第13章 三角形（章节培优满分特训卷）2025-2026学年人教版数学八年级上册尖子生练习卷（2025新教材）

第13章 三角形 试题数量：26题 试题满分：100分 难度系数：0.46（较难） 姓名： 学号： 试题说明：同学，你好。该份检测卷与衔接讲义同步配套，题目选自近两年各地名校真题，模拟题等。优选压轴题，常考题，易错题等类型题，试卷百分制，非常适合学生自我检测，教师备课使用。题目难度系数0-1，系数越小，难度越大。解析版思路清晰，解答过程简洁完整，对于学生提升知识应用能力，解题技巧非常有帮助 一、选择题（共10小题，每题2分，共20分） 1．（本题2分）（24-25八年级上·浙江杭州·期末）若等腰三角形的两边长分别是和，则它的周长为（　　） A． B． C． D．或 【答案】D 【思路引导】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．分两种情况进行分析，分别根据三角形的三边关系，判断能否构成三角形，即可求解． 【规范解答】解：当腰长是时，三边为，，，能构成三角形，故周长为． 当腰长是时，三边为，，，能构成三角形，故周长为． 故选：D． 2．（本题2分）（24-25八年级上·山东临沂·期末）如图，折叠凳及其侧面示意图，若，则折叠凳的宽可能为（） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了三角形三边关系．确定第三边的取值范围是解题的关键．由题意知，，即，然后判断作答即可． 【规范解答】解：根据题意，由三角形的三边关系得，， 综上所述，只有选项D正确，符合题意， 故选：D． 3．（本题2分）（24-25八年级上·辽宁盘锦·期末）如图，在中，，，分别是，，的中点．（阴影部分）的面积是4，则的面积为（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】C 【思路引导】本题考查了三角形的面积的求法，关键是找出三角形面积之间的关系． 根据三角形的面积公式得到，三角形的中线将三角形分为面积相等的两部分，据此解答即可． 【规范解答】解：∵是中点， ∴， ∵是中点， ∴，， ∴ ， ∴， 故选：C． 4．（本题2分）（2025·安徽芜湖·三模）如图，D，E两点分别在的两边，上，连接，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查邻补角性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 先根据邻补角性质求得，再根据三角形内角和定理求解即可． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 5．（本题2分）（24-25七年级下·河北秦皇岛·阶段练习）如图，等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 由三角形外角的性质得到，，继而得到，即可得到答案． 【规范解答】解：如图， ，， ， 故选：C． 6．（本题2分）（24-25八年级上·广西南宁·期中）如图，已知…，若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查图形类规律探索，熟练掌握三角形的外角性质、等腰三角形的性质及不完全归纳法的运用是解题关键． 根据三角形的外角性质和等腰三角形的性质可以写出前面几个的度数及其与顶点下标的关系,然后通过类比和不完全归纳法可以得到 ． 【规范解答】解：∵，， ， ∵， ∴ ， 同理可得： ，， ∴， ∴ 故选：C ． 7．（本题2分）（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，，边的垂直平分线分别交，于点，点是边的中点，点是上任意一点，连接，，若，，周长最小时，之间的关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】连接，根据线段垂直垂直平分线的性质可知，进而可得，由周长 ，可知当在同一直线上时，周长最小，再根据等腰三角形“三线合一”的性质可知为的平分线，即，最后根据三角形外角性质即得出，由此即可得出答案． 【规范解答】解：如图，连接， ∵直线是线段的垂直平分线，且在线段上， ∴， ∴， ∵周长， ∴周长， 由图可知为定值，当在同一直线上时，最小，即为的长， ∴此时周长最小． ∵是边的中点，， ∴为的平分线， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 【考点剖析】本题考查线段垂直垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角性质，根据题意理解当在同一直线上时周长最小是解题关键． 8．（本题2分）（17-18八年级上·浙江台州·期中）如图，在中，和的平分线相交于点O，过点O作交于F，交于E，过点O作于D，下列四个结论： ①；②；③当时，E，F分别是，的中点：④若，，则．其中正确的是（    ） A．①② B．③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【思路引导】本题考查了角平分线的定义、三角形内角和定理、三角形三边关系、平行线的性质，根据角平分线的定义和三角形内角和定理判断①；根据角平分线的定义和平行线的性质判断②；根据三角形三边关系判断③；根据角平分线的性质定理判断④． 【规范解答】解：∵在中，和的平分线相交于点O， ∴，， ∴ ，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∴，故②正确； 当时，， ∴、不是、的中点，故③错误； 作于， ， ∵和的平分线相交于点O， ∴点在的平分线上， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的是①②④， 故选：C． 9．（本题2分）（24-25八年级上·江西宜春·期中）如图，四边形中，，与，相邻的两外角的平分线交于点E，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题运用三角形外角的性质，角平分线的定义，连接，根据外角和角平分线得到，代入计算即可． 【规范解答】解：如图，连接， ∵、相邻的两外角平分线交于点E， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 10．（本题2分）（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，是边上的高，是的角平分线，垂直平分，垂足为点H，分别交于点，交的延长线于点M，连结；下列结论： ①； ②； ③； ④． 其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【思路引导】根据等角的余角相等对①进行判断；先利用角平分线的定义和三角形内角和得到，再加上，，则可对②进行判断；根据线段垂直平分线的性质得，所以，然后证明，则可对③进行判断；利用三角形外角性质对④进行判断． 【规范解答】解：，， ，， ， ，所以①正确； 是的角平分线， ， ， 而， ，所以②正确； 垂直平分， ， ， ， ， ，所以③正确； ， ，所以④正确． 故选：D． 【考点剖析】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义和三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 二、填空题（共8小题，每题2分，共18分） 11．（本题2分）（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，在中，，为边上的高，为边上的中线，，，则的长度是 ． 【答案】4 【思路引导】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线的性质、三角形的高、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键．首先根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得，进而可得的值，然后在的值，由勾股定理求解即可． 【规范解答】解：在中，，，为边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∵为边上的高， ∴， ∴． 故答案为：4． 12．（本题2分）（24-25八年级上·云南昭通·期中）如图，一条船上午时从海岛出发，以海里/时的速度向正北方向航行，上午时到达海岛处，分别从，处望灯塔，测得，．则海岛到灯塔C的距离为 海里． 【答案】 【思路引导】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形的外角性质，解题的关键是掌握相关知识．根据题意可得：海里，再根据三角形的外角性质可得，得到，即可求解． 【规范解答】解：根据题意可得：海里， ，， ， ， 海里， 即海岛到灯塔C的距离为海里， 故答案为：． 13．（本题2分）（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，是高，是上一点，连接与交于点，且满足，若，则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了线段的和差关系，由题意可得，即得，得到，最后根据线段的和差关系即可求解，正确识图是解题的关键． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（本题2分）（24-25七年级上·全国·期末）已知的边长a，b，c满足，若c为偶数，则的形状为 三角形．（按边分类） 【答案】等腰 【思路引导】本题考查平方以及绝对值的非负性，三角形的三边关系及其分类．由可得，，根据三角形的三边关系以及c为偶数可确定c的值，最后即可确定三角形的形状． 【规范解答】解：， ，， ，， ，， ，， ， 由c为偶数，可得， ， 的形状为等腰三角形． 故答案为：等腰． 15．（本题2分）（24-25八年级上·湖南益阳·期中）如图，在中，为上一点，分别是的中点，且，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查三角形的中线，根据三角形的中线平分面积进行求解即可． 【规范解答】解：∵分别是的中点， ∴， ∴，即：， ∴； 故答案为： 16．（本题2分）（24-25八年级上·天津·期中）如图，把纸片沿折叠，使点落在内部点处，若，则等于 ． 【答案】 【思路引导】本题考查三角形的内角和定理，轴对称的性质． 由三角形的内角和求出，再由折叠得到，进而平角的定义即可求解． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵折叠得到， ∴，， ∴， ∴ ． 故答案为： 17．（本题2分）（24-25八年级上·全国·期末）如图，，，，于点D，点F是延长线上一点，点E是线段上一点，，下面的结论：①；②；③是等边三角形；④，其中正确的是 ．（填序号） 【答案】①③④ 【思路引导】本题考查了垂直平分线基本性质，等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，综合程度较大，能够处理好各个角度之间的关系是解题关键． 设与的交点为点，先证得为的垂直平分线，再通过角度的换算和线段的等量关系换算可得到是等边三角形，故③正确；得到，又，可得到，故②错误；在上取P点，使得，证得，再通过线段的等量关系可知①正确；，，可得到，进而，从而故④正确． 【规范解答】解：设与的交点为点， ∵，， ∴，， ∴为的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形，故③正确； ∴， ∵， ∴，故②错误； 如图，在上取P点，使得， ∵， ∴为等边三角形， ∴，，， ∴， 又∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴， ∴， ∴故④正确， 故答案为： ①③④． 18．（本题2分）（22-23七年级下·江苏泰州·期中）如图，已知，点在射线上运动，点在射线上运动．和的角平分线交于点，、分别为、上的点，和的角平分线交于点．若点A、B在运动过程中，存在中有一个角是另一个角的2倍，则的度数为 ． 【答案】或，， 【思路引导】根据三角形的外角与角平分线求出的度数，同理可得的度数，根据中有一个角是另一个角的2倍，分情况讨论． 【规范解答】，， ， 平分，平分， ， ， ， 同理可得． 中有一个角是另一个角的2倍，分情况讨论： ①若， 则的内角和为， 这与三角形的内角和定理矛盾，故． ②若，则 ， 又， ． ③若，则 ， 又， ． ④若， 则的内角和为， 这与三角形的内角和定理矛盾，故． ⑤若，则 ， ， 平分， ，此时点C与点E重合，符合题意， ∴． ⑥若，则 ， ， 平分， ，此时点D与点E重合，符合题意， ∴． 综上所述：或． 故答案为：或，， 【考点剖析】本题考查三角形的内角、外角，角平分线，分类讨论思想，其中分类讨论是解题的关键． 三、解答题（共8小题，共64分） 19．（本题6分）（24-25八年级上·全国·随堂练习）如图，在中，D，E分别是边，上的点，连接，． (1)图中共有多少个以线段为边的三角形？用符号表示这些三角形． (2)图中共有多少个以点E为顶点的三角形？用符号表示这些三角形． 【答案】(1)2个； (2)2个；， 【思路引导】本题考查认识三角形，解题的关键是根据三角形的定义及角和边的概念进行解答． （1）由题意观察图形，结合三角形的特征进行以线段为边计数即可； （2）由题意依据三角形顶点为E结合图形进行观察即可 【规范解答】（1）解：以线段为边的三角形有2个，分别为，． （2）解：以点E为顶点的三角形有2个，分别为，． 20．（本题6分）（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，中，． (1)在内求作一点，使得点到、两点的距离相等，并且点到、的距离也相等（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连结、，若，求的度数． 【答案】(1)图见详解 (2) 【思路引导】（1）作线段的垂直平分线，作的角平分线，交于点，点即为所求． （2）证明，根据三角形内角和定理，构建关系式可得结论． 本题考查作图复杂作图，角平分线的性质定理，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【规范解答】（1）解：如图，点即为所求． （2）解：由作图可知垂直平分线段， ， ， 平分， ， ， ， ， ． 21．（本题8分）（2018·福建龙岩·一模）如图，在中，已知，的垂直平分线交于点，交于点，连接． (1)若，则的度数是 度； (2)若，的周长是． ①求的长度； ②若点为直线上一点，请你直接写出周长的最小值． 【答案】(1) (2)①；② 【思路引导】（）根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质即可求解； （）①根据线段垂直平分线的性质可得，然后求出的周长，再代入数据进行计算即可得解；②当点与重合时，周长的值最小，据此解答即可求解； 本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的三边关系掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：①∵是的垂直平分线， ∴， ∴的周长， ∵，的周长是， ∴； ②当点与重合时，周长的值最小， 理由：∵，， ∴与重合时，，此时最小， ∴周长的最小值． 22．（本题8分）（24-25九年级上·吉林松原·期中）阅读与理解： 图①是边长分别为和的两个等边三角形纸片和叠放在一起（点与点重合）的图形． 操作与证明： （1）操作：固定，将绕点按顺时针方向旋转，连接、，如图②，在图②中，线段与之间具有怎样的大小关系?证明你的结论； （2）操作：若将图①中的绕点C按顺时针方向任意旋转一个角度，连接、，如图③，在图③中，线段与之间具有怎样的大小关系?证明你的结论； 猜想与发现： 根据上面的操作过程，请你直接写出当为______度时，线段的长度最大，最大是______． 【答案】（1），证明见解析；（2），证明见解析；， 【思路引导】（1）根据等边三角形的性质以及旋转的性质证明即可； （2）根据等边三角形的性质以及旋转的性质证明即可，再根据三角形的三边关系即可求出的最大值． 【规范解答】解：（1）． 证明：绕点按顺时针方向旋转， 与是等边三角形， ，， ， ． （2）． 绕点按顺时针方向旋转的角度为， ， 与是等边三角形， ，， ， ． 根据上面的操作过程可知，由，当在上时即当为时 线段的长度最大，等于． 故答案为：，． 【考点剖析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，三角形的三边关系求最值． 23．（本题8分）（2024九年级下·浙江·专题练习）阅读下面材料： 我遇到这样一个问题：如图1，在正方形中，点、分别为、边上的点，，连接，求证：我是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是将绕点顺时针旋转得到（如图），此时即是． 请回答：在图2中，的度数是______． 参考我得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题： （1）如图3，在直角梯形中， ，，，是上一点，若，，求的长度． （2）如图4，中，，，以为边作正方形，连接．当______时，线段 有最大值，并求出的最大值． 【答案】；（1）；（2） ，CD最大值为 【思路引导】本题考查正方形的性质、勾股定理、三角形三边之间的关系属于综合题，仔细审题，理解题意是解决问题的关键． 阅读材料：根据旋转只改变图形的位置不改变图形的形状与大小可得，然后求出，再根据计算即可得解； 过点A作交的延长线于点，可得四边形是正方形，然后设，根据上面的结论表示出，再求出、，然后在中，利用勾股定理列式进行计算即可得解； 过点作，取，连接，，由勾股定理可求的长，由可证，可得，由三角形的三边关系可得． 【规范解答】解：阅读材料： 根据旋转， ，， ，， ，即； 过点作交的延长线于点， ，， ， ， 四边形是正方形， ， 根据上面结论，可知， 设， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， 故； 过点作，取， 连接，， ， ， ， 又，， ， ， 线段有最大值时，只需最大即可， 在中，， 当、、三点共线时， 取最大值，此时， 在等腰直角三角形中，， ， ， 最大为：，此时， 故答案为：． 24．（本题8分）（24-25八年级上·江苏镇江·期中）综合与探究：如图，已知，中，，点D为边上一点，连接，将沿直线折叠，得到，作平分交于F． 【尝试发现】 （1）①若，则 ； ②若，则 ； ③若，则 （用含的式子表示）； 【简单应用】 （2）如图1，若，，求证：； 【拓展延伸】 （3）如图2，若，过点F作的垂线交延长线于点G，在延长线上取点H，使，，试探究，，三条线段之间的数量关系并证明． 【答案】（1）①；②；③；（2）证明过程见详解；（3），理由见解析 【思路引导】（1）根据折叠的性质得出与全等，进而理由全等三角形的性质解答即可 （2）证明是等腰直角三角形，利用含角的直角三角形的选择解答即可； （3）证明是等边三角形，证明与全等，进而利用全等三角形的性质和含角的直角三角形的性质解答即可， 【规范解答】解：①将沿直线折叠，得到， ， ，，，， 平分， ， ， ， ， ，， ， ， ， ； ②， ， 解得：； ③， ； 故答案为：①；②；③； （2）∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 则， ∵， ∴ ∴， ∴ 在中，， ∴； （3）． 理由如下： ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 作于点， ∴， 设，，则，，， ∴， ∴， ∴， 设，，则，，， 在中，， ∴， ∴， ∴，即． 【考点剖析】此题是几何变换综合题，考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质和判定，含角的直角三角形的性质，关键是利用参数构建方程解决问题． 25．（本题10分）（23-24八年级下·广西南宁·开学考试）如图，与都是等边三角形，连接，，点，分别是，的中点，连接，，． (1)求证：； (2)求证：是等边三角形； (3)如图，与都是等腰直角三角形，连接，，点，分别是，的中点，连接，．若点恰好也是的中点，且，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【思路引导】（1）由等边三角形的性质得，，，可推导出，进而证明，得； （2）由，，且，证明，而，，可证明，得，，可推导出，则是等边三角形； （3）由等腰直角三角形的性质得，，，可推导出，进而证明，得，，而，，所以，可证明，得，，推导出，因为，点是的中点，所以，则 ，所以，． 【规范解答】（1）证明：∵与都是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴； （2）证明：∵点，分别是，的中点， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴，， ∴， ∴是等边三角形． （3）解：∵与都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴，， ∵点，分别是，的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴，， ∴， ∵，且点也是的中点， ∴， ∴ ， ∵，， ∴ ， ∴， ∴的面积为． 【考点剖析】此题是三角形综合题，重点考查等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、线段中点的定义、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，此题综合性强，难度较大，证明是解题的关键． 26．（本题10分）（23-24七年级下·贵州遵义·阶段练习）如图，，，的平分线交于点，的平分线交的延长线于点． (1)若，，则的度数为______度； (2)若，试探索，，的数量关系，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若，试探究的值是否为定值，若不是定值，请说明理由；若是定值，请求出值． 【答案】(1)60 (2)，理由见解析 (3)是定值，定值为2 【思路引导】本题考查平行线的判定和性质，三角形的内角和定理，三角形的外角，与角平分线有关的计算： （1），得到，，，得到，，角的和差关系，得到，角平分线得到，再利用三角形的内角和定理，求解即可； （2）先证明，得到，得到，得到，平分，得到，即可得出结论； （3）根据（2）的结论以及已知条件，分别求出，进而求出的值即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∵平分， ∴， ∴； 故答案为：60； （2），理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （3）是定值： ∵，且， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13章 三角形 试题数量：26题 试题满分：100分 难度系数：0.46（较难） 姓名： 学号： 试题说明：同学，你好。该份检测卷与衔接讲义同步配套，题目选自近两年各地名校真题，模拟题等。优选压轴题，常考题，易错题等类型题，试卷百分制，非常适合学生自我检测，教师备课使用。题目难度系数0-1，系数越小，难度越大。解析版思路清晰，解答过程简洁完整，对于学生提升知识应用能力，解题技巧非常有帮助 一、选择题（共10小题，每题2分，共20分） 1．（本题2分）（24-25八年级上·浙江杭州·期末）若等腰三角形的两边长分别是和，则它的周长为（　　） A． B． C． D．或 2．（本题2分）（24-25八年级上·山东临沂·期末）如图，折叠凳及其侧面示意图，若，则折叠凳的宽可能为（） A． B． C． D． 3．（本题2分）（24-25八年级上·辽宁盘锦·期末）如图，在中，，，分别是，，的中点．（阴影部分）的面积是4，则的面积为（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 4．（本题2分）（2025·安徽芜湖·三模）如图，D，E两点分别在的两边，上，连接，已知，则（    ） A． B． C． D． 5．（本题2分）（24-25七年级下·河北秦皇岛·阶段练习）如图，等于（   ） A． B． C． D． 6．（本题2分）（24-25八年级上·广西南宁·期中）如图，已知…，若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 7．（本题2分）（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，，边的垂直平分线分别交，于点，点是边的中点，点是上任意一点，连接，，若，，周长最小时，之间的关系是（　　） A． B． C． D． 8．（本题2分）（17-18八年级上·浙江台州·期中）如图，在中，和的平分线相交于点O，过点O作交于F，交于E，过点O作于D，下列四个结论： ①；②；③当时，E，F分别是，的中点：④若，，则．其中正确的是（    ） A．①② B．③④ C．①②④ D．①③④ 9．（本题2分）（24-25八年级上·江西宜春·期中）如图，四边形中，，与，相邻的两外角的平分线交于点E，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 10．（本题2分）（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，是边上的高，是的角平分线，垂直平分，垂足为点H，分别交于点，交的延长线于点M，连结；下列结论： ①； ②； ③； ④． 其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（共8小题，每题2分，共18分） 11．（本题2分）（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，在中，，为边上的高，为边上的中线，，，则的长度是 ． 12．（本题2分）（24-25八年级上·云南昭通·期中）如图，一条船上午时从海岛出发，以海里/时的速度向正北方向航行，上午时到达海岛处，分别从，处望灯塔，测得，．则海岛到灯塔C的距离为 海里． 13．（本题2分）（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，是高，是上一点，连接与交于点，且满足，若，则 ． 14．（本题2分）（24-25七年级上·全国·期末）已知的边长a，b，c满足，若c为偶数，则的形状为 三角形．（按边分类） 15．（本题2分）（24-25八年级上·湖南益阳·期中）如图，在中，为上一点，分别是的中点，且，则图中阴影部分的面积是 ． 16．（本题2分）（24-25八年级上·天津·期中）如图，把纸片沿折叠，使点落在内部点处，若，则等于 ． 17．（本题2分）（24-25八年级上·全国·期末）如图，，，，于点D，点F是延长线上一点，点E是线段上一点，，下面的结论：①；②；③是等边三角形；④，其中正确的是 ．（填序号） 18．（本题2分）（22-23七年级下·江苏泰州·期中）如图，已知，点在射线上运动，点在射线上运动．和的角平分线交于点，、分别为、上的点，和的角平分线交于点．若点A、B在运动过程中，存在中有一个角是另一个角的2倍，则的度数为 ． 三、解答题（共8小题，共64分） 19．（本题6分）（24-25八年级上·全国·随堂练习）如图，在中，D，E分别是边，上的点，连接，． (1)图中共有多少个以线段为边的三角形？用符号表示这些三角形． (2)图中共有多少个以点E为顶点的三角形？用符号表示这些三角形． 20．（本题6分）（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，中，． (1)在内求作一点，使得点到、两点的距离相等，并且点到、的距离也相等（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连结、，若，求的度数． 21．（本题8分）（2018·福建龙岩·一模）如图，在中，已知，的垂直平分线交于点，交于点，连接． (1)若，则的度数是 度； (2)若，的周长是． ①求的长度； ②若点为直线上一点，请你直接写出周长的最小值． 22．（本题8分）（24-25九年级上·吉林松原·期中）阅读与理解： 图①是边长分别为和的两个等边三角形纸片和叠放在一起（点与点重合）的图形． 操作与证明： （1）操作：固定，将绕点按顺时针方向旋转，连接、，如图②，在图②中，线段与之间具有怎样的大小关系?证明你的结论； （2）操作：若将图①中的绕点C按顺时针方向任意旋转一个角度，连接、，如图③，在图③中，线段与之间具有怎样的大小关系?证明你的结论； 猜想与发现： 根据上面的操作过程，请你直接写出当为______度时，线段的长度最大，最大是______． 23．（本题8分）（2024九年级下·浙江·专题练习）阅读下面材料： 我遇到这样一个问题：如图1，在正方形中，点、分别为、边上的点，，连接，求证：我是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是将绕点顺时针旋转得到（如图），此时即是． 请回答：在图2中，的度数是______． 参考我得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题： （1）如图3，在直角梯形中， ，，，是上一点，若，，求的长度． （2）如图4，中，，，以为边作正方形，连接．当______时，线段 有最大值，并求出的最大值． 24．（本题8分）（24-25八年级上·江苏镇江·期中）综合与探究：如图，已知，中，，点D为边上一点，连接，将沿直线折叠，得到，作平分交于F． 【尝试发现】 （1）①若，则 ； ②若，则 ； ③若，则 （用含的式子表示）； 【简单应用】 （2）如图1，若，，求证：； 【拓展延伸】 （3）如图2，若，过点F作的垂线交延长线于点G，在延长线上取点H，使，，试探究，，三条线段之间的数量关系并证明． 25．（本题10分）（23-24八年级下·广西南宁·开学考试）如图，与都是等边三角形，连接，，点，分别是，的中点，连接，，． (1)求证：； (2)求证：是等边三角形； (3)如图，与都是等腰直角三角形，连接，，点，分别是，的中点，连接，．若点恰好也是的中点，且，求的面积． 26．（本题10分）（23-24七年级下·贵州遵义·阶段练习）如图，，，的平分线交于点，的平分线交的延长线于点． (1)若，，则的度数为______度； (2)若，试探索，，的数量关系，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若，试探究的值是否为定值，若不是定值，请说明理由；若是定值，请求出值． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$