18.1.1 平行四边形的性质 暑假题型专练2024-2025学年人教版八年级数学下册

人教版八年级下册 18.1.1 平行四边形的性质 暑假题型专练 一、平行四边形的对边相等 1.如图，在平行四边形ABCD中，AD＝7，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE＝4，则AB的长为(　　) A.4 B.3 C. D.2 2.如图，在ABCD中，∠BAD和∠ADC的平分线交于点O，且分别交直线BC于点E，F．若AB＝6，BC＝4，则OE2+OF2的值是（　　） A.50 B.64 C.100 D.121 3.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4cm，AD＝7cm，∠ABC的平分线BF交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DF等于（　　） A.3cm B.4cm C.3.5cm D.4.5cm 4.如果一个平行四边形一个内角的平分线分它的一边为1∶2的两部分，那么称这样的平行四边形为“协调平行四边形”，称该边为“协调边”．当“协调边”为3时，它的周长为________． 5.ABCD中，∠A的平分线交直线BC于点E，AB＝10，CE＝4，那么BC的长为　           　． 6.如图，在ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，延长BE交CD的延长线于F． （1）若∠F＝28°，求∠A的度数； （2）若AB＝5，BC＝8，CE⊥AD，求ABCD的面积． 7.在▱ABCD中，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，且EF＝AD.求证：∠BAE＝∠CDF. 二、平行四边形的对角相等 1.在▱ABCD中，∠ACB＝25°，现将▱ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，点D落在G处，则∠GFE的度数(　　) A.135° B.120° C.115° D.100° 2.如图，在ABCD中，若∠A＝2∠B，则∠D的度数为（　　） A.36° B.45° C.60° D.72° 3.已知▱ABCD中，∠B＝4∠A，则∠D等于(　　) A.18° B.36° C.72° D.144° 4.在ABCD中，∠A＝5∠B，则∠D＝　  　度． 5.在平行四边形ABCD中，∠A＝125°，则∠D＝　 　°． 6.如图，点E是▱ABCD的边AD上一点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，若BG＝DE，并且∠AEF＝70°.求∠AGB的度数． 7.如图，在ABCD中，DF平分∠ADC，交AB于点F，BE∥DF，交AD的延长线于点E．若∠A＝46°，求∠CBE的度数． 三、两平行线之间的距离 1.如图，一把带有60°角的三角尺放在两条平行线间，已知量得平行线间的距离为12cm，三角尺最短边和平行线成45°角，则三角尺斜边的长度为（　　） A.12cm B.12cm C.24cm D.24cm 2.在同一平面内，已知a∥b，b∥c，若直线a，b之间的距离为7cm，直线b，c之间的距离为3cm，则直线a，c间的距离为（　　） A.4cm或10cm B.4cm C.10cm D.不确定 3.如图，在ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若AE＝4，AF＝6，且ABCD的周长为40，则ABCD的面积为（　　） A.24 B.36 C.40 D.48 4.如图，A、B是直线m上两个定点，C是直线n上一个动点，且m∥n. 以下说法： ①△ABC的周长不变； ②△ABC的面积不变； ③△ABC中，AB边上的中线长不变； ④∠C的度数不变； ⑤点C到直线m的距离不变． 其中正确的有__________(填序号)． 5.若E是ABCD内任意一点，若ABCD的面积是6，则阴影部分面积是 　        　． 6.如图，在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BD⊥AD，AB=10，AD=8．求OB的长度及ABCD的面积． 7.如图，直线l1∥l2，△ABC与△DBC的面积相等吗？为什么？你还能画出一些与△ABC面积相等的三角形吗？ 四、平行四边形的对角线互相平分 1.如图，▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，如果AC＝12，BD＝10，AB＝m，那么m的取值范围是(　　) A.1＜m＜11 B.2＜m＜22 C.10＜m＜12 D.5＜m＜6 2.如图，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BC，AB＝10，BC＝8，则对角线BD的长是（　　） A. B. C.12 D.14 3.如图，▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠CAB＝90°，AC＝6 cm，BD＝10 cm，则▱ABCD的周长为(　　) A.(4＋8) cm B.(2＋4) cm C.32 cm D.28 cm 4.如图，在平行四边形ABCD中，EF过两条对角线的交点O，若AB＝4，BC＝7，OE＝3，则四边形EFCD的周长是 　     　． 5.在▱ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，AC垂直于BC，且AB＝10 cm，AD＝8 cm，则OB＝________ cm. 6.如图，在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC平分∠DAB，过点B作BE⊥AB交AC于点E． （1）求证：AC⊥BD； （2）若AB＝5，AC＝8，求OE的长． 7.求证：平行四边形对角线的交点到一组对边的距离相等．以下是不完整的证明过程，请补充完整并证明． 已知：如图，ABCD中，AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AB，　    　，垂足分别为E，F． 求证：　      　． 人教版八年级下册 18.1.1 平行四边形的性质 暑假题型专练（参考答案） 一、平行四边形的对边相等 1.如图，在平行四边形ABCD中，AD＝7，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE＝4，则AB的长为(　　) A.4 B.3 C. D.2 【答案】B 【解析】∵在▱ABCD中，CE平分∠BCD交AD于点E， ∴∠DEC＝∠ECB，∠DCE＝∠BCE，AB＝DC， ∴∠DEC＝∠DCE， ∴DE＝DC＝AB， ∵AD＝7，AE＝4， ∴DE＝DC＝AB＝3. 故选B. 2.如图，在ABCD中，∠BAD和∠ADC的平分线交于点O，且分别交直线BC于点E，F．若AB＝6，BC＝4，则OE2+OF2的值是（　　） A.50 B.64 C.100 D.121 【答案】B 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠E＝∠DAE， 又∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAE， ∴∠E＝∠BAE， ∴BE＝AB＝6， 又∵BC＝4， ∴CE＝6﹣4＝2， 同理可得BF＝2， ∴EF＝2+4+2＝8， ∵AB∥CD， ∴∠BAD+∠ADC＝180°， 又∵∠BAD和∠ADC的平分线交于点O， ∴∠OAD+∠ODA＝90°， ∴∠AOD＝90°＝∠EOF， ∴Rt△EOF中，OE2+OF2＝EF2＝82＝64. 3.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4cm，AD＝7cm，∠ABC的平分线BF交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DF等于（　　） A.3cm B.4cm C.3.5cm D.4.5cm 【答案】A 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD＝BC＝7cm，AB＝CD＝4cm， ∴∠ABE＝∠F， ∵BF平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE， ∴∠F＝∠CBE， ∴CF＝BC＝7cm， ∴DF＝CF﹣CD＝3cm， 4.如果一个平行四边形一个内角的平分线分它的一边为1∶2的两部分，那么称这样的平行四边形为“协调平行四边形”，称该边为“协调边”．当“协调边”为3时，它的周长为________． 【答案】8或10 【解析】如图所示： ①当AE＝1，DE＝2时， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC＝AD＝3，AB＝CD，AD∥BC， ∴∠AEB＝∠CBE， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE， ∴∠ABE＝∠AEB， ∴AB＝AE＝1， ∴平行四边形ABCD的周长＝2(AB＋AD)＝8； ②当AE＝2，DE＝1时，同理得：AB＝AE＝2， ∴平行四边形ABCD的周长＝2(AB＋AD)＝10. 5.ABCD中，∠A的平分线交直线BC于点E，AB＝10，CE＝4，那么BC的长为　           　． 【答案】6或14 【解析】如图1，∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，CD＝AB＝10，AD＝BC， ∴∠DAE＝∠E， ∵AE是∠BAD的平分线， ∴∠DAE＝∠BAE， ∴∠E＝∠BAE， ∴BE=AB=10， ∴BC＝BE－CE＝6． 如图2，∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAE＝∠BEA， ∵AE是∠BAD的平分线， ∴∠DAE＝∠BAE， ∴∠BAE＝∠BEA， ∴BE＝AB＝10， ∵CE＝4， ∴BC＝BE+CE＝14． 综上所述，BC的长为6或14． 6.如图，在ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，延长BE交CD的延长线于F． （1）若∠F＝28°，求∠A的度数； （2）若AB＝5，BC＝8，CE⊥AD，求ABCD的面积． 【答案】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC，CD＝AB，AB∥CD， ∴∠AEB＝∠CBF，∠ABE＝∠F＝28°， ∵∠ABC的平分线交AD于点E， ∴∠ABE＝∠CBF， ∴∠AEB＝∠ABE＝28°， ∴AE＝AB，∠A＝（180°﹣28°﹣28°）＝124°. （2）∵AE＝AB＝5，AD＝BC＝8，CD＝AB＝5， ∴DE＝AD﹣AE＝3， ∵CE⊥AD， ∴CE＝＝＝4， ∴ABCD的面积＝AD•CE＝8×4＝32． 7.在▱ABCD中，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，且EF＝AD.求证：∠BAE＝∠CDF. 【答案】证明　∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD， ∴∠ABE＝∠DCF， 又∵EF＝AD， ∴BC＝EF， ∴BE＝CF， 在△ABE和△DCF中，AB＝DC，∠B＝∠DCF，EB＝CF， ∴△BAE≌△CDF(SAS)， ∴∠BAE＝∠CDF. 二、平行四边形的对角相等 1.在▱ABCD中，∠ACB＝25°，现将▱ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，点D落在G处，则∠GFE的度数(　　) A.135° B.120° C.115° D.100° 【答案】C 【解析】由折叠可得：∠EAC＝∠ECA＝25°，∠FEC＝∠AEF，∠DFE＝∠GFE， ∵∠EAC＋∠ECA＋∠AEC＝180°， ∴∠AEC＝130°， ∴∠FEC＝65°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DFE＋∠FEC＝180°， ∴∠DFE＝115°， ∴∠GFE＝115°， 故选C. 2.如图，在ABCD中，若∠A＝2∠B，则∠D的度数为（　　） A.36° B.45° C.60° D.72° 【答案】C 【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A+∠B＝180°，∠B＝∠D， ∵∠A＝2∠B， ∴∠B＝60°， ∴∠D＝60°. 3.已知▱ABCD中，∠B＝4∠A，则∠D等于(　　) A.18° B.36° C.72° D.144° 【答案】D 【解析】∵四边形BCDA是平行四边形， ∴AD∥CB，∠B＝∠D， ∴∠A＋∠B＝180°， ∵∠B＝4∠A， ∴∠A＋4∠A＝180°，解得∠A＝36°， ∴∠B＝144°， ∴∠D＝144°， 故选D. 4.在ABCD中，∠A＝5∠B，则∠D＝　  　度． 【答案】30 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，且∠A+∠B＝180°， ∵∠A＝5∠B， ∴6∠B＝180°， 解得∠B＝30°， ∴∠D＝30°． 5.在平行四边形ABCD中，∠A＝125°，则∠D＝　 　°． 【答案】55 【解析】∵在平行四边形ABCD中，AB∥CD， ∴∠D+∠A＝180°， ∵∠A＝125°， ∴∠D＝55°． 6.如图，点E是▱ABCD的边AD上一点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，若BG＝DE，并且∠AEF＝70°.求∠AGB的度数． 【答案】解　∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，∠B＝∠D， 又∵BG＝DE， 在△ABG和△CDE中，AB＝CD，∠B＝∠D，BG＝DE， ∴△ABG≌△CDE， ∴∠AGB＝∠CED， ∵∠CED＝∠AEF＝70°， ∴∠AGB＝70°. 7.如图，在ABCD中，DF平分∠ADC，交AB于点F，BE∥DF，交AD的延长线于点E．若∠A＝46°，求∠CBE的度数． 【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠A+∠ADC＝180°， ∵∠A＝46°， ∴∠ADC＝∠ABC＝134°， ∵DF平分∠ADC， ∴∠CDF＝ADC＝67°， ∴∠AFD＝∠CDF＝67°， ∵DF∥BE， ∴∠ABE＝∠AFD＝67°， ∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝134°﹣67°＝67°． 三、两平行线之间的距离 1.如图，一把带有60°角的三角尺放在两条平行线间，已知量得平行线间的距离为12cm，三角尺最短边和平行线成45°角，则三角尺斜边的长度为（　　） A.12cm B.12cm C.24cm D.24cm 【答案】D 【解析】如图，过A作AD⊥BF于D， ∴∠ADB=90° ∵∠ABD＝45°， ∴∠DAB=45°， ∴∠ABD=∠DAB， ∴AD＝BD=12， ∴由勾股定理，得AB2=AD2+BD2=2AD2， AB=AD=12， 又∵Rt△ABC中，∠C＝30°， ∴AC＝2AB＝24. 2.在同一平面内，已知a∥b，b∥c，若直线a，b之间的距离为7cm，直线b，c之间的距离为3cm，则直线a，c间的距离为（　　） A.4cm或10cm B.4cm C.10cm D.不确定 【答案】A 【解析】当直线c在直线a，b之间时，如图（1）， 直线a，c间的距离为7﹣3＝4（cm）； 当直线c在直线a，b外部时，如图（2）， 直线a，c间的距离为7+3＝10（cm）， ∴直线a，c间的距离是4或10cm． 3.如图，在ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若AE＝4，AF＝6，且ABCD的周长为40，则ABCD的面积为（　　） A.24 B.36 C.40 D.48 【答案】D 【解析】设BC＝x， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC， ∵ABCD的周长为40， ∴BC+CD＝20， ∴CD＝20﹣x， ∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F， ∵ABCD的面积为BC•AE＝CD•AF， ∴4x＝6（20﹣x）， 解得x＝12， ∴ABCD的面积为BC•AE＝12×4＝48． 4.如图，A、B是直线m上两个定点，C是直线n上一个动点，且m∥n. 以下说法： ①△ABC的周长不变； ②△ABC的面积不变； ③△ABC中，AB边上的中线长不变； ④∠C的度数不变； ⑤点C到直线m的距离不变． 其中正确的有__________(填序号)． 【答案】②⑤ 【解析】∵当点C运动时，AC＋BC的值不固定，∴△ABC的周长确定，∴①错误； ∵m∥n，∴C到AB的距离相等，设距离为d，则△ABC的面积＝×AB×d，∴△ABC的面积不变，∴②正确； ∵当点C运动时，∴连接点C和AB的中点的线段的长不确定，∴③错误； ∵当点C运动时，∴∠ACB的大小不确定，∴④错误； ∵m∥n，∴点C到直线m的距离不变，∴⑤正确； 5.若E是ABCD内任意一点，若ABCD的面积是6，则阴影部分面积是 　        　． 【答案】3 【解析】过E作MN⊥BC，交BC于M，交AD于N，如图所示， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴EN⊥AD， ∵S△AED＝AD•EN，S△BCE＝BC•EM， ∴S△ADE+S△BCE＝AD•EN+BC•EM＝BC•MN＝平行四边形ABCD的面积＝×6＝3， ∴阴影部分的面积为3. 6.如图，在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BD⊥AD，AB=10，AD=8．求OB的长度及ABCD的面积． 【答案】解：∵BD⊥AD，AB=10，AD=8， ∴BD=6． ∴SABCD=6×8=48. 7.如图，直线l1∥l2，△ABC与△DBC的面积相等吗？为什么？你还能画出一些与△ABC面积相等的三角形吗？ 【答案】解：相等． ∵l1∥l2， ∴l1，l2之间的距离是处处相等的， ∴△ABC和△DBC的BC边上的高相等， ∴△ABC和△DBC的面积相等； 如图所示. 四、平行四边形的对角线互相平分 1.如图，▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，如果AC＝12，BD＝10，AB＝m，那么m的取值范围是(　　) A.1＜m＜11 B.2＜m＜22 C.10＜m＜12 D.5＜m＜6 【答案】A 【解析】在平行四边形ABCD中，则可得OA＝AC，OB＝BD，在△AOB中，由三角形三边关系可得OA－OB＜AB＜OA＋OB，即6－5＜m＜6＋5,1＜m＜11.故选A. 2.如图，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BC，AB＝10，BC＝8，则对角线BD的长是（　　） A. B. C.12 D.14 【答案】A 【解析】∵AC⊥BC，AB＝10，BC＝8， ∴∠ACB＝90°， ∴AC＝＝＝6， ∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O， ∴CO＝AO＝AC＝3， ∴DO＝BO＝＝＝， ∴BD＝2DO＝2． 3.如图，▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠CAB＝90°，AC＝6 cm，BD＝10 cm，则▱ABCD的周长为(　　) A.(4＋8) cm B.(2＋4) cm C.32 cm D.28 cm 【答案】A 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC，OA＝AC＝3cm，OB＝BD＝5 cm， ∵AC⊥AB， ∴∠BAO＝90°， ∴AB＝＝4(cm)， ∴BC＝＝2(cm)， ∴▱ABCD的周长＝2(AB＋BC)＝(4＋8) cm， 故选A. 4.如图，在平行四边形ABCD中，EF过两条对角线的交点O，若AB＝4，BC＝7，OE＝3，则四边形EFCD的周长是 　     　． 【答案】17 【解析】四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，OA＝OC，CD＝AB＝4，AD＝BC＝7， ∴∠EAO＝∠FCO， 在△AOE和△COF中， ∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴AE＝CF，OE＝OF＝3， ∴EF＝2OE＝6， ∴四边形EFCD的周长是CD+DE+EF+CF＝CD+DE+AE+EF＝CD+AD+EF＝4+7+6＝17． 5.在▱ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，AC垂直于BC，且AB＝10 cm，AD＝8 cm，则OB＝________ cm. 【答案】 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC＝AD＝8 cm，OB＝OD，OA＝OC， ∵AC⊥BC， ∴AC＝＝＝6(cm)， ∴OC＝AC＝3cm， ∴OB＝＝＝ (cm)； 6.如图，在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC平分∠DAB，过点B作BE⊥AB交AC于点E． （1）求证：AC⊥BD； （2）若AB＝5，AC＝8，求OE的长． 【答案】（1）证明：∵AC平分∠DAB， ∴∠DAC＝∠BAC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥CB， ∴∠DAC＝∠ACB， ∴∠CAB＝∠ACB， ∴AB＝CB， ∵点O为平行四边形ABCD对角线AC与BD的交点 ∴OA=OC ∴BO⊥AC 即AC⊥BD． （2）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴， ∵AC⊥BD，BE⊥AB， ∴∠AOB＝∠BOE＝∠ABE＝90°， ∴， 设OE＝x，则（4+x）2﹣52＝32+x2， 解得：， ∴． 7.求证：平行四边形对角线的交点到一组对边的距离相等．以下是不完整的证明过程，请补充完整并证明． 已知：如图，ABCD中，AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AB，　    　，垂足分别为E，F． 求证：　      　． 【答案】证明：ABCD中，AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E，F． ∵四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O， ∴AB∥CD，OA＝OC， ∴∠OAE＝∠OCF， ∵OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E，F， ∴∠AEO＝∠CFO＝90°， 在△AEO和△CFO中， ∴△AEO≌△CFO（AAS）， ∴OE＝OF． 学科网（北京）股份有限公司 $$