8.3 实数及其简单运算 课件 2024—2025学年人教版数学七年级下册

8.3实数及其简单运算 学习目标 1.了解无理数和实数的概念. 2.知道实数与数轴上的点具有一一对应关系，初步体会“数形结合”的数学思想. 3.通过丰富的数学活动，体验数学活动充满着探索和创造，体会数学的应用价值，培养积极思维的学习习惯. 4.通过解决问题的过程，培养学生合作交流意识与探究精神. 实 数 一级标题：黑体， 2 1.______和______统称为有理数. 整数 分数 正整数 分数 正整数 负整数 0 正分数 负分数 正有理数 负有理数 整数 正分数 负整数 负分数 复习回顾 2.将有理数按定义分类： 3.将有理数按大小分类： 有理数 0 有理数 一级标题：黑体， 3 新知导入 【提问】 什么是有理数？有理数怎样分类？ 按定义分 按符号分 属于哪一类呢？ 新知讲解 一、实数的概念及分类 我们知道有理数包括整数和分数，请把把下列分数写成小数的形式，你有什么发现？ 【探究】 我们发现，上面的分数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式，即： 新知讲解 一、实数的概念及分类 事实上，如果把整数看成小数点后是 0 的小数（例如，将3看成3.0），那么任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式。反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。 【探究】 所有的数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式吗？ 不是。如： 1.41421356… π=3.1415926535897932384626… 归纳总结 无理数 正无理数 负无理数 无限不循环小数 　　常见的无理数的形式： 　 （1）开方开不尽的数的方根，如　 ，　等； 　 （2） π 及化简后含 π 的数，如 π＋1等； 　 （3）具有特殊结构的数，如 0.303 003 000 3…（相邻两个 3 之间依次多一个 0）． 有理数和无理数统称为实数． 归纳总结 有理数 无理数 是有限小数或无限循环小数 是无限不循环小数 都能写成分数的形式（正数可以看成分母是1的分数） 不能写成分数的形式 溯源 我国古人对无理数已经有了很多认识.《九章算术》中用“面”来表示开平方开不尽的数. 刘徽在其著作《九章算术注》中，不仅记录了包含无理数运算的问题，而且给了用有限小数无限逼近无理数的算法“求微数法”. 把下列各数填入相应的集合内： （1）有理数集合： （2）无理数集合： （3）整数集合： （4）负数集合： （5）分数集合： （6）实数集合： 巩固新知 10 如图，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上一点从原点到达A点，则点A的坐标为多少？ -4 -2 0 1 2 3 4 -1 -3 无理数 可以用数轴上的点来表示. A 问题1 无理数能在数轴上表示出来吗？ 新知二 实数与数轴的关系 合作探究 11 －2 －1 0 1 2 - 问题2（1）你能在数轴上表示出 吗？ 12 （2）如果将所有有理数都标到数轴上，那么数轴能填满吗？ －2 －1 0 1 2 B A C 在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大. 数轴上的点有些 表示有理数，有 些表示无理数. 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一点都表示一个实数.即实数和数轴上的点是一一对应的. 13 例 如图所示，数轴上A，B两点表示的数分别为-1和 ，点B关于点A的对称点为C，求点C所表示的实数． 解：∵数轴上A，B两点表示的数分别为-1和 ， ∴点B到点A的距离为1＋ ，则点C到点A的距离为1+ ， 设点C表示的实数为x，则点A到点C的距离为-1-x， ∴-1-x＝1＋ ， ∴x＝-2- 典例精析 求数轴上的点表示的实数值 A B -1 0 14 与有理数一样，实数也可以比较大小： 与有理数规定的大小一样，数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大. 原点 0 正实数 负实数 < 正数大于零，负数小于零，正数大于负数. 与有理数一样，在实数范围内： 新知三 实数大小的比较 合作探究 15 (1)如何比较 与 2.5 的大小？ 方法一：通过估算比较大小. 方法二：若 a > 0，b > 0，且 a2 > b2，则 a > b. ∵( )2 = 5，2.52 = 6.25，5<6.25 ∴ < 2.5. 例2 比较下面各组数的大小： (2)如何比较 与 0.5 的大小？ 方法一： ∵ ， ∴ . 方法二：作差法 ∵ ， ∴ 解：(1) < 2，所以 - 1 < 1， 所以 < ； (2) 3.852 = 14.8225，15 > 14.8225， 所以 > 3.85. 1.通过估算，比较下面各组数的大小： (1) ， ； (2) ，3.85. 随堂练习     19 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示； 反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数. 实数和数轴上的点一 一对应 -2 -1 0 1 2     20 与有理数一样，实数也可以比较大小. 对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大. 1.正实数大于0，负实数小于0，正实数大于一切负实数； 2. 两个负实数比较大小，绝对值大的反而小. 21 $$