第十三章 三角形课件 2025-2026学年 人教版八年级数学上册

13.2　与三角形有关的线段 创新作业本八年级数学人教版 13.2.1　三角形的边 三角形的三边关系 1.人教版教材P7练习1改编下列长度的三条线段,能组成三角形的是 (　C　) A.1,3,4 B.2,2,7 C.4,5,7 D.3,3,6 2.(2024·西宁)若长度分别为3,6,a的三条线段能组成一个三角形,则整数a的值可以是　4(答案不唯一)　.(写出一个即可)  3.三角形的两边长分别为1和4,第三边的长为整数,则该三角形的周长为　9　.  　C　 　4(答案不唯一)　 　9　 创新作业本八年级数学人教版 4.已知三角形的两边长分别为8和10,第三边的长x最小. (1)求x的取值范围. (2)当x为何值时,围成的三角形周长最大?求出该三角形周长的最大值. 解:(1)由三角形的三边关系,得2<x<18. ∵x为最小, ∴x的取值范围是2<x≤8. (2)当x=8时,三角形的周长最大, 且最大值是8+10+8=26. 创新作业本八年级数学人教版 三角形的稳定性 5.下列图形中具有稳定性的是 (　A　) A B C D 6.下列图形中不具有稳定性的是 (　B　) A B　 C D 　A　 　B　 创新作业本八年级数学人教版 7.新情境如图,人字梯中间一般会设计一个“拉杆”,以增加使用梯子时的安全性,这样做的道理是 (　B　) A.两点之间的所有连线中,线段最短 B.三角形具有稳定性 C.经过两点有且只有一条直线 D.在连接直线外一点与直线上各点的线段中,垂线段最短 第7题图　　 　B　 创新作业本八年级数学人教版 8.下列说法:①自行车的三脚架;②三角形房梁;③照相机的三脚架;④门框的长方形架.其中利用三角形稳定性的是　①②③　.(填序号)  9.如图,钢架桥的设计中采用了三角形的结构,其数学道理是 　三角形具有稳定性　.  第9题图 　①②③　 　三角形具有稳定性　 创新作业本八年级数学人教版 10.四根木棒的长度分别为4 cm,5 cm,8 cm,11 cm.现从中取三根,使它们首尾顺次相接组成一个三角形,则这样的取法共有 (　C　) A.1种 B.2种 C.3种 D.4种 11.已知n是正整数,一个三角形的三边长分别是n+2,n+8,3n,则满足条件的n的值有 (　D　) A.4个 B.5个 C.6个 D.7个 　C　 　D　 创新作业本八年级数学人教版 12.根据平面图形的特性说明下列设计中应用的数学原理. (1)用两个钉子把木条固定在墙上. (2)有一个不稳当的凳子,一位同学找来两根木条钉成如图所示的样子. 第12题图 解:(1)两点确定一条直线. (2)三角形的稳定性. 创新作业本八年级数学人教版 13.如图,小明家有一个由六根钢管连接而成的钢架ABCDEF,为了使这个钢架稳固,他计划在钢架的内部用三根钢管连接使它不变形.请帮助小明解决这个问题.(画图说明,用两种不同的方法) 第13题图 解:如图所示 创新作业本八年级数学人教版 14.人教版教材P6例题改编用一条长为20 cm的细绳围成一个等腰三角形. (1)若腰长是底边的2倍,求等腰三角形的各边长. (2)这根细绳能围成有一边的长为10 cm的等腰三角形吗?为什么? (3)直接写出等腰三角形的腰长l的取值范围:　5 cm<l<10 cm　.  解:(1)4 cm,8 cm,8 cm. (2)不能.理由如下: 　5 cm<l<10 cm　 创新作业本八年级数学人教版 若腰长为10 cm,则底边为0 cm,不成立;若底边为10 cm,则腰长为5 cm,不能构成三角形,也不成立, 所以不能围成有一边的长为10 cm的等腰三角形. 创新作业本八年级数学人教版 15.如图1,点P是△ABC内部一点,连接BP,并延长交AC于点D. (1)试探究AB+BC+CA与2BD的大小关系. (2)试探究AB+AC与PB+PC的大小关系. (3)如图2,若点D,E是△ABC内部两点,试探究AB+AC与BD+DE+CE的大小关系. 第15题图 创新作业本八年级数学人教版 解:(1)AB+BC+CA>2BD.理由如下: ∵AB+AD>BD,BC+CD>BD, ∴AB+AD+BC+CD>BD+BD, 即AB+BC+CA>2BD. (2)AB+AC>PB+PC.理由如下: 在△ABD中,AB+AD>BP+PD, 在△PDC中,PD+DC>PC, 两式相加,得AB+AD+PD+DC>BP+PD+PC, 即AB+AC>PB+PC. (3)AB+AC>BD+DE+CE.理由如下: 创新作业本八年级数学人教版 如图,延长BD交CE的延长线于点G,交AC于点F. 在△ABF中,AB+AF>BD+DG+GF,① 在△GFC中,GF+AC-AF>GE+EC,② 在△DEG中,DG+GE>DE,③ ①+②+③,得AB+AC>BD+DE+CE. 创新作业本八年级数学人教版 13.2.2　三角形的中线、角平分线、高 三角形的中线 1.如图,AD是△ABC的中线,则下列结论中正确的是　 (　B　) A.AB=AC B.BD=CD C.BD=AD D.AC=AD 第1题图　　 　B　 创新作业本八年级数学人教版 2.沪科版教材P70T1改编在△ABC中,点D为边BC的中点,且S△ABC=4,则△ADC的面积为 (　A　) A.2 B.1 C. D. 3.如图,在△ABC中,AE是边BC上的中线,AB=8 cm,△ACE的周长比△AEB的周长多2 cm,则AC=　10　cm.  第3题图 　A　 　10　 创新作业本八年级数学人教版 三角形的角平分线 4.三角形的角平分线是一条 (　D　) A.射线 B.直线 C.线段或射线　 D.线段 　D　 创新作业本八年级数学人教版 5.如图,∠1=∠2,∠3=∠4,下列结论中错误的是 (　D　) A.BD是△ABC的角平分线 B.CE是△BCD的角平分线 C.∠ACB=2∠3 D.CE是△ABC的角平分线 第5题图　　　 　D　 创新作业本八年级数学人教版 6.如图,AD是△ABC的角平分线,AE是△ABD的角平分线.若∠BAC=80°,则∠EAD的度数是　20°　.  第6题图 　20°　 创新作业本八年级数学人教版 三角形的高 7.用三角尺作△ABC的边BC上的高,下列三角尺摆放的位置中正确的是 (　D　) A B C　 D 　D　 创新作业本八年级数学人教版 8.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点,那么这个三角形是 (　C　) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.不能确定 　C　 创新作业本八年级数学人教版 9.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是边AB上的高,AB=10,BC=8,AC=6,求△ABC的面积和CD的长. 第9题图 解:在△ABC中,把BC看作底,则AC是高, △ABC的面积为×6×8=24. 把AB看作底,则CD是高, 此时△ABC的面积为×10×CD=5CD, ∴24=5CD,∴CD=4.8. 创新作业本八年级数学人教版 10.如图,在△ABC中,若AD⊥BC,点E是边BC上一点,且不与点B,C,D重合,则以AD为高的三角形有 (　C　) A.4个 B.5个 C.6个 D.8个 第10题图　　 　C　 创新作业本八年级数学人教版 11.如图,在△ABC中,点D,E,F分别为BC,AD,CE的中点,且S△ABC=4 cm2,则阴影部分的面积为　1　cm2.  第11题图 　1　 创新作业本八年级数学人教版 12.人教版教材P10T8改编如图,点D是△ABC的边BC上一点,DE∥AC交AB于点E,DF∥AB交AC于点F,且∠ADE=∠ADF,AD是△ABC的角平分线吗?请说明理由. 第12题图 创新作业本八年级数学人教版 解:AD是△ABC的角平分线. 理由如下:∵DE∥AC,DF∥AB, ∴∠ADE=∠DAF, ∠ADF=∠DAE. 又∵∠ADE=∠ADF, ∴∠DAF=∠DAE. 又∵∠DAF+∠EAD=∠BAC, ∴AD是△ABC的角平分线. 创新作业本八年级数学人教版 13.如图,在△ABC中(AC>AB),AC=2BC,边BC上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分,求AC和AB的长. 第13题图 创新作业本八年级数学人教版 解:设BD=CD=x,AB=y, 则AC=2BC=4x. ∵边BC上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分,AC>AB, ∴AC+CD>AB+CD, ∴AC+CD=60,AB+BD=40, 即解得 当AB=28,BC=24,AC=48时,符合三角形三边关系定理,能组成三角形, ∴AC=48,AB=28. 创新作业本八年级数学人教版 14.核心素养·几何直观请仅用无刻度的直尺作图并填空,作图过程用虚线表示,作图结果用实线表示. (1)如图1,△ABC的中线CD,BE交于点O. ①作出边BC的中点F; ②若S四边形ADOE=4,则S△ABC的值为　　　　.  创新作业本八年级数学人教版 (2)如图2,△ABC的三个顶点的坐标为A(0,4),B(-1,b),C(2,c),BC经过原点O,AD,BE为△ABC的高. ①作出△ABC的高CF; ②S△ABO=　　　　,S△ACO=　　　　,AB·CF的值为　　　　.  图1　　图2 第14题图 创新作业本八年级数学人教版 解:(1)①如图1,连接AO,并延长AO交BC交于点F,则点F是BC的中点. ②设S△ADO=a,S△AEO=b. ∵CD,BE,AF是△ABC的中线, ∴AD=BD,AE=EC,BF=FC, ∴S△ADO=S△BDO=a,S△AEO=S△CEO=b,S△BOF=S△FOC,S△ABE=S△BCE,S△ABF=S△AFC, 即2a+b=S△BOC+b,则S△BOC=2a,∴S△BOF=S△FOC=a, ∴2a+a=2b+a,即a=b,∴S△ABC=6a=12.故答案为12. 创新作业本八年级数学人教版 (2)①如图2,延长AD,EB交于点H,连接CH,交AB的延长线于点F,则CF为边AB上的高. ②∵A(0,4), ∴AO=4, ∴S△ABO=×AO·|xB|=×4×1=2,S△ACO=×AO·|xC|=×4×2=4, ∴S△ABC=6=×AB·CF, ∴AB·CF=12. 故答案为2,4,12. 创新作业本八年级数学人教版 $$13.3　三角形的内角与外角 创新作业本八年级数学人教版 13.3.1　三角形的内角 第1课时　三角形的内角和 三角形的内角和定理 1.在△ABC中,∠A=60°,∠B=40°,则∠C的度数是　 (　B　) A.100° B.80° C.60° D.40° 2.如图,BO平分∠ABC,∠A=100°,∠C=30°,则∠OBC的度数是 (　B　) A.15° B.25° C.30° D.50° 第2题图　　 　B　 　B　 创新作业本八年级数学人教版 3.(2024·长沙)如图,在△ABC中,∠BAC=60°,∠B=50°,AD∥BC,则∠1的度数为 (　C　) A.50° B.60° C.70° D.80° 第3题图 4.沪科版教材P68T1改编在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=1∶3∶4,则∠C=　90°　.  　C　 　90°　 创新作业本八年级数学人教版 5.如图,在△ABC中,∠1=∠2=36°,∠3=∠4,求∠DAC的度数. 第5题图 解:∵∠1=∠2=36°, ∴∠ADB=180°-∠1-∠2=108°, ∴∠3=∠4=180°-∠ADB=72°. 在△ACD中,∠DAC=180°-(∠3+∠4)=180°-2×72°=36°. 即∠DAC=36°. 创新作业本八年级数学人教版 6.如图,在△ABC中,∠A=46°,CE是∠ACB的平分线,点B,C,D在同一条直线上,DF∥EC,∠D=42°,求∠B的度数. 第6题图 解:∵DF∥EC, ∴∠BCE=∠D=42°. ∵CE是∠ACB的平分线, ∴∠ACB=2∠BCE=84°. ∵∠A=46°, ∴∠B=180°-84°-46°=50°. 创新作业本八年级数学人教版 三角形的内角和的实际应用 7.新情境如图,考古学家发现在地下A处有一座古墓,古墓上方是煤气管道,为了不影响煤气管道,准备在B,C两处开工挖出“V”字形通道.若∠DBA=120°,∠ECA=135°,则∠BAC的度数是 (　A　) 第7题图 A.75° B.80° C.85° D.90° 　A　 创新作业本八年级数学人教版 8.新情境近年来,随着大家对身体健康的重视,骑自行车健身渐渐流行开来.图1是某品牌自行车放在水平地面的实物图,图2是其示意图,其中AB,CD都与地面平行,AM∥BC,∠BCD=65°,∠MAC=60°,则∠BAC的度数为　55°　.  第8题图 　55°　 创新作业本八年级数学人教版 9.核心素养·应用意识如图,按规定,一块模板中AB,CD的延长线应相交成85°角.因交点不在板上,不便测量,工人师傅连接AC,测得∠BAC=32°,∠DCA=65°,此时AB,CD的延长线相交所成的角是否符合规定?为什么? 第9题图 创新作业本八年级数学人教版 解:不符合规定. 如图,延长AB,CD交于点O. 在△AOC中,∠BAC=32°,∠DCA=65°, ∴∠AOC=180°-∠BAC-∠DCA=180°- 32°-65°=83°<85°, ∴模板不符合规定. 创新作业本八年级数学人教版 10.在△ABC中,∠A+∠B=130°,∠B+∠C=140°,则△ABC的形状是 (　B　) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.任意三角形 11.如图,在△ABC中,∠B=46°,∠ADE=40°,AD平分∠BAC,交边BC于点D,DE∥AB,交边AC于点E,则∠C的度数是 (　C　) 第11题图 A.46° B.66° C.54° D.80° 　B　 　C　 创新作业本八年级数学人教版 12.新考法当三角形中一个内角是另一个内角的3倍时,我们称此三角形为“梦想三角形”.如果一个“梦想三角形”有一个角为120°,那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为　15°或20°　.  　15°或20°　 创新作业本八年级数学人教版 13.如图,在△ABC中,点D是边BC上一点,∠B=50°,∠BAD=30°,将△ABD沿AD折叠得到△AED,AE与BC相交于点F. (1)填空:∠AFC=　　　　.  (2)求∠EDF的度数. 第13题图 解:(1)∵△ABD沿AD折叠得到△AED, ∴∠BAD=∠DAF=30°. ∵∠B=50°,∠BAD=30°, 创新作业本八年级数学人教版 ∴∠AFB=180°-∠B-∠BAD-∠DAF=70°, ∴∠AFC=180°-∠AFB=110°. 故答案为110°. (2)∵∠B=50°,∠BAD=30°, ∴∠ADB=180°-50°-30°=100°. ∵△ABD沿AD折叠得到△AED, ∴∠ADE=∠ADB=100°, ∴∠EDF=∠EDA+∠BDA-∠BDF=100°+100°-180°=20°. 创新作业本八年级数学人教版 14.新考法【提出问题】如图,AO,BO分别平分∠CAB,∠CBA,OD⊥AO交AB于点D,探究∠C与∠BOD的数量关系. (1)【特例探究】若∠CAB=50°,∠CBA=68°,则∠C与∠BOD的数量关系为　∠C=2∠BOD　.  (2)【一般情形】对于一般情形,(1)中结论还成立吗?请说明理由. 第14题图 　∠C=2∠BOD　 创新作业本八年级数学人教版 解:(2)成立.理由如下: 设∠OAB=x,∠OBA=y. ∵AO,BO分别平分∠CAB,∠CBA, ∴∠CAB=2x,∠CBA=2y, ∴∠AOB=180°-x-y,∠C=180°-2x-2y=2(90°-x-y). ∵OD⊥OA,∴∠AOD=90°, ∴∠BOD=∠AOB-90°=90°-x-y, ∴∠C=2∠BOD. 创新作业本八年级数学人教版 第2课时　直角三角形两锐角互余 直角三角形两锐角互余 1.在Rt△ABC中,∠A=90°,∠B=30°,则∠C的度数为 (　B　) A.30° B.60° C.90° D.45° 　B　 创新作业本八年级数学人教版 2.人教版教材P14T1改编如图,已知∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为点D,则下列说法中错误的是 (　D　) 第2题图 A.∠A与∠B互为余角 B.∠1与∠2互为余角 C.∠1与∠A互为余角 D.∠2与∠A互为余角 　D　 创新作业本八年级数学人教版 3.直角三角形的一个锐角∠A是另一个锐角∠B的4倍,那么∠B的度数是 (　A　) A.18° B.22.5° C.67.5° D.72° 　A　 创新作业本八年级数学人教版 4.如图,在△ADC中,∠A=30°,∠ADC=110°,BE⊥AC交AC于点E,求∠B的度数. 第4题图 解:在△ADC中,∠A=30°,∠ADC=110°, ∴∠C=180°-∠A-∠ADC=40°. ∵BE⊥AC, ∴∠BEC=90°, ∴∠B=90°-∠C=50°. 创新作业本八年级数学人教版 两锐角互余的三角形是直角三角形 5.在△ABC中,若∠A=37°,∠B=53°,则△ABC的形状是 (　C　) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.以上都有可能 6.沪科版教材P71T2改编下列选项中,不能说明△ABC是直角三角形的是 (　B　) A.∠A=90° B.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5 C.∠C=∠A+∠B D.∠A+∠C=90° 　C　 　B　 创新作业本八年级数学人教版 7.如图,AB∥CD,∠B=50°,∠C=40°,则△CEF是　直角　三角形(选填“锐角”“直角”或“钝角”).  第7题图 8.人教版教材P14T2改编如图,点E是△ABC的边AC上一点,过点E作ED⊥AB于点D.若∠1=∠2,则△ABC是直角三角形吗?为什么? 第8题图 　直角　 创新作业本八年级数学人教版 解:△ABC是直角三角形. 理由如下:因为ED⊥AB,所以∠ADE=90°,所以∠1+∠A=90°. 又因为∠1=∠2,所以∠2+∠A=90°,所以∠C=90°,所以△ABC是直角三角形. 创新作业本八年级数学人教版 9.在Rt△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=2∶m∶4,则m的值是 (　C　) A.3 B.4 C.2或6 D.2或4 10.把Rt△ABC与Rt△CDE放在同一水平桌面上,摆放成如图所示的形状,使两个直角顶点重合,两条斜边平行.若∠B=25°,∠D=58°,则∠BCE的度数是 (　B　) A.83° B.57° C.54° D.33° 第10题图　 　C　 　B　 创新作业本八年级数学人教版 　 11.如图,在△ABC中,AD是边BC上的高,BE平分∠ABC交AC于点E,∠BAC=60°,∠ABE=25°,则∠DAC的度数是　20° 　.  第11题图 12.如图,在△ABC中,点D为边AB上一点,∠A=∠2,∠1=∠B. (1)判断△ABC的形状. (2)判断CD是否与AB垂直. 第12题图 　20° 　 创新作业本八年级数学人教版 解:(1)△ABC是直角三角形.理由如下: ∵∠A=∠2,∠1=∠B, ∴∠A+∠2+∠1+∠B= 180°, ∴∠A+∠B=90°,∴∠ACB=90°, ∴△ABC是直角三角形. (2)CD⊥AB.理由如下: ∵∠A+∠B=90°,∠A=∠2, ∴∠2+∠B=90°, ∴∠CDB=90°,∴CD⊥AB. 创新作业本八年级数学人教版 13.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,AF平分∠CAB交CD于点E,交BC于点F. (1)如果∠CFE=70°,求∠B的度数. 第13题图 解:(1)∵∠ACB=90°,∠CFE=70°, ∴∠CAF=90°-70°=20°. ∵AF平分∠CAB, ∴∠CAB=2∠CAF=40°, ∴∠B=90°-40°=50°. 创新作业本八年级数学人教版 (2)证明:∠CEF=∠CFE. (2)证明:∵∠ACB=90°, ∴∠CAF+∠CFE=90°. ∵CD⊥AB,∴∠ADE=90°, ∴∠DAE+∠AED=90°. ∵AF平分∠CAB, ∴∠CAF=∠DAE, ∴∠CFE=∠AED. ∵∠AED=∠CEF, ∴∠CEF=∠CFE. 创新作业本八年级数学人教版 14.新考法【阅读理解】如果三角形的两个内角α与β满足2α+β=90°,那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”. 【基础巩固】(1)若△ABC是“准互余三角形”,∠C>90°,∠A=70°,则∠B的度数为　10°　.  【尝试应用】(2)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AD平分∠BAC,点E为DA的延长线上一点,∠DAC=2∠E,写出图中所有“准互余三角形”,并说明理由. 第14题图 　10°　 创新作业本八年级数学人教版 解:(2)△ABD,△EDC是“准互余三角形”. 理由如下: ∵∠ACB=90°, ∴∠B+∠BAC=90°. ∵AD平分∠BAC, ∴∠BAC=2∠BAD, ∴∠B+2∠BAD=90°,∴△ABD是“准互余三角形”. ∵∠ACB=90°,∴∠ADC+∠DAC=90°. ∵∠DAC=2∠E,∴∠ADC+2∠E=90°, ∴△EDC为“准互余三角形”. 创新作业本八年级数学人教版 13.3.2　三角形的外角 三角形外角的性质 1.如图,下列各角是△ABC的外角的是 (　C　) A.∠1 B.∠2 C.∠3 D.∠4 第1题图　　第2题图 2.(2025·庆阳期末)如图,与∠1+∠2+∠B相等的角为 (　A　) A.∠AEC B.∠ADB C.∠ACB D.∠DEC 　C　 　A　 创新作业本八年级数学人教版 3.如图,已知AB∥CD,∠D=81°,∠E=43°,则∠B的度数是(　D　) A.81° B.43° C.28° D.38° 第3题图　　第4题图 4.(2025·汕头期末)将一副直角三角尺按如图方式叠放在一起,则∠α的度数是　165°　.  　D　 　165°　 创新作业本八年级数学人教版 5.如图,在△ABC中,∠B=∠C,AE平分△ABC的外角∠CAD.求证:AE∥BC. 第5题图 证明:∵∠B=∠C, ∴∠CAD=∠B+∠C=2∠C. ∵AE平分∠CAD, ∴∠EAC= ∠CAD=∠C, ∴AE∥BC. 创新作业本八年级数学人教版 6.(一题多解)某零件的平面图如图所示,其中∠B=∠C=30°,∠A=40°,求∠ADC的度数. 第6题图 解:【解法一】如图,延长AD交BC于点E. ∵∠B=30°,∠A=40°,∴∠DEC=70°. ∵∠C=30°, ∴∠ADC=70°+30°=100°. 【解法二】如图,连接BD并延长至点E. 创新作业本八年级数学人教版 根据三角形外角的性质,可得∠ADE=∠A+∠ABD,∠CDE=∠C+∠CBD, ∴∠ADC=∠ADE+∠CDE=∠A+∠C+ ∠ABD+∠CBD=∠A+∠C+∠ABC=100°. 创新作业本八年级数学人教版 三角形的外角和 7.关于三角形的外角和,下列说法中正确的是 (　C　) A.三角形的外角和等于180° B.三角形的外角和就是所有外角的和 C.三角形的外角和等于所有外角的和的一半 D.以上都不对 　C　 创新作业本八年级数学人教版 8.人教版教材P16练习题改编如图,∠CBD,∠ADE为△ABD的两个外角,∠CBD=70°,∠ADE=150°,则∠A的度数是 (　C　) 第8题图 A.20° B.30° C.40° D.50° 　C　 创新作业本八年级数学人教版 9.如图,BP是∠ABC的平分线,CP是△ABC的外角的平分线,若∠ABP=20°,∠ACP=50°,则∠A的度数是 (　D　) A.30° B.40° C.50° D.60° 第9题图　　第10题图 10.如图,在△ABC中,∠BAC=80°,∠B=60°,AD⊥BC于点D,AE平分∠DAC,则∠AEC的度数是 (　B　) A.110° B.115° C.120° D.125° 　D　 　B　 创新作业本八年级数学人教版 11.已知三角形三个外角的度数比为2∶3∶4,则它的最大内角的度数是　100°　.  　100°　 创新作业本八年级数学人教版 12.(2025·新乡期末)如图,在△ABC中,∠A=70°,∠ACB的平分线CE分别与∠ABC和∠ABF的平分线交于点D,E,则∠BDC+∠E=　160°　.  第12题图　第13题图 13.跨学科·生物学如图所示是数学兴趣小组的同学用几何图形画出螳螂身体结构的简笔画,已知∠ACB=125°,∠ADE=70°,且DE∥BC.则∠CAD=　15°　.  　160°　 　15°　 创新作业本八年级数学人教版 14.如图,在△ABC中,∠C=80°,∠1=100°,∠2=∠3,BE平分∠ABC,求∠4的度数. 第14题图 创新作业本八年级数学人教版 解:∵∠1=∠3+∠C,∠1=100°,∠C=80°, ∴∠3=20°. ∵∠2=∠3, ∴∠2=10°, ∴∠ABC=180°-100°-10°=70°. ∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=35°. ∵∠4=∠2+∠ABE, ∴∠4=45°. 创新作业本八年级数学人教版 15.人教版教材P17T11改编如图,已知CE是△ABC的外角∠ACD的平分线,且CE交BA的延长线于点E. (1)若∠B=35°,∠E=20°,求∠BAC的度数. (2)求证:∠BAC=∠B+2∠E. 第15题图 创新作业本八年级数学人教版 解:(1)∵∠B=35°,∠E=20°, ∴∠ECD=∠B+∠E=55°. ∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线, ∴∠ACD=2∠ECD=110°, ∴∠BAC=∠ACD-∠B=75°. (2)证明:∵CE平分∠ACD, ∴∠ACE=∠DCE. ∵∠DCE=∠B+∠E,∴∠ACE=∠B+∠E. ∵∠BAC=∠ACE+∠E, ∴∠BAC=∠B+∠E+∠E=∠B+2∠E. 创新作业本八年级数学人教版 16.核心素养·推理能力如图,在△ABC中,∠B=∠C=45°,点D在边BC上,点E在边AC上,且∠ADE=∠AED. (1)当∠BAD=60°时,求∠CDE的度数. (2)当点D在边BC上(点B,C除外)运动时,写出∠BAD与∠CDE的数量关系,并说明理由. 第16题图 创新作业本八年级数学人教版 解:(1)∵∠ADC是△ABD的外角,∴∠ADC=∠B+∠BAD=105°. ∵∠AED是△CDE的外角, ∴∠AED=∠C+∠CDE. ∵∠B=∠C,∠ADE=∠AED, ∴∠ADC-∠CDE=∠C+∠CDE, 即105°-∠CDE=45°+∠CDE, 解得∠CDE=30°. (2)∠CDE=∠BAD.理由如下: 设∠BAD=x. ∵∠ADC是△ABD的外角, 创新作业本八年级数学人教版 ∴∠ADC=∠B+∠BAD=45°+x. ∵∠AED是△CDE的外角, ∴∠AED=∠C+∠CDE. ∵∠ADE=∠AED, ∴∠ADC-∠CDE=∠C+∠CDE, 即45°+x-∠CDE=45°+∠CDE,∴∠CDE=x, 即∠CDE=∠BAD. 创新作业本八年级数学人教版 ▶阶段小测(一) (测试范围:13.1~13.3　时间:45分钟　满分:100分) 一、选择题(本大题共6小题,每小题4分,满分24分) 1.如图,以BC为边的三角形有 (　C　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 第1题图　　 　C　 创新作业本八年级数学人教版 2.新情境如图,小明做了一个长方形框架,但发现它很容易变形.若要加固此长方形框架,则他应该选择的加固方案是 (　B　) A B C D 第2题图 第3题图 3.(2025·荆州期末)如图,为了估计池塘岸边A,B之间的距离,小聪在池塘的一侧选取一点O,测得OA=26 m,OB=18 m,则A,B之间的距离不可能是 (　A　) A.50 m B.40 m C.30 m D.20 m 　B　 　A　 创新作业本八年级数学人教版 4.如图,在△ABC中,点D,E分别是BC,AD的中点,且S△ABE=2,则图中阴影部分的面积为 (　C　) A.1 B.2 C.4 D.8 第4题图　　 　C　 创新作业本八年级数学人教版 5.如图,在△ABC中,∠1=∠2,点G为AD的中点,连接BG并延长交AC于点E.过点C作CF⊥AD交AD于点H,交AB于点F.下列说法中正确的是 (　B　) A.线段AD是△ABE的角平分线 B.线段CH是△ACD中边AD上的高 C.线段BE是△ABD中边AD上的中线 D.线段AH是△ABC的角平分线 第5题图 　B　 创新作业本八年级数学人教版 6.如图,在△ABC中,CD平分∠ACB交AB于点D,过点D作DE∥BC交AC于点E,DG平分∠BDE交BC于点G,点F为线段CG上一点.若∠DFC=∠DEC,∠A=α,则∠GDC的度数为 (　A　) A.α B.α C.α D.α 图第6题 　A　 创新作业本八年级数学人教版 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分) 7.新情境如图,由中企承建的“一带一路”项目佩列沙茨大桥成为克罗地亚南部的地标性建筑,斜拉索结构稳固,其中蕴含的数学道理是　三角形的稳定性　.  第7题图 8.新考法定义:一个三角形的一边长是另一边长的2倍,这样的三角形叫作“倍长三角形”.若△ABC是“倍长三角形”,有两条边的长分别为2和3,则第三条边的长为　1.5或4　.  　三角形的稳定性　 　1.5或4　 创新作业本八年级数学人教版 9.(2025·安庆期中)(1)生活中处处需要和谐,几何学也是如此.如图1所示的图形我们称之为“和谐8字形”,∠A,∠B,∠C,∠D之间的数量关系为　∠A+∠D=∠C+∠B　.  (2)在图2中∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P,交叉形成了多个“和谐8字形”.若∠D=42°,∠B=38°,则∠P=　40°　.  第9题图 　∠A+∠D=∠C+∠B　 　40°　 创新作业本八年级数学人教版 10.新情境如图1是义乌某商铺销售的一款落地的平板支撑架,AB,BC是可转动的支撑杆.调整支撑杆使得其侧面示意图如图2所示,此时平板DE∥AF,∠BAF=∠BCE,∠B=82°. 第10题图 (1)∠BCD=　41°　.  　41°　 创新作业本八年级数学人教版 (2)现将支撑杆AB调整至图3所示位置,调整过程中∠B,∠BCE大小不变,∠BAF=146°,再调整平板DE至D'E',使得D'E'∥AF,则∠DCD'=　75°　.  　75°　 创新作业本八年级数学人教版 三、解答题(本大题共5小题,满分56分) 11.(本题10分)(2025·合肥期末)若a,b,c是三角形的三边长,化简|a+b-c|-|a-b-c|. 解:∵a,b,c是三角形的三边长, ∴a+b>c,a<b+c.(5分) 则原式=-=a+b-c-b-c+a=2a-2c.(10分) 创新作业本八年级数学人教版 12.(本题10分)小辉用7根木条钉成一个七边形的木架,他为了使该木架稳固,想在其中加上四根木条,请你在图1、图2、图3中画出你的三种想法,并说明加上木条后使该木架稳固所用的数学道理. 第12题图 解:作图如图所示.数学道理:三角形具有稳定性. (画一个得3分,画两个得6分,画三个得10分) 创新作业本八年级数学人教版 13.(本题10分)沪科版教材P87T10改编如图,在△ABC中,CD平分∠ACB,CD交边AB于点E,在边AE上取点F,连接DF,使∠1=∠D. (1)求证:DF∥BC. 第13题图 解:(1)证明:∵CD平分∠ACB,∴∠DCB=∠1. ∵∠1=∠D,∴∠DCB=∠D, ∴DF∥BC.(5分) 创新作业本八年级数学人教版 (2)当∠A=40°,∠DFE=36°时,求∠2的度数. (2)∵DF∥BC,∠DFE=36°,∴∠B=∠DFE=36°. 在△ABC中,∠A=40°,∠B=36°, ∴∠ACB=180°-40°-36°=104°. 又∵CD平分∠ACB, ∴∠1=∠ACB=52°, ∴∠2=180°-40°-52°=88°.(10分) 创新作业本八年级数学人教版 14.(本题12分)如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,AE平分∠BAC. 第14题图 (1)若∠B-∠C=30°,求∠DAE的度数. (2)若∠B-∠C=α(∠B>∠C),则∠DAE=　　　　　　(用含α的式子表示).  解:(1)∵AD⊥BC,∴∠ADC=90°. ∵AE平分∠BAC,∴∠EAC=∠BAC. 　　　　　　 创新作业本八年级数学人教版 ∵∠BAC=180°-∠B-∠C, ∴∠EAC=90°-∠B-∠C.(4分) ∵∠DAC=90°-∠C, ∴∠DAE=∠DAC-∠EAC=90°-∠C-90°-∠B-∠C=(∠B-∠C). ∵∠B-∠C=30°,∴∠DAE=×30°=15°.(8分) (2)α.(12分) 创新作业本八年级数学人教版 15.(本题14分)跨学科·地理图1为北斗七星的位置图,将其抽象成图2,其中北斗七星分别标为点A,B,C,D,E,F,G,并将点顺次连接,天文小组发现AF恰好经过点G,且AF∥DE,∠B=∠BCD+5°,∠CDE=95°. 第15题图 (1)求出∠B-∠CGF的度数. (2)连接AD,当∠ADE与∠CGF满足怎样的数量关系时,BC∥AD,并说明理由. 创新作业本八年级数学人教版 解:(1)延长DC交AF于点K. ∵AF∥DE,∴∠GKC=∠D=95°,(4分) ∴∠B-∠CGF=∠BCD+5°-∠CGF=∠GKC+5°=∠D+5°=100°.(7分) (2)当∠ADE+∠CGF=180°时,BC∥AD.理由如下: ∵AF∥DE,∴∠GAD+∠ADE=180°.(10分) 当∠ADE+∠CGF=180°时, ∴∠GAD=∠CGF, ∴BC∥AD.(14分) 创新作业本八年级数学人教版 综合与实践　确定匀质薄板的重心位置 活动　探究三角形重心的性质 (2025·贵州遵义期末)【发现与探究】三角形的重心 创新作业本八年级数学人教版 三角形三条中线的交点叫三角形的重心.重心是个物理名词.从效果上看,我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点,这一点叫物体的重心.图1中,如果取一块均匀的三角形纸板,用一根细线绳从重心O处将三角形提起来,纸板就会处于水平状态.为什么会平衡呢?希望你经过下面的探索过程能得到答案.图2中,AD是△ABC的中线,△ACD与△ABD等底等高,面积相等,记作S△ACD=S△ABD.图3中,若△ABC三条中线AD,BE,CF交于点G,则GD是△GBC的中线,利用上述结论可得:S△GCD=S△GBD,同理S△GBF=S△GAF,S△GAE=S△GCE. 创新作业本八年级数学人教版 (1)图3中,若设S△GCD=x,S△GBF=y,S△GAE=z,猜想x,y,z之间的数量关系,并证明你的猜想. (2)由(1)可知被三条中线分成的六个三角形面积　　　　　　,如果△ABC面积为m,用含有m的代数式表示△BGC的面积为　　　　　　,BG∶GE=　　　　　　.  (3)图4中,点G是△ABC重心,点D,E在△ABC的边AB,AC上,BE,CD交于点G,BE=9,CD=12,BE⊥CD,求四边形AEGD的面积. 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 创新作业本八年级数学人教版 解:(1)x=y=z.理由如下: 由题意可知S△GCD=S△GBD=x,S△GBF=S△AGF=y,S△GAE=S△GCE=z. ∵S△ABD=S△ACD,∴2y+x=2z+x,∴y=z. ∵S△ABE=S△CBE,∴2x+z=2y+z,∴x=y, ∴x=y=z. (2)由(1)可知被三条中线分成的六个三角形面积相等,每个小三角形的面积是大三角形面积的, ∴△BGC的面积为2×m=m. ∵S△BGA=2S△GAE, ∴2GE=BG,即BG∶GE=2∶1. 创新作业本八年级数学人教版 故答案为相等,m,2∶1. (3)∵点G是△ABC的重心, ∴BG∶GE=CG∶GD=2∶1. ∵BE=9,CD=12, ∴BG=6,CG=8. ∵BE⊥CD, ∴S△BGC=×BG×CG=×6×8=24, ∴S△ABC=3S△BGC=72, S△BDG=S△CEG=S△BGC=12, ∴S四边形AEGD=72-12-12-24=24. 创新作业本八年级数学人教版 ★单元核心考点归纳 三角形的稳定性及两个关系 三角形的稳定性 1.如图,要使五边形木架(用五根木条钉成)不变形,至少要再钉上木条的根数为 (　B　) 第1题图 A.1 B.2 C.3 D.4 　B　 创新作业本八年级数学人教版 关系1　三角形的三边关系 2.在△ABC中,AB=8,BC=2,且AC为偶数,求△ABC的周长. 解:根据三角形的三边关系,得8-2<AC<8+2, 即6<AC<10. ∵AC为偶数,∴AC=8, ∴△ABC的周长为8+2+8=18. 创新作业本八年级数学人教版 关系2　三角形的内角、外角的关系 3.如图,在△ABC中,点D在边BC上,若∠1=∠B,∠2=∠C,则下列结论中错误的是 (　A　) A.∠ADC=∠C B.∠ADC=2∠B C.BA⊥AC D.∠C=∠ADB 第3题图　　 　A　 创新作业本八年级数学人教版 三角形中的重要线段 重要线段1　三角形的中线 4.如图,AD是△ABC的中线,DE是△ADC的中线,已知△ABC的面积为10,则△ADE的面积为 (　C　) A.5 B.3 C.2.5 D.2 第4题图 　C　 创新作业本八年级数学人教版 5.沪科版教材P72T4改编如图,在△ABC中,AB=4,AC=3,AD为边BC的中线.若△ACD的周长为8,则△ABD的周长是　　 (　B　) A.8 B.9 C.10 D.12 第5题图　　第6题图 重要线段2　三角形的角平分线 6.如图,在△ABC中,点D,E,F是边BC上的三点,且∠1=∠2=∠3=∠4,角平分线是AE的三角形为 (　D　) A.△ABE B.△ADF C.△ABC D.△ABC,△ADF 　B　 　D　 创新作业本八年级数学人教版 重要线段3　三角形的高 7.人教版教材P8探究改编如图,在△ABC中,边BC上的高为(　A　) 第7题图 A.AD B.BE C.BF D.CG 　A　 创新作业本八年级数学人教版 两种计算 计算1　三角形中内角计算 8.在△ABC中,∠A-∠C=35°,∠B-∠C=10°,求∠B的度数. 解:∵∠A-∠C=35°,∠B-∠C=10°, ∴∠A=35°+∠C,∠B=10°+∠C. ∵∠A+∠B+∠C=180°, ∴35°+∠C+10°+∠C+∠C=180°, 解得∠C=45°, ∴∠B=10°+∠C=55°. 创新作业本八年级数学人教版 计算2　三角形中外角计算 9.新情境(2025·漳州期末)抖空竹是我国的传统民间游艺活动,也是国家级非物质文化遗产之一.明代《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法的记述,明定陵亦有出土的文物为证,可见抖空竹在民间流行的历史至少有600年.通过观察抖空竹发现,可以将某一时刻的情形抽象成数学问题:如图,AB∥CD,∠BAE=94°,∠E=28°,求∠DCE的度数. 第9题图 创新作业本八年级数学人教版 解:如图,延长DC交AE于点F. ∵AB∥CD,∠BAE=94°, ∴∠DFE=∠BAE=94°. ∵∠DCE是△CEF外角, ∴∠DCE=∠E+∠DFE=28°+94°=122°. 即∠DCE的度数是122°. 创新作业本八年级数学人教版 五种数学思想 数学思想1　方程思想 10.如图,在△ABC中,CE是边AB上的高,点D是边BC上一点,∠B=∠ACB=∠BAD,∠CAD=∠CDA,求∠ACE的度数. 第10题图 解:设∠B=∠ACB=∠BAD=x, 则∠CAD=∠CDA=2x. 在△ACD中,2x+2x+x=180°, ∴x=36°,∴∠EAC=2x=72°. 创新作业本八年级数学人教版 ∵CE是AB上的高, ∴∠E=90°,∴∠ACE=90°-72°=18°. 创新作业本八年级数学人教版 数学思想2　转化思想 11.人教版教材P22T9改编(1)知识探究:如图1,在△ABC外有一点D,连接AD,CD,则∠BAD+∠B+∠BCD+∠D=　360°　.  (2)灵活运用:如图2,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=　360°　.  第11题图 　360°　 　360°　 创新作业本八年级数学人教版 数学思想3　分类讨论思想 12.已知等腰三角形的两边长度为7和15,则该三角形的周长为　37　.  　37　 创新作业本八年级数学人教版 数学思想4　从特殊到一般的思想 13.在△ABC中,∠ABC=∠ACB,CD⊥AB于点D. 第13题图 (1)如图1,若∠A=40°,则∠BCD的度数是　20°　.  (2)如图2,若∠BAC=100°,则∠BCD的度数是　50°　.  (3)若∠BAC=α,求∠BCD的度数(用含α的式子表示). 解:(3)∠BCD=α. 　20°　 　50°　 创新作业本八年级数学人教版 数学思想5　整体思想 14.如图,在△ABC中,高BD,CE相交于点H,∠1+∠2=246°,求∠BHC的度数. 第14题图 解:∵∠1+∠2=246°, ∴∠ABC+∠ACB=360°-246°=114°, ∴∠A=180°-114°=66°. ∵CE,BD为△ABC的高, 创新作业本八年级数学人教版 ∴∠AEH=∠ADH=90°, ∴∠EHD=360°-∠AEH-∠ADH-∠A=114°, ∴∠BHC=∠EHD=114°. 创新作业本八年级数学人教版 $$第十三章　三角形 13.1　三角形的概念 创新作业本八年级数学人教版 三角形及其有关概念 1.如图都是由三条线段组成的图形,其中是三角形的是 (　C　) A B C D 2.如图,其中三角形有 (　D　) A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 第2题图　　　　 　C　 　D　 创新作业本八年级数学人教版 3.人教版教材P4T1改编如图所示: (1)图中共有　5　个三角形,分别是　△ABE,△BEC,△DEC,△ABC,△BCD　.  (2)△CDE和△BCD的公共角是　∠D　,公共边是　CD　.  (3)在△ABC和△BEC中,∠ACB是边　AB　和　BE　的对角.  (4)BE是△　ABE　和△　BCE　的公共边.  第3题图 　5　 　△ABE,△BEC,△DEC,△ABC,△BCD　 　∠D　 　CD　 　AB　 　BE　 　ABE　 　BCE　 创新作业本八年级数学人教版 三角形的分类 4.下列说法中正确的是 (　B　) ①等腰三角形是等边三角形; ②三角形按边可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形; ③等腰三角形至少有两边相等; ④三角形按角分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形. A.①② B.③④ C.①②③④ D.①②④ 　B　 创新作业本八年级数学人教版 5.下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡,其中不能判断三角形类型的是 (　C　) A B C D 　C　 创新作业本八年级数学人教版 6.(2025·安庆月考)用下面的图表示三角形的分类,其中错误的是 (　D　) A D B C 　D　 创新作业本八年级数学人教版 7.新考法如图,已知点A,B,C,D,E,过这五个点中任意三点画三角形. 第7题图 (1)以AB为一边可以画出　3　个三角形.  (2)以点C为顶点可以画出　6　个三角形.  　3　 　6　 创新作业本八年级数学人教版 8.如图,AC丄CD于点C,点B在AD的延长线上,AE=AD,∠DAE=30°.问图中共有多少个三角形?并写出图中的锐角三角形、直角三角形、钝角三角形和等腰三角形. 第8题图 解:图中共有4个三角形. 锐角三角形:△ADE; 直角三角形:△ACD; 钝角三角形:△ACB,△BCD; 等腰三角形:△ADE. 创新作业本八年级数学人教版 $$