第2章 对称图形——圆 教案 2024--2025学年苏科版九年级数学上册

XXX中学集体备课教案 （XXX-XXX学年度第一学期） 年级： 学科： 姓名： XXX中学集体备课教案纸 九 年级 数学 学科 主备人 XXX 课 题 2.1　圆（1） 课时 总第 12 课时 教学目标： 1．经历圆的有关定义的形成过程，理解圆的描述定义和集合定义； 2．理解点与圆的位置关系以及如何确定点与圆的三种位置关系；了解“圆是到定点距离等于定长的点的集合”. 教学重难点： 重点：探索点与圆的三种位置关系． 难点：用集合的观点描述圆的定义． 板书设计： 作业布置： 教 学 过 程 备注 引入 出示套圈游戏的图片，让学生体会到生活中圆的必要性．问题：只有一个小立柱，若全班同学沿着红线站成一横排，请问游戏对所有同学公平吗？如何使得游戏对所有人公平？ 实践探索一 1．形成定义． 教师展示两件物品：一段（两端已打结）的棉线、一段皮筋（两端已打结）．学生两人一小组进行合作，利用它们以及手中的笔，在练习纸上分别作出圆． 2． 思考：如何确定一个圆？ 实践探索二 1．回归游戏． （1）请学生思考：为什么站成圆形，游戏就公平？ 设⊙O 的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有？ 点P在⊙O上d＝r． （2）甲、乙两人分别站在图中A、B两点处，他俩正准备参加游戏，后来丙、丁也赶来参加，并分别站在了图中所示的P、Q两点处． 如果你是甲同学，你会有怎样的看法？ 圆内各点到圆心的距离都小于半径．点P在⊙O内d＜r． 圆外各点到圆心的距离都大于半径．点Q在⊙O外d＞r． （3）再后来， 小兵同学也来参加游戏，他站的位置是图中所示的M点，但他发现地上的线几乎看不清了，请问小兵同学怎样才能知道自己恰好站在圆上？ 到圆心距离等于半径的点都在圆上．点M在⊙O上d＝r． 2．请你总结一下点与圆有哪些关系？如何判断？ 点P在⊙O内d＜r； 点P在⊙O上d＝r； 点P在⊙O外d＞r． 知识应用 例1 已知⊙O的半径为4 cm，如果点P到圆心O的距离为4.5 cm，那么点P与⊙O有怎样的位置关系？如果点P到圆心O的距离为4 cm、3 cm呢？ 2．如图，已知点A，请作出到点A的距离等于2 cm的点的集合． （1）这个圆的外部是满足什么条件的点的集合？ （2）请用阴影表示出到点A的距离小于或等于2 cm的点的集合． . A 3．如图，已知点P、Q，且PQ＝4 cm． P Q （1）画出下列图形：到点P的距离等于2 cm的点的集合；到点Q的距离等于3 cm的点的集合； （2）在所画图中，到点P的距离等于2 cm，且到点Q的距离等于3 cm的点有几个？请在图中将它们表示出来； （3）在所画图中，到点P的距离小于或等于2 cm，且到点Q的距离大于或等于3 cm的点的集合是怎样的图形？把它表示出来． 4．如图，已知BD、CE是△ABC的高，M为BC的中点．试说明点 B、C、D、E在以点M为圆心的同一圆上．M E D C B A 总结 通过今天的学习，你能谈谈你对圆有什么新的认识吗？ 课后作业 课本P40第1、2、3． 教学反思： XXX中学集体备课教案纸 九 年级 数学 学科 主备人 XXX 课 题 2.1　圆（2） 课时 总第 13 课时 教学目标： 1．通过画图，了解圆的弦、弧、优弧与劣弧、半径、直径等有关概念； 2．了解同心圆、等圆、等弧的概念； 3．了解“同圆或等圆的半径相等”，并能应用它解决有关的问题． 教学重难点： 重点：圆中的基本概念的认识． 难点：圆与直线形的联系与运用． 板书设计： 作业布置： 教 学 过 程 备注 引入 问题：据统计，某个学校的同学上学方式是，有的同学步行上学，有的同学坐公共汽车上学，其他方式上学的同学有，请你用扇形统计图反映这个学校学生的上学方式，并说说你是如何做的？ 实践探索一 1．圆中的相关概念． （1）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦．线段AB、BC、AC都是圆O中的弦． （2）直径：经过圆心的弦叫做直径．线段AB为直径． （3）弧：圆上任意两点间的部分叫弧．B 半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．优弧：大于半圆的弧叫做优弧． 劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧．C B A O 曲线BC、BAC都是圆中的弧，分别记为BC (︵)、BAC (︵)，其中像弧BC (︵)这样小于半圆周的圆弧叫做劣弧，像弧BAC (︵)这样的大于半圆周的圆弧叫做优弧． （4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角． ∠AOB、∠AOC、∠BOC就是圆心角． （5）同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆． （6）等圆：能够重合的两个圆叫做等圆（圆心不同）． （7）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧（在大小不等的两个圆中，不存在等弧）． 2．同圆与等圆的联系：同圆与等圆的半径相等． 实践探索二 1．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∠BAC与∠BOC有怎样的数量关系？ 2．拓展总结：连接圆心和半径，构造等腰三角形是常用的辅助线． 知识应用 例1　已知：如图，点A、B和点C、D分别在同心圆上，且∠AOB＝∠COD．∠C与 ∠D相等吗？为什么? 例2　（1）在图中，画出⊙O的两条直径； （2）依次连接这两条直径的端点，得一个四边形．判断这个四边形的形状，并说明理由．· O 例3　如图，扇形OAB的半径OA＝3，圆心角∠AOB＝90°，点C是弧AB上异于A、B的动点，过点C作CD⊥OA于点D，作CE⊥OB于点E，连接DE，点G、H在线段DE上，且DG＝GH＝HE． （1）求证：四边形OGCH是平行四边形； （2）当点C在弧AB上运动时，在CD、CG、DG中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度，若不存在，请说明理由． 总结 通过今天的学习，你能谈谈你的收获和困惑，对圆有什么新的认识吗？ 课后作业 课本P41-42第1、2、3． A · O 教学反思： XXX中学集体备课教案纸 九 年级 数学 学科 主备人 XXX 课 题 2.2　圆的对称性（1） 课时 总第 14 课时 教学目标： 1．经历探索圆的中心对称性及有关性质的过程； 2．理解圆的中心对称性及有关性质； 3．会运用圆心角、弧、弦之间的关系解决有关问题. 教学重难点： 重点：利用圆的旋转不变性探索圆的有关性质． 难点：运用圆心角、弧、弦之间的关系解决有关问题. 板书设计： 作业布置： 教 学 过 程 备注 情境创设 1． 观察转动的摩天轮，你发现了什么？ 2．你知道车轮为什么设计成圆形？设计成三角形、四边形又会怎样？从中你发现了什么？ 实践探索一 1．操作与探究： (1)在两张透明纸片上，分别作半径相等的⊙O和⊙O'． (2)在⊙O和⊙O'中，分别作相等的圆心角∠AOB、∠A'O'B'，连接AB、A'B'． (3)将两张纸片叠在一起，使⊙O与⊙O'重合. (4)固定圆心，将其中一个圆旋转某个角度，使得OA与OA'重合．你发现了什么？请与同学交流． O(O′) B′ A′ B A 2．思考与探索： (1)在同圆或等圆中，如果圆心角所对的弧相等，那么它们所对的弦相等吗？这两个圆心角相等吗？为什么？ (2)如果圆心角所对的弦相等呢？ 实践探索二 相关概念 1．一般地，n°的圆心角对着n°的弧，n°的弧对着n°的圆心角． 2．圆心角的度数与它所对的弧的度数相等． 例题精讲 例1　如图，AB、AC、BC是⊙O的弦，∠AOC＝∠BOC.∠ABC与∠BAC相等吗？为什么？ 例2　如图，在△ABC中，∠C＝90°， ∠B＝28°，以C为圆心，CA为半径的圆交AB于点D，交BC与点E．求、的度数． 知识应用 1．如图1，在⊙O中＝，∠AOB＝50º，求∠COD的度数． 2．如图2，在⊙O中，＝，∠A＝40º，求∠ABC的度数. 拓展延伸 如图，在同圆中，若＝2，则AB与2CD的大小关系是( ) ． A. AB＞2CD B. AB＜2CD C. AB＝2CD D. 不能确定A B C D O 小结与反思 通过本节课的学习，你对圆的对称性有哪些认识？ 教学反思： XXX中学集体备课教案纸 九 年级 数学 学科 主备人 XXX 课 题 2.2　圆的对称性（2） 课时 总第 15 课时 教学目标： 1．会利用圆的轴对称性探究垂径定理、证明垂径定理； 2．能利用垂径定理进行相关的计算和证明； 3．经历探索与证明垂径定理的过程，体会和理解研究几何图形的方法. 教学重难点： 重点：垂径定理的证明定理及其简单应用． 难点：垂径定理的证明定理． 板书设计： 作业布置： 教 学 过 程 备注 情境引入 圆是什么对称图形？你是如何验证的？ 实践探索一 圆的轴对称性． 1．圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？你是如何验证的？ 2．如何确定圆形纸片的圆心？动手试一试！ 实践探索二 垂径定理． 1．操作、探索 学生拿出事先准备好的透明的纸片，在上面画一个圆O，再任意画一条非直径的弦CD，作一直径AB与CD垂直，交点为P（如图1）．沿着直径将圆对折（如图2），你有什么发现？ 　　　 图1 　　 图2 2．请你用文字语言概括你对垂直于弦的直径的研究过程中发现的结论，其中条件和结论分别是什么？请用几何语言表示． 3．请证明你的发现． 定理巩固训练 1．下列图形中，哪些能使用垂径定理，为什么？ 　　 2．如图，⊙O直径CD与弦AB（非直径）交于点M， 添加一个条件：____________，就可得到点M是AB的中点．· A M D O B C 例题精讲 例1　如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径．. A B O 例2　如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C、D．AC与BD相等吗？为什么？ 知识应用 1．“圆材埋壁”是我国古代著名数学家著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”此问题的实质是解决下面的问题：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE＝1，AB＝10，求CD的长．”根据题意可得CD的长为________． 2．已知⊙O的直径50cm，弦AB∥CD，且AB＝40cm，CD＝48cm，求AB、CD之间的距离． 拓展延伸 如图，AB、CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，与相等吗？为什么？ 小结与反思 通过本节课的学习，你对圆的对称性有哪些认识？ 课后作业 课本P49第5、6、7、8． 教学反思： XXX中学集体备课教案纸 九 年级 数学 学科 主备人 XXX 课 题 2.3　确定圆的条件 课时 总第 16 课时 教学目标： 1．经历不在一条直线上的三点确定一个圆的探索过程； 2．能够利用尺规，过不在同一直线上的三点画出一个圆；了解三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念， 教学重难点： 重点：了解不在一条直线上的三点确定一个圆． 难点：通过类比，经历确定圆的条件的探索过程，说明过不在同一直线上的三点有且只有一个圆． 板书设计： 作业布置： 教 学 过 程 备注 情境引入 考古学家在长沙马王堆汉墓挖掘时，发现一圆形瓷器碎片，你能帮助考古学家画出这个碎片所在的整圆，以便于进行深入的研究吗？ 复习回顾 （1）过一点可作几条直线？（2）过几点可确定一条直线？ （3）过几个点可以确定一个圆呢？ 实践探索一：确定圆的条件 1．经过已知点A作圆，可以作多少个？A A 2．经过已知点A、B作圆，可以作多少个？圆心在什么图形上？ 3．经过A、B、C三点，能不能作圆？如果能，可以作多少个？圆心在什么位置？如果不能，请说明理由． A、B、C三点有怎样的位置关系？ ①如果过三个点，圆心与这三个点有什么关系？ ②经过A、B的圆心有什么特征？经过B、C的圆心有什么特征？ ③请你动手画画，你有什么发现？） 定理：不在同一直线上的三点确定一个圆． 实践探索二：相关概念 由定理可知：经过三角形三个顶点可以作一个圆， 经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆．外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．O A B C 实践探索三：三角形的外接圆 1．已知△ABC，用直尺和圆规作三角形ABC的外接圆． 2．想一想： （1）三角形有多少个外接圆？ （2）三角形的外心如何确定？它到三角形三个顶点的距离有何关系？ （3）圆有几个内接三角形？ 2． 三角形的外接圆有什么性质？ 知识应用 如何解决“圆形瓷器碎片重圆”的问题？ 典型例题 例1　如图，A、B、C三点表示三个工厂，要建立一个供水站，使它到这三个工厂的距离相等，求作供水站的位置．（不写做法，尺规作图，保留作图痕迹） 例2　如图，在四边形ABCD中，∠A＝ ∠C＝90o， （1）经过点A、B、D三点作⊙O； （2）⊙O是否经过点C？请说明理由． 课堂训练 1．请用直尺和圆规分别作出直角三角形和钝角三角形的外接圆；观察所画图形，你发现三角形的外心和三角形有何位置关系？ 2．选择题： （1）三角形的外心具有的性质是（ ）． A．到三顶点的距离相等 B．到三边的距离相等 C．外心必在三角形的内部 D．到顶点的距离等于它到对边中点的距离 （2）等腰三角形的外心（ ）． A．在三角形内 B．在三角形外 C．在三角形的边上 D．在形外、形内或一边上都有可能 （3）钝角三角形的外心在三角（　 　）． A．内部 B．一边上C．外部 D．可能在内部也可能在外部 小结 1．作直线． 过一点-------可以作无数条直线．过两个点-----确定一条直线． 2．作圆． 过一个点——可以作无数个圆．过两个点——可以作无数个圆． 过三个点——不在同一直线上的三个点确定一个圆；在同一直线上的三个点不能作圆． 3.三角形的外接圆、圆的内接三角形． 课后作业 课本P52第1、2、3． 教学反思： XXX中学集体备课教案纸 九 年级 数学 学科 主备人 XXX 课 题 2.4　圆周角（1） 课时 总第 17 课时 教学目标： 1．了解圆周角的概念； 2．让学生经历圆周角与圆心角关系的探索过程，培养学生的动手操作、自主探索和合作交流的能力； 教学重难点： 重点：探索圆周角与圆心角的关系． 难点：通过分类讨论，推理、验证“圆周角与圆心角的关系”． 板书设计： 作业布置： 教 学 过 程 备注 情境引入 足球训练场上教练在球门前画了一个圆圈，进行无人防守的射门训练，如图，甲、乙两名运动员分别在C、D两地，他们争论不休，都说自己所在位置对球门AB的张角大．如果你是教练，请评一评他们两个人，谁的位置对球门AB的张角大．A B O C D 实践探索一：圆周角的概念 在上面的角有什么特征？如果请你命名，你叫它什么？ 顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角． 口答：判断下列各图中的角是否是圆周角？并说明理由． 实践探索二：圆周角的性质 1．操作猜想： 画弧BC所对的圆心角，然后再画同弧BC所对的圆周角．你发现了什么？ 2．验证猜想： 第一步：特殊情况． AB为⊙O直径，点C在⊙O上．∵∠BOC是△AOC的外角，∴∠BOC＝∠BAC＋∠OCA．∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠BAC．∴∠BOC＝2∠BAC，即∠BAC＝∠BOC． 第二步：转化成特殊情况． 定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等， 都等于该弧所对的圆心角的一半． 例题讲解 例1　如图，⊙O的弦AB、DC的延长线相交于点E，∠AOD＝150°，为70°．求∠ABD、∠AED的度数． 例2　如图，P是△ABC的外接圆上的一点，∠APC＝∠CPB＝60°． 求证：△ABC是等边三角形． 练一练 如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠BAC＝35° ． （1）∠BDC＝ °，理由是 ； （2）∠BOC＝ °，理由是 ． 拓展提升 如图，点A、B、C在⊙O上，点D在圆外，CD、BD分别交⊙O于点E、F，比较∠BAC与∠BDC的大小，并说明理由． 变式：移动点D到圆内，其它条件不变，此时∠BAC与∠BDC的大小又如何？并说明理由． 总结 这节课你有哪些收获和困惑？开始的问题情境，你解决了吗？ 课后作业 课本P55-56第1、2、3 教学反思： XXX中学集体备课教案纸 九 年级 数学 学科 主备人 XXX 课 题 2.4　圆周角（2） 课时 总第 18 课时 教学目标： 1．巩固圆周角的概念、圆周角定理，并能运用定理解决有关问题； 2．掌握半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径； 3．经历圆周角性质的过程，培养学生分析问题和解决问题的能力； 教学重难点： 重点：掌握直径和所对圆周角是直角之间的相互确定关系 难点：灵活运用同弧所对的圆周角和圆心角的关系解决问题． 板书设计： 作业布置： 教 学 过 程 备注 情境引入 有一个圆形模具，现在只有一个直角三角板，请你找出它的圆心． 实践探索一 问题1　如图1，BC是⊙O的直径，A是⊙O上任一点，你能确定∠BAC的度数吗? 问题2　如图2，圆周角∠BAC ＝90º，弦BC经过圆心O吗？为什么？ 归纳总结：3．圆周角定理的推论： 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径． 例题讲解 例1 如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，∠ACD＝60°，∠ADC＝50°， 求∠CEB的度数． 例2　已知：BC是⊙O的直径，A是⊙O上一点，AD⊥BC，垂足为D，＝，BE交AD于点F． （1）∠ACB与∠BAD相等吗？为什么？ （2）判断△FAB的形状，并说明理由． 拓展 1．（追问）图中是否存在与FB相等的其他线段？ 2．在例2中，若点E与点A在直径BC的两侧，BE交AD的延长线于点F，其余条件不变（如下图），例2中的结论还成立吗？ 解决情境引入问题 “有一个圆形模具，现在只有一个直角三角板，请你找出它的圆心”．你现在能解决吗？ 练一练 1．如图，AB是⊙O的直径，∠A＝10°， 则∠ABC＝________． 　 　2．如图，AB是⊙O的直径，D是⊙O上的任意一点（不与点A、B重合），延长BD到点C，使DC＝BD，判断ΔABC的形状： ． 3．如图，AE是⊙O的直径，△ABC的顶点都在⊙O上,AD是△ABC的高，△ABE和 △ADC相似吗？为什么？ 拓展提升 一个圆形人工湖，弦AB是湖上的一座桥，已知桥AB长100m，测得圆周角∠C＝45°，求这个人工湖的直径． 总结 这节课你有哪些收获和困惑？ 今天我们学习了圆中有哪些常用辅助线？ 课后作业 课本P58第1、2、3． 教学反思： XXX中学集体备课教案纸 九 年级 数学 学科 主备人 XXX 课 题 2.4　圆周角（3） 课时 总第 19 课时 教学目标： 1．了解圆内接四边形的概念，掌握圆内接四边形的概念及其性质定理； 2．让学生经历“圆内接四边形的对角互补”的探索过程，培养学生的动手操作、自主探索和合作交流的能力； 教学重难点： 重点：探索“圆内接四边形的性质——对角互补”． 难点：圆内接四边形性质的应用． 板书设计： 作业布置： 教 学 过 程 备注 情境引入 1．过三角形的三个顶点能画一个圆吗？为什么？ 2．过四边形的四个顶点能画一个圆吗？为什么？ 实践探索一：圆内接四边形的概念 教师：1．过三角形的三个顶点画的这个圆叫什么？这个三角形又称为什么？ 2．类比上面的概念，过四边形的四个顶点画的这个圆叫什么？这个四边形又称为什么？ 3．一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆． 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O是四边形ABCD的外接圆． 实践探索二：圆内接四边形的性质 1．已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，当BD是直径时，你能发现∠A与∠C、∠ABC与∠ADC有怎样的数量关系？为什么？ 2．已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，当BD不是直径时，你上面发现的∠A与∠C、∠ABC与∠ADC的数量关系是否依然成立？为什么？ 　　 归纳总结上面的发现，你能否将结论表述出来？ 圆的内接四边形的对角互补． 例题讲解 例1　如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝AD，∠C＝110°，若点E在上，求∠E的度数． 例2　如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，DB＝DC，∠DAE是四边形ABC D的一个外角．∠DAE与∠DAC相等吗？为什么？ 拓展 与∠DAE相等的角还有哪些？你能从中得到怎样的结论？ 练一练 1．已知：图中，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，E为AB延长线上一点，且∠AOC＝80 °，则 ∠D＝ ，∠ CBE＝ ． 2．圆内接四边形ABCD中， ∠ A： ∠B： ∠C：∠D ＝ 2 ： 4：7 ：m，则 m＝ ， ∠D＝ ． 3．60页练习1、2、3． 总结 这节课你有哪些收获？ 开始的问题情境，你解决了吗？ 课后作业 课本P62第9、10、11． 教学反思： XXX中学集体备课教案纸 九 年级 数学 学科 主备人 XXX 课 题 2.5　直线与圆的位置关系（1） 课时 总第 20 课时 教学目标： 1．经历探索直线与圆的位置关系的过程； 2．理解直线与圆的三种位置关系——相交、相切、相离； 3．能利用圆心到直线的距离d与圆的半径r之间的数量关系判别直线与圆的位置关系． 教学重难点： 重点：用“圆心到直线的距离与圆半径之间的数量关系”来描述“直线与圆的位置关系”的方法． 难点：直线和圆相切：“直线和圆有唯一公共点”的含义. 板书设计： 作业布置： 教 学 过 程 备注 情境引入 1．我们已经学习过点和圆的位置关系，请同学们回忆： （1）点和圆有哪几种位置关系？ （2）怎样判定点和圆的位置关系？（数量关系——位置关系） 2．观察三幅太阳升起的照片，地平线与太阳经历了哪些位置关系？ 通过这个自然现象，你猜想直线和圆的位置关系有哪几种? 实践探索一：直线和圆的位置关系 操作交流： 在纸上画一个圆，上下移动直尺．把直尺看作直线，在移动的过程中观察直线与圆的位置关系发生了怎样的变化？ (1)直线和圆有两个公共点，叫做直线和圆相交． (2)直线和圆有唯一公共点，叫做直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，这个公共点叫切点． (3) 直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离． 　　 实践探索二：探究直线与圆的位置关系的数量特征 1．直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样，也可以用数量关系来刻画它们的三种位置关系呢？ (1)直线与圆相交 d＜r； (2)直线与圆相切 d＝r； (3)直线与圆相离　　　d＞r． 2．直线与圆的位置关系中的d与点和圆的位置关系中的d，它们表示的含义相同吗？谈谈你的理解． 例题讲解 例1　在△ABC中，∠A＝45°，AC＝4，以C为圆心，r为半径的圆与直线AB有怎样的位置关系？为什么？ （1）r＝2；（2）r＝2；（3）r＝3． 例2　已知：如图示，∠AOB＝300，M为OB上一点，以M为圆心，5cm长为半径作圆，若M在OB上运动，问：M B O A · ①当OM满足 时，⊙M与OA相离？ ②当OM满足 时，⊙M与OA相切？ ③当OM满足 时，⊙M与OA相交？ 练一练 1．已知⊙O的直径为10cm，点O到直线的距离为d： (1)若直线与⊙O相切，则d＝____； (2)若d＝4cm，则直线与⊙O有_____个公共点； (3)若d＝6cm，则直线与⊙O的位置关系是________． 2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？为什么？ 　　(1)r＝2cm；(2)r＝2.4cm；(3)r＝3cm． 拓展提升 在平面直角坐标系中有一点A(－3，－4)，以点A为圆心，r长为半径时，思考：随着r的变化，⊙A与坐标轴交点的变化情况． 　　 总结 1．这节课你有哪些收获和困惑？ 2．直线与圆的位置关系中的d与点和圆的位置关系中的d，两者有何区别与联系？ 课后作业 课本P65第1、2． 教学反思： XXX中学集体备课教案纸 九 年级 数学 学科 主备人 XXX 课 题 2.5　直线与圆的位置关系（2） 课时 总第 21 课时 教学目标： 1．探索切线判定，能判定一条直线是否为圆的切线； 2．理解“圆的切线垂直于过切点的半径”的性质； 3．通过探索切线的判定和性质的过程，培养学生的逆向思维能力，渗透反证法思想． 教学重难点： 重点：直线与圆相切的判定方法与圆的切线的性质的应用． 难点：对用“反证法”推理切线性质的理解． 板书设计： 作业布置： 教 学 过 程 备注 复习引入 1．已知圆的半径等于5厘米，圆心到直线l的距离是：（1）4厘米；（2）5厘米；（3）6厘米．直线l和圆分别有几个公共点？分别说出直线l与圆的位置关系． 2．你有哪些方法可以判定直线与圆相切？ 实践探索一：切线的判定 操作交流： 1．过圆上一点画一条圆的切线，并与你的同学交流你的想法． 2．请你将上面发现的结论进行归纳总结． 3．请你总结一下：切线的判定有哪些方法？ 例题讲解 例1　如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠CAD＝∠ABC．判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由． 拓展：如果AB不是直径，其余条件不变，上面的结论还成立吗？ 实践探索二：切线的性质 1．如图，直线l与⊙O相切于点A，OA是过切点的半径，直线l与半径OA是否一定垂直？你能说明理由吗？ 归纳总结：定理：圆的切线垂直于经过切点的半径． 例题讲解 例2　如图，AB是⊙O的直径，弦AD平分∠ABC，过点D的切线交AC于点E，DE与AC有怎样的位置关系？为什么？ 从中你有什么启发？ 练一练 1．如图，O是∠ABC的平分线上的一点，OD⊥BC于D，以O为圆心、OD为半径的圆与AB相切吗？为什么？D O C B A 2．如图，AB是⊙O的直径， ∠ABC＝45°，AB＝AC．判断直线AC与⊙O的位置关系，并说明理由． 拓展提升 　　如图：在△ABC中AB＝BC，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，过D作DF⊥BC，交AB的延长线于E，垂足为F． 求证：直线DE是⊙O的切线． 总结 1．这节课你有哪些收获和困惑？ 2．切线的判定有哪些方法？ 课后作业 课本P73第4、5、6、7． 教学反思： XXX中学集体备课教案纸 九 年级 数学 学科 主备人 XXX 课 题 2.5　直线与圆的位置关系（3） 课时 总第 22 课时 教学目标： 1．会过圆上一点画圆的切线；会作三角形的内切圆； 2．理解三角形内切圆的有关概念； 3．通过探究作三角形的内切圆的过程，归纳内心的性质，进一步提高学生的归纳和作图的能力． 教学重难点： 重点：掌握三角形内切圆的画法、理解三角形内切圆的有关概念 难点：作已知三角形的内切圆． 板书设计： 作业布置： 教 学 过 程 备注 复习引入 1．如图是一块三角形木料，木工师傅要从中裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下来的圆的面积尽可能大？ 2．你发现这个圆有什么特征？ 实践探索一：三角形的内切圆的概念 1．三角形内切圆的定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，这个三角形叫做圆的外切三角形． 2、对照上图，说说其中的内切圆和外切三角形． 实践探索二：三角形的内切圆性质 操作探究： 1．作三角形的内切圆： 　　已知：△ABC． 　　求作：⊙O，使它与△ABC的3边 都相切． 　　作法：1．作∠ABC、∠ACB的平分线BM和CN，交点为I． 2．过点I作ID⊥BC，垂足为D． 3．以I为圆心，ID为半径作⊙I， ⊙I就是所求的圆． 2、内心的概念：三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心． 3．请你思考一下：内心有哪些性质？ 例题讲解 例1　如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，∠B＝60°，∠C＝70°，求∠EDF的度数．• • O D F E • • C B A 2．拓展：∠A与∠EDF有什么关系？ 例2　已知：点I是△ABC的内心，AI的延长线交外接圆于D．则DB与DI相等吗？为什么？ 练一练 1．下列说法中，正确的是（ ）． A．垂直于半径的直线一定是这个圆的切线； B．圆有且只有一个外切三角形； C．三角形有且只有一个内切圆； D．三角形的内心到三角形的3个顶点的距离相等． 2．如图，⊙I切△ABC的边分别为D、E、F，∠B＝80°，∠C＝60°，M是上的动点（与D、E不重合），∠DMF的大小一定吗？若一定，求出∠DMF的大小；若不一定，请说明理由． 总结 1．这节课你有哪些收获和困惑？ 2．三角形的内心和外心有什么区别与联系？ 课后作业 课本P70第1、2． 教学反思： XXX中学集体备课教案纸 九 年级 数学 学科 主备人 XXX 课 题 2.5　直线与圆的位置关系（4） 课时 总第 23 课时 教学目标： 1．了解切线长的概念； 2．经历探索切线长性质的过程，并运用这个性质解决问题． 教学重难点： 重点：掌握切线长的性质． 难点：运用切线长的性质解决问题． 板书设计： 作业布置： 教 学 过 程 备注 复习引入 　　经过平面上一个已知点，作已知圆的切线会有怎样的情形？ 　　1．点在圆内； 　　2．点在圆上； 3．点在圆外． 实践探索一：切线长的概念 1．在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长． 2、让学生说说：切线与切线长的区别与联系． 实践探索二：切线长的性质 操作探究： 1．如图，若从⊙O外的一点引两条切线PA、PB，切点分别是A、B，连接OA、OB、OP，你能发现什么结论？并证明你所发现的结论． 　　 2、请你思考一下：切线长有哪些性质？试用文字语言叙述你所发现的结论． 例题讲解 例1　如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB、AC分别与小圆相切于点D、E．AB与AC相等吗？为什么？ 拓展：如果AB、AC是任意两条与小圆相切的弦，那么AB与AC相等吗？ 例2　如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，直线EF也是⊙O的切线，切点为Ｃ，交PA、PB于点E、F． 　　 ①已知PA＝12cm，求△PEF的周长； 　　 ②已知∠P＝40°，求∠EOF的度数． 练一练 1．如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别为P、C、D．如果AB＝5，AC＝3．则BD的长为 ． 2．如图，P是⊙O外一点，PO交⊙O于点C，PC＝OC，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B．如果⊙O的半径为5，则切线长为 ，两条切线的夹角为 °． 3．如图，如图AB是⊙O的直径，C为圆上任意一点，过C的切线分别与过A、B两点的切线交于P、Q，则∠POQ的度数为____°； 若AP＝2，BQ＝5，则⊙O的半径为 ． 拓展提升 如图，△ABC中，∠C ＝90º ，且AC＝6，BC＝8，它的内切圆O分别与边AB、BC、CA相切于点D、E、F，求⊙O的半径r． 总结 1．这节课你有哪些收获和困惑？ 2．切线与切线长的区别与联系？ 课后作业 1．课本P72第1、2． 2．阅读课本P75～76． 教学反思： XXX中学集体备课教案纸 九 年级 数学 学科 主备人 XXX 课 题 2.6　正多边形与圆（1） 课时 总第 24 课时 教学目标： 1．了解正多边形的概念、正多边形和圆的关系； 2．会通过等分圆心角的方法等分圆周，画出所需的正多边形． 教学重难点： 重点：正多边形的概念及正多边形与圆的关系． 难点：利用直尺与量角器等作特殊的正多边形． 板书设计： 作业布置： 教 学 过 程 备注 复习引入 1．观察身边的图案，说说有哪些你熟悉的图形？ 2．观察下列图形，你能说出这些图形的名称和特征吗？ 实践探索一：正多边形的概念 1．观察生活中的一些图形，归纳它们的共同特征，引入正多边形的概念： 各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形． 　2．概念理解： 　　①请同学们举例，自己在日常生活中见过的正多边形．（正三角形、正方形、正六边形，……） ②矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？ 3．能否说各边相等的多边形是正多边形？ 能否说各角相等的多边形是正多边形？ 例题讲解 例1　 在等边三角形ABC中，E、F、G、H、L、K分别是各边三等分点，试说明六边形EFGHLK是正六边形． 实践探索二：正多边形与圆的关系 操作探究：利用圆画正多边形． 1．如图，已知⊙O． （1）用量角器把⊙O五等份，依次连接各等分点，得五边形ABCDE； （2）五边形ABCDE是正五边形吗？为什么？ 2、思考：如何利用圆来画正多边形？ 　数学实验室： 3．如图，点A、B、C、D、E、F六等分⊙O． （1）在一张透明纸上画与下图形状、大小相同的图形，并把它们叠合在一起； （2）把所画图形绕点O旋转60°，你发现了什么？再旋转60°呢？ 　　你能从图形运动的角度说明六边形ABCDEF是正六边形吗？ 4、请你思考一下：正六边形与圆有何关系？ 相关概念： 一般地，用量角器把一个圆n（n≥3）等分，依次连接各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形．正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径． 例题讲解 例2 如图，正六边形ABCDEF的半径为4．求这个正六边形的周长和面积． 练一练 1．下列说法中正确的是( )． A．平行四边形是正多边形； B．矩形是正四边形； C．菱形是正四边形； D．正方形是正四边形； 2．若一个正多边形的每个内角为150°，则这个正多边形的边数为 ． 3．已知正四边形的外接圆的半径为R，则正四边形的周长是 ． 总结 1．这节课你有哪些收获和困惑？ 2．如何画一个正多边形？ 课后作业 1．课本P81第1、2、3、4． 教学反思： XXX中学集体备课教案纸 九 年级 数学 学科 主备人 XXX 课 题 2.6　正多边形与圆（2） 课时 总第 25 课时 教学目标： 1．了解正多边形的概念、正多边形和圆的关系； 2．会通过等分圆心角的方法等分圆周，画出所需的正多边形． 教学重难点： 重点：正多边形的概念及正多边形与圆的关系． 难点：利用直尺与量角器等作特殊的正多边形． 板书设计： 作业布置： 教 学 过 程 备注 复习引入 1．菱形是正多边形吗？矩形是正多边形吗？为什么？它们是怎样的对称图形？ 2．下图中的正多边形，哪些是轴对称图形？哪些是中心对称图形？如是轴对称图形，画出它的对称轴；如是中心对称图形，找出它的对称中心． 3．通过上面的图形，你能发现正多边形有怎样的对称性？ 实践探索一：正多边形的对称性 1． 正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心． 　2．思考：在什么情况下，正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形？ 结论：一个正多边形，如果有偶数条边，那么它既是轴对称图形，又是中心对称图形．对称中心就是这个正多边的中心． 性质巩固练习 1．下列命题中，正确的说法有_________________（填序号）．①正多边形的各边相等；②各边相等的多边形是正多边形；③正多边形的各角相等；④各角相等的多边形是正多边形；⑤既是轴对称图形，又是中心对称的多边形是正多边形． 　　2．下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )． A．多边形； B．边数为奇数的正多边形； C．正多边形； D．边数为偶数的正多边形． 3．将一个正十边形绕它的中心至少旋转多少度，就能与它本身重合？正五边形呢？ 实践探索二：用圆规和直尺作正多边形 1．请你想一想：如何画一个正方形？ 　　如果改为用直尺和圆规，如何作一个正方形？ 拓展思考：如何作正八边形？十六边形？ 2．请你想一想：如何画一个正六边形？ 如果改为用直尺和圆规，如何作一个正六边形？ 拓展思考：如何作三角形？正十二边形？ 例题讲解 例1　如图，△ABC是⊙O的内接等腰三角形，顶角∠BAC＝36°，弦BD、CE分别平分∠EBC、∠ACD ． 求证：五边形AEBCD 练一练 1．正十二边形的每一个外角为___°， 每一个内角是 °，该图形绕其中心至少旋转 °和本身重合． 2．为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a，求阴影部分的面积． 3.用直尺和圆规作一个等边三角形． 总结 1．这节课你有哪些收获和困惑？ 2．用直尺和圆规你能作哪些特殊的正多边形？如何作？ 课后作业 课本P82第5、6． 教学反思： XXX中学集体备课教案纸 九 年级 数学 学科 主备人 XXX 课 题 2.7 弧长及扇形的面积 课时 总第 26 课时 教学目标： 1． 在小学学习圆的周长和面积公式的基础上，通过整体与局部的关系，探索弧长计算公式及扇形面积计算方法，从而得出 弧长及扇形面积的计算公式； 2．了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会运用公式解决问题． 教学重难点： 重点：弧长与扇形的计算公式的推导与应用． 难点：弧长与扇形的计算公式的应用． 板书设计： 作业布置： 教 学 过 程 备注 创设情境 在田径二百米跑比赛中，每位运动员的起跑位置相同吗？每位运动员弯路的展直长度相同吗？ 探索一：弧长计算公式 问题1　如果圆形跑道的半径是36米，圆心角是180°，那么半圆形跑道长是多少呢？ 问题2　如果将1中的圆心角变成是90°，60°，那么所对应的弧长分别是多少呢？ 问题3　已知⊙O半径为R，求n°圆心角所对弧长． 结论： 在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为： l＝　． 练习1 （1）已知圆弧的半径为24，所对的圆心角60°，它的弧长为 ． （2）已知一弧长为12πcm，此弧所对的圆心角为240°，则此弧所在圆的半径为 ． 探索二：扇形面积计算公式 1．回忆扇形的相关概念． 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形是扇形 2．已知⊙O半径为R，求圆心角为n°的扇形的面积． （1） 圆心角是1°的扇形面积是多少？ （2） 圆心角为n°的扇形面积是多少？ 3、扇形的面积公式与弧长公式有联系吗？ 练习2 (1) 一个扇形的弧长为20πcm，半径为24cm，则该扇形的面积为__________． (2)扇形的圆心角为60°，半径为5cm，则这个扇形的弧长为_______， 这个扇形的面积为______． (3)已知扇形的圆心角为120°,弧长为20π，扇形的面积为 ． 例题分析 例1　如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝60°．设⊙O的半径为2，求的长． 例2　 如图，折扇完全打开后，OA、OB的夹角为120°，OA的长为30cm，AC的长为20cm，求图中阴影部分的面积S． 拓展提升 如图，半圆的直径AB＝40，C、D是半圆的3等分点．求弦AC、AD与围成的阴影部分的面积． 总结 1．弧长、扇形面积公式； 2．不规则图形的面积的求法：用规则的图形的面积来表示； 3．数学思想转化的应用： ①转化思想；②整体思想． 课后作业 课本P85习题1、2、3、4． 教学反思： XXX中学集体备课教案纸 九 年级 数学 学科 主备人 XXX 课 题 2.8　圆锥的侧面积 课时 总第 27 课时 教学目标： 1．了解圆锥的侧面积计算公式，并会应用公式解决问题； 2．经历探索圆锥侧面积计算公式的过程，发展学生的实践探索能力； 教学重难点： 重点：了解圆锥的侧面积计算公式，并会应用公式解决问题． 难点：经历探索圆锥侧面积计算公式过程． 板书设计： 作业布置： 教 学 过 程 备注 情境引入 童心玩具厂欲生产一种圣诞老人的帽子，其帽身是圆锥形，高h＝15cm，底面半径r＝5cm，生产这种帽身10000个，你能帮玩具厂算一算至少需多少平方米的材料吗？（不计接缝用料和余料，π取3.14．） 实践探索一：圆锥的侧面积 1．圆锥的概念回顾． （1） 圆锥是由一个底面和一个侧面围成的，它的底面是一个圆，侧面是一个曲面． （2）把圆锥底面圆周上的任意一点与圆锥顶点的连线叫做圆锥的母线． （3）连结顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高． （4）圆锥的底面半径、高线、母线长三者之间的关系：a2＝h2＋r2． 2．圆锥的侧面展开： 　　（1）圆锥中的各元素与它的侧面展 开图是一个扇形； 　　（2）扇形的各元素之间的关系： 　　将圆锥的侧面沿母线l剪开，展开成平面图形，可以得到一个扇形，设圆锥的底面半径为r，这个扇形的半径等于什么？扇形弧长等于什么？ 　　（3）圆锥的母线即为扇形的半径，而圆锥底面的周长是扇形的弧长，这样： S圆锥侧＝S扇形=·2πr · l＝πrl． （4）圆锥全面积计算公式： S圆锥全＝S圆锥侧＋S圆锥底面 = πrl＋πr 2＝πr（l＋r）． 例题讲解 例1　用铁皮制作的圆锥形容器盖如图所示，求这个容器盖铁皮的面积（精确到1cm2）．A B C 例2　已知Rt △ ABC中，∠C＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，求（1）以BC所在直线为中心轴旋转一周得到的几何体的侧面积和全面积； （2）以AB所在直线为中心轴旋转一周得到的几何体的侧面积和全面积． 课堂练习 1．圆锥的底面半径为3，高为4，则母线长为 ，底面的周长为 ，侧面展开图的扇形的弧长为 ，侧面积为 ． 2．一个扇形，半径为30cm，圆心角为120°，用它做成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面半径为 ． 3．一个圆锥形零件的高30cm，底面半径40cm，求这个圆锥形零件的侧面积和全面积． 拓展提升 在半径为的圆形纸片中，剪一个圆心角为90°的扇形（如图中的阴影部分）． （1）求这个扇形的面积（结果保留π）； （2）用所剪的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，求这个圆锥的底面圆半径； （3）在被剪掉的3块余料中，能否从中选取一块剪出一个圆作为“（2）”中所围成的圆锥的底面？ 总结 这节课你有哪些收获和困惑？ 课后作业 1．课本P87第1、2、3． 2．阅读课本P88图形的密铺． 教学反思： 1 学科网（北京）股份有限公司 $$