安徽省合肥市第一中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题

高一年级数学学科答案 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合要求的。 1.若复数z满足(1-)（二+）=4，其中i是虚数单位，则z的虚部为() A.i B.1 C.2 D.3i 【解析】B 2.已知向量a=(2,1),b=(m,-1),a//(a-b),则实数=() A.-2 B.3 C.-1 D.6 【解析】A 3.某校为了解同学们对“天宫课堂”这种授课模式的兴趣，决定利用分层抽样的方法从高一、 高二、高三学生中选取90人进行调查，已知该校高一年级学生有400人，高二年级学生有 500人，高一年级学生有600人，则抽取的学生中，高一年级有() A.40人 B.36人 C.30人 D.24人 【解析】D 4.如图，矩形A'B'CD是水平放置的平面四边形ABCD用斜二测画法画出的直观图， y 其中A'B'=2,B'C'=4,则原四边形ABCD的周长为() A.43+8 B.20 C.12 D.8v2 O'B 【解析】B 5.“春雨惊眷清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒，每月两节不变 更，最多相差一两天。”中国农历的二十四节气，凝结若中华民族的智慧，是中国传统文化 的结晶，如八月有立秋、处暑，九月有白露、秋分。现从立秋、处暑、白露、秋分这4个节 气中任选2个节气，则这2个节气至少有一个在八月的概率为() 九子 B. c. n.9 【解析】C 6.△MBC的三内角A,B,C所对边长分别是a,b,c,若nB-sinA-5a+S,则角B sinC a+b 的大小为() 第1页共13页 B. 6 c.号 n普 【解析】在AMBC中，由正弦定理a =2R,可得：si血B=2R,s如A- a sinA sin B sinC sinC= 2R :mB-m4.a+,可得：自-e.2a+ ,整理可得：c2+a2-b=-2ac, sinC a+b a+6 “由余弦定理可得：c0sB.+d-。_互 2ac 2 :Be0,,B=琴、故选：A 7.在正方形ABCD中，已知AB=2a,E是AB的中点，现以DE为折痕将△ADE折起到 △4DE的位置，当三棱锥ADBC的体积最大时，此时三棱锥4朴-DBC外接球的体积为 6 则a=() A司 2-5 B c 解析：由题意，当平面ADE垂直平面DEC时，三棱锥A'-DC的高有最大值， 此时体积最大.：aADE是直角三角形，取斜边DE的中点G,则G为直角三角形 ADE的外心，设等腰三角形DEC的外心为O,连接OG,则直线OG⊥平面ADE, 则OA'=OD=OE=OC,即O为三棱锥ADEC的外接球的球心， 在aDEC中，DC=2a,DE=CE=V5a, A 则cos∠DEC= 5+5-43 25x5号得m∠DC 由正弦定理可知，外接球半径R=2口=3 41 2× J 则其体积为 R==a3 答案为B 6 8.已知△ABC的内切圆圆心为O,半径r=1,且满足 3AO=AB+AC,P是△ABC内切圆上一动点，则BA.BF取值范围是() A.[-3V5+6,3N2+6] B.[-2W5+6,25+6) C.【-65+3,6V2+3] D.[65-2,65+2] 【解析】改编自课本P24页第21愿.答案：B 第2页共13页 由3AO=AB+AC易知0是三角形BC重心，又已知三角形ABC的内切圆圆心为0，所以0 也是三角形ABC内心，则可以证明三角形ABC是等边三角形。 如图，以0为坐标原点，0A所在直线分别y轴，建立平面直角坐标系，则A(0,2),B(-√5，-1)， C(V5,-1),P(cos0,sin0),所以BA=(√5,3)，BP=(cos0+V5,sin0+1), 所以BA.B=(W5,3)-(cos0+V5,sin0+1)=6+25sin(0+309 所以，所以的取值范围是[6-2V5,6+2V5 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9抛掷一枚质地均匀的骰子，观察向上的面的点数，“点数为偶数”记为事件A,“点数大于2” 记为事件B,“点数小于3”记为事件C.下列说法正确的是() A.A与C互斥 B.B与C对立 C.A与B相互独立 D.P(AUB)=P(A)+P(B) 【答案】BC 【详解】事件A=(2,4,6),事件B=(3,4,5,6,事件C=(12), 对于A,事件A、C有公共元素2，可能同时发生，A不正确： 对于B,对立，正确：对于C,P(A)=君=，P(B)=-,P(AB)=君=P(AB)=P(A)P(B), A与B相互独立，C正确：对于D,由选项C知P(AB)≠0，则P(AUB)卡P(A)+P(B),D错误. 10.已知△ABC中，BD=2DC,(BC+24CB=0,A=60°，则下列说法正确的是() 4而=背西+号c B.cosB= BC 第3页共13页 c.cosc= D.AC在AB上的投影向量为二AB 14 【解析】BC 解析：A显然正确，延长AC至E,连接BE,则AB⊥BE,不妨设AC=1,则EC=2, A=60,8=0A8=5=} 由余弦定理得BC=万-cosB= 2AC B D 所以B正确，同理C也正确， ∠ACF=∠E=30°，所以AC在B上的投影向量=}花，D错误. 11.如图，已知正方体ABCD-A,B,C,D,的棱长为2，BD交平面ACD于点H, 则下列说法正确的是( D A.点H是△ACD的重心 B.BH=2HD C.面ACD,截正方体ABCD-AB,CD外接球所得截面的面积为3π D.以顶点A为球心，4为半径作一个球，则球面与正方体的 表面相交所得到的曲线的长等于5V3n 3 【解析】改编自课本PI71第12题。答案：ABD. 因为HA=HC=HD,所以日是△ACD的外心，由于△ACD是等边三角形，所以点B也是 △ACD的重心，则选项A正确： 由A可知：连接D日交AC中点于点乩，则BH:HD=BD:DM=2:I,B正确 易得面4CD,与正方体，BCD-48CA外接球的球心0之间的距腐d= 故其截外接球 3 所得圆的半径为r=VR:-_2 ,心，其圆的面积为，，故C错误。 3 如图，球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点A所在的三个面上， 第4页共13页 即面AABB、面ABCD和面AAD,D上： 另一类在不过顶点A的三个面上，即面BB,CC.面CC,D,D和面AB,CD上.在面AA,BB上， 交线为弧EF且在过球心A的大圆上， 因为A,E 3 -2-25,则44=专同理∠4-号所以∠EF-号做孤8时 的长为45x”25 369 ,而这样的弧共有三条 D 在面BBCC上，交线为弧FG且在一个小圆上，此时，小圆的圆 心为B,半径为BF=4E=2 B 3 ,所以弧FG的长为 25π-3 3Xx2=3 π，这样的弧也有三条.于是，所得的曲线长 3x25+3xB.s, 9 3 3 故D正确.故选：ABD 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.某次期中考试随机抽取了12名同学的数学成绩作为样本，分别是53,59,61,62,67， 75,77,80,82,86,90,93.则这组数据的第75百分位数为 【解析】84 13.已知正四棱台ABCD-AB,CD,的上、下底面边长分别为2,4，体积为286 ,则 3 此四棱台的侧面与下底面所成二面角的正弦值为 【解析】在正四棱台ABCD-A,B,C,D,中，AB,=2,AB=4,令上下底面中心分别为O、 0,连接AO,O,O,AO,如图，则棱台的高为OO,,由 =号2+4+2x4到00-285，解得00=6， DI VABCD-ARC 3 01 G 如图所示：侧面与下底面所成二面角的平面角是∠EFG,其正弦值 sin∠EFG=C-6. FG万7 二，即四棱台的侧面与下底面所成二面角 的正弦值为 7 第5页共13页 14.在圆内接四边形ABCD中，∠DBA-,2BD=√5AB,若4C=2√6，则△BCD的面积最 6 大值为 【分析】根据给定条件，利用正弦定理建立方程，利用两角和的正弦公式展开 得c0s∠ADB=0,进而求得∠ADB=受：设∠B4C=9并结合正弦定理表示出 BC,CD,再利用三角形面积公式，结合二次函数的性质求出最大值， 【详解】在△ABD中，∠DBA=君2BD=5AB, AB BD BD sin∠ADB 由正弦定理得sin∠ADB sin∠BAD sin +∠ADB 所以sin +∠ADB , 6 6 所以V5sin∠ADB=2sinE+∠ADB=cos∠ADB+5 sin LADB,所以cos∠4DB=0, 6 所以∠ADB=于：所以AB是四边形ABCD外接圆直径， ∠4CB=受设∠BAC=0,0<0<号，则 BC=AC tan0=2v6tan0, 在a4CD中，∠C4D=号-A∠ADC=-∠ABC受+8 由正弦定理得 CD Ac sin∠CAD sin ZADC'即 26sin-0)2w6 CD= 3 2cos0-1 ine) s咖r+o cosQ =√6(N54an8) 在△BCD中，∠BCD=元--2红 3=3 所以Sm=片8C-CDsin∠BcD=Y52W6tam0V6W5-an9) =355tam0-iar9)=3V昵-an0号y]s39 当且仅当m9=5时取等号， 所以△BCD面积的最大值为 4 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、正明过程或演算步骤. 15.已知同=l,a5=},(a+列a-6列小-2 (1)求的值：(2)求向量ā-6与ā+6夹角的余弦值. 第6页共13页 【解折】()(a+)(a-)=石-子= 由问1.得1-=分所帆号 (2)因为冰+=+2a6+6=1+2x+分2,5-=-2a.6+6=-2×+分1， 所以a+=万，后-=1，令向量ā-6与a+6的夹角为0， 则cos8 a+6-支， a+b版-6V2x14 即向量ā-石与a+i夹角的余弦值是 4 16.为了解中学生的体育锻炼情况，调查小组在某中学随机抽取了100名学生，统计了他们 某一周的综合体育话动时间（单位：时），并按照[0,2)，2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10)，10,12]将样本 数据分成6组，制成如图所示的频率分布直方图. (1)补全频率分布直方图，并估计该校学生 频率/组距个 0.150 每周综合体育活动时间的中位数与平均数： 0.125 0.100 (2)利用频率估计概率，若从该校随机抽取 0.075 0.050 两名学生，且两名学生的体有活动情况互不影响， 0.025 求这两名学生中至少有一人每周综合体有活动时 0 2 4 681012时间/h 间不低于8小时的概率， 【解析】(1)第五组的频率为1-2×(0.05+0.075+0.10+0.125+0.050)=0.2， 所以该组对应的小矩形高度为，2=0.100，故补 频率/组距 2 0.150 全频率分布直方图如下： 0.125 0.100 设样本数据的中位数为x,平均数为下， 0.075 0.050 因为样本数据在[0,6)的频率为 0.025 2×(0.05+0.075+0.1)=0.45<0.5, 0 24681012时间h 样本数据在[0,8)的频率为2×(0.05+0.075+0.1+0.125)=0.7>0.5， 则x∈(6,8)，所以0.45+0.125×(x-6)=0.5,解得x=6.4, 故估计样本中位数为6.4. x=1×0.1+3×0.15+5×02+7×0.25+9×0.2+11×0.1 =0.1+0.45+1+1.75+1.8+1.1=6.2,故估计样本平均数为6.2. 由样本估计总体，该校学生每周综合体育活动时间的中位数与平均数分别为6.4和6.2. 第7页共13页 (2)由频率分布直方图可估计该校学生每周综合体育话动时间不低于8小时的频率为 (0.1+0.05)×2=0.3 记事件A=“抽取的第1名学生每周综合体有活动时间不低于8小时”，=“抽取的 第2名学生每周综合体育活动时间不低于8小时”，由题意A,A相互独立. 利用频率估计概率，P(4)=P(4)=02+0.1=0.3. 记事件M=“抽取的两名学生中至少有一人每周综合体育活动时间不低于8小时”， 则P(M)=P(44+A4+A月=1-A月=1-(1-0.3)×0-0.3)=0.51 所以抽取的两名学生中至少有一人每周综合体育活动时间不低于8小时的概率为0.51. 17.如图所示，四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，∠ADC=∠DCB=90°，AD=1, BC=3,PC=CD=2,PC⊥底面ABCD,E为AB的中点. (1)求证：平面PDE⊥平面PAC; (2)求直线PC与平面PDE所成的角的正弦值. 解法一：(1)设AC与DE交点为G,延长DE交CB的延 长线于点F, 则△DAE=△FBE,∴.BF=AD=1,∴.CF=4,∴. tan∠F= DC 1 CF=2 :m4C0-2-F:4cD, 又.∠ACD+∠ACF=90°，∴.∠F+∠ACF=90°， ∴.∠CGF=90°，∴.AC⊥DE 又·PC⊥底面ABCD,∴PC⊥DE,DE⊥平面 PAC, ,DEC平面PDE,,.平面PDE⊥平面PAC (提示：可以对底面梯形建立直角坐标系证明 AC⊥DE) (2)连结PG,过点C作CH⊥PG于H点， 则由(1)知平面PDE⊥平面PAC, 且PG是交线，根据面面垂直的性质， 得CH⊥平面PDE,从而∠CPH即 ∠CPG为直线PC与平面PDE所成的角， 在RIADCA中，CG=CD 22 45 V22+125' 第8页共13页 4W5 在RtAPCG中，tan∠CPG=C 5 2W5 PC 25 所以直线PC与平面PDE所成的角的正弦值是 解法二：如图所示，以点C为坐标原点， 直线CD,CB,CP分别为xy,=轴， 建立空间直角坐标系C-y, 则相关点的坐标为C(0,0,0),A(2,1,0) B(0,3,0),P(0,0,2),D(2,0,0),E(1,2,0) (1)由于DE=(-1,2,0),CA=(21,0), B Cp=(0,0,2), 所以DE.CA=(（-1,2,0)(2,l0)=0, DE.CP=(-1,2,0)(0,0,2)=0, 所以DE⊥CA,DE⊥CP, 而CP∩CA=C,所以DE⊥平面PAC,'DEC平面PDE, ∴.平面PDE⊥平面PAC (2)设万=(x,y,)是平面PDE的-个法向量，则nDE=nPE=0, 由于DE=(-1,2,0),PE=(1,2,-2),所以有 n.DE=(x,y,)(←1,2,0)=-x+2y=0 7-PE=(x,y,)-0,2,-2)=x+2y-2:=0' 令x=2,则y=1,:=2,即n=(2,1,2), 再设直线PC与平面PDE所成的角为a,而PC=(0,0,-2), 所以sina=cos<n,PC>h n-PC 1(2,12)(0,0,-2)1-2 1-Pc11(2,1,20,0,-23' 因此直线PC与平面PDE所成的角的正弦值为 23 第9页共13页 18.在△ABC中，设角A,B,C所对的边分别是a,b,C,且满足√3 bsin C+bcosC=a+c. (1)求角B: (2)若b=√5，求△ABC面积的最大值： （3)求ac-ab-6c的取值范围. b 【解析】(1)因为√3 bsinC+bcosC=a+c, 根据正弦定理得：√3 sin BsinC+sin BcosC=sinA+sinC, sin A=sin(B+C)=sin BcosC+cos Bsin C, 可得√5 sin BsinC+sin BcosC=sin BcosC+cos Bsin C+sinC, 即√5 sin BsinC-cosBsinC=sinC,又因为Ce(O,π)，则sinC≠0， 可得5sn8-csB=,整建可得sm0-君) 且8e0)则8-若气若}，可得8-君-君解得8-号 (2)由余弦定理得：6=a2+c2-2 accos B,即3=G2+c2-2acx 可得a2+c2=3+ac≥2ac,解得ac≤3，当且仅当a=c=√5时，等号成立， 所以△MBc的面积为：Suc0smB8-es3华 4 故A4BC面积的最大值为3V 4 (3)根据正弦定理得：c-ab-bc_sin4sinC-sinAsinB--sinB sinc b2 sin B 32 号sn2A-3cos21-cos4-√3sin4+号 令=4+后则24-2x- π 6 21 第10页共13页(考试时间：120分钟满分：150分) 注意事项： 1,答赴前。务必在答冠卡和答题卷妮定的地方填写自己的灶名、准考证号和庄位号后两位。 2冬趸时，每小短这出公案后，用2B0笔把答是卡上对应避目的各策标号涂只。如名改动、用橡皮 擦干净后，耳途涂其他答案标号。 3.题时、必须使旧05多宋的黑色墨水荟字笔在答题卷上书写，要米牛休工整、宅迹清所。作图通 可免用师笔在答慈基规定的位置绘出，身认后再用0.5毫米的尽色圣水荟半笔描清楚。必须在题号 所指示的冬题区城作答，烟出答题区域书写的答案无效，在试墨卷、草稿纸上答晒无效。 4,考试结来，务必持答题卡和答题卷一并上文。 一、单项选择题：本陋共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合要求的， 1.若复数z满足Q-)(z+)=4,其中i是虚数单位，则z的虚部为() A.i B.1 C.2 D.3i 2.已知向量a=(2,1),b=(m,-1),a(a一b),则实数m=() A.-2 B.3 C.-1 D.6 3.某校为了解同学们对”天宫课堂"这种授课模式的兴趣，决定利用分层抽样的方法从高一、高二、·高 三学生中选取90人进行调查，已知该校高一年级学生有400人，高三年级学生有500人，高一年 级学生有600人，則抽取的学生中，高一年级有() A.40人 B.36人 e.30人 D.24人 4.如图，矩形A'BCD是水平放置的平面四边形ABCD用斜二测画法画出的直观图，其中 'B'=2,BC'=4,则原四边形ABCD的周长为（） A.4N5+8 B.20 C.12 D.8N2 /O'B 5.“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒，每月两节不变更，最多 相差一两天。”中国农历的二十四节气，凝结着中华民族的智惹，是中国传统文化的结晶，如八月 有立秋、处暑，九月有白露、秋分.现从立秋、处暑、白露、秋分这4个节气中任选2个节气，则 这2个节气至少有一个在八月的概率为( ) c.g 0 高一数学第1页（共4页) 6.△MBC的三内角A,B,C所对边长分别是a,b,c,若血B-如A=2a+C,则角B的大小 sinC a+b 为() A号 B. 6 c D晋 T.在正方形ABCD中，已知AB=2a,E是AB的中点，现以DE为折痕将△ADE折起到△A'DE 的位置，当三棱锥A-DBC的体积最大时，此时三棱锥ADBC外接球的体积为亏行，则a=( c 8.已知△ABC的内切圆圆心为O,半径r=1,且满足3AO=AB+AC,P是△ABC内切圆上一动 点，则BA.BP取值范围是（) A.[-3W5+6,3N2+6] B.[-2W3+6,2W5+6) C.[-65+3,6W2+3] D.[65-2,65+2] 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题 目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.抛掷一枚质地均匀的骰子，观察向上的面的点数，“点数为偶数”记为事件A,“点数大于2”记 为事件B,“点数小于3”记为事件C.下列说法正确的是() A,A与C互斥 B.B与C对立 C.A与B相互独立 D.P(AUB)=P(A)+P(B) 10.已知△ABC中，BD=2DC,(BC+2ACAB=0,A=60°，则下列说法正确的是(） A.AD=1AB+24C B.cosB= 3 BC C.cosc= 14 D.AC在店上的投影向量为二西 2 11.如图，已知正方体ABCD-AB,CD的棱长为2，BD交平面ACD于点H,则下列说法正确的是 () A.点H是△ACD的重心 B.BH=2HD C.面ACD截正方体ABCD-A,B,CD外接球所得截面的面积为3π Di C D.以顶点A为球心，45为半径作一个球，则球面与正方体的 A H 表面相交所得到的曲线的长等于53x 高一数学第2页（共4页) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.某次期中考试随机抽取了12名同学的数学成绩作为样本，分别是53,59,61,62,67,75,77， 80,82,86,90,93.则这组数据的第75百分位数为 13.已知正四棱台ABCD-AB,CD,的上、下底面边长分别为2,4，体积为286 ,则此四棱台的 3 侧面与下底面所成二面角的正弦值为 14.在圆内接四边形ABCD中，∠DBA=?,2BD=5AB,若AC=2√6，则△BCD的面积最大值 为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.已知同=l,a.6=4,(a+6)a-6列=号 (1)求的值：(2)求向量a-6与a+6夹角的余弦值. 16.为了解中学生的体育锻炼情况，调查小组在某中学随机抽取了100名学生，.统计了他们某一周的 综合体育活动时间（单位：时），并按照[0,2)，[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10)，10,12]将样本数据分成6组， 制成如图所示的频率分布直方图。 (1)补全频率分布直方图，并估计该校学生每周综合体育活动时间的中位数与平均数： (2)利用频率估计概率，若从该校随机抽取两名学生，且两名学生的体育活动情况互不影响，求 这两名学生中至少有一人每周综合体育活动时间不低于8小时的概率. 频率/组距卧 0.150 0.125 0.100… 0.075 0.050 0.025… 可24681012时间/h 高一数学第3页（共4页) 17.如图所示，四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，∠ADC=∠DCB=90°，AD=1,BC=3, PC=CD=2,PC⊥底面ABCD,E为AB的中点. (1)求证：平面PDE⊥平面PAC: (2)求直线PC与平面PDE所成的角的正弦值， 18.在△ABC中，设角A,B,C所对的边分别是a,b,C,且满足V3 bsinC+bcosC=a+c. (1)求角B; (2)若b=√5，求△ABC面积的最大值： (3)求ac-ab-bc b2 的取值范围. 19.唐代诗人温庭笔的《新添声杨柳枝词二首》中写道“玲珑骰子安红豆，入骨相思知不知”，表达了 诗人的相思之情。为迎接七夕，某超市购进了一批“玲珑骰子”（如图所示）：棱长为1的水晶正 八面体（八个面都是全等的正三角形），中间的球体部分是被挖空的（表面不被破坏），并嵌入 了红豆. (1)当给红豆留出最大空间时，求骰子中间被挖空的球体的表面积： (2)超市推出一项活动，在“玲珑骰子”的所有顶点中每次随机抽取三个不同的顶点，能构成等边 三角形即可获得“花好”卡片，能构成直角三角形即可获得“月圆”卡片.甲乙两人每人抽取一 次（抽取结果互不影响），求两人所获得的卡片能凑成“花好月圆”的概率； (3)若点P为(1)中球面上的任一点，设∠PAB=日，∠PAD=A2,二面角B-AP-D的 平面角为p,求证：tan日·tan82·cosp为定值. E 高一数学第4页（共4页)》