第4章 锐角三角函数 单元测试2024-2025学年湘教版九年级数学上册

湘教版九年级上册 第4章 锐角三角函数 单元测试 一、选择题 1.已知锐角α满足tan（α+25°）＝1，则锐角α的度数为（　　） A.15° B.20° C.25° D.30° 2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，2cos A＝1，则∠B的值为（　　） A.30° B.45° C.60° D.90° 3.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则tan A的值为（　　） A. B. C. D. 4.三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sin α的值是（　　） A. B. C. D. 5.已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，若ab，则∠A的值为（　　） A.30° B.45° C.60° D.75° 6.如图，已知在Rt△ABC中，∠B＝90°，则cos A＝（　　） A. B. C. D. 7.在△ABC中，若sin A，tan C，则△ABC是（　　） A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 8.一个直角三角形有两条边长为3和4，则较小锐角的正切值是（　　） A. B. C. D.或 9.近年，长春市城区内的背街小巷都安装上了路灯，为市民提供更多的出行方便．如图所示，其中一款路灯的灯杆AC高9米，灯臂AB长1米，灯臂与水平面的夹角为α，则灯臂的最高点B到地面的距离为（　　） A.（9+sin α）米 B.（9+cos α）米 C.（9+tan α）米 D.9cos α米 10.如图所示，两条宽度都是1的纸条交叉重叠放在一起，且夹角为28°，则重叠部分的面积为（　　） A.2.1 B.1.1 C.0.47 D.1 11.在△ABC中，若∠A，∠B均为锐角，且|sin A|+（1﹣tan B）2＝0，则∠C的度数是（　　） A.45° B.60° C.75° D.105° 12.我校数学兴趣小组的同学要测量建筑物CD的高度，如图，建筑物CD前有一段坡度为i＝1：2的斜坡BE，小明同学站在山坡上的B点处，用测角仪测得建筑物屋顶C的仰角为37°，接着小明又向下走了米，刚好到达坡底E处，这是测到建筑物屋顶C的仰角为45°，A、B、C、D、E、F在同一平面内，若测角仪的高度AB＝EF＝1.5米，则建筑物CD的高度约为（　　）米．（精确到0.1米，参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75） A.38.5米 B.39.0米 C.40.0米 D.41.5米 二、填空题 13.如图，∠BAC位于6×6的方格纸中，则tan∠BAC＝　   　． 14.已知：α为锐角，且cos α，则：tan α＝_______，sin α＝_______． 15.如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则tan B的值为　   　． 16.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（3，3）和点B（7，0），则sin∠ABO的值等于　   　． 17.如图1是一款重型订书机，其结构示意图如图2所示，其主体部分为矩形EFGH，由支撑杆CD垂直固定于底座AB上，且可以绕点D旋转．压杆MN与伸缩片PG连接，点M在HG上，MN可绕点M旋转，PG⊥BC，DF＝8厘米，不使用时，EF∥AB，G是PF中点，tan∠PMG，且点D在NM的延长线上，则GF的长为_________厘米；使用时如图3，按压MN使得MN∥AB，此时点F落在AB上，若CD＝2厘米，则压杆MN到底座AB的距离为_____________厘米． 三、解答题 18.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2，求sin A，cos A，tan A的值． 19.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，AB＝13cm，求tan A，tan B的值． 20.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5．求sin A，cos A和tan A． 21.用计算器求下列各式的值： （1）sin 23°5'+cos 66°55'； （2）cos 14°28'﹣tan 42°57'； （3）tan 52°39'﹣sin 61°42'； （4）sin 27.8°﹣cos 65°37'+tan 49°56″． 22.现有港口D和A、B、C、E四座小岛，一批物资需要从港口D运往小岛A．甲、乙两艘货船均可完成此次运输工作，甲货船运输路线为D→E→A，乙货船的运输路线为D→B→A．已知小岛E在港口D的东北方向50海里处，小岛A在小岛E的北偏东30°方向上，小岛B在港口D的北偏东60°方向上，小岛C在港口D的正东方向，小岛A、B均在小岛C的正北方向上，且B、C两岛相距30海里．（1.41，1.73，2.45） （1）求小岛A与小岛E之间的距离．（结果保留整数） （2）若甲、乙两艘货船的运费分别为13元/海里和11元/海里，请计算说明选择哪艘货船更划算？ 湘教版九年级上册 第4章 锐角三角函数 单元测试（参考答案） 一、选择题 1.已知锐角α满足tan（α+25°）＝1，则锐角α的度数为（　　） A.15° B.20° C.25° D.30° 【答案】B 【解析】∵tan（α+25°）＝1， ∴α+25°＝45°， ∴α＝20°， 故选：B． 2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，2cos A＝1，则∠B的值为（　　） A.30° B.45° C.60° D.90° 【答案】A 【解析】∵2cos A＝1， ∴， ∴∠A＝60°， ∵∠C＝90°， ∴∠B＝90°﹣60°＝30°， 故选：A． 3.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则tan A的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由勾股定理得， AC4， ∴tan A， 故选：B． 4.三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sin α的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由题图可得，直角三角形的斜边长5， ∴sin α， 故选：A． 5.已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，若ab，则∠A的值为（　　） A.30° B.45° C.60° D.75° 【答案】C 【解析】在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∴tan A， ∴∠A＝60°， 故选：C． 6.如图，已知在Rt△ABC中，∠B＝90°，则cos A＝（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵∠B＝90°， ∴cos A＝． 故选：B． 7.在△ABC中，若sin A，tan C，则△ABC是（　　） A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 【答案】B 【解析】∵sin A，tan C， ∴∠A＝60°，∠C＝60°， ∴△ABC是等边三角形， 故选：B． 8.一个直角三角形有两条边长为3和4，则较小锐角的正切值是（　　） A. B. C. D.或 【答案】D 【解析】当两条边长为3和4是直角边时，则较小锐角的正切值； 当3是直角边，4是斜边时，另一条边，则较小锐角的正切值． 故选：D． 9.近年，长春市城区内的背街小巷都安装上了路灯，为市民提供更多的出行方便．如图所示，其中一款路灯的灯杆AC高9米，灯臂AB长1米，灯臂与水平面的夹角为α，则灯臂的最高点B到地面的距离为（　　） A.（9+sin α）米 B.（9+cos α）米 C.（9+tan α）米 D.9cos α米 【答案】A 【解析】如图：过点B作BE⊥AD，垂足为E，延长BE交CF于点G， 由题意得：AC＝EG＝9米，BG⊥CF， 在Rt△ABE中，AB＝1米，∠BAE＝α， ∴BE＝AB•sin α＝sin α（米）， ∴BG＝BE+EG＝（sin α+9）米， ∴灯臂的最高点B到地面的距离为（9+sin α）米， 故选：A． 10.如图所示，两条宽度都是1的纸条交叉重叠放在一起，且夹角为28°，则重叠部分的面积为（　　） A.2.1 B.1.1 C.0.47 D.1 【答案】A 【解析】如图所示，过点A作AN⊥CD于N，过点D作DM⊥BC于M，则AN＝DM＝1，∠DCM＝α． 在Rt△DCM中， CD， ∴重叠部分的面积即平行四边形ABCD的面积为CD•AN2.1． 故选：A． 11.在△ABC中，若∠A，∠B均为锐角，且|sin A|+（1﹣tan B）2＝0，则∠C的度数是（　　） A.45° B.60° C.75° D.105° 【答案】C 【解析】∵∠A，∠B均为锐角，且|sin A|+（1﹣tan B）2＝0， ∴sin A0且1﹣tan B＝0， ∴sin A，tan B＝1， ∴∠A＝60°，∠B＝45°， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝75°， 故选：C． 12.我校数学兴趣小组的同学要测量建筑物CD的高度，如图，建筑物CD前有一段坡度为i＝1：2的斜坡BE，小明同学站在山坡上的B点处，用测角仪测得建筑物屋顶C的仰角为37°，接着小明又向下走了米，刚好到达坡底E处，这是测到建筑物屋顶C的仰角为45°，A、B、C、D、E、F在同一平面内，若测角仪的高度AB＝EF＝1.5米，则建筑物CD的高度约为（　　）米．（精确到0.1米，参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75） A.38.5米 B.39.0米 C.40.0米 D.41.5米 【答案】D 【解析】设CD＝x米．延长AB交DE于H，作AM⊥CD于M，FN⊥CD于N，如图所示： 在Rt△BHE中，∵BE＝4米，BH：EH＝1：2， ∴BH＝4（米），EH＝8（米）， ∵四边形AHDM是矩形，四边形FEDN是矩形， ∴AM＝DH，AH＝DM，FN＝DE，FE＝DN＝1.5（米）， 在Rt△CFN中，∵∠CFN＝45°， ∴CN＝FN＝DE＝（x﹣1.5）（米）， ∵AM＝DH＝（8+x﹣1.5）（米），CM＝（x﹣5.5）（米）， 在Rt△ACM中，∵∠CAM＝37°， ∴AM， ∴8+x﹣1.5， ∴x≈41.5（米）， ∴CD≈41.5米， 故选：D． 二、填空题 13.如图，∠BAC位于6×6的方格纸中，则tan∠BAC＝　   　． 【答案】 【解析】观察图形可知，tan∠BAC． 14.已知：α为锐角，且cos α，则：tan α＝_______，sin α＝_______． 【答案】　　 【解析】由cos α知，如果设b＝3x，则c＝5x， 结合a2+b2＝c2得a＝4x． ∴tan α，sin α． 15.如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则tan B的值为　   　． 【答案】 【解析】如图，过点A作AD⊥BC的延长线于点D， ∴在Rt△ABD中，BD＝3，AD＝2， ∴． 故答案为：． 16.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（3，3）和点B（7，0），则sin∠ABO的值等于　   　． 【答案】 【解析】作AC⊥x轴于C，如图， ∵点A（3，3）和点B（7，0）， ∴OC＝3，AC＝3，OB＝7， ∴BC＝4， 在Rt△ACB中，AB5， ∴sin∠ABC． 故答案为． 17.如图1是一款重型订书机，其结构示意图如图2所示，其主体部分为矩形EFGH，由支撑杆CD垂直固定于底座AB上，且可以绕点D旋转．压杆MN与伸缩片PG连接，点M在HG上，MN可绕点M旋转，PG⊥BC，DF＝8厘米，不使用时，EF∥AB，G是PF中点，tan∠PMG，且点D在NM的延长线上，则GF的长为_________厘米；使用时如图3，按压MN使得MN∥AB，此时点F落在AB上，若CD＝2厘米，则压杆MN到底座AB的距离为_____________厘米． 【答案】3　　1 【解析】如图2，延长NM，则NM过点D， ∵四边形EFGH是矩形，HG∥EF， ∴∠PMG＝∠PDF， ∴tan∠PDF＝tan∠PMG， 即，PF＝6， ∵PF＝6， ∴GFPF＝3（厘米）． 如图3，过点P作PK⊥AB于K， ∵MN∥AB， ∴PK⊥MN，∠MPF＝∠PFK， ∵∠DFP＝∠DCF＝90°， ∴∠CDF+∠DFC＝∠PFK+∠DFC＝90°， ∴∠PFK＝∠CDF＝∠MPF， 由图2可得，PG＝3，tan∠PMG， ∴MG＝4（厘米）， Rt△DCF中，CF2， ∴tan∠CDF＝tan∠MPF， ∴PG，PF， ∵sin∠CDF＝sin∠PFK， ∴PK＝（1）厘米． 故答案为：3；（1）． 三、解答题 18.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2，求sin A，cos A，tan A的值． 【答案】解　∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝2， ∴AB ＝2， sin A， cos A， tan A． 【解析】 19.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，AB＝13cm，求tan A，tan B的值． 【答案】解　∵∠C＝90°，AC＝12cm，AB＝13cm， ∴BC5（cm）， ∴tan A， tan B． 【解析】 20.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5．求sin A，cos A和tan A． 【答案】解　在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5． ∴AB13， ∴sin A， cos A， tan A． 【解析】 21.用计算器求下列各式的值： （1）sin 23°5'+cos 66°55'； （2）cos 14°28'﹣tan 42°57'； （3）tan 52°39'﹣sin 61°42'； （4）sin 27.8°﹣cos 65°37'+tan 49°56″． 【答案】解　（1）原式＝sin 23°5′+sin 23°5′ ＝2sin 23°5′ ≈2×0.39207 ≈0.7841； （2）原式≈0.96829﹣0.93089 ≈0.0374； （3）原式≈1.3103﹣0.8805＝0.4298； （4）原式≈0.135722﹣0.41284+1.18894 ＝0.01842﹣0.41284+1.18894 ＝0.79452． 【解析】 22.现有港口D和A、B、C、E四座小岛，一批物资需要从港口D运往小岛A．甲、乙两艘货船均可完成此次运输工作，甲货船运输路线为D→E→A，乙货船的运输路线为D→B→A．已知小岛E在港口D的东北方向50海里处，小岛A在小岛E的北偏东30°方向上，小岛B在港口D的北偏东60°方向上，小岛C在港口D的正东方向，小岛A、B均在小岛C的正北方向上，且B、C两岛相距30海里．（1.41，1.73，2.45） （1）求小岛A与小岛E之间的距离．（结果保留整数） （2）若甲、乙两艘货船的运费分别为13元/海里和11元/海里，请计算说明选择哪艘货船更划算？ 【答案】解　（1）如图，过E作EF⊥CD于F，并反向延长，作EH⊥AC于H， 根据题意，得∠MDE＝45°，∠MDB＝60°，∠NEA＝30°，∠MDC＝90°，DE＝50海里，BC＝30海里， ∴四边形EFCH是矩形，∠EDF＝45°，∠BDC＝45°，∠AEH＝60°， ∴EH＝FC，EF＝HC， 在Rt△DEF中，（海里），（海里）， 在Rt△BCD中，（海里），（海里）， ∴海里， 在Rt△AEH中，（海里），（海里）， 答：小岛A与小岛E之间的距离为33海里； （2）解：由（1）知海里， ∴甲船的路程为DE+AE≈50+33＝83（海里）， 乙船的路程为（海里）， ∴甲船的费用为83×13＝1079（元）， 乙船的费用为94×11＝1034（元）， ∵1079＞1034， ∴选择乙船更划算． 【解析】 学科网（北京）股份有限公司 $$