17.2 勾股定理的逆定理 暑假题型专练2024-2025学年人教版八年级数学下册

人教版八年级下册 17.2 勾股定理的逆定理 暑假题型专练 一、勾股定理的的逆定理 1.已知三角形的三边长为a.b.c，如果（a﹣5）2+|b﹣12|+＝0，则△ABC是（　　） A.以a为斜边的直角三角形 B.以b为斜边的直角三角形 C.以c为斜边的直角三角形 D.不是直角三角形 2.下列结论正确的是（　　） A.在Rt△ABC中，已知两边长分别为3和4，则第三边的长为5 B.△ABC的三边长满足BC2+AC2＝AB2，则∠A＝90° C.若三角形的三边长之比为8：16：17，则该三角形是直角三角形 D.在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：5：6，则△ABC是直角三角形 3.若a，b，c是直角三角形的三条边，下列说法正确的是（　　） A.a2，b2，c2能组成三角形 B.3a，3b，3c能组成直角三角形 C.a+3，b+4，c+5能组成直角三角形 D.3a，4b，5c能组成直角三角形 4.一个三角形的三边长分别为15 cm，20 cm，25cm，则这个三角形最长边上的高是　     cm． 5.如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝2，DB＝1，CD＝，则AC＝　　          ． 6.如图，在△ABC中，已知AB＝AC，D是AB边上的一点，CD＝3，BC=，BD＝1． （1）求证：△BCD是直角三角形； （2）求△ABC的面积． 7.如图，每个小正方形的边长都是1. （1）求四边形ABCD的面积与周长； （2）∠BCD是直角吗？ 二、勾股数 1.在下列各组数据中，不能作为直角三角形的三边边长的是（　　） A.3，4，6 B.7，24，25 C.6，8，10 D.9，12，15 2.下列给出的四组数中，是勾股数的一组是（　　） A.1，2，3 B.1，，2 C.0.3，0.4，0.5 D.5，12，13 3.下列各组数中，不属于勾股数的是（　　） A.8，15，17 B.7，12，15 C.12，16，20 D.7，24，25 4.若8，15，x是一组勾股数，则x的值为 　    　． 5.有一组勾股数，其中的两个分别是8和17，则第三个数是　     　． 6.（1）3k，4k，5k（k是正整数）是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由； （2）如果a，b，c是一组勾股数，那么ak，bk，ck（k是正整数）也是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由． 7.观察下列各组勾股数有哪些规律： 请解答： （1）当a＝11时，求b，c的值； （2）判断21，220，221是否为一组勾股数？若是，请说明理由． 三、勾股定理的应用 1.东汉《九章算术》中，“折竹抵底”问题，意思是：一根竹子，原高10尺，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，则折断后剩余部分的竹子高度为（　　） A.4.2尺 B.4尺 C.5.2尺 D.5尺 2.如图，小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，准备采用如下方法：先测量门的边AB和BC的长，再测量点A和点C间的距离，由此可推断∠B是否为直角，这样做的依据是（　　） A.勾股定理 B.勾股定理的逆定理 C.三角形内角和定理 D.直角三角形的两锐角互余 3.如图，有一根电线杆垂直立在地面D处，在电线杆的点C处引拉线固定电线杆，拉线AC＝BC＝6m，且和地面成60°，则电线杆引线处C离地面的高度（即CD的长）是（　　） A.3m B. C. D. 4.如图，小张在投篮训练时把球打到篮板的点D处后恰好进球，已知小张与篮板底的距离BC＝米，头顶与地面的距离AB＝1.65米，头顶与篮板点D处的距离AD＝3米，则点D到地面的距离CD为　    　米． 5.如图，14 m高的教学楼前有一棵6m高的大树，它们相距6 m，树的顶端有一只小鸟，它要飞到楼顶上，至少要飞行　   　m． 6.某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，技术人员通过测量确定了∠ABC＝90°． （1）小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？ （2）这片绿地的面积是多少？ 7.小明向东走80 m后，沿另一方向又走了60 m，再沿第三个方向走100 m回到原地.小明向东走80 m后是向哪个方向走的？ 四、逆命题与真假命题 1.已知命题：“三角形三条高线的交点一定不在三角形的外部．”小冉想举一反例说明它是假命题，则下列选项中符合要求的反例是（　　） A.等腰三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 2.下列命题是假命题的是（　　） A.对顶角相等 B.同旁内角互补 C.同位角相等，两直线平行 D.在同一平面内，过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 3.下面四组a，b的值，能说明命题“若a2＞b2，则a＞b”是假命题的是 （　　） A.a＝2，b＝1 B.a＝﹣2，b＝1 C.a＝2，b＝﹣1 D.a＝3，b＝﹣2 4.写出命题“内错角相等，两直线平行”的逆命题：　   　；这个逆命题是       命题.（填写“真”或“假”） 5.命题“如果x≥1，那么x2≥1”的逆命题是 　 　命题．（选填“真”或“假”） 6.下列各命题都成立，写出它们的逆命题.这些逆命题成立吗？ （1）同旁内角互补，两直线平行； （2）如果两个角是直角，那么它们相等； （3）全等三角形的对应边相等； （4）如果两个实数相等，那么它们的平方相等. 7.写出命题“等角的补角相等”的逆命题，并指出它的逆命题是真命题还是假命题．如果是真命题，请加以证明；如果是假命题，举出一个反例． 人教版八年级下册 17.2 勾股定理的逆定理 暑假题型专练（参考答案） 一、勾股定理的的逆定理 1.已知三角形的三边长为a.b.c，如果（a﹣5）2+|b﹣12|+＝0，则△ABC是（　　） A.以a为斜边的直角三角形 B.以b为斜边的直角三角形 C.以c为斜边的直角三角形 D.不是直角三角形 【答案】C 【解析】∵（a﹣5）2+|b﹣12|+＝0， ∴a﹣5＝0，b﹣12＝0，c﹣13＝0， ∴a＝5，b＝12，c＝13， ∵52+122＝132， ∴a2+b2＝c2， ∴△ABC是以c为斜边的直角三角形． 故选：C． 2.下列结论正确的是（　　） A.在Rt△ABC中，已知两边长分别为3和4，则第三边的长为5 B.△ABC的三边长满足BC2+AC2＝AB2，则∠A＝90° C.若三角形的三边长之比为8：16：17，则该三角形是直角三角形 D.在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：5：6，则△ABC是直角三角形 【答案】D 【解析】在Rt△ABC中，已知两边长分别为3和4，则第三边的长为5或，故A说法错误，不符合题意； △ABC的三边长满足BC2+AC2＝AB2，则∠C＝90°，故B说法错误，不符合题意； 若三角形的三边长之比为8：16：17，其三边不符合勾股定理的逆定理，则该三角形不是直角三角形，故C说法错误，不符合题意； 在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：5：6，则∠C＝180°×＝90°，则△ABC是直角三角形，故D说法正确，符合题意； 故选：D． 3.若a，b，c是直角三角形的三条边，下列说法正确的是（　　） A.a2，b2，c2能组成三角形 B.3a，3b，3c能组成直角三角形 C.a+3，b+4，c+5能组成直角三角形 D.3a，4b，5c能组成直角三角形 【答案】B 【解析】∵a，b，c是直角三角形的三条边， ∴3a，3b，3c能组成直角三角形，a2，b2，c2不一定能组成三角形，其他情况都不能得到直角三角形． 故选：B． 4.一个三角形的三边长分别为15 cm，20 cm，25cm，则这个三角形最长边上的高是　     cm． 【答案】12 【解析】如图，设AB＝25 cm是最长边，AC＝15 cm，BC＝20 cm，过C作CD⊥AB于D， ∵AC2+BC2＝152+202＝625，AB2＝252＝625， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴∠ACB＝90°， ∵S△ACB＝AC×BC＝AB×CD， ∴AC×BC＝AB×CD，15×20＝25CD， ∴CD＝12（cm）． 5.如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝2，DB＝1，CD＝，则AC＝　　          ． 【答案】 【解析】∵BC＝2，DB＝1，CD＝， ∴DB2+CD2＝1+3＝4＝BC2， ∴△CDB是直角三角形，∠CDB＝90°， ∴∠CDA＝90°， ∵AB＝4，BD＝1， ∴AD＝3， ∴AC＝＝＝． 6.如图，在△ABC中，已知AB＝AC，D是AB边上的一点，CD＝3，BC=，BD＝1． （1）求证：△BCD是直角三角形； （2）求△ABC的面积． 【答案】（1）证明：∵CD＝3，BC=，BD＝1， ∴CD2+BD2＝32+12＝10＝BC2， ∴△BCD是直角三角形． （2）解：由（1）知，△BCD是直角三角形， ∴∠BDC＝90°， ∴∠ADC＝90°， 设AC＝x，则AD＝x﹣1， ∵CD2+AD2＝AC2， ∴3+（x﹣1）2＝x2， 解得x＝5， ∴AB＝AC＝5， ∴△ABC的面积是＝＝． 7.如图，每个小正方形的边长都是1. （1）求四边形ABCD的面积与周长； （2）∠BCD是直角吗？ 【答案】解：（1）由勾股定理可得AB2=52+12=26，则AB=， ∵BC2=42+22=20， ∴BC=2， ∵CD2=22+12=5， ∴CD=， ∵AD2=12+42=17， ∴AD=， 故四边形ABCD的周长为++2++=++3+． 四边形ABCD的面积为5×5-×（1×5+4×2+2×1+4×1）-1×1=25-10.5=14.5． （2）∠BCD是直角，理由如下： 由（1）得BC2=20，CD2=5，连接BD（图略），则BD2=32+42=25， ∴DC2+BC2=BD2， ∴∠BCD=90°． 二、勾股数 1.在下列各组数据中，不能作为直角三角形的三边边长的是（　　） A.3，4，6 B.7，24，25 C.6，8，10 D.9，12，15 【答案】A 【解析】A，32+42≠62，故A符合题意； B，72+242＝252，故B不符合题意； C，62+82＝102，故C不符合题意； D，92+122＝152，故D不符合题意． 故选：A． 2.下列给出的四组数中，是勾股数的一组是（　　） A.1，2，3 B.1，，2 C.0.3，0.4，0.5 D.5，12，13 【答案】D 【解析】A.22+12≠32，不能构成勾股数，不符合题意； B.不是整数，所以不能构成勾股数，不符合题意； C.0.3，0.4，0.5不是整数，所以不能构成勾股数，不符合题意； D.52+122＝132，能构成勾股数，符合题意． 故选：D． 3.下列各组数中，不属于勾股数的是（　　） A.8，15，17 B.7，12，15 C.12，16，20 D.7，24，25 【答案】B 【解析】A，82+152＝172，三个正整数是勾股数，故A不符合题意； B，72+122≠152，三个正整数不是勾股数，故B符合题意； C，122+162＝202，三个正整数是勾股数，故C不符合题意； D，72+242＝252，三个正整数是勾股数，故D不符合题意． 故选：B． 4.若8，15，x是一组勾股数，则x的值为 　    　． 【答案】17 【解析】当x＞15时，x＝＝17， 则x为正整数，符合题意， 当x＜15时，x＝＝， ∵不是正整数， ∴x＝时，不合题意． 故答案为17． 5.有一组勾股数，其中的两个分别是8和17，则第三个数是　     　． 【答案】15 【解析】设第三个数为x， ∵是一组勾股数， ∴①x2+82＝172， 解得：x＝15， ②172+82＝x2， 解得：x＝（不合题意，舍去）， 故答案为：15． 6.（1）3k，4k，5k（k是正整数）是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由； （2）如果a，b，c是一组勾股数，那么ak，bk，ck（k是正整数）也是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由． 【答案】证明 （1）3k，4k，5k（k是正整数）是一组勾股数，理由如下： ∵k是正整数， ∴3k，4k，5k都是正整数， ∵（3k）2+（4k）2＝（5k）2， ∴3k，4k，5k（k是正整数）是一组勾股数； （2）ak，bk，ck（k是正整数）是一组勾股数，理由如下： ∵a，b，c是一组勾股数，且k是正整数， ∴ak，bk，ck是三个正整数， ∵a2+b2＝c2， ∴（ak）2+（bk）2＝a2k2+b2k2＝（a2+b2）k2＝c2k2＝（ck）2， ∴ak，bk，ck（k是正整数）是一组勾股数． 7.观察下列各组勾股数有哪些规律： 请解答： （1）当a＝11时，求b，c的值； （2）判断21，220，221是否为一组勾股数？若是，请说明理由． 【答案】解 （1）由a＝11，b+1＝c，c2﹣b2＝a2， 得（b+1）2﹣b2＝（b+1+b）（b+1﹣b）＝121． 解得b＝60，c＝b+1＝61； （2）是勾股数． 理由：∵2212﹣2202＝（221+220）（221﹣220）＝441， 又∵212＝441，∴2212﹣2202＝212， ∴21，220，221是勾股数． 三、勾股定理的应用 1.东汉《九章算术》中，“折竹抵底”问题，意思是：一根竹子，原高10尺，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，则折断后剩余部分的竹子高度为（　　） A.4.2尺 B.4尺 C.5.2尺 D.5尺 【答案】A 【解析】如图所示， 由题意得∠AOB＝90°， 设折断处离地面的高度OA是x尺， 由勾股定理得x2+42＝（10﹣x）2，解得x＝4.2， 即折断后的竹子高度OA为4.2尺． 故选：A． 2.如图，小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，准备采用如下方法：先测量门的边AB和BC的长，再测量点A和点C间的距离，由此可推断∠B是否为直角，这样做的依据是（　　） A.勾股定理 B.勾股定理的逆定理 C.三角形内角和定理 D.直角三角形的两锐角互余 【答案】B 【解析】∵AB2+BC2＝AC2， ∴△ABC是直角三角形，且∠B＝90°， 故选：B． 3.如图，有一根电线杆垂直立在地面D处，在电线杆的点C处引拉线固定电线杆，拉线AC＝BC＝6m，且和地面成60°，则电线杆引线处C离地面的高度（即CD的长）是（　　） A.3m B. C. D. 【答案】D 【解析】∵CD⊥AB，∠CBD＝60°， ∴∠BCD＝30°， ∴DB=BC=3m， 在Rt△BCD中，CD=， 故选：D． 4.如图，小张在投篮训练时把球打到篮板的点D处后恰好进球，已知小张与篮板底的距离BC＝米，头顶与地面的距离AB＝1.65米，头顶与篮板点D处的距离AD＝3米，则点D到地面的距离CD为　    　米． 【答案】3.15 【解析】如图，过点A作AE⊥CD，则CE＝AB＝1.65米，AE＝BC＝米，AD＝3米， Rt△ADE中，DE＝＝（米）， ∴CD＝CE+ED＝1.65+1.5＝3.15（米）． 5.如图，14 m高的教学楼前有一棵6m高的大树，它们相距6 m，树的顶端有一只小鸟，它要飞到楼顶上，至少要飞行　   　m． 【答案】10． 【解析】如图，设教学楼高为AB＝14 m，大树高为CD＝6 m， 过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是长方形， 连接AC， ∴EB＝6 m，EC＝BD＝6 m，AE＝AB﹣EB＝14﹣6＝8（m）， 在Rt△AEC中，AC＝＝＝＝10（m）， 故小鸟至少飞行10 m． 6.某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，技术人员通过测量确定了∠ABC＝90°． （1）小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？ （2）这片绿地的面积是多少？ 【答案】解 （1）如图，连接AC， ∵∠ABC＝90°，AB＝9m，BC＝12m， ∴AC＝＝＝15（m）， ∴AB+BC﹣AC＝9+12﹣15＝6（m）， 答：居民从点A到点C将少走6m路程； （2）∵CD＝17m，AD＝8m， ：AD2+AC2＝DC2 ∴△ADC是直角三角形，∠DAC＝90°， ∴S△DAC＝AD•AC＝×8×15＝60（m2），S△ACB＝AB•AC＝×9×12＝54（m2）， ∴S四边形ABCD＝60+54＝114（m2）， 答：这片绿地的面积是 114m2． 7.小明向东走80 m后，沿另一方向又走了60 m，再沿第三个方向走100 m回到原地.小明向东走80 m后是向哪个方向走的？ 【答案】解：如图，AB=80 m，BC=BD=60 m，AC=AD=100 m, 根据602+802=1002得∠ABC=∠ABD=90°， 故小明向东走80 m后是向北或向南走的． 四、逆命题与真假命题 1.已知命题：“三角形三条高线的交点一定不在三角形的外部．”小冉想举一反例说明它是假命题，则下列选项中符合要求的反例是（　　） A.等腰三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 【答案】D 【解析】如图，钝角△ABC的三条高的交点在△ABC的外部． 故选：D． 2.下列命题是假命题的是（　　） A.对顶角相等 B.同旁内角互补 C.同位角相等，两直线平行 D.在同一平面内，过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】B 【解析】A，对顶角相等，是真命题，不符合题意； B，两直线平行，同旁内角互补，故本选项命题是假命题，符合题意； C，同位角相等，两直线平行，是真命题，不符合题意； D，在同一平面内，过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，是真命题，不符合题意． 故选：B． 3.下面四组a，b的值，能说明命题“若a2＞b2，则a＞b”是假命题的是 （　　） A.a＝2，b＝1 B.a＝﹣2，b＝1 C.a＝2，b＝﹣1 D.a＝3，b＝﹣2 【答案】B 【解析】A，a＝2，b＝1，满足a2＞b2，也满足a＞b，故不能作为证明原命题是假命题的反例； B，a＝﹣2，b＝1，满足a2＞b2，但不满足a＞b，故能作为证明原命题是假命题的反例； C，a＝2，b＝﹣1，满足a2＞b2，也满足a＞b，故不能作为证明原命题是假命题的反例； D，a＝3，b＝﹣2，满足a2＞b2，也满足a＞b，故不能作为证明原命题是假命题的反例． 故选：B． 4.写出命题“内错角相等，两直线平行”的逆命题：　   　；这个逆命题是       命题.（填写“真”或“假”） 【答案】两直线平行，内错角相等 真 【解析】命题“内错角相等，两直线平行”的逆命题为两直线平行，内错角相等. 5.命题“如果x≥1，那么x2≥1”的逆命题是 　 　命题．（选填“真”或“假”） 【答案】假 【解析】命题“如果x≥1，那么x2≥1”的逆命题是“如果x2≥1，那么x≥1”是假命题，例如：当x＝﹣2时，（﹣2）2＞1，而﹣2＜1． 6.下列各命题都成立，写出它们的逆命题.这些逆命题成立吗？ （1）同旁内角互补，两直线平行； （2）如果两个角是直角，那么它们相等； （3）全等三角形的对应边相等； （4）如果两个实数相等，那么它们的平方相等. 【答案】解：（1）逆命题为两直线平行，同旁内角互补，成立． （2）逆命题为如果两个角相等，那么这两个角是直角，不成立． （3）逆命题为对应边相等的两个三角形全等，成立． （4）逆命题为如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等，不成立． 7.写出命题“等角的补角相等”的逆命题，并指出它的逆命题是真命题还是假命题．如果是真命题，请加以证明；如果是假命题，举出一个反例． 【答案】解：命题“等角的补角相等”的逆命题为如果两个角的补角相等，那么这两个角相等，正确，是真命题． 已知：∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，且∠3＝∠1， 求证：∠2＝∠4． 证明：∵∠1与∠2互补，∠3与∠4互补， ∴∠1+∠2＝180°，∠3+∠4＝180°， ∴∠2=180°-∠1，∠4=180°-∠3 ∵∠3＝∠1， ∴∠2＝∠4． ∴如果两个角的补角相等，那么这两个角相等，正确，是真命题. 学科网（北京）股份有限公司 $$