精品解析：江苏省南京市东山高级中学2024-2025学年高三下学期二模模拟数学试卷

2024-2025学年高三下学期南京东山高级中学二模模拟数学试卷 一、单选题 1. 样本数据16，21，18，28，14，20，22，24的第75百分位数为（ ） A. 16 B. 17 C. 23 D. 24 2. 集合,则（ ） A. B. C. D. 3. 等比数列的各项均为正数，且，则（ ） A. 12 B. 10 C. 9 D. 4. 已知向量，，则向量在向量上的投影是（ ） A. B. C. D. 5. 设函数，若，，，则，，的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的《数书九章》（1247年）．该书第二章为“天时类”，收录了有关降水量计算的四个例子，分别是“天池测雨”、“圆罂测雨”、“峻积验雪”和“竹器验雪”．其中“天池测雨”法是下雨时用一个圆台形的天池盆收集雨水．已知天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．当盆中积水深九寸（注：1尺=10寸）时，平地降雨量是（ ） A. 9寸 B. 7寸 C. 8寸 D. 3寸 7. 在三棱柱中，，侧棱底面ABC，若该三棱柱的所有顶点都在同一个球O的表面上，且球O的表面积的最小值为，则该三棱柱的侧面积为（ ） A. B. C. D. 3 8. 已知，则的最小值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 二、多选题 9. 已知函数，则（ ） A. 的值域为 B. 是周期函数 C. 在单调递减 D. 的图像关于直线对称，但不关于点对称 10. 若方程所表示的曲线为,则下面四个命题中错误的是 A. 若为椭圆,则 B. 若为双曲线,则或 C. 曲线可能是圆 D. 若为椭圆，且长轴在轴上，则 11. 已知函数，及其导函数，的定义域均为，若的图象关于直线对称，，，且，则（ ） A. 为偶函数 B. 的图象关于点对称 C. D. 三、填空题 12. 若实系数一元二次方程有一个虚数根的模为4，则的取值范围是_________. 13. 已知平行六面体中，各棱长均为，，则四棱锥的体积为________. 14. 设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，点到直线的距离为，则的取值范围为_______. 四、解答题 15. 已知中，，， （1）求； （2）若点D为BC边上靠近点B的三等分点，求的余弦值． 16. 已知各项均不为零的数列满足，其前n项和记为，且，，，数列满足，． （1）求，，； （2）求数列的前n项和． 17. 如图，已知在平面四边形中，，，，现将沿翻折到的位置，使得. （1）求证：平面平面； （2）点在线段上，当二面角的大小为时，确定点的位置. 18. 如图，在中，点.圆是的内切圆，且延长线交于点，若. （1）求点的轨迹的方程； （2）若椭圆上点处的切线方程是， ①过直线上一点引的两条切线，切点分别是，求证：直线恒过定点； ②是否存在实数，使得，若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 19. 已知函数. （1）讨论的极值点个数； （2）若有两个极值点，直线过点. （i）证明：； （ii）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年高三下学期南京东山高级中学二模模拟数学试卷 一、单选题 1. 样本数据16，21，18，28，14，20，22，24的第75百分位数为（ ） A. 16 B. 17 C. 23 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】根据百分位数计算规则计算可得. 【详解】将样本数据从小到大排列为：14，16，18，20，21，22，24，28， 又，所以第百分位数为. 故选：C 2. 集合,则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用集合交集的定义直接求解即可． 【详解】因为集合, 所以, 故选：C． 3. 等比数列的各项均为正数，且，则（ ） A. 12 B. 10 C. 9 D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由等比数列下标和性质可求得，结合对数的运算法则可求得结果. 【详解】由等比数列下标和的性质可得：， 等比数列的各项均为正数，， . 故选： 【点睛】本题考查等比数列下标和性质的应用，涉及到对数的运算，属于基础题. 4. 已知向量，，则向量在向量上的投影是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出，再由向量在向量上的投影为计算得到. 【详解】由向量，，得， 则向量在向量上的投影为. 故选：A. 【点睛】本题考查了向量投影的理解与计算，属于基础题. 5. 设函数，若，，，则，，的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题可得为偶函数，且在上为增函数，由此可得，然后利用对数函数和指数函数的性质比较的大小，从而可比较出，，的大小 【详解】解：因为，所以为偶函数， 所以， 当时，在上为增函数， 因为，， 所以， 因为在上为增函数， 所以， 所以， 故选：A 【点睛】此题考查对数函数和指数函数的性质，考查函数的奇偶性和单调性的应用，考查转化能力，属于基础题. 6. 最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的《数书九章》（1247年）．该书第二章为“天时类”，收录了有关降水量计算的四个例子，分别是“天池测雨”、“圆罂测雨”、“峻积验雪”和“竹器验雪”．其中“天池测雨”法是下雨时用一个圆台形的天池盆收集雨水．已知天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．当盆中积水深九寸（注：1尺=10寸）时，平地降雨量是（ ） A. 9寸 B. 7寸 C. 8寸 D. 3寸 【答案】D 【解析】 【分析】由题意求得盆中水的体积，再除以盆口面积即得． 【详解】由已知天池盆上底面半径是14寸，下底面半径上6寸，高为18寸，由积水深9寸知水面半径为寸， 则盆中水体积为（立方寸） 所以平地降雨量为（寸）， 故选：D． 【点睛】本题考查圆台的体积计算公式，正确理解　题意是解题关键．本题属于基础题． 7. 在三棱柱中，，侧棱底面ABC，若该三棱柱的所有顶点都在同一个球O的表面上，且球O的表面积的最小值为，则该三棱柱的侧面积为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【详解】如图：设三棱柱上、下底面中心分别为、，则的中点为， 设球的半径为，则，设，， 则，， 则在△中，， 当且仅当时，等号成立， 所以，所以，所以， 所以该三棱柱的侧面积为. 故选：B. 【点睛】本题考查利用不等式求解棱柱的外接球面积最小值与侧面积问题，属于中档题 8. 已知，则的最小值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先设点及点，应用两点间距离，再应用导函数计算得出切线斜率得出切点，最后应用点到直线距离计算求解. 【详解】设点是函数图象上的点，点是直线上的点， 则，所以， 因为，设函数在点处的切线与直线平行， 则，解得，则点， 所以的最小值为点到直线的距离， 所以的最小值为2， 故选： 二、多选题 9. 已知函数，则（ ） A. 的值域为 B. 是周期函数 C. 在单调递减 D. 的图像关于直线对称，但不关于点对称 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，利用三角恒等变换化简函数表达式为，但是注意到，由此即可判断；对于B，在定义域内，由诱导公式可得，由此即可判断；对于C，在函数有意义的前提下，由正弦函数单调性、复合函数单调性即可判断；对于D，利用代入检验法，并注意定义域是否相应的关于直线或点对称即可判断. 【详解】对于A，． 因为，且， 所以的值域是，A错误． 对于B，的定义域且， 对任意恒有，B正确． 对于C，在有意义， 当时，， 所以在单调递减，C正确． 对于D，， 的图象关于直线对称，且的定义域关于对称， 所以的图像关于直线称． ， 的图象关于点对称， 但的定义域不关于点对称， 所以的图象不关于点对称，D正确． 故选：BCD． 10. 若方程所表示的曲线为,则下面四个命题中错误的是 A. 若为椭圆,则 B. 若为双曲线,则或 C. 曲线可能是圆 D. 若为椭圆，且长轴在轴上，则 【答案】AD 【解析】 【分析】就的不同取值范围分类讨论可得曲线表示的可能的类型. 【详解】若，则方程可变形为，它表示焦点在轴上的双曲线； 若，则方程可变形为，它表示焦点在轴上的双曲线； 若，则，故方程表示焦点在轴上的椭圆； 若，则，故方程表示焦点在轴上的椭圆； 若，方程即为，它表示圆， 综上，选AD. 【点睛】一般地，方程为双曲线方程等价于，若，则焦点在轴上，若，则焦点在轴上；方程为椭圆方程等价于且，若，焦点在轴上，若，则焦点在轴上；若，则方程为圆的方程. 11. 已知函数，及其导函数，的定义域均为，若的图象关于直线对称，，，且，则（ ） A. 为偶函数 B. 的图象关于点对称 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】首先根据抽象函数的对称性，判断函数的对称性，以及周期，并结合条件转化，判断函数的对称性，利用抽象函数的导数公式，以及周期性，求，最后利用函数与的关系求和. 【详解】由的图象关于直线对称，则， 即，所以， 即，则，即的图象关于直线对称， 由，可得，又， 所以，所以的图象关于点对称，即为奇函数， 所以，即，即函数的周期为， 由，可得，因为的周期为， 所以， 则，即， 所以的图象关于点对称，故B正确； 因为的图象关于直线对称，则，所以， 所以， 因为的周期为4，所以的周期也为4.由， 可得，所以，故C正确； 由，可得， 所以，即， ，故D正确. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：本题主要是研究抽象函数的性质，以及导数运算问题，本题的关键是以条件等式为桥梁，发现函数与的性质关系，以及解析式的关系. 三、填空题 12. 若实系数一元二次方程有一个虚数根的模为4，则的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】因为实系数的一元二次方程若有虚数根，则两根共轭，可设两根分别为和，则，又，再由可求的取值范围. 【详解】设实系数一元二次方程的两个虚数根为和， 则. 所以. 由. 故答案为： 13. 已知平行六面体中，各棱长均为，，则四棱锥的体积为________. 【答案】 【解析】 【分析】先分析四棱锥和平行六面体的体积关系，根据题干数据求出高即可得到体积. 【详解】四棱锥和平行六面体同底同高， 故四棱锥的体积为平行六面体体积的， 平行六面体的高即为正四面体的高，如下图所示： 设点在平面的射影为点，则为正的中心， 由正弦定理可得，， 菱形的面积为， 所以平行六面体的体积为， 所以四棱锥的体积为 故答案为： 14. 设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，点到直线的距离为，则的取值范围为_______. 【答案】 【解析】 【分析】先分析两条直线经过的定点，得出的坐标，根据两直线的位置关系分析可得的运动轨迹是挖去一点的圆，然后判断出直线和圆相切，从而得解. 【详解】动直线 过定点 ， 动直线 即 过定点 . 因为，所以直线与直线垂直， 又直线的斜率一定存在， 注意到时，满足，但此时直线垂直轴，斜率不存在， 故点在以为直径的圆上（去除点）， 圆心为 ，半径 ， 圆心到直线 的距离为 所以圆与直线 相切（切点不是点），的最小值为0； 圆的直径，且点到直线 的距离为，所以， 即的取值范围为 . 故答案为： 四、解答题 15. 已知中，，， （1）求； （2）若点D为BC边上靠近点B的三等分点，求的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由商数关系、和角正弦公式及三角形内角和性质可得，进而有，由和差角余弦公式得，同角平方关系及三角形内角性质求各角大小，即可得结果； （2）取，应用余弦定理求，进而求的余弦值. 【小问1详解】 由题意， 又，故，而， 且，所以， ，所以或（舍）， 故，且，则，，故. 【小问2详解】 不妨取，则，， . 16. 已知各项均不为零的数列满足，其前n项和记为，且，，，数列满足，． （1）求，，； （2）求数列的前n项和． 【答案】（1），，10507 （2）. 【解析】 【分析】（1）首先利用数列与的关系，求得，再赋值求，再利用时，，即可求得； （2）由（1）可知，，再利用分组转化，以及错位相减法求和. 【小问1详解】 因为，，又数列各项均不为零，所以．当时，，所以 当时，，所以， ，两式相减可得，， ∴ ； 【小问2详解】 由（1）可知，， 设， 当时，数列的前项和为28， 当，数列的前项和为， 设 ， 两式相减得， ， 解得：， ， 所以，， 也满足上式， 所以. 17. 如图，已知在平面四边形中，，，，现将沿翻折到的位置，使得. （1）求证：平面平面； （2）点在线段上，当二面角的大小为时，确定点的位置. 【答案】（1） 取线段的中点，连接 在中，因为，所以，. 在直角中，，故. 故，所以，从而，即. 又，平面，，所以平面. 又因为平面，所以平面平面. （2）点是线段上靠近点的三等分点 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的判定定理先证线面垂直，即可得面面垂直； （2）建立空间直角坐标系，确定平面与平面的法向量，由向量夹角余弦公式求解即可得结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，，， 所以以点为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系（如图）. 由题意可得，，，. 因为点是棱上点，设，则可得点. 设平面的法向量，又，， 所以， 取. 因为平面，故可取平面的法向量， 设二面角大小为，则， 则，整理得，解得（舍去）或， 所以点是线段上靠近点的三等分点. 18. 如图，在中，点.圆是的内切圆，且延长线交于点，若. （1）求点的轨迹的方程； （2）若椭圆上点处的切线方程是， ①过直线上一点引的两条切线，切点分别是，求证：直线恒过定点； ②是否存在实数，使得，若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）①证明：设切点坐标为，直线上的点的坐标， 则切线方程分别为， 又两切线均过点，即， 从而点的坐标都适合方程， 而两点之间确定唯一的一条直线，故直线的方程是， 显然对任意实数，点都适合这个方程，故直线恒过定点. ②存在实数 【解析】 【分析】（1）抓住内切圆的性质找到等量关系，再由定义法即可求结果； （2）①通过题设发现切点的坐标满足一个同构方程，从而得出直线的方程求出过的定点； ②涉及到直线与圆锥曲线相交的问题，若用的是代数法，一般是联立方程化简，结合韦达定理将所求表达出来再进化简转化等，注意设而不求的思想方法 【小问1详解】 解：据题意，， 从而可得， 由椭圆定义知道，的轨迹为以为焦点的椭圆， 所以所求的椭圆的方程为. 【小问2详解】 ①略 ②将直线的方程，代入椭圆方程，得， 即， 不妨设， 同理. 所以 故存在实数，使得. 19. 已知函数. （1）讨论的极值点个数； （2）若有两个极值点，直线过点. （i）证明：； （ii）证明：. 【答案】（1）当时，极值点个数为；当时，极值点个数为2. （2）（i）证明：由（1）知，，不妨设， 则，，所以， 要证成立，只需证明，只需证明， 令，则， 所以在上单调递减，所以， 所以成立. 所以. （ii）证明： 由得， 要证成立， 只需证明， 因为， 所以只需证明， 只需证明， 只需证明，即， 因为成立，所以成立. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，分、、三种情况讨论，分别求出函数的极值点的个数； （2）（i）由（1）知，，不妨设，且，，依题意只需证明，令，利用导数说明函数的单调性，即可证明； （ii）依题意可得，则只需证明，即证明，结合（i）的结论即可得证. 【小问1详解】 因为定义域为，且， 当时，恒成立， 在上单调递增，极值点个数为； 当时，对于函数，， 所以恒成立， 所以在上单调递增，极值点个数为； 当时，由得，或， 由得，或；由得，. 所以单调递减区间为，单调递增区间为. 所以为极大值点，为极小值点，极值点个数为. 综上，当时，极值点个数为；当时，极值点个数为2. 【小问2详解】 （i）略 （ii）略 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $