第一章 一元二次方程 教案 2024--2025学年苏科版九年级数学上册

XXX中学集体备课教案 （XXX-XXX学年度第一学期） 年级： 学科： 姓名： XXX中学集体备课教案纸 九 年级 数学 学科 主备人 XXX 课 题 1.1　一元二次方程 课时 总第 1 课时 教学目标： 1．了解一元二次方程的一般形式，会写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项； 2．通过探索实际问题中的数量关系及其变化规律，归纳一元二次方程的概念； 教学重难点：通过探索实际问题中的数量关系及其变化规律，归纳一元二次方程的概念了解一元二次方程的一般形式，会写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项； 板书设计： 作业布置： 教 学 过 程 备注 问题情境 正方形桌面的面积是2m2，问：正方形的边长与面积之间有何数量关系？你用什么样的数学式子来描述它们之间的关系？ 设正方形桌面的边长是xm，可得：x2＝2． 数学活动 问题1：如图，矩形花圃一面靠墙，另外三面所围的栅栏的总长度是19m，花圃的面积是24m2． 问：矩形花圃的宽与面积之间有何关系？你用什么样的数学式子来描述它们之间的关系？ 　　 　 问题2：某校图书馆的藏书在两年内从5万册增加到9.8万册． 问：图书馆藏书年平均增长的百分率与藏书量之间有何关系？你用什么样的数学式子来描述它们之间的关系？ 思考与探索 如图，长5m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端到墙面的距离比梯子的顶端到地面的距离多1m．设梯子的底端到墙面的距离是xm，怎样用方程来描述其中的数量关系？ 尝试与交流 方程 x2＝2、x(19－2x)＝24、 5（1＋x）2 ＝9.8、x2＋（x－1）2 ＝25有哪些共同的特征？ 它们都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2． 它们都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，像这样的方程叫做一元二次方程． 关于x的一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0 （a、b、c是常数，a≠0）．其中，ax2、bx、c分别叫做二次项、一次项和常数项，a、b分别叫做二次项系数、一次项系数． 它们都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，像这样的方程叫做一元二次方程． 练习 课本练习． 例：将方程化为一般形式，并写出它的二次项、一次项系数和常数项。 总结 ①实际问题　　　一元二次方程． ②一元二次方程的概念 课后作业 课本习题1.1． 教学反思： XXX中学集体备课教案纸 九 年级 数学 学科 主备人 XXX 课 题 1.2　一元二次方程的解法（1） 课时 总第 2 课时 教学目标： 1．了解形如（x＋m）2＝n（n≥0）的一元二次方程的解法——直接开平方法； 2．会用直接开平方法解一元二次方程． 重点：会用直接开平方法解一元二次方程． 难点：理解直接开平方法与平方根的定义的关系． 板书设计： 作业布置： 教 学 过 程 备注 问题情境 如何解方程x2＝2呢？ 解：根据平方根的意义，x是2的平方根，即x＝。 　　x1＝，x2＝． 结论： 这种直接通过求平方根来解一元二次方程的方法叫做直接开平方法． 例题精讲 例1　解下列方程： （1）x2－4＝0； （2）4x2－1＝0． 练习 课本P10练习1． 例2　 解方程：（x＋1）2＝2． 例3 解方程： 练习 课本P10练习2． 思考：方程有解吗？ 如果有，你能求出它们的解吗？ 反思 　　1．能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？ 2．直接如果一个一元二次方程具有（x＋h）2＝k（h、k是常数，k≥0）的形式，那么就可以用直接开平方法求解． 首先将一元二次方程化为左边是含有未知数的一个完全平方式，右边是非负数的形式，然后用平方根的概念求解．开平方法解方程的一般步骤是什么？ 总结 1．用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤； 2．感受转化的数学思想． 课后作业 课本习题1.2， P19第1题； 教学反思： XXX中学集体备课教案纸 九 年级 数学 学科 主备人 XXX 课 题 1.2　一元二次方程的解法（2） 课时 总第 3 课时 教学目标： 1. 理解配方法，会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程； 2、在配方过程中体会“转化”的数学思想，掌握转化的技巧． 教学重难点： 重点：用配方法解二次项系数为1的一元二次方程． 难点：把一元二次方程转化为(x＋h)2＝k的形式． 板书设计： 作业布置： 教 学 过 程 备注 问题情境 解一元二次方程： x2＝5 ①；（x＋3）2＝5 ②． 并提问：你用的是什么方法？这两个方程的解法有相似之处吗？ 数学活动 活动1：你会解方程x2＋6x＋4＝0 ③吗？ 教师可引导：为什么解不出来？能否转化成别的形式来解决？ 转化为（ ）2＝a的形式的过程，形成解决问题的一般方法。 活动2：配方练习． 填空： (1) x2＋2x＋ ＝(x＋ )2； (2)x2－3x＋ ＝(x－ )2． 你发现了什么规律？ 当二次项系数为1时，完全平方式中的常数项是一次项系数一半的平方． 活动3：如何解方程x2＋6x＋4＝0？ 把一个一元二次方程变形为(x＋h)2＝k（h、k为常数）的形式，当k≥0时，就可以用直接开平方法求出方程的解．这种解一元二次方程的方法叫做配方法． 例题精讲 例3 解下列方程： （1） x2－4x＋3＝0； （2）x2＋3x－1＝0． 基本步骤：先移项，后配方，再直接开平方。即 （1）把常数项移到方程右边； （2）在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方（二次项系数为1时），使左边成为完全平方式．如果方程的右边整理后是非负数，用直接开平方法求解；如果右边是个负数，则指出原方程无实根。 练习 课本练习1、2． 数学实验室 从拼图的角度来表示一元二次方程x2＋2x－24＝0配方的过程． 总结 1 用配方法解一元二次方程； 2 感受转化的数学思想． 课后作业 ①课本习题； 教学反思： XXX中学集体备课教案纸 九 年级 数学 学科 主备人 XXX 课 题 1.2　一元二次方程的解法（3） 课时 总第 4 课时 教学目标： 1、会用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程； 2、在用配方法解方程的过程中，体会转化的思想． 教学重难点： 重点：会用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程； 难点：在用配方法解方程的过程中，体会转化的思想． 板书设计： 作业布置： 教 学 过 程 备注 问题情境 用配方法解下列方程： (1) x2－6x－16＝0 (2) x2＋3x－2＝0． 例题精讲 　例4 解方程：2x2－5x＋2＝0． 解：两边都除以2，得　． 移项，得　． 配方，得　， ． 解这个方程，得　． 所以　 例5　 解方程－3x2＋4x＋1＝0． 解：两边都除以－3，得 移项，得 配方，得 解这个方程，得 所以　 反思小结 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的一般步骤． （1）系数化为1． （2）移项． （3）配方． （4）开方． （5）求解． （6）定根． 练习 课本P14练习． 总结 1．怎样解二次项系数不为1的一元二次方程？ 2．感受转化的数学思想． 课后作业 ①课本习题1.2，P20第3题； 教学反思： XXX中学集体备课教案纸 九 年级 数学 学科 主备人 XXX 课 题 1.2　一元二次方程的解法（4） 课时 总第 5 课时 教学目标： 1、会用公式法解一元二次方程； 2. 学生体验用配方法推导一元二次方程求根公式的过程，并明确运用公式求根的前提条件是b2－4ac≥0； 教学重难点： 重点：会用公式法解一元二次方程． 难点：体验用配方法推导一元二次方程求根公式的过程，并明确运用公式求根的前提条件是b2－4ac≥0． 板书设计： 作业布置： 教 学 过 程 备注 问题情境 用配方法解下列方程：x2＋2x－3＝0． 你会解关于x的方程ax2＋bx＋c＝0 (a、b、c是常数，a≠0)吗？ 思考与探索 求根公式的推导． 因为a≠0，所以方程两边都除以a，得 ． 移项，得． 配方，得， 即． ∵a≠0，∴4a2＞0．当b2－4ac≥0时， ． 概念 一般地，对于一元二次方程，如果b2－4ac≥0，那么方程的两个根为，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用这个公式，解一元二次方程的方法叫做公式法． 反思 当时，方程有实数根吗？ 例题精讲 例6 解下列方程： （1）x2＋3x＋2＝0； （2）2(x2－2)＝7x． 练习 课本P16练习． 总结 用公式法解一元二次方程的一般步骤： （1）把方程化成一般形式，并写出a、b、c的值． （2）求出b2－4ac的值． （3）代入求根公式． （4）写出方程的解． 课后作业 课本习题1.2，P20第4题； 教学反思： XXX中学集体备课教案纸 九 年级 数学 学科 主备人 XXX 课 题 1.2　一元二次方程的解法（5） 课时 总第 6 课时 教学目标： 1、能用b2－4ac的值判别一元二次方程根的情况； 2、用公式法解一元二次方程的过程中，进一步理解代数式b2－4ac对根的情况的判断作用． 教学重难点： 重点：能用b2－4ac的值判别一元二次方程根的情况． 难点：用公式法解一元二次方程的过程中，进一步理解代数式b2－4ac对根的情况的判断作用． 板书设计： 作业布置： 教 学 过 程 备注 回顾复习 用公式法解一元二次方程的一般步骤． （1）把方程化成一般形式，并写出a、b、c的值． （2）求出b2－4ac的值． （3）代入求根公式． （4）写出方程的解． 例题精讲 例7 解下列方程： （1） x2＋x－1＝0； （2） ； （3） 2x2－2x＋1＝0． 总结反思 　一元二次方程根的情况： 　　当时，方程有两个不相等的实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 　当时，方程没有实数根． 例题精讲 1．不解方程，判别下列方程根的情况． （1）x2＋3x－1＝0； （2）2y2－3y＋4＝0． 　　 2．已知关于x的一元二次方程x2＋2x－k＝0有实数根，则k的取值范围是（　） 　 A．k≤－1； B．k≥－1； C．k<－1； D．k>－1．　　当时，方程没有实数根． 练习 课本练习P17练习1、2． 总结 　　1．什么是一元二次方程根的判别式？ 2．一元二次方程根有几种情况 课后作业 ①课本习题1.2，P20第7、9题； 教学反思： XXX中学集体备课教案纸 九 年级 数学 学科 主备人 XXX 课 题 1.2　一元二次方程的解法（6） 课时 总第 7 课时 教学目标： 1、会用因式分解法解一元二次方程，体会“降次”化归的思想方法； 2、能根据一元二次方程的特征，选择适当的求解方法，体会解决问题的灵活性和多样性． 教学重难点： 重点：会用因式分解法解一元二次方程，体会“降次”化归的思想． 难点：能根据一元二次方程的特征，选择适当的求解方法，体会解决问题的灵活性和多样性． 板书设计： 作业布置： 教 学 过 程 备注 问题情境 如何解方程 x2－x ＝0． 既可以用配方法解，也可以用公式法来解． 解法3： 将方程的左边分解因式，得 x(x－1)＝0， 此时x和x－1两个因式中必有一个为0，即 　x＝0或x－1＝0， ∴ x1＝0，x2＝1． 概念 这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法． 如果一个一元二次方程的一边为0，另一边能分解成两个一次因式的乘积，那么这样的一元二次方程就可用因式分解法来求解． 例题精讲 例8　解下列方程： （1）x2＝4x； （2）x＋3－x(x＋3)＝0． 例题精讲 例9　 解方程： (2x－1)2－x2＝0． 观察与思考 解方程： (x＋2) 2＝4（x＋2）． 思考：哪种解法正确？你是怎样思考的？ 解法1：原方程可变形为 (x＋2)2－4(x＋2)＝0， (x＋2)(x－2)＝0． x＋2＝0或x－2＝0． 所以 x1＝－2，x２＝2． 解法2：原方程两边都除以（x＋2），得 x＋2＝4． 所以 x＝2． 练习 课本练习P19练习1、2． 总结 　　1.用因式分解法解一元二次方程的一般步骤： （1）把一元二次方程右边化为0； （2）将方程左边分解为两个一次因式的积； （3）每个因式分别为0，得到两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解． 　　2.一元二次方程的根有几种情况？ 课后作业 课本习题1.2，P20第5题； 教学反思： XXX中学集体备课教案纸 九 年级 数学 学科 主备人 XXX 课 题 1.3　一元二次方程的根与系数的关系 课时 总第 8 课时 教学目标： 1.了解一元二次方程根与系数的关系，并能进行简单的应用； 2.能通过对根与系数关系的探索，提高代数推理的能力与意识 教学重难点： 重点：了解一元二次方程根与系数的关系，并能进行简单的应用． 难点：能通过对根与系数关系的探索，提高代数推理的能力与意识． 板书设计： 作业布置： 教 学 过 程 备注 探索发现 　观察下表，你能发现下列一元二次方程的根与系数有什么关系吗？ x1 x2 1 2 －1 －2 2 3 －2 －3 0 3 两根的积与常数项相等； 两根的和与一次项系数互为相反数． 解释规律 你能解释刚才的发现吗？ 一般地，在一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）中，如果b2－4ac≥0，那么它的两个根分别是x1、x2． 总结发现 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），如果b2－4ac≥0，它的两个根分别是x1、x2． ，． 例题精讲 例 求下列方程两根的和与两根的积：（1）x2＋2x－5＝0； （2）2x2＋x＝1． 需要解方程吗？ 尝试与交流 　　小明在一本课外读物中读到如下一段文字： “一元二次方程x2－ x ＝0的两根是和”， 你能写出这个方程中被墨迹污染的一次项系数和常数项吗？ 练习 课本练习P23练习1、2． 总结 　　1．一元二次方程根与系数的关系是什么？ 　　2．应用一元二次方程的根与系数关系时，首先要把方程化成一般形式； 3．应用一元二次方程的根与系数关系时，要特别注意，方程有实根的条件，即当且仅当b2－4ac≥0时，才能应用根与系数的关系． 课后作业 课本习题1.3； 教学反思： XXX中学集体备课教案纸 九 年级 数学 学科 主备人 XXX 课 题 1.4　用一元二次方程解决问题（1） 课时 总第 9 课时 教学目标： 1、经历和体验用一元二次方程解决实际问题的过程，进一步体会一元二次方程是刻画现实世界数量关系的有效模型； 2、会根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程并求解，培养学生的数学应用能力； 教学重难点： 重点：了解一元二次方程根与系数的关系，并能进行简单的应用． 难点：能通过对根与系数关系的探索，提高代数推理的能力与意识． 板书设计： 作业布置： 教 学 过 程 备注 回顾 解应用题的一般步骤． 第一步：设未知数（单位名称）； 第二步：列出方程； 第三步：解这个方程，求出未知数的值； 第四步：验(1)值是否符合实际意义； 　　 (2)值是否使所列方程左右相等． 第五步：答题完整（单位名称）． 问题1： 用一根长22cm的铁丝： (1) 能否围成面积是30cm2的矩形？ (2) 能否围成面积是32cm2的矩形？ 解：设这根铁丝围成的矩形的长是xcm，则矩形的宽是 （11－x）cm． (1)根据题意，得 ， 即． 解这个方程，得，． 当时，； 当时，； 答：用一根长22cm的铁丝能围成面积是30cm2的矩形。 (2)根据题意，得， 即x2－11x＋32＝0． 因为， 所以此方程没有实数解． 答：用一根长22cm的铁丝不能围成面积是32cm2的矩形． 问题2： 某商店6月份的利润是2500元，要使8月份的利润达到3600元，平均每月利润增长的百分率是多少？ 分析：如果设平均每月利润增长的百分率为x，那么7月份的利润是2500(1＋x)元，8月份的利润是［2500(1＋x)］(1＋x)元． 解：设平均每月利润增长的百分率是x．根据题意得 2500(1＋x)2＝3600． 解这个方程，得 x1＝0.2＝20％，x2＝－2.2(不合题意，舍去)． 答：平均每月利润增长的百分率是20％． 练习 课本练习P25练习1、2、3． 总结 ①用一元二次方程解决应用题的基本步骤； ②怎样去分析问题？ 课后作业 课本习题； 教学反思： XXX中学集体备课教案纸 九 年级 数学 学科 主备人 XXX 课 题 1.4　用一元二次方程解决问题（2） 课时 总第 10 课时 教学目标： 1、经历和体验用一元二次方程解决实际问题的过程，进一步体会一元二次方程是刻画现实世界数量关系的有效模型； 2、会根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程并求解，培养学生的数学应用能力； 3、能检验所得的问题的结果是否符合实际意义，进一步提高学生逻辑思维能力、分析和解决问题的能力． 教学重难点： 重点：分析和解决问题． 难点：根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程． 板书设计： 作业布置： 教 学 过 程 备注 回顾 解应用题的一般步骤． 第一步：设未知数（单位名称）； 第二步：列出方程； 第三步：解这个方程，求出未知数的值； 第四步：验(1)值是否符合实际意义； 　(2)值是否使所列方程左右相等． 第五步：答题完整（单位名称）． 问题3： 　　某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元，那么衬衫的单价降了多少元？ 分析：设衬衫的单价降x元，则商场平均每天可多售出2x件衬衫．根据“售出的衬衫件数×每件衬衫的盈利＝1250元”，列出方程． 问题4： 根据龙湾风景区的旅游信息，某公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社28000元．你能确定参加这次旅游的人数吗？ 练习 课本P27练习1、2． 总结 ① 用一元二次方程解决应用题的基本步骤； ② 怎样去分析问题？ 课后作业 ①课本习题1.4，第7、8题； 教学反思： XXX中学集体备课教案纸 九 年级 数学 学科 主备人 XXX 课 题 1.4　用一元二次方程解决问题（3） 课时 总第 11 课时 教学目标： 1、经历和体验用一元二次方程解决实际问题的过程，进一步体会一元二次方程是刻画现实世界数量关系的有效模型； 2、会根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程并求解，培养学生的数学应用能力； 3、能检验所得的问题的结果是否符合实际意义，进一步提高学生逻辑思维能力、分析和解决问题的能力． 教学重难点： 重点：分析和解决问题． 难点：根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程． 板书设计： 作业布置： 教 学 过 程 备注 回顾 解应用题的一般步骤． 第一步：设未知数（单位名称）； 第二步：列出方程； 第三步：解这个方程，求出未知数的值； 第四步：验(1)值是否符合实际意义； 　(2)值是否使所列方程左右相等． 第五步：答题完整（单位名称） 问题5： 　　如图，海关缉私人员驾艇在C处发现在正北方向30km的A处有一艘可疑船只，并测得它正以60km/h的速度向正东方向航行．缉私艇随即以75km/h的速度在B处将可疑船只拦截．缉私艇从C处到B处需航行多长时间？ 分析：设缉私艇从C处到B处需航行xh，则AB＝60xkm，BC＝75xkm．根据题意，可知△ABC是直角三角形，利用勾股定理可以列出方程． 　　 问题6： 　　如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动．几秒钟后△DPQ的面积等于28cm2？A B C D P Q 分析：设xs后△DPQ的面积等于28cm2，则AP、PB、BQ、QC的长度分别可用含x的代数式表示，从而Rt △DAP 、 Rt △PBQ、Rt △QCD的面积也都可以用含x的代数式表示，于是可以列出方程． 　　解：设xs后△DPQ的面积等于28cm2，则 △DAP 、△PBQ、△QCD的面积分别为． 根据题意，得， 即x2－6x＋8＝0． 解这个方程，得x1＝2，x2＝4． 答：2s或4s后△DPQ的面积等于28cm2 ． 练习 课本练习P29练习． 总结 ① 用一元二次方程解决应用题的基本步骤； ② 怎样去分析问题？ 课后作业 课本习题1.4，第9、10、11题； 总结 ①用一元二次方程解决应用题的基本步骤； ②怎样去分析问题？ 课后作业 课本习题； 教学反思： 1 学科网（北京）股份有限公司 $$