18.2 平行四边形的判定 暑假题型专练2024-2025学年华东师大版八年级数学下册

华师大版八年级下册 18.2 平行四边形的判定 暑假题型专练 一、根据定义判定平行四边形 1.如图，点E是四边形的边延长线上的一点，且，则添加下列选项中的条件，不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A. B. C. D. 2.如图，平移到的位置，则下列说法：①；②；③平移的方向是点C到点E的方向；④四边形为平行四边形．其中说法正确的有（   ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.如图，已知，添加下列条件，不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A. B. C. D. 4.如图，四边形ABCD中，当∠1＝∠2，且       ∥       时，这个四边形是平行四边形. 5.如图，在中，，点为上任一点，连接，过点，分别作与交于点，则线段的最小值为       ． 6.如图，中，，点在上，过点作的平行线，与相交于点，点在上，．求证：四边形是平行四边形． 7.如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD，∠1＝∠2．求证：四边形ABCD是平行四边形． 二、对角线互相平分的四边形是平行四边形 1.对角线（    ）的四边形是平行四边形. A.相等 B.互相平分 C.垂直 D.垂直且相等 2.综合实践课上，嘉嘉画出，利用尺规作图找一点C，使得四边形为平行四边形．图1~图3是其作图过程． 在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（    ） A.两组对边分别平行 B.两组对边分别相等 C.对角线互相平分 D.一组对边平行且相等 3.要使如图所示的四边形是平行四边形，根据图中数据，可以添加的条件是（    ） A. B. C. D. 4.如图，四边形ABCD，如果AC＝6，BD＝10，那么AO＝　  　，BO＝　  　时，四边形ABCD是平行四边形． 5.如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O．若OA＝OC，OB＝OD，则四边形ABCD是　       　，理由是　                                    　． 6.如图所示，延长的中线至点E，使，连接、．求证：四边形 是平行四边形． 7.如图，在四边形中，，，，． (1)求线段的长． (2)求证：四边形为平行四边形． 三、判定能否构成平行四边形 1.如图，E是的边的延长线上一点，连接交于点F，连接，．添加以下条件，仍不能判定四边形为平行四边形的是（    ） A. B. C. D. 2.已知四边形，以下有四组条件：① ；②；③；④，其中能判四边形是平行四边形的条件共有（   ） A.1组 B.2组 C.3组 D.1组 3.如图，四边形中，，，E、F是对角线上的两点，如果再添加一个条件，使，则添加的条件不能是（    ） A. B. C. D. 4.在四边形中，对角线、相交于点，在下列条件中，①，，②，；③，；④，；⑤，，能够判定四边形是平行四边形有           （填序号）． 5.如图，在四边形中，，对角线，相交于点．添加下列条件中的一个，若可推出该四边形是平行四边形．①，②，③，④，⑤，⑥．则添加的条件可以是          ． 6.在四边形中，对角线与相交于点． ①如果，，那么四边形是平行四边形； ②如果，，那么四边形是平行四边形； ③如果，，那么四边形是平行四边形； ④如果，，那么四边形是平行四边形． （1）判断上述四个命题的真假； （2）证明上述四个命题的真假． （提示：证明一个命题是假命题，只要举个反例．） 7.已知，在平面直角坐标系中，O为坐标原点． (1)请在平面直角坐标系中描出点和； (2)若C为坐标系内一点，且以O，A，C，B为顶点的四边形为平行四边形，请在给出的坐标系中画出所有满足条件的平行四边形，并直接写出C点的坐标． 四、添加一个条件成为平行四边形 1.如图，若要使四边形为平行四边形，则需要添加的条件是（    ） A. B. C. D. 2.如图，在四边形中，，若添加一个条件，使四边形为平行四边形，则下列正确的是（    ） A. B. C. D. 3.在四边形中，，添加下列条件，不能使四边形成为平行四边形的是（    ） A. B. C. D. 4.如图，在中，，分别是，上的点，请添加一个条件，使得四边形为平行四边形，则添加的条件是           （答案不唯一）． 5.如图，在四边形中，，垂足分别为．请你只添加一个条件            （不另加辅助线），使得四边形为平行四边形． 6.如图，在平行四边形中，点，是对角线上的两点，请添加一个不同于“”的条件，使四边形是平行四边形，并写出证明的过程． 7.如图，在平行四边形中，点，是对角线上两个不同点．连接，，，，添加一个条件使得四边形是平行四边形． (1)请在以下选项中选择所有符合条件的选项，将其序号填写在下方横线上． ①，，、为垂足；②；③；④．符合条件的选项有：_____________． (2)选择其中一个条件，写出证明过程： 我选择________， 证明过程如下：_____________________________. 五、平行四边形的个数问题 1.如图，中，，则图中的平行四边形的个数共有（    ） A.7个 B.8个 C.9个 D.11个 2.如图，点A，B，C在同一直线上，点D，E，F，G在同一直线上，且．图中平行四边形有（    ）个. A.4 B.5 C.3 D.6 3.数如图，AD，BE，CF是正六边形ABCDEF的对角线，图中平行四边形的个数有（ ） A.2个 B.4个 C.6个 D.8个 4.如图,在▱ABCD中,E,F分别为AB,CD的中点,连接DE并延长,交CB的延长线于点G,连接BF并延长,交AD的延长线于点H,连接HG.则图中共有    个平行四边形. 5.如图，、、都是等边三角形，则图中的平行四边形有      个. 6.已知（如图），将它沿方向平移，平移的距离为． (1)作出经平移后所得的图形． (2)写出与构成的图形中所有的平行四边形（不必证明）． 7.如图所示，在中，两条对角线相交于点，点、、、分别是、、、的中点，以图中的任意四点(即点、、、、、、、、中的任意四点)为顶点画两种不同的平行四边形． 六、动点中的平行四边形判定问题 1.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝6，BC＝16，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当运动时间t为（　　）秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形. A.1 B.1.5 C.1或3.5 D.1.5或2 2.如图，等边△ABC的边长为6 cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1 cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2 cm/s的速度运动．设运动时间为t（s），当以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，运动时间t为（　　） A.1 s或2 s B.2 s或3 s C.2 s或4 s D.2 s或6 s 3.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝6，BC＝18，E是BC的中点，点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．当点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当以点P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形时，运动时间为（　　） A. 3 s B. 6 s C. 3 s或5 s D. 4 s或6 s 4.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＝12 cm．点P从点A出发，以3 cm/s的速度在射线AD上运动；同时，点Q从点C出发，以1 cm/s的速度在射线CB上运动．运动时间为t，当t＝　     　秒（s）时，点P、Q、C、D构成平行四边形． 5.如图，△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝4，D为AB边上一动点，E为平面内一点，以点B、C、D、E为顶点的四边形为平行四边形，则DE的最小值为 　   　． 6.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC AD＝5 cm，BC＝8 cm，M是CD的中点，P是BC边上一个动点（P与B，C不重合）连接PM并延长交AD的延长线于Q． ①求证：△PCM≌△QDM； ②当P在B，C之间运动到什么位置时，四边形ABPQ是平行四边形？ 7.如图所示，▱ABCD中，∠A＝120°，AB＝3 cm，AD＝5 cm，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连接CE，DF． （1）求证：四边形CEDF是平行四边彤； （2）点E移动过程中，四边形CEDF会变成某一种特殊的平行四边形吗？ 七、综合运用平行线的性质与判定进行求解 1.如图，在中，D是上一点，，交于点E，，交于点F．若，则（    ） A. B. C. D. 2.如图，在中，∠A＝70°，，以点B为旋转中心把按顺时针旋转一定角度，得到，点恰好落在上，连接，则度数为（  　） A. B. C. D. 3.如图，在中，，点E、F、G分别在边上，，则四边形的周长是（    ） A.20 B.24 C.30 D.10 4.如图，在平行四边形中，，，，则平行四边形的面积为      ． 5.如图，在四边形中，，，，点O为的中点，则   ． 6.如图，四边形是平行四边形，点，分别为线段，的中点．若，求的度数． 7.如图，在梯形ABCD中，，，，延长到点，使，连． (1)求证：． (2)若，，求四边形的面积． 八、综合运用平行线的性质与判定进行证明 1.如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，于点E，于点F，连接，，有下列结论：①；②；③；④图中共有10对全等三角形．其中正确的是（    ） A.③④ B.①②③ C.①②④ D.①②③④ 2.如图，中，要在对角线上找点E、F，使四边形为平行四边形，现有甲、乙、丙三种方案，则正确的方案是（　　） 甲：只需要满足 乙：只需要满足 丙：只需要满足 A.甲、乙、丙都是 B.只有甲、丙才是 C.只有甲、乙才是 D.只有乙、丙才是 3.如图，在▱中，，下列两种方案中所得四边形为平行四边形的是（ ） 方案Ⅰ：在和上分别截取和，使，连接和，得到四边形． 方案Ⅱ：作的平分线交于点，的平分线交于点，得到四边形． A.方案Ⅰ B.方案Ⅱ C.两种方案都行 D.两种方案都不行 4.如图所示，已知与关于点中心对称，过任作直线分别交，于点，，下面的结论： ①点和点，点和点是关于中心的对称点；②直线必经过点；③四边形与四边形的面积相等；④与成中心对称． 其中正确的是           ． 5.如图所示，四边形是平行四边形，按下列条件得到的四边形是平行四边形的有         个． ①图甲，；　　　 ②图乙，平分，平分； ③图丙，是的中点，是的中点；     ④图丁，是上一点，． 6.如图，在中，点G与H是边上的点，点M与点N分别是边与边上的点，且．求证：四边形是平行四边形． 7.如图所示，在中，分别是上的点，， (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若分别是的中点，连接，与分别交于点，请写出图中除和以外的平行四边形； 华师大版八年级下册 18.2 平行四边形的判定 暑假题型专练（参考答案） 一、根据定义判定平行四边形 1.如图，点E是四边形的边延长线上的一点，且，则添加下列选项中的条件，不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】A中由可得，，能判定四边形是平行四边形，故不符合要求； B中由可得，，不能判定四边形是平行四边形，故符合要求； C中由可得，，能判定四边形是平行四边形，故不符合要求； ∵， ∴， D中由可得，，即，能判定四边形是平行四边形，故不符合要求； 故选：B． 2.如图，平移到的位置，则下列说法：①；②；③平移的方向是点C到点E的方向；④四边形为平行四边形．其中说法正确的有（   ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【解析】由平移的性质可知，，故①正确； 由平移的性质可知，，因此，故②正确； 平移的方向是点C到点F的方向，故③错误； 由平移的性质可知，，，， 因此四边形为平行四边形，故④正确； 综上可知，正确的有①②④，共3个． 故选C． 3.如图，已知，添加下列条件，不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】A.， ， ， ， ， 四边形是平行四边形，故选项A不符合题意； B.， ， ， ， ， 四边形是平行四边形，故选项B不符合题意； C.， ，不能判定四边形是平行四边形，故选项C符合题意； D.， ， 又∵， 四边形是平行四边形，故选项D不符合题意； 故选：C． 4.如图，四边形ABCD中，当∠1＝∠2，且       ∥       时，这个四边形是平行四边形. 【答案】 AD；BC 【解析】∵∠1＝∠2， ∴DC∥AB， ∵AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形． 故答案为AD；BC． 5.如图，在中，，点为上任一点，连接，过点，分别作与交于点，则线段的最小值为       ． 【答案】3 【解析】，，， ， ，， 四边形为平行四边形， 的最小值等于平行线与之间的距离． 故答案为：3． 6.如图，中，，点在上，过点作的平行线，与相交于点，点在上，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 7.如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD，∠1＝∠2．求证：四边形ABCD是平行四边形． 【答案】证明：∵∠1＝∠2， ∴AB∥CD， ∵∠BAD＝∠BCD ∴∠BAD﹣∠1＝∠BCD﹣∠2， ∴∠CAD＝∠BCA， ∴AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形． 二、对角线互相平分的四边形是平行四边形 1.对角线（    ）的四边形是平行四边形. A.相等 B.互相平分 C.垂直 D.垂直且相等 【答案】B 【解析】对角线互相平分的四边形是平行四边形， 故选：B． 2.综合实践课上，嘉嘉画出，利用尺规作图找一点C，使得四边形为平行四边形．图1~图3是其作图过程． 在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（    ） A.两组对边分别平行 B.两组对边分别相等 C.对角线互相平分 D.一组对边平行且相等 【答案】C 【解析】根据图1，得出的中点，图2，得出， 可知使得对角线互相平分，从而得出四边形为平行四边形， 判定四边形ABCD为平行四边形的条件是：对角线互相平分， 故选：C． 3.要使如图所示的四边形是平行四边形，根据图中数据，可以添加的条件是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵,, ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是平行四边形， 故选：B． 4.如图，四边形ABCD，如果AC＝6，BD＝10，那么AO＝　  　，BO＝　  　时，四边形ABCD是平行四边形． 【答案】3；5 【解析】∵AC与BD相交于点O，AC＝6，BD＝10， ∴当AO＝3，BO＝5时，则AO＝CO＝3，BO＝DO＝5， ∴四边形ABCD是平行四边形， 故答案为：3，5． 5.如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O．若OA＝OC，OB＝OD，则四边形ABCD是　       　，理由是　                                    　． 【答案】平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形 【解析】如图，∵OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）． 故答案为：平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形． 6.如图所示，延长的中线至点E，使，连接、．求证：四边形 是平行四边形． 【答案】解：是的边上的中线， ， ， 四边形是平行四边形． 7.如图，在四边形中，，，，． (1)求线段的长． (2)求证：四边形为平行四边形． 【答案】（1）解：，，， 在中，． ， ． 故答案为：13． （2）证明：由（1）得，， ， ， 四边形是平行四边形． 三、判定能否构成平行四边形 1.如图，E是的边的延长线上一点，连接交于点F，连接，．添加以下条件，仍不能判定四边形为平行四边形的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选项A：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，故选项A不符合题意； 选项B：∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形，故选项B不符合题意， 选项C：∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形，故选项C不符合题意； 选项D：由不能判定四边形为平行四边形，故选项D符合题意； 故选：D． 2.已知四边形，以下有四组条件：① ；②；③；④，其中能判四边形是平行四边形的条件共有（   ） A.1组 B.2组 C.3组 D.1组 【答案】A 【解析】如图： ①，运用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可判断四边形是平行四边形； ②，无法判断四边形是平行四边形； ③，无法判断四边形是平行四边形； ④，无法判断四边形是平行四边形； 所以能判断四边形是平行四边形的是①，只有1组， 故选：A. 3.如图，四边形中，，，E、F是对角线上的两点，如果再添加一个条件，使，则添加的条件不能是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】∵四边形是平行四边形， ， 又， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形，故B正确， ∵四边形是平行四边形， ， 又， ， ， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形，故C正确； ∵四边形是平行四边形， ， 又∵， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形，故D正确； 添加后，不能得出，进而得不出四边形平行四边形， 故选：A． 4.在四边形中，对角线、相交于点，在下列条件中，①，，②，；③，；④，；⑤，，能够判定四边形是平行四边形有           （填序号）． 【答案】①②④⑤ 【解析】①添加，条件， 则根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形， 即可判定四边形是平行四边形；故①可以； ②添加，；条件， 则根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形， 即可判定四边形是平行四边形；故②可以； ③添加，条件， 即一组对边平行，另一组对边相等，该情况不能判定平行四边形；故③不可以； ④添加，条件， 则根据对角线互相平分的四边形是平行四边形， 即可判定四边形是平行四边形；故④可以； ⑤添加，条件， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 则根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形， 即可判定四边形是平行四边形；故⑤可以； 故答案为：①②④⑤． 5.如图，在四边形中，，对角线，相交于点．添加下列条件中的一个，若可推出该四边形是平行四边形．①，②，③，④，⑤，⑥．则添加的条件可以是          ． 【答案】①②④⑤ 【解析】①∵，， ∴四边形是平行四边形，故①正确； ②∵，， ∴四边形是平行四边形，故②正确； ③∵，，无法得出四边形是平行四边形，故③不正确； ④∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故④正确； ⑤∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形，故⑤正确； ⑥∵，， 不能得出四边形是平行四边形，故⑥不正确． 综上所述，添加的条件①②④⑤，可证明四边形是平行四边形． 故答案为：①②④⑤． 6.在四边形中，对角线与相交于点． ①如果，，那么四边形是平行四边形； ②如果，，那么四边形是平行四边形； ③如果，，那么四边形是平行四边形； ④如果，，那么四边形是平行四边形． （1）判断上述四个命题的真假； （2）证明上述四个命题的真假． （提示：证明一个命题是假命题，只要举个反例．） 【答案】解：（1）①如果，，那么四边形是平行四边形是真命题； ②如果，，那么四边形是平行四边形是真命题； ③如果，，那么四边形是平行四边形是假命题； ④如果，，那么四边形是平行四边形是假命题． （2）①， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形； ②， ， ， ， 四边形是平行四边形； ③如图1，当，时，则四边形不是平行四边形； ④如图2，当，时，则四边形不是平行四边形． 7.已知，在平面直角坐标系中，O为坐标原点． (1)请在平面直角坐标系中描出点和； (2)若C为坐标系内一点，且以O，A，C，B为顶点的四边形为平行四边形，请在给出的坐标系中画出所有满足条件的平行四边形，并直接写出C点的坐标． 【答案】解：（1）如图，点A、点B即为所求； （2）如图，平行四边形OABC1，平行四边形OAC2B，平行四边形OC3AB即为所求作； C点的坐标为或或． 四、添加一个条件成为平行四边形 1.如图，若要使四边形为平行四边形，则需要添加的条件是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由图可得， ， A.添加，可得，四边形中仅一组对边平行，不能判定四边形为平行四边形； B.添加，四边形中一组对边平行且相等，能判定四边形为平行四边形； C.添加，可得，推出与不平行，四边形不是平行四边形； D.添加，四边形中一组对边平行，另一组对边相等，不能判定四边形为平行四边形； 故选B． 2.如图，在四边形中，，若添加一个条件，使四边形为平行四边形，则下列正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】A.由，，不能判定四边形为平行四边形，还有可能是等腰梯形，故本选项不符合题意； B.∵， ∴， 不能判定四边形为平行四边形，故本选项不符合题意； C.由，，不能判定四边形为平行四边形，故本选项不符合题意； D.∵， ， ， ， ， 又∵， 四边形是平行四边形，故本选项符合题意； 故选：D． 3.在四边形中，，添加下列条件，不能使四边形成为平行四边形的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】如图所示， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，故A正确； ∵，， ∴四边形是平行四边形，故B正确； ∵，， ∴，， ∴四边形是平行四边形，故D正确； 当，时，四边形也可能是等腰梯形，故C错误， 故选：C． 4.如图，在中，，分别是，上的点，请添加一个条件，使得四边形为平行四边形，则添加的条件是           （答案不唯一）． 【答案】 【解析】添加的条件是，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 故答案为． 5.如图，在四边形中，，垂足分别为．请你只添加一个条件            （不另加辅助线），使得四边形为平行四边形． 【答案】或或（答案不唯一） 【解析】添加条件为：或或， ①添加， 理由：∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， 故答案为：． ②添加， 理由：∵， ∴是直角三角形，且， 在中， ， ∴， ∴， ∴，且， ∴四边形为平行四边形， 故答案为：． ③添加， 理由：∵， ∴，且， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， 故答案为：． 综上所示，添加的条件有或或， 故答案为：或或（答案不唯一）． 6.如图，在平行四边形中，点，是对角线上的两点，请添加一个不同于“”的条件，使四边形是平行四边形，并写出证明的过程． 【答案】解：添加的条件为：． ∵， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴ ， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形． 7.如图，在平行四边形中，点，是对角线上两个不同点．连接，，，，添加一个条件使得四边形是平行四边形． (1)请在以下选项中选择所有符合条件的选项，将其序号填写在下方横线上． ①，，、为垂足；②；③；④．符合条件的选项有：_____________． (2)选择其中一个条件，写出证明过程： 我选择________， 证明过程如下：_____________________________. 【答案】解：（1）填①②④的任意一个都正确； 故答案为：①②④； （2）选择①，，、为垂足； ∵，， ∴， 四边形是平行四边形， ，， ， 在与中， ， ， ， 四边形是平行四边形． 选择②， 证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， 在与中， ， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形． 选择④， 证明：四边形是平行四边形， ，， ， ∵， ∴， 在与中， ， ， ， 四边形是平行四边形． 五、平行四边形的个数问题 1.如图，中，，则图中的平行四边形的个数共有（    ） A.7个 B.8个 C.9个 D.11个 【答案】C 【解析】根据平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形， 则图中的四边形AEOG、ABHG、AEFD、ABCD、GOFD、GHCD、EBHO、EBCF和OHCF都是平行四边形，共9个， 故选：C． 2.如图，点A，B，C在同一直线上，点D，E，F，G在同一直线上，且．图中平行四边形有（    ）个. A.4 B.5 C.3 D.6 【答案】B 【解析】如图， 图中的平行四边形有：▱ABED，▱ABGF，▱BCFE，▱ACFD，▱PBQF， 故选B． 3.数如图，AD，BE，CF是正六边形ABCDEF的对角线，图中平行四边形的个数有（ ） A.2个 B.4个 C.6个 D.8个 【答案】C 【解析】如图，AD，BE，CF是正六边形ABCDEF的对角线，可得OA=OE=AF=EF，所以四边形AOEF是平行四边形，同理：四边形DEFO，四边形ABCO，四边形BCDO，四边形CDEO，四边形FABOD都是平行四边形，共6个， 故答案选C. 4.如图,在▱ABCD中,E,F分别为AB,CD的中点,连接DE并延长,交CB的延长线于点G,连接BF并延长,交AD的延长线于点H,连接HG.则图中共有    个平行四边形. 【答案】3 【解析】∵在平行四边形ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点， ∴DF=BE，DF∥BE， ∴四边形BEDF为平行四边形， 图中四边形DHBG也是平行四边形， 故答案是：3. 5.如图，、、都是等边三角形，则图中的平行四边形有      个. 【答案】2 【解析】∵、、都是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 故答案为：2． 6.已知（如图），将它沿方向平移，平移的距离为． (1)作出经平移后所得的图形． (2)写出与构成的图形中所有的平行四边形（不必证明）． 【答案】解：（1）如图所示； （2）由图可知，与构成的图形中所有的平行四边形有：，，，，，． 7.如图所示，在中，两条对角线相交于点，点、、、分别是、、、的中点，以图中的任意四点(即点、、、、、、、、中的任意四点)为顶点画两种不同的平行四边形． 【答案】解：如图所示： 六、动点中的平行四边形判定问题 1.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝6，BC＝16，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当运动时间t为（　　）秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形. A.1 B.1.5 C.1或3.5 D.1.5或2 【答案】C 【解析】∵E是BC的中点， ∴BE＝CEBC＝8， 由题意可知：AP＝t，则DP＝6﹣t，CQ＝3t， ①当Q运动到E和B之间，设运动时间为t， ∴3t﹣8＝6﹣t， 解得：t＝3.5； ②当Q运动到E和C之间，设运动时间为t， ∴8﹣3t＝6﹣t， 解得：t＝1， ∴当运动时间t为1秒或3.5秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形， 故选：C． 2.如图，等边△ABC的边长为6 cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1 cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2 cm/s的速度运动．设运动时间为t（s），当以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，运动时间t为（　　） A.1 s或2 s B.2 s或3 s C.2 s或4 s D.2 s或6 s 【答案】D 【解析】①当点F在C的左侧时，根据题意得：AE＝t cm，BF＝2t cm， 则CF＝BC﹣BF＝6﹣2t（cm）， ∵AG∥BC， ∴当AE＝CF时，四边形AECF是平行四边形， 即t＝6﹣2t， 解得：t＝2； ②当点F在C的右侧时，根据题意得：AE＝t cm，BF＝2t cm， 则CF＝BF﹣BC＝2t﹣6（cm）， ∵AG∥BC， ∴当AE＝CF时，四边形AEFC是平行四边形， 即t＝2t﹣6， 解得：t＝6； 综上可得：当t＝2 s或6 s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形． 故选：D． 3.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝6，BC＝18，E是BC的中点，点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．当点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当以点P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形时，运动时间为（　　） A. 3 s B. 6 s C. 3 s或5 s D. 4 s或6 s 【答案】C 【解析】由已知梯形，当Q运动到E和B之间，设运动时间为t，则得： 2t6﹣t， 解得：t＝5， 当Q运动到E和C之间，设运动时间为t，则得：2t＝6﹣t， 解得：t＝3， 故当运动时间t为3或5秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形． 故选：C． 4.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＝12 cm．点P从点A出发，以3 cm/s的速度在射线AD上运动；同时，点Q从点C出发，以1 cm/s的速度在射线CB上运动．运动时间为t，当t＝　     　秒（s）时，点P、Q、C、D构成平行四边形． 【答案】3或6 【解析】由运动知，AP＝3t，CQ＝t， ∴DP＝AD﹣AP＝12﹣3t， ∵四边形PDCQ是平行四边形， ∴PD＝CQ， ∴12﹣3t＝t， ∴t＝3秒； 当P运动到AD线段以外时，AP＝3t，CQ＝t， ∴DP＝3t﹣12， ∵四边形PDCQ是平行四边形， ∴PD＝CQ， ∴3t﹣12＝t， ∴t＝6秒， 故答案为：3或6. 5.如图，△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝4，D为AB边上一动点，E为平面内一点，以点B、C、D、E为顶点的四边形为平行四边形，则DE的最小值为 　   　． 【答案】 【解析】①当BC为边时，此时DE＝BC＝4； ②当BC为对角线时，如图，过点A作BC边上的高AF，过点C作CE∥AB． 根据题意要使得DE最小，即当DE⊥AB时，DE取得最小值， 此时． ∵AB＝AC＝8，BC＝4，∠BFA＝90°， ∴， ∴， ∴， 解得：． ∵， ∴DE的最小值为． 故答案为：． 6.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC AD＝5 cm，BC＝8 cm，M是CD的中点，P是BC边上一个动点（P与B，C不重合）连接PM并延长交AD的延长线于Q． ①求证：△PCM≌△QDM； ②当P在B，C之间运动到什么位置时，四边形ABPQ是平行四边形？ 【答案】解：①∵AD∥BC， ∴∠C＝∠QDM， ∵点M是CD的中点， ∴MD＝MC， 在△PCM和△QDM中， ， ∴△PCM≌△QDM（ASA）； ②设PC＝x时，四边形ABPQ是平行四边形， ∴AQ＝BP， ∵△PCM≌△QDM， ∴CP＝DQ， ∵AD＝5 cm，BC＝8 cm， ∴AQ＝5+x，BP＝8﹣x， 则5+x＝8﹣x，得x＝1.5， 即当点P运动到距离点C1.5 cm时，四边形ABPQ是平行四边形． 7.如图所示，▱ABCD中，∠A＝120°，AB＝3 cm，AD＝5 cm，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连接CE，DF． （1）求证：四边形CEDF是平行四边彤； （2）点E移动过程中，四边形CEDF会变成某一种特殊的平行四边形吗？ 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CF∥ED， ∴∠FCG＝∠EDG， ∵G是CD的中点， ∴CG＝DG， 在△FCG和△EDG中，， ∴△FCG≌△EDG（ASA）， ∴FG＝EG， ∵CG＝DG， ∴四边形CEDF是平行四边形； （2）解：点E移动过程中，四边形CEDF会变成某一种特殊的平行四边形. 七、综合运用平行线的性质与判定进行求解 1.如图，在中，D是上一点，，交于点E，，交于点F．若，则（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 故选C． 2.如图，在中，∠A＝70°，，以点B为旋转中心把按顺时针旋转一定角度，得到，点恰好落在上，连接，则度数为（  　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由旋转的性质可得，，，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，解得， 故选：A． 3.如图，在中，，点E、F、G分别在边上，，则四边形的周长是（    ） A.20 B.24 C.30 D.10 【答案】A 【解析】∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形的周长为， 故选：A． 4.如图，在平行四边形中，，，，则平行四边形的面积为      ． 【答案】 【解析】四边形是平行四边形， ，， ，， ， 如图，延长至点，使，连接， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 在中，， 是直角三角形， 如图，过点作于点，则， ， 平行四边形的面积， 故答案为：． 5.如图，在四边形中，，，，点O为的中点，则   ． 【答案】 【解析】∵点O为的中点，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴是直角三角形，即, ∴， 故答案为：． 6.如图，四边形是平行四边形，点，分别为线段，的中点．若，求的度数． 【答案】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点，分别为线段，的中点． ∴， ∵, ∴四边形是平行四边形， ∴. 7.如图，在梯形ABCD中，，，，延长到点，使，连． (1)求证：． (2)若，，求四边形的面积． 【答案】解：（1）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为． 八、综合运用平行线的性质与判定进行证明 1.如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，于点E，于点F，连接，，有下列结论：①；②；③；④图中共有10对全等三角形．其中正确的是（    ） A.③④ B.①②③ C.①②④ D.①②③④ 【答案】B 【解析】∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可得，，； ∴①②③正确，④错误． 故选：B． 2.如图，中，要在对角线上找点E、F，使四边形为平行四边形，现有甲、乙、丙三种方案，则正确的方案是（　　） 甲：只需要满足 乙：只需要满足 丙：只需要满足 A.甲、乙、丙都是 B.只有甲、丙才是 C.只有甲、乙才是 D.只有乙、丙才是 【答案】B 【解析】∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 甲：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，故甲正确； 乙：由，不能证明，不能判定四边形为平行四边形，故乙不正确； 丙：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，故丙正确； 故选：B． 3.如图，在▱中，，下列两种方案中所得四边形为平行四边形的是（ ） 方案Ⅰ：在和上分别截取和，使，连接和，得到四边形． 方案Ⅱ：作的平分线交于点，的平分线交于点，得到四边形． A.方案Ⅰ B.方案Ⅱ C.两种方案都行 D.两种方案都不行 【答案】C 【解析】方案Ⅰ：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； 方案Ⅱ：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 综上两种方案都行， 故选：． 4.如图所示，已知与关于点中心对称，过任作直线分别交，于点，，下面的结论： ①点和点，点和点是关于中心的对称点；②直线必经过点；③四边形与四边形的面积相等；④与成中心对称． 其中正确的是           ． 【答案】①②③④ 【解析】∵与关于点中心对称， ∴，，， ∴, ∴四边形是平行四边形， 在与中， ∵， ∴， ∴点和点，点和点是关于中心的对称点， ∴与成中心对称，直线必经过点, ∴四边形与四边形也关于点对称， ∴， 综上，正确的是①②③④, 故答案为：①②③④. 5.如图所示，四边形是平行四边形，按下列条件得到的四边形是平行四边形的有         个． ①图甲，；　　　 ②图乙，平分，平分； ③图丙，是的中点，是的中点；     ④图丁，是上一点，． 【答案】3 【解析】①∵四边形是平行四边形， ， ， ，，， ， ∴四边形是平行四边形； ②∵四边形是平行四边形， ， ， 平分，平分， ， 在和中， ， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形； ③∵四边形是平行四边形， ， 是的中点，是的中点， ，， ， ∴四边形是平行四边形； ④∵四边形是平行四边形， ， 是上一点，，无法判断， ∴四边形不一定是平行四边形； 综上所述，能得到四边形是平行四边形的个数是3， 答案：3． 6.如图，在中，点G与H是边上的点，点M与点N分别是边与边上的点，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明：作交的延长线于点，交的延长线于点， ∵四边形的平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 7.如图所示，在中，分别是上的点，， (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若分别是的中点，连接，与分别交于点，请写出图中除和以外的平行四边形； 【答案】解：（1）∵四边形是平行四边形， ∴，． 又∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形； （2）∵四边形是平行四边形， ∴，． ∴， ∵分别是的中点， ∴， ∴， ∵, ∴四边形是平行四边形； ∵, ∴, ∴四边形是平行四边形, 综上所述，图中还有． 学科网（北京）股份有限公司 $$