第01讲 导数的概念及其意义、导数的运算（8大题型+五年真题+限时作业）-2026届高三数学第一轮复习（新高考地区适用）

第三章 一元函数的导数及其应用 第01讲 导数的概念及其意义、导数的运算 目录： 01考情分析（五年真题（2025年--2021年）考点分布）……………………2 02 题型突围 精准提分 …………………………………………………………2 题型1 平均变化率瞬时速度……………………………………………………2 题型2 利用导数的概念求极限…………………………………………………3 题型3 在某点处的切线…………………………………………………………4 命题点1 求切线的斜率 ……………………………………………………………………4 命题点2 求切线方程（重）…………………………………………………………………6 命题点3 已知切线的斜率求参数（重）……………………………………………………7 命题点4 两切线的垂直 ……………………………………………………………………10 题型4 过某点的切线（重）……………………………………………………11 命题点1 求切线方程 ………………………………………………………………………11 命题点2 已知切线所过定点求参数 （重）………………………………………………14 命题点3 求切线的条数（重） ……………………………………………………………15 命题点4 已知切线条数求参数（范围）（重）……………………………………………17 题型5 在公共点处的公切线……………………………………………………20 题型6 没有公共点的公切线（难）……………………………………………21 命题点1 求公切线方程…………………………………………………………………22 命题点2 已知公切线求参数（难） …………………………………………………23 命题点3 存在公切线求参数的取值范围（难）……………………………………25 题型7 距离最值转化问题………………………………………………………27 题型8 导数的运算………………………………………………………………28 命题点1 导数的加减乘除运算法则 …………………………………………………28 命题点2 复合函数的导数（易错） …………………………………………………30 03 限时作业 查漏补缺 …………………………………………………………32 04 真题呈现 把握考情 …………………………………………………………38 考情分析 考题示例 考点分析 考情分析 2025年全国Ⅰ卷 已知切线（斜率）求参数、导数的加减法（填空题） 从近几年的高考可以看出，本节主要以考查导数的几何意义和导数的运算为主，体现在以下方面： 1. 已知切线（斜率）求参数； 2. 在某点处求切线方程； 3. 过点做切线的切线条数 4. 过点做切线求切线方程； 5. 导数的运算. 另外，导数题目常常与其它知识点结合，如解析几何、数列等，形成跨模块的综合考查. 如2025年全国Ⅰ卷的解答题第16题，导数的运算与数列结合进行综合考查. 2025年全国Ⅰ卷 导数的运算（解答题） 2025年全国Ⅱ卷 导数的运算法则、根据极值点求参数 2024年全国Ⅰ卷 公切线问题 2024年全国甲卷 在某点处求切线方程 2022年全国Ⅰ卷 过点做切线的切线条数 2022年全国Ⅱ卷 过点做切线求切线方程 2021年全国Ⅰ卷 过点做切线的切线条数 2021年全国Ⅱ卷 求切线的斜率 2021年全国甲卷（理） 在某点处求切线方程； 题型突围 题型1 瞬时变化率 指点迷津 函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或. 例1．（2025·甘肃白银·三模）如果质点按规律（距离单位：m，时间单位：s）运动，则质点在2s末的瞬时速度为（    ） A．8 m/s B．7m/s C．6 m/s D．5 m/s 【相似题1】（24-25高三上·广东广州·阶段练习）一质点A沿直线运动，其位移单位：与时间单位：之间的关系为，则质点A在时的瞬时速度为（   ） A． B． C． D． 【相似题2】（2024高三·全国·专题练习）吹气球时，气球的体积V(单位：L)与半径r(单位：)之间的关系是.当时，气球的瞬时膨胀率为（   ） A． B． C． D． 题型2 利用导数的概念求极限 指点迷津 ⑴在点处的导数： ⑵方法：对所给极限经过添项、拆项等恒等变形与导数对定义结构相同，然后根据导数的定义求解. 例1．（24-25高二下·江苏苏州·阶段练习）已知，的值为（   ） A．4 B．2 C．8 D．16 【相似题1】（24-25高三·上海·随堂练习）若，则（    ）． A．2 B． C． D．1 【相似题2】（24-25高三下·上海·阶段练习）已知，则 . 题型3 在某点处的切线 指点迷津 函数在处的导数的几何意义即为函数在点处的切线的斜率，即. 在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条. 命题点1 求切线的斜率 例1．（2026高三·全国·专题练习）函数的图象如图所示，为函数的导函数，下列数值排序正确的是（   ） A． B． C． D． 例2．（多选）（24-25高二下·四川巴中·阶段练习）点在曲线上，设曲线在点处切线的倾斜角为，则角的取值可能是（   ） A． B． C． D． 【相似题1】（2025·上海浦东新·三模）曲线的图象上有一动点，则在此动点处切线的斜率的取值范围为 . 【相似题2】（24-25高三下·福建泉州·阶段练习）函数的图象在处的切线的倾斜角为 ． 命题点2 求切点坐标或切线的方程 例1．（2025·福建福州·模拟预测）曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【相似题1】（2025·河北·模拟预测）已知函数，则的图象在点处的切线方程是（   ） A． B． C． D． 【相似题2】（2025·四川巴中·三模）已知函数，若函数在点处的切线方程为 . 命题点3 已知切线的斜率求切点坐标或参数 例1.（2025高三·北京·专题练习）已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（    ） A．3 B．2 C．1 D．3或 例2.（2025·吉林长春·模拟预测）若函数在处的切线与直线平行，则实数 . 【相似题1】（2025高三·北京·专题练习）已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（    ） A．3 B．2 C．1 D．3或 【相似题2】（2025高三·全国·专题练习）已知曲线在处的切线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D． 【相似题3】（2025·江苏苏州·模拟预测）已知函数，曲线在点处的切线与直线平行，则实数的值为（    ） A． B． C． D．1 【相似题4】（24-25高三上·福建漳州·阶段练习）若曲线在处的切线恰好与曲线也相切，则 . 【相似题5】（2025·福建厦门·三模）已知曲线在点处的切线与曲线也相切，则 . 命题点4 两切线的垂直 例1．（2025·山西·三模）已知函数的图象上两点，处的切线互相垂直，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【相似题1】（多选）（2026高三·全国·专题练习）（多选）若函数的图象上不存在互相垂直的切线，则a的值可以是（   ） A． B．5 C．1 D．3 【相似题2】（2025高三·全国·专题练习）若曲线和在公共点处的切线互相垂直，则（    ） A．2 B．1 C． D． 题型4 过某点的切线 命题点1 求切点坐标或切线方程 指点迷津 若求曲线过点的切线方程的步骤： ⑴应先设切点坐标为，写出切线方程； ⑵将点代入切线方程，求得的值； ⑶求得切线方程． 另外，要注意切点既在曲线上又在切线上． 例1．（24-25高三下·广东深圳·阶段练习）过点作曲线的切线，切点为，则点的横坐标不可能是（    ） A．2 B． C． D． 例2．（多选）（24-25高二下·河北邢台·阶段练习）过点向曲线作切线，切线方程可能是（    ） A． B． C． D． 【相似题1】（2025·新疆·模拟预测）曲线过点的切线方程为 . 【相似题2】（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知函数，过点作曲线的切线，则此切线的方程为 ． 【相似题3】（2026高三·全国·专题练习）函数的图象上过点的切线方程为 ． 【相似题4】（2024高三·全国·专题练习）已知曲线与过点的直线相切，则的斜率为 ． 命题点2 已知切线所过定点求参数 例1．（2025·海南儋州·模拟预测）若直线是函数的图象的一条切线，则实数k的值为（   ） A．1 B． C．e D． 【相似题1】（多选）（24-25高三上·河北·阶段练习）若直线与曲线相切，则的值可以为（    ） A． B．2 C．4 D．5 命题点3 求切线的条数 指点迷津 若求曲线过点的切线条数的步骤： ⑴应先设切点坐标为，写出切线方程； ⑵将点代入切线方程，得到关于的方程； ⑶方程解的个数即为切线的条数． 例1．（2022·河南洛阳·三模）若过点作曲线的切线，则这样的切线共有（   ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【相似题1】（2025·河南·模拟预测）过原点且与曲线相切的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【相似题2】（24-25高三下·江苏苏州·开学考试）过点作曲线的切线，则切线条数最多为（    ） A． B． C． D． 命题点4 已知切线条数求参数（范围） 例1．（24-25高三上·山西·期末）已知过点作曲线的切线有且仅有1条，则的值为（   ） A．或 B．或 C． D． 例2．（24-25高二下·江西南昌·期中）过点可以做三条直线与曲线相切，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【相似题1】（24-25高三下·河南焦作·阶段练习）过点可作两条直线与的图象相切，则b的值不可能是（   ） A． B．0 C．e D．2e 【相似题2】（2025·安徽·模拟预测）已知点不在函数的图象上，且过点有三条直线与的图象相切，则实数的取值范围为 ． 【相似题3】（2025高三·全国·专题练习）已知过点可作两条直线与曲线相切，则实数 ． 题型5 在公共点处的公切线 指点迷津 解决在公共点处的公切线问题的基本步骤： ⑴设公共点坐标； ⑵求导，分别求出在公共点处切线的斜率； ⑶让两斜率相等，公共点分别在两曲线上列方程组. 例1．（2025·云南·模拟预测）若存在，函数与的图象在公共点处的切线相同，则b的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 【相似题】（2026高三·全国·专题练习）若曲线和曲线存在有公共切点的公切线，则 ． 题型6 不在公共点处的公切线问题 指点迷津 解决不在公共点处的公切线问题的一种基本： ⑴分别设出两切线的切点坐标； ⑵求导得到切线的斜率，写出两条切线方程； ⑶让两切线方程的斜率和截距分别相等，得到一个关于切点坐标的方程组. 命题点1 求公切线方程 例1．（24-25高二下·江苏盐城·期末）已知直线为曲线与的公共切线，则直线的方程可以为（    ） A． B． C． D． 【相似题】（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）若直线是曲线与的公切线，则直线的方程为 . 命题点2 已知公切线求参数 例1.（2025·湖南·三模）若直线（k为常数）是曲线和曲线的公切线，则实数a的值为（    ） A． B． C．1 D．e 【相似题1】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）设，若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 ． 【相似题2】（24-25高三上·福建泉州·期末）已知曲线与的公切线为，则实数 . 命题点3 公切线存在求参数（范围） 指点迷津 两曲线存在公切线求参数的取值范围的解题思路： 由两切线为同一直线得到方程组，然后消去和中的一个，转化为方程在特定区间上有解问题，再分离常数转化为相应函数的值域问题，其中要注意自变量的取值范围. 例1．（2025·河南南阳·三模）已知函数与存在公切线，则实数的最小值为（   ） A． B． C． D． 【相似题1】（多选）（2025·辽宁沈阳·模拟预测）若两曲线与存在公切线，则正实数的取值可能是（ ） A． B． C． D． 题型7 距离最值转化问题 指点迷津 ⑴核心思想：将曲线上的点到直线的距离最小值问题转化为导数的几何意义（切线斜率）与平行线距离的结合. ⑵步骤： ①求曲线导数，找到与已知直线斜率相同的切线； ②该切点到直线的距离即为最小距离. 例1．（23-24高二下·河南南阳·阶段练习）点P是曲线上一个动点，则点P到直线的距离的最小值是（    ） A． B． C． D． 【相似题1】（23-24高二下·山东枣庄·期中）若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（   ） A．1 B． C． D． 【相似题2】（23-24高二下·广东惠州·阶段练习）已知点在函数的图象上，则到直线的距离的最小值为 ． 题型8 导数的运算 指点迷津 ⑴熟记，； ⑵复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元. 命题点1 导数的加减乘除运算法则 例1．（24-25高二下·天津红桥·阶段练习）已知函数 则 在处的切线方程为 （    ） A． B． C． D． 例2．（24-25高三下·重庆·阶段练习）在处的切线方程为 ． 【相似题1】（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）若曲线上点P的切线平行于直线，则点P的坐标是 . 【相似题2】（2025·山东泰安·模拟预测）曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 . 【相似题3】（24-25高二下·山东潍坊·期中）已知函数，则（   ） A． B． C．1 D．2 【相似题4】（2026高三·全国·专题练习）已知，则（   ） A．1 B． C． D． 命题点2 复合函数的导数 例1．（2025·四川·三模）已知直线是曲线的一条切线，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【相似题1】（2025·河北·模拟预测）已知函数，则在处的切线方程为 ． 【相似题2】（2025高三·全国·专题练习）若曲线在点处的切线斜率为3，则a的值为（    ） A．1 B．2 C．1或2 D．1或 【相似题3】（24-25高三下·海南海口·阶段练习）函数在时的瞬时变化率是（    ） A． B． C．0 D．1 【相似题4】（2025·江苏盐城·三模）若，则（    ） A．0 B．2 C．－2 D．－4 限时作业 （建议用时45分钟） 一、单选题 1．（2025高三·全国·专题练习）在下列函数中，导函数值不可能取到1的是（ ） A． B． C． D． 2（24-25高三上·上海·阶段练习）已知是定义在上的可导函数，若，则（    ） A． B． C．1 D． 3．（22-23高三下·重庆南岸·阶段练习）有一机器人的运动方程为（t是时间，单位:；s是位移，单位:），则该机器人在时的瞬时速度为（     ） A． B． C． D．1 4．（2025·甘肃兰州·一模）若函数（e为自然对数的底）的一条切线与x轴平行，则切点的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·河南·模拟预测）已知曲线的一条切线的方程为，则实数（    ） A．0 B．1 C．-1 D． 6．（2025·湖北武汉·三模）已知函数，直线是曲线的切线，如果切线与曲线有且只有一个公共点，那么这样的直线有（   ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 7．（2025高三·全国·专题练习）若是函数的导函数，，则（ ） A． B． C． D． 8．（2025·湖北武汉·模拟预测）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高二下·辽宁大连·期中）已知函数，其导函数记为，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 二、多选题 10．（23-24高三上·河北·期末）过点与函数相切的直线为（    ） A． B． C． D． 11.（24-25高三上·河北邢台·期末）若过点恰好可作曲线的两条切线，则的值可以为（   ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（2025·山东泰安·模拟预测）函数在处的切线方程为 . 13．（2025·安徽合肥·模拟预测）曲线在处的切线与直线平行，则 ． 14．（2024高二·全国·专题练习）已知直线l为曲线过点的切线．则直线l的方程为 ． 15．（2025·河南郑州·三模）若直线为曲线的一条切线，则的最小值为 ． 四、解答题 16．（2025高三·北京·专题练习）设函数，曲线在点处的切线方程为，求，的值． 17．（2025高三·北京·专题练习）已知函数.若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线， 求的值. 真题呈现 1．（2025年全国Ⅰ卷）若直线是曲线的切线，则 . 2．（2025年全国Ⅰ卷）设数列满足， (1)证明：为等差数列； (2)设，求． 3．（2025年全国Ⅱ卷）若是函数的极值点，则 4．（2024年新高考全国Ⅰ卷）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 . 5．（2024年全国甲卷）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 6．（2022年新高考全国Ⅰ卷高考真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ． 7．（2022年新高考全国Ⅱ卷高考真题）曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ， ． 8．（2021年全国新高考Ⅰ卷高考真题）若过点可以作曲线的两条切线，则（    ） A． B． C． D． 9．（2021年全国甲卷（理）高考真题）曲线在点处的切线方程为 ． 10．（2021年新高考全国Ⅱ卷高考真题）已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 一元函数的导数及其应用 第01讲 导数的概念及其意义、导数的运算 目录： 01考情分析（五年真题（2025年--2021年）考点分布）……………………2 02 题型突围 精准提分 …………………………………………………………2 题型1 平均变化率瞬时速度……………………………………………………2 题型2 利用导数的概念求极限…………………………………………………3 题型3 在某点处的切线…………………………………………………………4 命题点1 求切线的斜率 ……………………………………………………………………4 命题点2 求切线方程（重）…………………………………………………………………6 命题点3 已知切线的斜率求参数（重）……………………………………………………7 命题点4 两切线的垂直 ……………………………………………………………………10 题型4 过某点的切线（重）……………………………………………………11 命题点1 求切线方程 ………………………………………………………………………11 命题点2 已知切线所过定点求参数 （重）………………………………………………14 命题点3 求切线的条数（重） ……………………………………………………………15 命题点4 已知切线条数求参数（范围）（重）……………………………………………17 题型5 在公共点处的公切线……………………………………………………20 题型6 没有公共点的公切线（难）……………………………………………21 命题点1 求公切线方程…………………………………………………………………22 命题点2 已知公切线求参数（难） …………………………………………………23 命题点3 存在公切线求参数的取值范围（难）……………………………………25 题型7 距离最值转化问题………………………………………………………27 题型8 导数的运算………………………………………………………………28 命题点1 导数的加减乘除运算法则 …………………………………………………28 命题点2 复合函数的导数（易错） …………………………………………………30 03 限时作业 查漏补缺 …………………………………………………………32 04 真题呈现 把握考情 …………………………………………………………38 考情分析 考题示例 考点分析 考情分析 2025年全国Ⅰ卷 已知切线（斜率）求参数、导数的加减法（填空题） 从近几年的高考可以看出，本节主要以考查导数的几何意义和导数的运算为主，体现在以下方面： 1. 已知切线（斜率）求参数； 2. 在某点处求切线方程； 3. 过点做切线的切线条数 4. 过点做切线求切线方程； 5. 导数的运算. 另外，导数题目常常与其它知识点结合，如解析几何、数列等，形成跨模块的综合考查. 如2025年全国Ⅰ卷的解答题第16题，导数的运算与数列结合进行综合考查. 2025年全国Ⅰ卷 导数的运算（解答题） 2025年全国Ⅱ卷 导数的运算法则、根据极值点求参数 2024年全国Ⅰ卷 公切线问题 2024年全国甲卷 在某点处求切线方程 2022年全国Ⅰ卷 过点做切线的切线条数 2022年全国Ⅱ卷 过点做切线求切线方程 2021年全国Ⅰ卷 过点做切线的切线条数 2021年全国Ⅱ卷 求切线的斜率 2021年全国甲卷（理） 在某点处求切线方程； 题型突围 题型1 瞬时变化率 指点迷津 函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或. 例1．（2025·甘肃白银·三模）如果质点按规律（距离单位：m，时间单位：s）运动，则质点在2s末的瞬时速度为（    ） A．8 m/s B．7m/s C．6 m/s D．5 m/s 【答案】B 【详解】， 则质点在2s末的瞬时速度为7m/s. 故选：B 【相似题1】（24-25高三上·广东广州·阶段练习）一质点A沿直线运动，其位移单位：与时间单位：之间的关系为，则质点A在时的瞬时速度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以时，， 即质点A在时的瞬时速度为. 故选：C 【相似题2】（2024高三·全国·专题练习）吹气球时，气球的体积V(单位：L)与半径r(单位：)之间的关系是.当时，气球的瞬时膨胀率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，所以， 当时，. 故选：A. 题型2 利用导数的概念求极限 指点迷津 ⑴在点处的导数： ⑵方法：对所给极限经过添项、拆项等恒等变形与导数对定义结构相同，然后根据导数的定义求解. 例1．（24-25高二下·江苏苏州·阶段练习）已知，的值为（   ） A．4 B．2 C．8 D．16 【答案】C 【详解】因为， 则. 故选：C. 【相似题1】（24-25高三·上海·随堂练习）若，则（    ）． A．2 B． C． D．1 【答案】C 【详解】因为， 所以. 故选：C． 【相似题2】（24-25高三下·上海·阶段练习）已知，则 . 【答案】 【详解】由 ， 因为，所以. 故答案为：. 题型3 在某点处的切线 指点迷津 函数在处的导数的几何意义即为函数在点处的切线的斜率，即. 在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条. 命题点1 求切线的斜率 例1．（2026高三·全国·专题练习）函数的图象如图所示，为函数的导函数，下列数值排序正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 如图过点A作切线，斜率设为，过点B作切线，斜率设为，连接，得到直线，斜率设为，由图可知，. 又根据导数的几何意义以及斜率的定义可知， ，， 所以. 故选：B． 例2．（多选）（24-25高二下·四川巴中·阶段练习）点在曲线上，设曲线在点处切线的倾斜角为，则角的取值可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】因为， 所以，设切点的坐标为，则， 则曲线在点处切线的斜率为， 所以，又，切线斜率存在，故， 则. 故选：ABD. 【相似题1】（2025·上海浦东新·三模）曲线的图象上有一动点，则在此动点处切线的斜率的取值范围为 . 【答案】 【详解】，根据导数的几何意义可知，切线的斜率的取值范围为. 故答案为： 【相似题2】（24-25高三下·福建泉州·阶段练习）函数的图象在处的切线的倾斜角为 ． 【答案】0（或） 【详解】，则的切线的斜率， 所以在的切线的倾斜角为0. 故答案为：0（或）. 命题点2 求切点坐标或切线的方程 例1．（2025·福建福州·模拟预测）曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由已知， 则， 即切线斜率， 又， 所以切线方程为， 即， 故选：D. 【相似题1】（2025·河北·模拟预测）已知函数，则的图象在点处的切线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对求导：. 将代入中，可得切线的斜率. 已知切线过点，斜率为，根据点斜式方程，可得切线方程为. 将其化简为一般式： ， 的图象在点处的切线方程是. 故选：D. 【相似题2】（2025·四川巴中·三模）已知函数，若函数在点处的切线方程为 . 【答案】 【详解】求导得，则，又， 所以切线方程为，整理得. 故答案为： 命题点3 已知切线的斜率求切点坐标或参数 例1.（2025高三·北京·专题练习）已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（    ） A．3 B．2 C．1 D．3或 【答案】A 【详解】函数的定义域为， 由题得（）. 设切点的横坐标为，则，解得或（舍去）. 故选：A. 例2.（2025·吉林长春·模拟预测）若函数在处的切线与直线平行，则实数 . 【答案】1 【详解】因为，所以， 依题意可得，即，解得. 故答案为：1. 【相似题1】（2025高三·北京·专题练习）已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（    ） A．3 B．2 C．1 D．3或 【答案】A 【详解】函数的定义域为， 由题得（）. 设切点的横坐标为，则，解得或（舍去）. 故选：A. 【相似题2】（2025高三·全国·专题练习）已知曲线在处的切线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，求导得， 即，即曲线在处的切线斜率为． 又曲线的切线与直线垂直， 可得，所以， 解得． 故选：C 【相似题3】（2025·江苏苏州·模拟预测）已知函数，曲线在点处的切线与直线平行，则实数的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】由可得， 则， 因为曲线在点处的切线与直线平行， 且直线的斜率为，即，解得. 故选：A 【相似题4】（24-25高三上·福建漳州·阶段练习）若曲线在处的切线恰好与曲线也相切，则 . 【答案】 【详解】设，，则，， 所以曲线在处的切线方程为，即， 设，切点为，， 所以，得，，. 故答案为： 【相似题5】（2025·福建厦门·三模）已知曲线在点处的切线与曲线也相切，则 . 【答案】 【详解】由，求导可得，切线斜率，切线方程为， 由，求导可得，令，解得， 将代入，可得，将代入， 可得，解得. 故答案为：. 命题点4 两切线的垂直 例1．（2025·山西·三模）已知函数的图象上两点，处的切线互相垂直，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，，， 根据题意，则有， 当时，显然不成立， 所以，若，，不满足题意； 若，则恒成立，解得. 故选：B． 【相似题1】（多选）（2026高三·全国·专题练习）（多选）若函数的图象上不存在互相垂直的切线，则a的值可以是（   ） A． B．5 C．1 D．3 【答案】AC 【详解】函数的定义域为， 求导得， 当且仅当，即时取等号，由函数的图象上不存在互相垂直的切线， 得的值不可能为负数，则，即，解得， 所以a的值可以是和1. 故选：AC 【相似题2】（2025高三·全国·专题练习）若曲线和在公共点处的切线互相垂直，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【详解】由函数和，可得，， 设两曲线公共点的横坐标为，可得，， 因为公共点处的切线互相垂直，可得，即，解得， 又由，可得，解得. 故选：C. 题型4 过某点的切线 命题点1 求切点坐标或切线方程 指点迷津 若求曲线过点的切线方程的步骤： ⑴应先设切点坐标为，写出切线方程； ⑵将点代入切线方程，求得的值； ⑶求得切线方程． 另外，要注意切点既在曲线上又在切线上． 例1．（24-25高三下·广东深圳·阶段练习）过点作曲线的切线，切点为，则点的横坐标不可能是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【详解】设切点为，而切线也过点， 由斜率公式得， 因为，所以， 由导数的几何意义得， 故成立，化简得， 得到，即， 显然是方程的根，则方程可化为， 解得或，而原方程最多有三个根， 则不可能是原方程的根，即点的横坐标不可能是. 故选：B 例2．（多选）（24-25高二下·河北邢台·阶段练习）过点向曲线作切线，切线方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】令，则，设切点为， 则切线方程为， 将点代入，整理得， 即，解得或， 当时，切线方程为；当时，切线方程为． 故答案为：AC. 【相似题1】（2025·新疆·模拟预测）曲线过点的切线方程为 . 【答案】 【详解】设切点为，则， 故切线方程为， 将代入可得，解得， 故切线方程为，即， 故答案为： 【相似题2】（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知函数，过点作曲线的切线，则此切线的方程为 ． 【答案】或 【详解】因为， 当点P为切点时，则切线的斜率为， 所以所求切线方程为，即； 当P点不为切点时，设切点坐标为， 切线的斜率为， 则切线方程为， 因为切线过点，且， 所以， 整理，得，解得或1（舍去）， 则， 所以切点坐标为，切线的斜率为， 所以切线方程为，即， 所以所求切线的方程为或或． 故答案为：或． 【相似题3】（2026高三·全国·专题练习）函数的图象上过点的切线方程为 ． 【答案】或 【详解】由得．设切点为，则， 所以切线的方程为， 又切线过点，所以， 又，得，所以或， 当时，切线方程为，当时，切线方程为． 故答案为：或 【相似题4】（2024高三·全国·专题练习）已知曲线与过点的直线相切，则的斜率为 ． 【答案】 【详解】设切点为，因为，则， 则切线方程为， 将点代入，得， 化简得，即， 令，则恒成立， 所以在区间上单调递增，又时，， 所以的解为，所以切线的斜率为. 故答案为：. 命题点2 已知切线所过定点求参数 例1．（2025·海南儋州·模拟预测）若直线是函数的图象的一条切线，则实数k的值为（   ） A．1 B． C．e D． 【答案】A 【详解】，， 设切点坐标为，则， 消去k，得，所以. 故选：A 【相似题1】（多选）（24-25高三上·河北·阶段练习）若直线与曲线相切，则的值可以为（    ） A． B．2 C．4 D．5 【答案】AD 【详解】函数，求导得， 设直线与曲线相切的切点为， 则曲线在点处的切线方程为， 依题意，，解得或， 所以的值可以为或5. 故选：AD 命题点3 求切线的条数 指点迷津 若求曲线过点的切线条数的步骤： ⑴应先设切点坐标为，写出切线方程； ⑵将点代入切线方程，得到关于的方程； ⑶方程解的个数即为切线的条数． 例1．（2022·河南洛阳·三模）若过点作曲线的切线，则这样的切线共有（   ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【答案】C 【详解】设切点为，由，所以，得， 所以切线方程为，即． 因为切线过点，所以，解得或， 所以过点作曲线的切线可以作2条. 故选：C 【相似题1】（2025·河南·模拟预测）过原点且与曲线相切的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【详解】设切点，因为曲线，所以， 所以，所以， 所以或， 当时，所以，所以切线方程为，即； 当时，所以，所以切线方程为，即； 当时，所以，所以切线方程为，即； 所以切线有3条. 故选：C. 【相似题2】（24-25高三下·江苏苏州·开学考试）过点作曲线的切线，则切线条数最多为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设切点为，则， 又，所以切线斜率为， 又切线过点，所以，整理并化简得， 令，则， 令，则， 易知时，，时，， 则在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以在区间上恒成立， 所以在区间上单调递增，又，， 所以存在唯一，使，所以切线只有一条， 故选：B. 命题点4 已知切线条数求参数（范围） 例1．（24-25高三上·山西·期末）已知过点作曲线的切线有且仅有1条，则的值为（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【详解】设切点为，由已知得，则切线斜率， 所以切线方程为， 因为直线过点，则， 化简得， 又因为切线有且仅有1条，即，解得或2， 故选：A 例2．（24-25高二下·江西南昌·期中）过点可以做三条直线与曲线相切，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 设过点的切线切曲线于点， 则切线方程为，又其过点， 所以，所以根据题意可得该关于的方程有3解， 即方程有3解， 所以与有3个交点， 设，则， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以的极小值为，的极大值为， 且时，；时，， 所以要使与有3个交点，则需． 故选：A 【相似题1】（24-25高三下·河南焦作·阶段练习）过点可作两条直线与的图象相切，则b的值不可能是（   ） A． B．0 C．e D．2e 【答案】D 【详解】因为，所以， 设切点为，则切线斜率， 整理得，设， 问题转化为直线与的图象有2个交点，因为， 令，解得或，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， ，，且时，时，， 所以或， 故选：D. 【相似题2】（2025·安徽·模拟预测）已知点不在函数的图象上，且过点有三条直线与的图象相切，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】点不在函数的图象上，则，即， 设过点的直线与的图象相切于， 则切线的斜率，整理可得， 则问题可转化为有三个零点， 且，令，可得或， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 即当时，有极大值，当时，有极小值， 要使有三个零点， 则，即，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 【相似题3】（2025高三·全国·专题练习）已知过点可作两条直线与曲线相切，则实数 ． 【答案】1或 【详解】设切点，由，则点处的切线方程为． 将点代入上式，得，即． 设，则． 令，解得或1． 当或时，，单调递减；当时，，单调递增. 所以当时，取极小值；当时，取极大值． 所以当过点可作两条直线与曲线相切时，或． 故答案为：1或 题型5 在公共点处的公切线 指点迷津 解决在公共点处的公切线问题的基本步骤： ⑴设公共点坐标； ⑵求导，分别求出在公共点处切线的斜率； ⑶让两斜率相等，公共点分别在两曲线上列方程组. 例1．（2025·云南·模拟预测）若存在，函数与的图象在公共点处的切线相同，则b的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【详解】由题意有：设切点为， 所以，所以，解得，， 令，所以， 令有，由有，有， 所以在单调递增，在单调递减， 所以，所以，故b的最大值为1. 故选：A. 【相似题】（2026高三·全国·专题练习）若曲线和曲线存在有公共切点的公切线，则 ． 【答案】 【详解】由已知可得，，定义域为 则有． 设公共切点的坐标为，则，， ，． 根据题意，有. 由可得，，解得（舍去）或. 由可得， 代入可得，. 故答案为：. 题型6 不在公共点处的公切线问题 指点迷津 解决不在公共点处的公切线问题的一种基本： ⑴分别设出两切线的切点坐标； ⑵求导得到切线的斜率，写出两条切线方程； ⑶让两切线方程的斜率和截距分别相等，得到一个关于切点坐标的方程组. 命题点1 求公切线方程 例1．（24-25高二下·江苏盐城·期末）已知直线为曲线与的公共切线，则直线的方程可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设直线与曲线的切点坐标为，直线与曲线的切点坐标为， 直线方程为， ，，直线的方程为， 又，直线的方程化简为， ，，直线的方程为， 又，直线的方程化简为， 直线为曲线与的公共切线， ①，②， 由①得，两边取对数得，，， 代入②中得，，即， 解得或， 当时，，，直线的方程为； 当时，，，直线的方程为； 根据选项可知直线的方程可以为. 故选：C. 【相似题】（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）若直线是曲线与的公切线，则直线的方程为 . 【答案】 【详解】求导：导数；导数. 设切点写切线方程： 设与切点，切线方程. 设与切点，切线方程. 列方程组求解：由公切线性质得. 由得，代入另一式解得，. 求直线方程：把代入，得. 故答案为：. 命题点2 已知公切线求参数 例1.（2025·湖南·三模）若直线（k为常数）是曲线和曲线的公切线，则实数a的值为（    ） A． B． C．1 D．e 【答案】B 【分析】解法一：先对求导得，设与直线切点为，写出切线方程，根据直线得到关于和的方程组，求出. 再对求导，设其与直线切点为，根据导数等于切线斜率以及切点在切线上列方程，求出. 解法二：设两条曲线的切点分别为，，分别根据切点在曲线上、在切线上以及切线斜率列出方程组，求解得到，，再同理求出，进而得到. 【详解】解法一：令，，则， 设直线与的切点为， 则切线方程为，即， 又因为，所以，解得，，所以切线方程为， 令，则， 设直线与的切点为，所以  ①， 又因为切点在直线上，所以，即  ②， 由①和②可得，所以，解得． 解法二：设切点分别为，， ．∴，． 同理．∴，∴，∴． 故选：B． 【相似题1】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）设，若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 ． 【答案】/0.5 【详解】因为，所以. 所以曲线在点的切线方程为：. 因为，设曲线与该切线的切点为. 所以，所以，即. 又， 所以. 故答案为：. 【相似题2】（24-25高三上·福建泉州·期末）已知曲线与的公切线为，则实数 . 【答案】2 【详解】由函数，可得， 设切点坐标为，可得，则切线方程为， 即，与公切线重合，可得， 可得，所以切线方程为， 对于函数，可得，设切点为，则 则 ，解得. 故答案为：2 命题点3 公切线存在求参数（范围） 指点迷津 两曲线存在公切线求参数的取值范围的解题思路： 由两切线为同一直线得到方程组，然后消去和中的一个，转化为方程在特定区间上有解问题，再分离常数转化为相应函数的值域问题，其中要注意自变量的取值范围. 例1．（2025·河南南阳·三模）已知函数与存在公切线，则实数的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设公切线与函数及函数的切点分别为，，且，， 故两切线方程为，， 即，， 与存在公切线，所以有解，消去后得：， 令，， 易得在上单调递增，且时，；时，， 故在区间上递减，在上递增． 所以，的最小值为，即的最小值为，即实数的最小值为． 故选：B． 【相似题1】（多选）（2025·辽宁沈阳·模拟预测）若两曲线与存在公切线，则正实数的取值可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】设切线与两曲线与的切点分别为，， 由，得，由，得， 则两切线方程分别为与， 化简得， 又两条切线为同一条，可得，得， 令，得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， ，∴ 所以实数的取值可能是1，，． 故选：ABD. 题型7 距离最值转化问题 指点迷津 ⑴核心思想：将曲线上的点到直线的距离最小值问题转化为导数的几何意义（切线斜率）与平行线距离的结合. ⑵步骤： ①求曲线导数，找到与已知直线斜率相同的切线； ②该切点到直线的距离即为最小距离. 例1．（23-24高二下·河南南阳·阶段练习）点P是曲线上一个动点，则点P到直线的距离的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为的定义域为，且， 令，解得， 则，可得点， 且点到直线的距离， 所以点P到直线的距离的最小值是. 故选：A. 【相似题1】（23-24高二下·山东枣庄·期中）若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】直线的斜率，函数定义域为， 点是曲线上任意一点，设，由， 令，解得或（舍去）， ，此时，∴曲线上与直线平行的切线的切点为， 所以曲线上点到直线的最小距离， 为点到直线的距离. 故选：C. 【相似题2】（23-24高二下·广东惠州·阶段练习）已知点在函数的图象上，则到直线的距离的最小值为 ． 【答案】 【详解】由，可得， 又点在曲线上，设， 则过点和平行的切线的斜率为3， 令，则， ， 点与直线的最小距离为． 故答案为：． 题型8 导数的运算 指点迷津 ⑴熟记，； ⑵复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元. 命题点1 导数的加减乘除运算法则 例1．（24-25高二下·天津红桥·阶段练习）已知函数 则 在处的切线方程为 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令， 则，， 所以在处的切线方程为， 即. 故选：A. 例2．（24-25高三下·重庆·阶段练习）在处的切线方程为 ． 【答案】 【详解】对函数求导得：， 则，因为切线过点， 故切线方程为． 故答案为：. 【相似题1】（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）若曲线上点P的切线平行于直线，则点P的坐标是 . 【答案】 【详解】设，则， 又由题， 因为函数单调递减，且， 所以，所以，所以 故答案为：. 【相似题2】（2025·山东泰安·模拟预测）曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 . 【答案】 【详解】对函数求导得，故所求切线斜率为，切点坐标为， 所以，曲线在处的切线方程为， 该切线交轴于点，交轴于点， 因此，曲线在处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为. 故答案为：. 【相似题3】（24-25高二下·山东潍坊·期中）已知函数，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【详解】因为，则，解得. 故选：D 【相似题4】（2026高三·全国·专题练习）已知，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【详解】，， ． 故选：A 命题点2 复合函数的导数 例1．（2025·四川·三模）已知直线是曲线的一条切线，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【详解】设，， 设切点为，根据切线斜率为1，则， 解得，则，则切点坐标为，则，解得. 故选：C. 【相似题1】（2025·河北·模拟预测）已知函数，则在处的切线方程为 ． 【答案】 【详解】，且，则， 则切线方程为，即为．. 故答案为：. 【相似题2】（2025高三·全国·专题练习）若曲线在点处的切线斜率为3，则a的值为（    ） A．1 B．2 C．1或2 D．1或 【答案】D 【详解】，当时，，解得：或. 故选：D 【相似题3】（24-25高三下·海南海口·阶段练习）函数在时的瞬时变化率是（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【详解】， 令，可得， 解得， 故选：A 【相似题4】（2025·江苏盐城·三模）若，则（    ） A．0 B．2 C．－2 D．－4 【答案】C 【详解】因为，所以， 所以， 则. 故选：C. 限时作业 一、单选题 1．（2025高三·全国·专题练习）在下列函数中，导函数值不可能取到1的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，，令，得，即A选项导函数值可以取到1； 对于B，，令，得，， 即B选项导函数值可以取到1； 对于C，，令 ，得， 由于，所以，即C选项导函数值可以取到1；      对于D，，令，则， 不存在使其成立，即D选项导函数值不可能取到1. 故选：D. 2（24-25高三上·上海·阶段练习）已知是定义在上的可导函数，若，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【详解】由导数的定义，. 故选：C. 3．（22-23高三下·重庆南岸·阶段练习）有一机器人的运动方程为（t是时间，单位:；s是位移，单位:），则该机器人在时的瞬时速度为（     ） A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】，则， 所以. 故选：A． 4．（2025·甘肃兰州·一模）若函数（e为自然对数的底）的一条切线与x轴平行，则切点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设切点坐标为，函数，所以， 因为切线与x轴平行，所以，解得，，故切点坐标为 故选：B 5．（2025·河南·模拟预测）已知曲线的一条切线的方程为，则实数（    ） A．0 B．1 C．-1 D． 【答案】B 【详解】与的图象相切，设切点为， 则，故， 由，即，将代入上式，得，故. 故选：B. 6．（2025·湖北武汉·三模）已知函数，直线是曲线的切线，如果切线与曲线有且只有一个公共点，那么这样的直线有（   ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【答案】B 【详解】函数，对其求导得. 设切点为，则切线斜率为 又， 所以切线方程为， 化简得. 将切线方程和曲线方程联立得： 整理得， 因式分解得， 解得或， 因为切线与曲线有且只有一个公共点， 所以，解得， 此时切线方程为，对应唯一一条满足条件的直线， 故选：B. 7．（2025高三·全国·专题练习）若是函数的导函数，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对求导，得， 令，得，所以． 在中，令，得， 联立，解得， 所以，得，故， 所以． 故选：C． 8．（2025·湖北武汉·模拟预测）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】求导得：，则， 又因为，所以曲线在点处的切线方程为， 则与轴相交于点，与轴相交于点， 所以与两坐标轴所围成的三角形的面积为， 故选：C. 9．（24-25高二下·辽宁大连·期中）已知函数，其导函数记为，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【详解】因为， 令，则， 又因为，所以函数为奇函数， 所以，所以； 因为，所以，即， 又，所以，所以， 所以． 故选：D 二、多选题 10．（23-24高三上·河北·期末）过点与函数相切的直线为（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】因为，所以； 若A点是切点，则， 则切线方程为，即，故C正确； 若A点不是切点，设切点，则B处切线斜率为， 又因为直线AB的斜率为， 则，， 化简可得，所以或（舍去，此时重合）， 所以点B为，故切线斜率为， 则切线方程为，即，故D正确． 故选：CD． 11.（24-25高三上·河北邢台·期末）若过点恰好可作曲线的两条切线，则的值可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】令，则， 设切点为，所以切线方程为，切线过点， 代入得，即方程有两个解， 则，解得或. 故选：BCD. 三、填空题 12．（2025·山东泰安·模拟预测）函数在处的切线方程为 . 【答案】 【详解】，当时，切线的斜率，， 所以切线方程为，即. 故答案为：. 13．（2025·安徽合肥·模拟预测）曲线在处的切线与直线平行，则 ． 【答案】1 【详解】函数的定义域为，由已知，故， 函数的导函数，所以， 因为函数在处的切线与直线平行， 所以，所以，经验证，此时满足题意． 故答案为：1 14．（2024高二·全国·专题练习）已知直线l为曲线过点的切线．则直线l的方程为 ． 【答案】或 【详解】∵，∴. 设直线与曲线相切于点，则直线的斜率为， ∴过点的切线方程为， 即，又点在切线上， ∴，整理得， ∴， 解得或； ∴所求的切线方程为或. 故答案为：或. 15．（2025·河南郑州·三模）若直线为曲线的一条切线，则的最小值为 ． 【答案】-1 【详解】对函数求导得：. 因为直线为曲线的一条切线， 设切点为，令，即①. 又②，用①除以②得：. 所以. 所以,所以. 设，则求导得. 当时，，所以，此时在上单调递增； 当时，，所以，此时在上单调递减. 所以，所以的最小值为-1. 故答案为：-1. 四、解答题 16．（2025高三·北京·专题练习）设函数，曲线在点处的切线方程为，求，的值． 【答案】， 【详解】因为，所以． 依题设，即. 解得． 17．（2025高三·北京·专题练习）已知函数.若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线， 求的值. 【答案】， 【详解】函数，求导得，， 则，， 由曲线与曲线在交点处具有公共切线，得， 又，即，解得， 所以，. 真题呈现 1．（2025年全国Ⅰ卷）若直线是曲线的切线，则 . 【答案】 【详解】法一：对于，其导数为， 因为直线是曲线的切线，直线的斜率为2， 令，即，解得， 将代入切线方程，可得， 所以切点坐标为， 因为切点在曲线上， 所以，即，解得. 故答案为：. 法二：对于，其导数为， 假设与的切点为， 则，解得. 故答案为：. 2．（2025年全国Ⅰ卷）设数列满足， (1)证明：为等差数列； (2)设，求． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【详解】（1）由题意证明如下，， 在数列中，，， ∴，即， ∴是以为首项，1为公差的等差数列. （2）由题意及（1）得，， 在数列中，首项为3，公差为1， ∴，即， 在中， ， ∴， 当且时， ∴， ∴ ∴ . 3．（2025年全国Ⅱ卷）若是函数的极值点，则 【答案】 【详解】由题意有， 所以， 因为是函数极值点，所以，得， 当时，， 当单调递增，当单调递减， 当单调递增， 所以是函数的极小值点，符合题意； 所以. 故答案为：. 4．（2024年新高考全国Ⅰ卷）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 . 【答案】 【详解】由得，， 故曲线在处的切线方程为； 由得， 设切线与曲线相切的切点为， 由两曲线有公切线得，解得，则切点为， 切线方程为， 根据两切线重合,所以，解得. 故答案为： 5．（2024年全国甲卷）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 则， 即该切线方程为，即， 令，则，令，则， 故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积. 故选：A. 6．（2022年新高考全国Ⅰ卷高考真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】∵，∴， 设切点为,则,切线斜率, 切线方程为：, ∵切线过原点，∴, 整理得：, ∵切线有两条，∴,解得或, ∴的取值范围是, 故答案为： 7．（2022年新高考全国Ⅱ卷高考真题）曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ， ． 【答案】； 【详解】[方法一]：化为分段函数，分段求 分和两种情况，当时设切点为，求出函数导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得； 解： 因为， 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即； 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；故答案为：； [方法二]：根据函数的对称性，数形结合 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即； 因为是偶函数，图象为： 所以当时的切线，只需找到关于y轴的对称直线即可. [方法三]： 因为， 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即； 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即； 故答案为：；. 8．（2021年全国新高考Ⅰ卷高考真题）若过点可以作曲线的两条切线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在曲线上任取一点，对函数求导得， 所以，曲线在点处的切线方程为，即， 由题意可知，点在直线上，可得， 令，则. 当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减， 所以，， 由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则， 当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示：    由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点. 故选：D. 解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知.    故选：D. 9．（2021年全国甲卷（理）高考真题）曲线在点处的切线方程为 ． 【答案】 【详解】由题，当时，，故点在曲线上． 求导得：，所以． 故切线方程为． 故答案为：． 10．（2021年新高考全国Ⅱ卷高考真题）已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是 ． 【答案】 【分析】结合导数的几何意义可得，结合直线方程及两点间距离公式可得，，化简即可得解. 【详解】由题意，，则， 所以点和点，, 所以， 所以， 所以， 同理, 所以. 故答案为： 学科网（北京）股份有限公司 $$