABC 和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝3，则ΔABC的面积是（  ) A.20 B.25 C.30 D.35 解题策略:通过巧作辅助线，利用角的平分线的性质得出3个三角形等高，运用转化思想和整体思想将ΔABC的面积问题转化为与ΔABC的周长相关的计算问题. 变式练习： 1、 如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是（  ) A.24 B.30 C.36 D.42 第1题 第2题 2、如图，AD是ΔABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，ΔADG和ΔAED的面积分别为50和38，则ΔDEF的面积为( )   A.8 B.12 C.4 D.6 3． 利用角的平分线的性质进行证明 例4、如图，已知∠1＝∠2，P为BN上的一点，PF⊥BC于点F，PA＝PC.求证：∠PCB＋∠BAP=180°.  变式练习： 1、 如图，0D平分∠EOF，在OE，OF上分别取点A，B，使OA＝OB，P为OD上一点，PM⊥BD，PN⊥AD，垂足分别为M，N.求证：PM=PN.  2、如图，已知BF平分ΔABC的外角∠ABE，D为射线BF上一动点，AB与CD交于点P.若DA＝DC，求证：∠ABC＝∠ADC. 基础练习： 1、 ΔABC的三边AB,BC,AC分别是6:4:4，点P为ΔABC三条角平分线的交点，则ΔABP,ΔBCP,ΔACP的面积比是   2、如图，在ΔABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，CB＝6,1是三条角平分线的交点，ID⊥BC于点D，则ID的长是___ __ 第1题 第2题 第3题 3、如图，在RtΔABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M.N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝3．AB＝10，则ΔABD的面积是   4、如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，点E，F分别在AB，AD上，AE＝AF，CE＝CF．求证：CB＝CD. 5、如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB//CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC. （1）求证：AM⊥DM； （2）求证：M为BC的中点． 综合题探究 6、（1）【感知】如图①，AD平分∠BAC，∠B＋∠C＝180°，∠B＝90°，易知BD、CD的数量关系为：  （2）【探究】如图②，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD＝180°，∠ABD=90°（1）中的结论是否仍然成立？请作出判断并给予证明。 （3）【应用】如图③，在四边形ABDC中，BD=CD,∠ABD+∠ACD=180°,∠ABD=90°，DE⊥AB，垂足为E．试判断AB，AC，BE的数量关系，并说明理由. 答案： 知识要点： 1.角的平分线上的点到角的两边的  距离  相等. 2．三角形三条  角平分线  的交点到三边的距离相等. 3．如图，根据角平分线的性质填空： (2) ∵∠1=∠2,AD⊥CD,AB⊥BC,∴ AD = AB   (2)∵∠3=∠4,CD⊥AD,CB⊥AB,∴  CD  =  CB  易错点睛： 如图，AD平分∠EAF，过点D作BCLAD，分别交AE，AF于点B，C.求证：BD=DC. 证明：∵AD平分∠EAF，BD⊥AD,CD⊥AD, ∴BD=CD.  请指出上述证明过程中的错误之处. 【点睛】 误把BD，CD当作点D到AE，AF两边的距离而出错。 典型例题： 题型一 与角的平分线有关的尺规作图 例1、如图①，在ΔABC中，∠B＝∠C，D是BA延长线上一点，E是AC的中点. （1）实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母.（不写作法，保留作图痕迹） ①作∠DAC的平分线AM； ②连接BE并延长交AM于点F. （2）猜想与证明：试猜想AF与BC有怎样的位置关系和数量关系，并说明理由， 解：（1）如图②． （2）AF//BC，AF＝BC．理由： ∵∠ABC=∠C,∴∠DAC=∠ABC+∠C=2∠C.  由作图可知∠DAC＝2∠FAC， ∴∠C=∠FAC∴AF//BC. ∵E是AC的中点，∴AE＝CE. 在ΔAEF和ΔCEB中，∠FAE=∠C,AE=CE,∠AEF=∠CEB,  ∴ΔAEF≌ΔCEB(ASA)∴AF=BC. 技巧点拨：两条线段之间的关系有位置关系和数量关系两种.位置关系包括垂直、平行等，数量关系包括相等、和差倍分等.当题目条件中的等线段、等角较多时，可考虑利用全等三角形进行证明. 变式练习： 2、 已知：∠AOB.求作：∠AOB的平分线. 作法：（1）以点0为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N. （2）分别以点M，N为圆心，大于为半径画弧，两弧在ZAOB的内部相交于点C. （3）画射线OC，射线OC即为所求（如图）．请你根据提供的材料回答下列问题. （2） 这种作已知角的平分线的方法的依据是 ①.（填序号） ①“SSS” ②“SAS” ③“AAS” ④“ASA” （2）请你证明OC为∠AOB的平分线． 解：由作图可知OM＝ON，MC=NC. 在ΔOMC 和ΔONC中， OM=ON, OC=0C, MC=NC, ∴ΔOMC≌ΔONC(SSS),∴∠MOC=∠NOC, ∴OC为∠AOB的平分线. 2、如图，AB//CD，以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交CD于点M. （1）若∠ACD＝135°，求∠MAB的度数； （2）若CN⊥AM，垂足为N，求证：ΔACN≌ΔMCN.  （1）解：∵AB//CD， ∴∠ACD+∠CAB= 180°  又∠ACD＝135°， ∴∠CAB=45°. 由作图可知，AM是∠CAB的平分线， ∴∠MAB=∠CAB=x45°=22.5°. （2）证明：AM平分∠CAB，∴∠CAM＝∠MAB． ∵AB//CD,∴∠MAB=∠CMA.∴∠CAM=∠CMA∴CN⊥AM, ∴∠ANC=∠MNC=90°.  在ΔACN和ΔMCN中， ∠CAN=∠CMN,∠ANC=∠MNC,CN=CN,  ∴ΔACN≌ΔMCN(AAS). 题型二  角的平分线的性质的应用 1．利用角的平分线的性质求线段长度 例2、如图，在ΔABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点 E.若ΔBDE的周长是4cm，求AB的长． 解：∵∠C＝90°，DE⊥AB，AD平分∠CAB， ∴∠C=∠DEA=90°,DC=DE. 在RtΔACD和RtΔAED中， AD=AD,  DC=DE,  ∴RtΔACD≌RtΔAED(HL).∴AC=AE.  又AC＝BC，∴AE＝BC．∵ΔBDE的周长是4cm， ∴BD+DE+BE=BD+CD+BE=BC+BE=AE+BE= AB＝4cm，即AB＝4 cm．  解题策略：已知三角形的周长求某条线段的长时，若没有其他条件可得线段长度，则考虑进行转化，将三角形三边的长转化为一条线段的长. 变式练习： 1、如图，在RtΔABC中，∠C＝90°，利用尺规在BC，BA上分别截取BE， BD，使BE＝BD；分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在LCBA的内部相交于点F；作射线BF交AC于点G.若CG＝1，P为AB上一动点，则GP的最小值为（ C  ) A.无法确定 B. C.1           D.2  2、如图，AB//CD，0为∠BAC与∠ACD的平分线的交点，过点0作OE⊥AC于点E，OG⊥CD于点G，延长GO交AB于点F.若OE＝2，则FG的长为4． 第1题 第2题 4． 利用角的平分线的性质面积 例3、如图，已知ΔABC的周长是20，B0，CO分别平分∠ABC 和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝3，则ΔABC的面积是（ ) A.20 B.25 C.30 D.35 解析：如图，连接OA，过点0分别作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F.. ∵BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，∴OE＝OF＝OD＝3． ∵ΔABC的周长是20，即AB＋BC＋AC＝20， ∴SΔABC =SΔAOB+S△BOC+S△AOC =AB·OE+BC·0D+AC·OF =0D·(AB+BC+AC)=x3x20=30. 答案：C 解题策略:通过巧作辅助线，利用角的平分线的性质得出3个三角形等高，运用转化思想和整体思想将ΔABC的面积问题转化为与ΔABC的周长相关的计算问题. 变式练习： 2、 如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是（ B ) A.24 B.30 C.36 D.42 第1题 第2题 2、如图，AD是ΔABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，ΔADG和ΔAED的面积分别为50和38，则ΔDEF的面积为( D )   A.8 B.12 C.4 D.6 5． 利用角的平分线的性质进行证明 例4、如图，已知∠1＝∠2，P为BN上的一点，PF⊥BC于点F，PA＝PC.求证：∠PCB＋∠BAP=180°.  证明：如图，过点P作PE⊥BA的延长线于点E. ∵∠1=∠2,PF⊥BC∴PE=PF.  在RtΔAPE和RtΔCPF中，PA=PC, PE=PF,  ∴RtΔAPE≌RtΔCPF(HL). ∴∠PAE=∠PCF. ∵∠PAE+∠BAP=180°,∴∠PCB+∠BAP=180° 解题策略： 上图中，∠1＝∠2，AP＝PC，∠PCB＋∠BAP＝180°，BF＝（AB＋BC）这四个条件可知二推二. 变式练习： 2、 如图，0D平分∠EOF，在OE，OF上分别取点A，B，使OA＝OB，P为OD上一点，PM⊥BD，PN⊥AD，垂足分别为M，N.求证：PM=PN.  证明：∵OD平分∠EOF， ∴∠BOD=∠AOD. 在ΔBOD和ΔAOD 中： OB=OA, ∠BOD=∠AOD,OD=0D,  ∴ΔBOD≌ΔAOD(SAS).  ∴∠BDO＝∠ADO，即DO平分∠BDA.  又P为DO上一点，且PM⊥BD，PN⊥AD， ∴PM=PN.  2、如图，已知BF平分ΔABC的外角∠ABE，D为射线BF上一动点，AB与CD交于点P.若DA＝DC，求证：∠ABC＝∠ADC. 证明：如图，过点D分别作DM⊥BE于点M，DN⊥AB于点N. 又BF平分∠ABE， ∴DM=DN. 在RtΔCDM和RtΔADN中， DC=DA, DM=DN, ∴RtΔCDM≌RtΔADN(HL). ∴∠DCM=∠DAN. ∴∠DPB=∠ABC+∠DCM,∠APC=∠ADC+∠DAN，且∠DPB＝∠APC， ∴∠ABC＝∠ADC. 基础练习： 2、 ΔABC的三边AB,BC,AC分别是6:4:4，点P为ΔABC三条角平分线的交点，则ΔABP,ΔBCP,ΔACP的面积比是  3:2:2 2、如图，在ΔABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，CB＝6,1是三条角平分线的交点，ID⊥BC于点D，则ID的长是___2__ 第1题 第2题 第3题 3、如图，在RtΔABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M.N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝3．AB＝10，则ΔABD的面积是  15 4、如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，点E，F分别在AB，AD上，AE＝AF，CE＝CF．求证：CB＝CD. 证明：连接AC，在ΔAEC和ΔAFC中，AE=AF,CE=CF.AC=AC ΔAEC≌ΔAFC（SSS） ∴∠CAE=∠CAF ∵∠B=∠D=900 ∴CB=CD 5、如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB//CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC. （1）求证：AM⊥DM；（2）求证：M为BC的中点． 证明：（1）∵AB//CD． ∴∠BAD＋∠ADC＝180°． ∵AM平分∠BAD．DM平分／ADC， ∴2∠MAD＋2∠ADM＝180°． ∴∠MAD＋∠ADM＝90°,∴∠AMD＝90°，即AM＿DM；   （3） 过点M作MNLAD交AD于点N， ∵∠B＝90°，AB//CD，∴BM⊥AB，CM⊥CD， ∵AM平分∠BAD.DM平分∠ADC， ∴BM＝MN.MN＝CM·∵BM＝CM，即M为BC的中点. 综合题探究 6、（1）【感知】如图①，AD平分∠BAC，∠B＋∠C＝180°，∠B＝90°，易知BD、CD的数量关系为： BD=CD （2）【探究】如图②，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD＝180°，∠ABD=90°（1）中的结论是否仍然成立？请作出判断并给予证明。 （3）【应用】如图③，在四边形ABDC中，BD=CD,∠ABD+∠ACD=180°,∠ABD=90°  DE⊥AB，垂足为E．试判断AB，AC，BE的数量关系，并说明理由. 解：（2）结论仍然成立，理由：如图②，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC 的延长线于点E ∵AD平分∠BAC，∴DE＝DF. ∵∠ABD+∠ACD=180°,∠ACD+∠FCD=180°,  ∵∠ABD=∠FCD.  在ΔDEB和ΔDFC中，∠EBD=∠FCD,∠DEB=∠F=90°, DE=DF,  ∴ΔDEB≌ΔDFC(AAS),∴BD=CD. （3）AB＝AC＋2BE．理由：如图③，过点D作DF⊥AC的延长线于点F，连接AD. ∵∠ABD+∠ACD=180°,∠ACD+∠FCD=180°.  ∴∠ABD=∠FCD.  在ΔDEB和ΔDFC中 ∠EBD=∠FCD,∠DEB=∠F=90°, BD=CD,  ∴ΔDEB≌ΔDFC（AAS）， ∴DE=DF.BE=CF. 在RtΔADF和RtΔADE中 AD=AD, DF=DE, RtΔADF≌RtΔADE(HL), ∴AF=AE, ∴AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE. www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$