专题 2-2 基本不等式（1）【配凑法，换元法，和积转化等九大题型】- 2025-2026学年新高一暑假衔接衔接讲义（人教A版）

【赢在暑假】2025-2026学年新高一暑假衔接衔接培优讲义（人教A版） 专题2-2 基本不等式（1） 基本不等式是开学后第一次月考的重难点题型 高一学生初见它，笑容就渐渐消失，直呼：“这是基本不懂式”； 高二学生再见它，小小眼睛装大大的疑惑：“啊？这道题还得用它啊。” 高三学生刷到它相关的题，人生若只如初见：“我们高一高二的时候学过这个？” 总览 题型·解读 模块一 知识点与重点题型梳理 【题型1】直接利用基本不等式求最值 【题型2】 凑配法求最值 【题型3】分离常数法求最值 【题型4】“1”的妙用：乘“1”法 模块二 解题技巧突破 【题型5】“1”的妙用（2）：“1”的代换 【题型6】二次比一次型换元法求最值 【题型7】分母换元法（1）：单换元 【题型8】分母换元法（2）：双换元 【题型9】 和，积，平方和之间的转化 模块三 【课后作业】 题型汇编 知识梳理与常考题型 模块一 知识点与重点题型梳理 【题型1】直接使用基本不等式和常用不等式 基础知识 如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 基本不等式：若，则（或），当且仅当时取等号 常用不等式：若，则，当且仅当时取等号； 方法技巧总结：和与积的最值问题，直接使用基本不等式即可；和与平方和的问题需要用常用不等式来求最值 【例题1】已知x＞0，y＞0，且x+2y=2，则xy（ ） A．有最大值为1 B．有最小值为1 C．有最大值为 D．有最小值为 【答案】C 【解析】，，且，（1）， 当且仅当，即，时，取等号，故的最大值是：，故选：． 【例题2】已知，则的最大值为 ． 【答案】 【解析】，由不等式可知， 当且仅当时等号成立，即的最大值为. 【例题3】已知正数，满足，则的最大值为 ． 【答案】 【解析】因为，所以， 当且仅当时，等号成立．故的最大值为4． 【例题4】若，，则的最小值为______． 【答案】 【简析】，当且仅当，即，等号成立. 【巩固练习1】（24-25高一上·江苏连云港·期末）若，，且，则的最小值为 . 【答案】 【分析】利用基本不等式，可得答案. 【详解】由，则，当且仅当，即，等号成立. 所以的最小值为. 【巩固练习2】若，，且，则的最小值是________ 【答案】 【详解】，则， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以有最小值 【巩固练习3】若, 则的最小值是 ; 此时的值为 . 【答案】 4; 1 【解析】因为，所以，当且仅当，即时等号成立. 故的最小值是4，此时的值为1. 【巩固练习4】已知，，且，则的最小值是________ 【答案】 【详解】由于，所以，当且仅当时等号成立 【题型2】 凑配法求最值 基础知识 配凑法：加上一个数或减去一个数使和(积)为定值，然后利用基本不等式求解． 1、通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式． 2、注意验证取得条件． 常见的配凑法求最值模型 (1)模型一：，当且仅当时等号成立； (2)模型二：，当且仅当时等号成立 【例题1】若，则的最小值为 . 【答案】0 【解析】由，得， 所以， 当且仅当即时等号成立. 【例题2】已知，则的最小值是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【分析】利用基本不等式性质求解即可. 【详解】因为，所以 所以， 当且仅当，即时，等号成立． 所以的最小值为. 【例题3】（24-25高一上·湖南湘潭·期末）已知，则的最小值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】运用基本不等式计算即可. 【详解】由题意得，则， 当且仅当，即时，等号成立． 故的最小值为3． 【巩固练习1】（24-25高一上·广东茂名·期末）当取得最小值时，（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】先对式子进行变形转化，再利用完全平方的非负性，结合基本不等式等知识来找到取得最小值时的情况. 【详解】将变形为. 设（），那么式子就变为. 根据均值不等式则，当且仅当时等号成立. 由（），即，解得（舍去，因为）. 当时，也就是，那么，所以. 当取得最小值时，. 【巩固练习2】已知实数x＞3，则的最小值是（ ） A．24 B．12 C．6 D．3 【分析】4（x﹣3）12，利用基本不等式的性质，即可求得最小值． 【详解】解：∵x＞3，∴x﹣3＞0， 4（x﹣3）12≥12+224， 当且仅当4x﹣12时，取得最小值24． 【巩固练习3】（）的最小值为 ． 【答案】 【解析】因为，所以， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 【题型3】分离常数法求最值 解题技巧 方法总结：对于分子分母中含有相同单一字母时，可以考虑分离常数 例1：（x>0） 例2： 【例题1】若，则函数的最小值为（ ） A．4 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【解析】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以函数的最小值为；故选：C 【例题2】的最小值是______. 【答案】 【详解】，当且仅当时，即时取等号 【巩固练习1】已知，，，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】将已知条件等式化为，整体代入结合基本不等式即可得解． 【详解】因为，，，所以，， 所以， 当且仅当，即，时等号成立，即的最小值为6，故选：B． 【巩固练习2】已知，则的最小值为 . 【答案】 【解析】因为， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为. 【巩固练习3】已知，则的最小值是______，此时a=______． 【答案】 2； 0 【分析】化简，根据基本不等式求解即可. 【详解】显然，， 则，， 当且仅当，即时，等号成立. 所以，的最小值是2，此时. 【题型4】“1”的妙用：乘“1”法 解题技巧 方法总结：乘“1”法就是指凑出1，利用乘“1”后值不变这个性质，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值． 主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值 注意：验证取得条件． 【例题1】（广东广雅中学校考）若正实数a，b满足，则的最小值是________ 【答案】9 【详解】，当且仅当时等号成立 【例题2】已知且，则的最小值是 ． 【答案】8 【分析】运用“1”的代换及基本不等式即可求得结果． 【详解】因为，所以， 所以，当且仅当，即时取等号．所以的最小值为8 【例题3】（24-25广东东莞·阶段练习）已知，且，则的最小值为（    ） A．4 B． C．6 D．8 【答案】D 【分析】根据基本不等式中“1”的应用计算可得当时，的最小值为8. 【详解】由可得： ； 当且仅当，即当时，等号成立. 即的最小值为8. 【例题4】已知，，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为且，，所以， 则， 当且仅当时，即当，时，等号成立. 因此，的最小值是.故选：C. 【巩固练习1】已知，，且，则的最小值为 ． 【答案】16 【解析】 当且仅当时等号成立.即当时，取得最小值为16. 【巩固练习2】（24-25高一下·湖南娄底·期中）已知，且，则的最小值是 . 【答案】 【分析】依题意可得，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】因为，且，所以 ， 当且仅当，即，时取等号. 【巩固练习3】（24-25高一下·辽宁朝阳·阶段练习）已知正数x，y满足，则的最小值为（   ） A．36 B．24 C．18 D．12 【答案】B 【分析】利用“1”的代换，根据基本不等式求解即得. 【详解】因，， 则， 当且仅当，即，时，等号成立． 【巩固练习4】（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知，且，，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】由，可得，利用的代换结合基本不等式求出最小值． 【详解】，， 当且仅当，即时取等号. 【巩固练习5】（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知，，且，则的最小值是 . 【答案】12 【分析】利用基本不等式中“1”的应用计算即可求得结果. 【详解】根据题意可知： ； 当且仅当，即时，等号成立； 因此的最小值是12. 模块二 解题技巧突破 【题型5】“1”的妙用（2）：“1”的代换 解题技巧 方法总结：通过常数“1”的代换，把求解目标化为可以使用基本不等式求最值的式子，达到解题的目的． 【例题1】已知，，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用基本不等式求得的最小值． 【详解】依题意． 当且仅当时等号成立． 【例题2】已知实数x，满足，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D．8 【答案】C 【分析】根据“1”的变形技巧化简，再运用均值不等式求解即可． 【详解】由条件可得 ． 当且仅当，即时等号成立 【巩固练习1】若，，且，则有最小是________ 【答案】5 【详解】， 当且仅当，即时，等号成立， 所以有最小值5 【巩固练习2】正实数，满足，则的最小值是（    ） A． B． C．5 D． 【答案】B 【分析】中的“1”用“”代替，分离常数后利用基本不等式即可求解． 【详解】因为正实数，满足， 所以， 当且仅当，即时等号成立．故的最小值是． 【巩固练习3】（2024·安徽·三模）已知，且，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】由，可得，再利用基本不等式计算即可得. 【详解】， 当且仅当，即时，等号成立. 【题型6】二次比一次型换元法求最值 解题技巧 基本模型：，当且仅当时等号成立 【例题1】已知，则的最小值为（    ） A．5 B．3 C． D．或3 【分析】由已知可得，利用基本不等式计算可得结果. 【详解】由，得， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为3． 【例题2】函数的最小值为 ． 【答案】 【解析】由，又， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以原函数的最小值为. 【例题3】已知，则的最小值为 . 【答案】 【解析】令，则， 所以，当且仅当，即时取等号，所以的在最小值为. 【巩固练习1】（2024·高一·江西南昌·期末）当时，函数的最小值为 ． 【答案】 【解析】因为，则，则， 当且仅当时，等号成立， 所以，当时，函数的最小值为. 故答案为：. 【巩固练习2】若，则函数的最小值为 . 【答案】3 【解析】由题意，， 因为，所以，当且仅当，即时等号成立. 所以函数的最小值为3. 【巩固练习3】求的最小值 . 【答案】9 【解析】将分子配方凑出含有的项，再将其分离，利用基本不等式即可求解. ， ，， ， 当且仅当即时，等号成立. 【题型7】分母换元法（1）：单换元 解题技巧 对于两个分式的最值问题可以考虑整体法或换元法配凑 整体配凑法原理是把目标当作一个整体，然后利用基本不等式求最值. 单分母换元：把其中一个分母进行换元 【例题1】已知，则的最小值是________ A．6 B．8 C．4 D．9 【分析】可以设，则有，求的最小值，用乘“1”法即可 【答案】9 【详解】解：设，则有， 当且仅当，即a时取等号，所以的最小值是9． 【例题2】（24-25高一上·湖南衡阳·期末）已知，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，，将所求式子变形，利用基本不等式求解. 【详解】由， 令，， ， 当且仅当即时等号成立. 【例题3】已知，其中，，，则的最小值为 ． 【答案】16 【解析】因为，， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为16 【巩固练习1】若，则的最小值是 ． 【答案】 【解析】因为，所以． 因为，所以， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 则．故答案为： 【巩固练习2】若，，，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】令 ，则，由此可将变形为，结合基本不等式，即可求得答案。 【详解】由题意，，，，得：， 设 ，则 ， 故 ， 当且仅当 ，即 时取得等号， 故的最小值为 【巩固练习3】已知，则的最小值是______. 【答案】 【简析】记，则，则有 【巩固练习4】（24-25高一下·河北保定·期中）已知x，y都是正数．若，且，则的最小值为 ． 【答案】2 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由，得，而， 则 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为2. 【巩固练习5】（24-25高一下·浙江衢州·期末）已知实数，则的最小值为（   ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【分析】将原式变形为，利用基本不等式求解. 【详解】，，则， ， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为. 【题型8】分母换元法（2）：双换元+配凑 解题技巧 双分母换元：可以把2个分母都换元 【例题1】若正实数满足，则最小值为________ 【答案】 【详解】由 ，当且仅当时，等号成立，所以有最小值 【例题2】（24-25高一上·湖北荆州·阶段练习）设正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，则，，代入所求式子，利用基本不等式中1的妙用求最小值． 【详解】∵正数满足， ∴，且，则，， 设，，则，，，， ∴ ， 当且仅当，即时，等号成立，则的最小值为． 【巩固练习1】已知且，则的最小值为 . 【答案】 【解析】因为且，所以， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. 【巩固练习2】已知实数，且，则的最小值是 ． 【答案】24 【解析】因为，且， 所以， 所以 ， 当且仅当，即，时等号成立 【巩固练习3】设x，y是正实数，且，则的最大值是 . 【答案】 【解析】令，则， 可得，即， 且， ∵， 当且仅当，即时，等号成立， 可得， ∴， 即的最大值是. 【巩固练习3】（24-25·江苏南京·阶段练习）已知，，且，则的最小值为 . 【答案】1 【分析】由条件得到，再结合基本不等式即可求解. 【详解】因为，且， 所以， 所以 ， 当且仅当， 即，时，等号成立，所以的最小值为 【题型9】 和，积，平方和之间的转化 解题技巧 涉及和，积，平方和的最值问题时利用基本不等式变形求解 常用不等式链：（主要用于和积转换） 【例题1】已知，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．8 D． 【答案】B 【解析】，则有， 可得，即4，当且仅当时，等号成立. 所以的最大值为4. 【例题2】（湖南长沙·高一长郡中学校考）已知，且，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由题意，且，当且仅当时，即时等号成立，令，则上式为：，即， 解得或（舍），所以的取值范围为． 【例题3】（24-25高一上·贵州·期中）已知，且，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用基本不等式得到、，进而求的范围，注意等号成立条件. 【详解】由，即，又， 所以，可得，当且仅当时等号成立，A对，B错； 由，即， 所以，当且仅当时等号成立，C、D错. 【巩固练习1】（高一上·天津河北·期中）若，，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件结合基本不等式求解即可. 【详解】因为，，且， 所以，当且仅当，即时取等号， 所以，解得（舍去），或， 所以，当且仅当，即时取等号， 即的取值范围是 【巩固练习2】若，则的最小值是 （    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【解析】，当且仅当时取等号， 因此，即，解得， 所以当时，取得最小值2. 【巩固练习3】已知实数，满足，则的最大值为________ 【答案】 对于选项AB，， 则，当且仅当时等号成立，故的最大值为 【巩固练习4】（多选题）已知正数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】对于A：因为，所以，当且仅当时取等号，所以不恒成立，故错误； 对于B：因为且，所以， 所以，当且仅当时取等号，故正确； 对于C：因为，所以， 所以，所以，当且仅当时取等号，故正确； 对于D：由C可知错误 【巩固练习5】（24-25高一上·四川宜宾·期末）(多选)若，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】通过对已知条件进行变形，利用均值不等式来分析，，的取值范围，进而判断各个选项的正确性. 【详解】已知，因为，那么. 设（），则，移项得到. 因为，即，也就是，两边平方可得，所以A选项正确、B选项错误. 由可得，因为，所以，当且仅当时取等号，所以C选项正确. 根据完全平方公式，由前面可知，. 那么，当且仅当时取等号，所以D选项正确. 故选：ACD. 【巩固练习6】（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）（1）已知，求的最大值； （2）若，求的最小值； （3）已知为正实数，，求的最小值. 【答案】（1）；（2）8；（3）． 【分析】利用基本不等式结合常数代换求最值. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号； 所以，的最大值为. （2）因为，所以， 所以，当且仅当时取等号， 故的最小值为. （3），． 又，， ， 当且仅当，即时，等号成立． 由得 当，时，取得最小值． 三 【课后作业】 1． 已知，则的最小值是 ． 【答案】16 【解析】由题意得，解得， 等号成立当且仅当，所以的最小值是16. 故答案为：16. 2． （24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）（1）已知，求的最大值； （2）若，求的最小值； （3）已知为正实数，，求的最小值. 【答案】（1）；（2）8；（3）． 【分析】利用基本不等式结合常数代换求最值. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号； 所以，的最大值为. （2）因为，所以， 所以，当且仅当时取等号， 故的最小值为. （3），． 又，， ， 当且仅当，即时，等号成立． 由得 当，时，取得最小值． 3． 已知，，且，证明： (1)；(2)． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）因为，所以， 因为，，所以，当且仅当时，等号成立， 所以，即，故； （2）因为，所以， 因为，，所以，， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 则，即． 4． （24-25高一上·江苏南京·阶段练习）(多选)若，，且，则下列说法正确的有（    ） A．的最小值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．的最小值是 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式求最值，逐项判断即可. 【详解】对A：因为，即（当且仅当即时取“”），故A项正确； 对B：因为（当且仅当即时取“”），故B项错误； 对C：因为， 所以（当且仅当即时取“”），故C项正确； 对D：由， 所以，由B知：成立，故D项正确. 5． 若，且，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】由于，所以， 当且仅当，即时等号成立， 故答案为： 6． 设为正实数，且，则的最小值为 【答案】 【解析】由，得， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 7． （2025·上海·高考真题）设，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】灵活利用“1”将展开利用基本不等式计算即可. 【详解】易知， 当且仅当，即时取得最小值. 8． （江苏南通·二模）设，，，则的最小值为（　　） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】由不等式“1”的代换求解即可. 【详解】因为，所以， 因为，，所以 . 当且仅当，即时取等. 9． 的最小值为（ ） A．4 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【解析】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以函数的最小值为；故选：C 10． （24-25高一上·江苏扬州·期末）(多选)已知实数满足且，则下列说法正确的有（   ） A．若，则对任意实数， B．若，则 C．的最小值是 D．的最小值是 【答案】BCD 【分析】应用特殊值判断A；作差法判断B；应用基本不等式“1”的代换求最小值判断C；由且求最小值判断D. 【详解】A：当，此时，错； B：由，则，即，对； C：， 当且仅当时取等号，对； D：由，则，故， 当时，取得最小值，对； 故选：BCD 11． （24-25高一下·河北保定·阶段练习）已知，，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】将变形为，再利用“1”的代换，利用基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以， 又因为    ， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 12． 已知正数满足，则的最大值是（ ） A． B． C． D． 【分析】设，则有，求最小值，结合乘1法即可 【详解】解：5﹣（）， ∵a+b＝2，∴a+1+b+1＝4， ）（a+1+b+1）（1+4）， 4（当且仅当，即a，b时，等号成立）， 故（1+49，即， 故5﹣（ 13． 已知，则函数的最小值是 ． 【答案】 【分析】将函数化简，分离常数，然后结合基本不等式即可得到结果. 【详解】因为， 当且仅当，即时，等号成立. 所以函数的最小值是 14． 若，则的最小值为______. 【答案】 【分析】由基本不等式“1”的代换求解即可. 【详解】因为， 所以． 因为，所以， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 则. 15． 正实数，满足，则的最小值是________ 【答案】 【解析】因为正实数，满足， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 故的最小值是 16． 正实数a，b满足，则的最小值为______. 【答案】1 【分析】将变为，即可将化为，展开后利用基本不等式即可求得答案. 【详解】因为正实数满足，所以， 则 ， 当且仅当,即时取等号， 所以的最小值为1， 17． 已知，则的最小值是______，此时a=______． 【答案】4 ， 【分析】化简，根据基本不等式求解即可. 【详解】显然，， 则，， 当且仅当，即时，等号成立. 所以，的最小值是4此时. 18． （2024·高一·江苏苏州·期末）已知正数，满足，则的最小值为 . 【答案】 【解析】由正数，满足，则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 19． （1）已知正数、满足，求 的最小值； （2）求函数的最小值． 【答案】(1)，(2) 【分析】（1）利用凑项法与基本不等式中“1”的妙用即可求得 的最小值； （2）将看作一个整体，对函数分子进行凑配化简，再利用基本不等式即可求得函数的最小值. 【详解】（1）因为，， 所以，， 所以 ， 当且仅当，且，即时，等号成立， 故的最小值为； （2）因为，所以 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故函数的最小值. 20． 利用不等式求最值 （1）已知，且，求的最小值. （2）已知，且，求的最小值. 【答案】（1）9；（2）16 【分析】由条件可得，结合基本不等式分别求和的最小值. 【详解】（1）因为，， 所以， 所以， 当且仅当，时等号成立，即时等号成立， 所以的最小值为. （2）因为，， 由基本不等式可得，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 1 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在暑假】2025-2026学年新高一暑假衔接衔接培优讲义（人教A版） 专题2-2 基本不等式（1） 基本不等式是开学后第一次月考的重难点题型 高一学生初见它，笑容就渐渐消失，直呼：“这是基本不懂式”； 高二学生再见它，小小眼睛装大大的疑惑：“啊？这道题还得用它啊。” 高三学生刷到它相关的题，人生若只如初见：“我们高一高二的时候学过这个？” 总览 题型·解读 模块一 知识点与重点题型梳理 【题型1】直接利用基本不等式求最值 【题型2】 凑配法求最值 【题型3】分离常数法求最值 【题型4】“1”的妙用：乘“1”法 模块二 解题技巧突破 【题型5】“1”的妙用（2）：“1”的代换 【题型6】二次比一次型换元法求最值 【题型7】分母换元法（1）：单换元 【题型8】分母换元法（2）：双换元 【题型9】 和，积，平方和之间的转化 模块三 【课后作业】 题型汇编 知识梳理与常考题型 模块一 知识点与重点题型梳理 【题型1】直接使用基本不等式和常用不等式 基础知识 如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 基本不等式：若，则（或），当且仅当时取等号 常用不等式：若，则，当且仅当时取等号； 方法技巧总结：和与积的最值问题，直接使用基本不等式即可；和与平方和的问题需要用常用不等式来求最值 【例题1】已知x＞0，y＞0，且x+2y=2，则xy（ ） A．有最大值为1 B．有最小值为1 C．有最大值为 D．有最小值为 【例题2】已知，则的最大值为 ． 【例题3】已知正数，满足，则的最大值为 ． 【例题4】若，，则的最小值为______． 【巩固练习1】（24-25高一上·江苏连云港·期末）若，，且，则的最小值为 . 【巩固练习2】若，，且，则的最小值是________ 【巩固练习3】若, 则的最小值是 ; 此时的值为 . 【巩固练习4】已知，，且，则的最小值是________ 【题型2】 凑配法求最值 基础知识 配凑法：加上一个数或减去一个数使和(积)为定值，然后利用基本不等式求解． 1、通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式． 2、注意验证取得条件． 常见的配凑法求最值模型 模型一：，当且仅当时等号成立； 模型二：，当且仅当时等号成立 【例题1】若，则的最小值为 . 【例题2】已知，则的最小值是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【例题3】（24-25高一上·湖南湘潭·期末）已知，则的最小值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【巩固练习1】（24-25高一上·广东茂名·期末）当取得最小值时，（    ） A．0 B．1 C． D． 【巩固练习2】已知实数x＞3，则的最小值是（ ） A．24 B．12 C．6 D．3 【巩固练习3】（）的最小值为 ． 【题型3】分离常数法求最值 解题技巧 方法总结：对于分子分母中含有相同单一字母时，可以考虑分离常数 例1：（x>0） 例2： 【例题1】若，则函数的最小值为（ ） A．4 B．5 C．7 D．9 【例题2】的最小值是______. 【巩固练习1】已知，，，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【巩固练习2】已知，则的最小值为 . 【巩固练习3】已知，则的最小值是______，此时a=______． 【题型4】“1”的妙用：乘“1”法 解题技巧 方法总结：乘“1”法就是指凑出1，利用乘“1”后值不变这个性质，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值． 主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值 注意：验证取得条件． 【例题1】（广东广雅中学校考）若正实数a，b满足，则的最小值是________ 【例题2】已知且，则的最小值是 ． 【例题3】（24-25广东东莞·阶段练习）已知，且，则的最小值为（    ） A．4 B． C．6 D．8 【例题4】已知，，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】已知，，且，则的最小值为 ． 【答案】16 【解析】 当且仅当时等号成立.即当时，取得最小值为16. 【巩固练习2】（24-25高一下·湖南娄底·期中）已知，且，则的最小值是 . 【巩固练习3】（24-25高一下·辽宁朝阳·阶段练习）已知正数x，y满足，则的最小值为（   ） A．36 B．24 C．18 D．12 【巩固练习4】（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知，且，，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【巩固练习5】（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知，，且，则的最小值是 . 模块二 解题技巧突破 【题型5】“1”的妙用（2）：“1”的代换 解题技巧 方法总结：通过常数“1”的代换，把求解目标化为可以使用基本不等式求最值的式子，达到解题的目的． 【例题1】已知，，，则的最小值为 ． 【例题2】已知实数x，满足，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D．8 【巩固练习1】若，，且，则有最小是________ 【巩固练习2】正实数，满足，则的最小值是（    ） A． B． C．5 D． 【巩固练习3】（2024·安徽·三模）已知，且，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 【题型6】二次比一次型换元法求最值 解题技巧 基本模型：，当且仅当时等号成立 【例题1】已知，则的最小值为（    ） A．5 B．3 C． D．或3 【例题2】函数的最小值为 ． 【例题3】已知，则的最小值为 . 【巩固练习1】（2024·高一·江西南昌·期末）当时，函数的最小值为 ． 【巩固练习2】若，则函数的最小值为 . 【巩固练习3】求的最小值 . 【题型7】分母换元法（1）：单换元 解题技巧 对于两个分式的最值问题可以考虑整体法或换元法配凑 整体配凑法原理是把目标当作一个整体，然后利用基本不等式求最值. 单分母换元：把其中一个分母进行换元 【例题1】已知，则的最小值是________ A．6 B．8 C．4 D．9 【例题2】（24-25高一上·湖南衡阳·期末）已知，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【例题3】已知，其中，，，则的最小值为 ． 【巩固练习1】若，则的最小值是 ． 【巩固练习2】若，，，，则的最小值为 ． 【巩固练习3】已知，则的最小值是______. 【巩固练习4】（24-25高一下·河北保定·期中）已知x，y都是正数．若，且，则的最小值为 ． 【巩固练习5】（24-25高一下·浙江衢州·期末）已知实数，则的最小值为（   ） A． B． C．0 D． 【题型8】分母换元法（2）：双换元+配凑 解题技巧 双分母换元：可以把2个分母都换元 【例题1】若正实数满足，则最小值为________ 【例题2】（24-25高一上·湖北荆州·阶段练习）设正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】已知且，则的最小值为 . 【巩固练习2】已知实数，且，则的最小值是 ． 【巩固练习3】设x，y是正实数，且，则的最大值是 . 【巩固练习3】（24-25·江苏南京·阶段练习）已知，，且，则的最小值为 . 【题型9】 和，积，平方和之间的转化 解题技巧 涉及和，积，平方和的最值问题时利用基本不等式变形求解 常用不等式链：（主要用于和积转换） 【例题1】已知，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．8 D． 【例题2】（湖南长沙·高一长郡中学校考）已知，且，则的取值范围为 ． 【例题3】（24-25高一上·贵州·期中）已知，且，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（高一上·天津河北·期中）若，，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】若，则的最小值是 （    ） A． B．1 C．2 D． 【巩固练习3】已知实数，满足，则的最大值为________ 【巩固练习4】（多选题）已知正数满足，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习5】（24-25高一上·四川宜宾·期末）(多选)若，且，则（   ） A． B． C． D． 【巩固练习6】（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）（1）已知，求的最大值； （2）若，求的最小值； （3）已知为正实数，，求的最小值. 三 【课后作业】 1． 已知，则的最小值是 ． 2． （24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）（1）已知，求的最大值； （2）若，求的最小值； （3）已知为正实数，，求的最小值. 3． 已知，，且，证明： (1)；(2)． 4． （24-25高一上·江苏南京·阶段练习）(多选)若，，且，则下列说法正确的有（    ） A．的最小值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．的最小值是 5． 若，且，则的最小值为 ． 6． 设为正实数，且，则的最小值为 7． （2025·上海·高考真题）设，则的最小值为 ． 8． （江苏南通·二模）设，，，则的最小值为（　　） A． B． C． D．3 9． 的最小值为（ ） A．4 B．5 C．7 D．9 10． （24-25高一上·江苏扬州·期末）(多选)已知实数满足且，则下列说法正确的有（   ） A．若，则对任意实数， B．若，则 C．的最小值是 D．的最小值是 11． （24-25高一下·河北保定·阶段练习）已知，，且，则的最小值为 ． 12． 已知正数满足，则的最大值是（ ） A． B． C． D． 13． 已知，则函数的最小值是 ． 14． 若，则的最小值为______. 15． 正实数，满足，则的最小值是________ 16． 正实数a，b满足，则的最小值为______. 17． 已知，则的最小值是______，此时a=______． 18． （2024·高一·江苏苏州·期末）已知正数，满足，则的最小值为 . 19． （1）已知正数、满足，求 的最小值； （2）求函数的最小值． 20． 利用不等式求最值 （1）已知，且，求的最小值. （2）已知，且，求的最小值. 1 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $$