5.2　勾股定理及其逆定理 第1课时教案 2025-2026学年 湘教版八年级数学上册

5.2　勾股定理及其逆定理 第1课时 【教学目标】 1.认识勾股定理,并能用勾股定理解决简单问题. 2.理解勾股定理的探究方法. 3.让学生经历“观察一猜想—归纳—验证”的数学探究过程,并体会数形结合的思想方法. 4.让学生经历拼图实验、计算面积的过程,在过程中养成独立思考、合作交流的学习习惯. 【重点难点】 重点:勾股定理的证明与运用. 难点:用面积相等方法证明勾股定理. 【教学过程】 一、创设情境 向学生展示国际数学大会(ICM—2002)的会标图徽,并简要介绍其设计思路,从而激发学生对勾股定理的兴趣.可以首次提出勾股定理. 二、探究归纳 (一)探索勾股定理. 1.测量 (1)如图,在方格纸上(设小方格边长为单位1)画一个顶点都在格点上的直角三角形,使其两直角边分别为3,4,量出这个直角三角形斜边的长度. 学生测量,互相交流,教师巡视,然后教师让学生展示自己的答案,并给予肯定. (2)如图在方格纸上,以Rt△ABC的三边为边长分别向外作正方形,得到三个大小不同的正方形,如图,那么这三个正方形的面积S1,S2,S3之间有什么关系呢? 学生在练习本上尝试计算,教师巡视,然后学生给出答案. 生:小正方形S3的面积是AB2=52,小正方形S2的面积是AC2=42,正方形S1的面积是BC2=32. 生:因为32+42=52　所以S1+S2=S3 生:直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方. 师:是否对所有的直角三角形,都有两直角边的平方和等于斜边的平方呢? 2.推理 如图1,任作一个Rt△ABC,∠C=90°,若BC=a,AC=b,AB=c,那么a2+b2=c2是否成立呢? 师:多媒体出示下面步骤 步骤1　先剪出4个如图1所示的直角三角形,由于每个直角三角形的两直角边长为a,b(其中b>a),于是它们全等(边角边),从而它们的斜边长相等,设斜边长为c. 步骤2　再剪出1个边长为c的正方形,如图2所示. 步骤3　把步骤1和步骤2中剪出来的图形拼成如图3的图形. 师:重点强调步骤3的推理过程,通过多媒体进行展示, 过程略 3.性质定理 直角三角形两直角边a,b的平方和,等于斜边c的平方. a2+b2=c2 对于性质定理的几点认识: (1)古人称直角三角形的直角边中较短的一边为勾,较长的一边为股,斜边为弦,因此这一性质被称为勾股定理. (2)勾股定理只适用于直角三角形. (3)必须注意的是两直角边的平方和等于第三边的平方而不是和的平方. (4)对于勾股定理的公式不要死记,只有c表示斜边时公式才成立. 4.应用 例1　如图,在等腰三角形ABC中,已知AB=AC=13 cm,BC =10 cm,,AD⊥BC于点D.你能算出BC边上的高AD的长吗? 分析:根据等腰三角形的性质可得:△ABD是直角三角形,BD=5cm,然后利用勾股定理计算AD的长. 解:在△ABC中, 因为AB=AC=13,BC=10,AD⊥BC, 所以BD=BC=5. 在Rt△ADB中, 由勾股定理得,AD2+BD2=AB2, 所以AD====12, 故AD的长为12 cm. 例2　(“引葭赴岸”问题)“今有方池一丈,葭生其中央,出水一尺,引葭赴岸,适与岸齐,问水深,葭长各几何?”意思是:有一个边长为10尺的正方形池塘,一棵芦苇生长在池的中央,其出水部分为1尺,如果将芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边,它的顶端恰好碰到池边的水面.问水深与芦苇长各为多少? 分析:根据题意,先画出水池截面示意图,设AB为芦苇,BC为芦苇出水部分,即1尺,将芦苇拉向岸边,其顶部B点恰好碰到岸边B',这样构造一个直角三角形,然后利用勾股定理解答. 解:如图,设水池深为x尺, 则AC=x尺,AB=AB'=(x+1)尺. 因为正方形池塘边长为10尺,所以B'C=5尺. 在Rt△ACB'中,由勾股定理,得x2+52=(x+1)2, 解得x=12, 则芦苇长为13尺. 答:水池的深度为12尺,芦苇长13尺. 三、交流反思 勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系,在直角三角形中,若已知直角三角形任意两条边长,我们可以根据勾股定理,求出第三边的长. 四、检测反馈 1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=17,AC=15,则BC=________.  2.已知,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,若AC=4,BC=3,则CD=________.  3.长为10 m的梯子AB斜靠在墙上(墙与地面垂直),梯子顶端A到地面的距离AC为8 m,当梯子顶端A下滑2 m到A'时,底端B向右滑动________m.  五、布置作业 六、板书设计 5.2勾股定理及其逆定理 第1课时 探究 勾股定理 例 …… …… …… …… …… …… 七、教学反思 　　在教学中引导学生探究勾股定理的过程中,应该留给学生足够时间,为学生提供观察、思考、探索的时间.同时在应用勾股定理解决问题时,要注重引导学生寻找直角三角形的直角边、斜边,找准边之间的关系,这样能够使学生对勾股定理进一步的掌握,加深对勾股定理的理解. 　　缺点:利用勾股定理解决问题时,当已知条件中没有明确哪条是斜边时,要注意引导学生分类讨论,教学中对这一环节处理的不够好. 学科网（北京）股份有限公司 $$