2024--2025学年人教版七年级数学下册 培优专题2 平面直角坐标系的面积问题

培优专题 平面直角坐标系中的面积问题 类型一：直接利用面积公式求图形的面积 图例 方法总结 图形有边平行于x轴或y轴，直接利用面积公式求解. 例1 如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC的顶点坐标分别为A(－2，0)，B(0，4)，C(0，－1)，则三角形ABC的面积为 ． 变式1 如图，已知点A，B，C的坐标分别为A(－1，0)，B(4，0)，C(5，－4)．则三角形ABC的面积为 ． 类型二：利用割补法求图形的面积 图例 方法总结 在平面直角坐标系中求图形的面积，当找不到现成的与坐标轴平行(或重合)的线段时，通过割补法作与坐标轴平行(或重合)的辅助线，转化成多种图形面积的和与差． 例2 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC各顶点的坐标分别是O(0，0)，A(1，2)，B(3，3)，C(5，0)，则四边形OABC的面积为 ． 变式1 如图，直角坐标系中，三角形的顶点都在网格点上，其中点C的坐标为． (1)写出点A，B的坐标A（______），B（______）； (2)计算三角形的面积． 类型三：已知图形的面积求点的坐标 方法总结 常通过建构方程求解. 例3 如图，在平面直角坐标系中，已知O(0，0)，B(1， 2)，点A在坐标平面内，且S三角形OAB＝2. (1)若点A在x轴上，求出点A的坐标； (2)若点A的横坐标为1，求出点A的坐标； (3)若点A的纵坐标为1，且点A位于y轴的左侧，求出点A的坐标． 综合训练 1. 如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为A（a，0），B（b，0），且a、b满足，点c的坐标为（3，0） （1）a＝　 　，b＝　　； （2）若点M在x轴上，且三角形ACM的面积等于三角形ABC面积的，试求点M的坐标． 2.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(－3，0)，B(-3，4)，连接AB交y轴于点C，连接OB. （1）求三角形AOC的面积； （2）求点C的坐标. 3. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点为，，，且满足 ，线段交y轴于点D，点E为y轴上一动点（点E不与点O重合）． (1)求点A、B、C的坐标． (2)在y轴上是否存在这样的E点，使 =1:2，若存在，请求出点E坐标，若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优专题 平面直角坐标系中的面积问题 类型一：直接利用面积公式求图形的面积 图例 方法总结 图形有边平行于x轴或y轴，直接利用面积公式求解. 例1 如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC的顶点坐标分别为A(－2，0)，B(0，4)，C(0，－1)，则三角形ABC的面积为 5 ． 变式1 如图，已知点A，B，C的坐标分别为A(－1，0)，B(4，0)，C(5，－4)．则三角形ABC的面积为 10 ． 类型二：利用割补法求图形的面积 图例 方法总结 在平面直角坐标系中求图形的面积，当找不到现成的与坐标轴平行(或重合)的线段时，通过割补法作与坐标轴平行(或重合)的辅助线，转化成多种图形面积的和与差． 例2 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC各顶点的坐标分别是O(0，0)，A(1，2)，B(3，3)，C(5，0)，则四边形OABC的面积为 9 ． 变式1 如图，直角坐标系中，三角形的顶点都在网格点上，其中点C的坐标为． (1)写出点A，B的坐标A（_2,-2_），B（_4,2_）； (2)计算三角形的面积． 解：S三角形ABC＝4×3 -×3×1－×3×1－×4×2＝5. 类型三：已知图形的面积求点的坐标 方法总结 常通过建构方程求解. 例3 如图，在平面直角坐标系中，已知O(0，0)，B(1， 2)，点A在坐标平面内，且S三角形OAB＝2. (1)若点A在x轴上，求出点A的坐标； 解：设点A的坐标为(a，0)．∴OA＝|a| ∵S三角形OAB＝1/2 ×|yb|·OA＝1/2 ×2·|a|＝2， ∴|a|＝2.∴a＝±2. ∴点A的坐标为(2，0)或(－2，0)． (2)若点A的横坐标为1，求出点A的坐标； 解：设点A的坐标为(0，b)．∴OA＝|b|. ∵S三角形OAB＝1/2 ×|xb|·OA＝1/2 ×1·|b|＝2， ∴|b|＝4.∴b＝±4. ∴点A的坐标为(0，4)或(0，－4)． (3)若点A的纵坐标为1，且点A位于y轴的左侧，求出点A的坐标． 解：如图，连接OA，OB，AB，过点B作BC⊥x轴于点C，过点 A作AD⊥x轴于点D. ∵B(1，2)，点A的纵坐标为1，∴BC＝2，OC＝1，AD＝1. 设点A的坐标为(d，1)，则OD＝－d. ∴CD＝1－d. ∵S三角形OAB＝S四边形ABCD－S三角形OAD－S三角形OBC＝1/2 ×(1＋2)·(1－d)－1/2 ×1·(－d)－1/2 ×1×2＝2， ∴d＝－3/2 . ∴点A的坐标为(-3/2 ，1). 综合训练 1. 如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为A（a，0），B（b，0），且a、b满足，点c的坐标为（3，0） （1）a＝　 　，b＝　　； （2）若点M在x轴上，且三角形ACM的面积等于三角形ABC面积的，试求点M的坐标． 【思路引领】（1）先根据非负数的性质求出a，b的值， （2）设点M的坐标为（x，0），用含x的式子表示出 AM的长，再用含x的式子表示出△ACM的面积，得到关于x的方程． 【解答】解：（1）∵|a+2|0， ∴a+2＝0，b﹣4＝0． ∴a＝﹣2，b＝4． 故答案为：a＝﹣2，b＝4． （2）设点M的坐标为（x，0），则AM＝|x﹣（﹣2）|＝|x+2|． 又∵， ∴|x+2|×3＝3． ∴|x+2|＝2．即x+2＝±2，解得x＝0或﹣4， 故点M的坐标为（0，0）或（﹣4，0）． 【总结提升】本题主要考查了非负数的性质，同一坐标轴上两点间的距离及三角形的面积公式，在直角坐标系中求三角形的面积时，如果三角形有一条边在坐标轴上或有一条边平行于坐标轴，那么一般以这条边为三角形的底边，求出这条边上的高即可根据三角形的面积公式求解． 2.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(－3，0)，B(-3，4)，连接AB交y轴于点C，连接OB. （1）求三角形AOC的面积； （2）求点C的坐标. 3. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点为，，，且满足 ，线段交y轴于点D，点E为y轴上一动点（点E不与点O重合）． (1)求点A、B、C的坐标． (2)在y轴上是否存在这样的E点，使 =1:2，若存在，请求出点E坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为； (2)或 （1）根据非负数的性质分别求出、、，得到点、、的坐标． （2）作，根据平行线的性质得到，，，根据直角三角形的性质得到，根据角平分线的定义计算，得到答案； （3）设点的坐标为，再分点E在x轴上方和下方两种情况，用含的代数式表示出的面积和的面积，根据题意列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：，，，， ，，， 解得，，， 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为； （2）解：设 如图所示，当点E在x轴上方时，过点B作轴于H， ∵， ∴，，，，， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当点E在y轴下方时，过点B作轴于H， 同理可得， ， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，点E的坐标为或． 学科网（北京）股份有限公司 $$