第2章 一元二次方程 单元练习卷 -2025-2026学年北师大版九年级数学上册

第2章一元二次方程 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列方程中，是一元二次方程的是(    ) A. B. C. D. 2.下列方程中，不能用平方根的意义求解的是(    ) A. B. C. D. 3.若方程是关于的一元二次方程，则的值为(    ) A. B. C. D. 不存在 4.已知关于的一元二次方程的一个根为，则的值与另一个根分别为(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 5.若，，则以，为根的一元二次方程是(    ) A. B. C. D. 6.方程的解是(    ) A. B. C. 或 D. 或 7.某旅游景点年接待游客万人次，年接待游客万人次，设该景点接待游客人次年平均增长率为，下列方程正确的是(    ) A. B. C. D. 8.我国古代数学家赵爽公元世纪在其所著的勾股圆方图注中记载过一元二次方程正根的几何解法．以方程即为例说明，记载的方法是：构造如图，大正方形的面积是同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此则在下面四个构图中，能正确说明方程解法的构图是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 9.把方程化为一般形式得：______ 10.若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是          ． 11.方程的解为：______． 12.用配方法解方程，配方后方程可化为           ． 13.已知一元二次方程的两个解恰好分别是等腰的底边长和腰长，则的周长为______． 14.某剧场共有个座位，已知每行的座位数都相同，且每行的座位数比总行数少，则每行的座位数为______． 三、解答题：本题共8小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 如图，某学校计划在一块足够大的场地上，利用已有的直角墙角建造一个矩形花圃，已知墙，． 如图，若矩形花圃使用的篱笆总长为，花圃两边靠墙，其余两边用篱笆围成，围成的花圃面积为，求这个花圃较短边的长度； 如图，若矩形花圃使用的篱笆总长为，花圃的一边由墙和篱笆构成，另一边由墙和篱笆构成，其余两边，由剩下的篱笆围成当篱笆的长为多少时，围成的花圃面积最大？求出最大面积，并说明理由． 16.本小题分 用适当的方法解下列一元二次方程． ； ； ． 17.本小题分 关于的一元二次方程的一个根为，求的值． 18.本小题分 已知关于的方程． 求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； 若方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 19.本小题分 如图，一个大矩形中有个形状大小完全相同的小矩形，每个小矩形的宽都为若图中阴影部分的面积为，求小矩形的长． 20.本小题分 某村年的人均收入为元，年的人均收入为元 求年到年该村人均收入的年平均增长率； 假设年该村人均收入的增长率与前两年的年平均增长率相同，请你预测年该村的人均收入是多少元？ 21.本小题分 年月日，以“共享，协同引领劳动教育高质量发展”为主题的四川省劳动实验区校建设成果展示会暨主题研讨会在天府新区启幕，天府新区作为劳动教育实验区，积极推进区域劳动教育，形成公园城市生态劳动教育模式．新区某校为推进校园劳动课程建设，准备在校园内规划一片蔬菜基地，其中蔬菜基地以墙体为背面，并用长的栅栏围成四个具有相同面积的矩形蔬菜基地，每个蔬菜基地一边长为，另一边长为如图所示． 求关于的函数关系式不必写明自变量的取值范围； 每个蔬菜基地的面积是否能达到且？若能，求出的值，若不能，请说明理由． 22.本小题分 根据以下素材，完成任务 制定某品牌新能源汽车的销售方案 背景 随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少二氧化碳气体的排放、从而达到保护环境的目的在国家积极政策的鼓励下，新能源汽车的市场需求逐年上升． 素材 某品牌新能源汽车月份销售量为万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，月份的销售量达到万辆． 素材 新能源汽车在汽车市场占比越来越大，该品牌需要对新能源汽车的产量进行调研，因此需要预估未来的销售量． 素材 中国新能源汽车市场火爆，某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为万元辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为万元辆时，平均每周售出辆；售价每降低万元，平均每周多售出辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为万元． 问题解决 任务 求从月份到月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率． 任务 根据素材，为了推广新能源汽车，并且此次销售尽量让利于顾客，求该店下调后每辆汽车的售价． 答案和解析 1.【答案】  【解析】本题考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是”；“二次项的系数不等于”；“整式方程”熟练掌握一元二次方程的定义判断是解题的关键． 【详解】解：、该方程中含有两个未知数，故本选项不符合题意； B、该方程是分式方程，不是整式方程，故本选项不符合题意； C、符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意； D、当时，该方程中未知数的最高次数不是，故本选项不符合题意． 故选：． 2.【答案】  3.【答案】  【解析】解：若方程是关于的一元二次方程， 则， 解得， ， ， ， 故选：． 根据一元二次方程的定义得出，，即可求出的值． 本题考查了一元二次方程的定义．只有一个未知数且未知数最高次数为的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是且，特别要注意的条件，这是在做题过程中容易忽视的知识点． 4.【答案】  5.【答案】  【解析】解：， ， 而， ， ， 以，为根的一元二次方程为． 故选：． 利用完全平方公式计算出，然后根据根与系数的关系写出以，为根的一元二次方程． 本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，． 6.【答案】  【解析】【分析】 本题考查解一元二次方程因式分解法，属于基础题． 根据一元二次方程的解法因式分解法即可求出答案． 【解答】 解：， ， ， 或， 故选：． 7.【答案】  【解析】解：设游客每年的平均增长率为， 依题意，得：． 故选：． 设游客每年的平均增长率为，根据该旅游景点年及年接待游客人次数，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 8.【答案】  【解析】【分析】 本题考查一元二次方程的应用，通过图形直观得出面积之间的关系，并用代数式表示出来是解决问题的关键． 根据题意，画出方程，即的拼图过程，由面积之间的关系可得出答案． 【解答】 解：方程，即的拼图如图所示； 中间小正方形的边长为，其面积为， 大正方形的面积：，其边长为， 因此，选项所表示的图形符合题意， 故选：． 9.【答案】  【解析】解：将一元二次方程化为一般形式之后，变为， 故答案是：． 直接利用一元二次方程的一般形式分析得出答案． 此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确把握定义是解题关键． 10.【答案】  【解析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．利用一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：一元二次方程有两个相等的实数根， ， 解得， 故答案为：． 11.【答案】  【解析】解：， ， ， 故答案为：． 先移项，然后直接开平方，求出方程的解即可． 本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 12.【答案】  【解析】解：由原方程，得 ， 配方，得 ， 即． 故答案是：． 13.【答案】  【解析】【分析】 此题考查了解一元二次方程因式分解法，三角形三边关系，以及等腰三角形的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键求出方程的解确定出等腰三角形的底边与腰长，求出三角形周长即可． 【解答】 解：方程， 分解得：， 解得：或， 若为底边，为腰，此时周长为； 若为腰，为底，，不能构成三角形，舍去， 则周长为． 故答案为． 14.【答案】  【解析】解：设每行有座位个，则共有行， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，不符合题意，舍去， 即每行共有个座位， 故答案为：． 设每行有座位个，则共有行，根据行数每行座位数，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 15.【答案】解：设这个花圃较短边的长度为， 由题意得，， 整理，得， 解得，， 当时，较长的边为，符合题意； 当时，较长的边为，不合题意； 故这个花圃较短边的长度为； 由题意知，矩形花圃的周长为：， ， 设篱笆的长为，则， 花圃面积， 当时，取最大值，最大值为， 即当篱笆的长为时，围成的花圃面积最大，最大面积为．  【解析】设这个花圃较短边的长度为，则较长边的长度为，根据围成的花圃面积为，列一元二次方程，解方程即可； 设篱笆的长为，用含的式子表示出和，进而得到花圃面积关于的二次函数，化为顶点式，即可求出最值． 本题考查一元二次方程的应用，二次函数的应用，正确列出式子是解题的关键． 16.【答案】解：， ， ，． ， ， ． ； ， ， ， ，．  【解析】根据直接开平方法解方程即可求解； 根据因式分解法解方程即可求解； 根据配方法解方程即可求解． 本题考查了解一元二次方程的方法，解决本题的关键是选择适当的方法解方程． 17.【答案】解：把代入，得： ， ， ， ．  【解析】本题考查了解一元二次方程和一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 把代入方程转化为关于的一元二次方程，然后解关于的方程即可确定的值． 18.【答案】【小题】 ， ， ， 该方程总有两个不相等的实数根； 【小题】 方程的两个实数根，， 由根与系数关系可知，，， ， 解得：， ， ， 即．   【解析】  根据一元二次方程根的判别式计算，即可判断；   利用根与系数关系求出，由即可解出，，再根据，即可得到的值． 19.【答案】小矩形的长为．  【解析】解：设小矩形的长为， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，不符合题意，舍去． 答：小矩形的长为． 设小矩形的长为，利用图中阴影部分的面积大长方形的面积小长方形的面积，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 20.【答案】解：设年到年该村人均收入的年平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，不合题意，舍去． 答：年到年该村人均收入的年平均增长率为． 元． 答：预测年该村的人均收入是元．  【解析】设年到年该村人均收入的年平均增长率为，根据某村年的人均收入为元，年的人均收入为元，即可得出关于的一元二次方程，解之，取其正值即可得出结论； 由年该村的人均收入年该村的人均收入年平均增长率，即可得出结论． 本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程；根据数量关系，列式计算． 21.【答案】解：根据题意得：， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去 当时，，符合题意． 答：每个蔬菜基地的面积能达到且，此时的值为．  【解析】本题考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式找准等量关系，正确列出一元二次方程． 根据栅栏的总长度为，可得出，变形后即可得出关于的函数关系式 根据每个蔬菜基地的面积为，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合，即可确定结论． 22.【答案】解：任务，设：月份到月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为， ， 整理得，， 解得：，不符合题意，舍去， 所以月份到月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为， 答：月份到月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为； 任务，设：下调后每辆汽车降低万元， ， 整理得：， 解得：，， 此次销售尽量让利于顾客， ， 万元， 答：下调后每辆汽车的售价为万元．  【解析】任务，设：月份到月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为，，据此即可求解； 任务，设：下调后每辆汽车降低万元，，据此即可求解． 本题考查了一元二次方程的应用，函数的表示方法，正确理解题意找到等量关系式是解题关键． 第13页，共13页 学科网（北京）股份有限公司 $$