13.1 三角形的概念（同步培优满分特训卷）2025-2026学年人教版数学八年级上册尖子生练习卷（2025新教材）

13.1 三角形的概念 试题数量：26题 试题满分：100分 难度系数：0.50（较难） 姓名： 学号： 试题说明：同学，你好。该份检测卷与衔接讲义同步配套，题目选自近两年各地名校真题，模拟题等。优选压轴题，常考题，易错题等类型题，试卷百分制，非常适合学生自我检测，教师备课使用。题目难度系数0-1，系数越小，难度越大。解析版思路清晰，解答过程简洁完整，对于学生提升知识应用能力，解题技巧非常有帮助 一、选择题（共10小题，每题2分，共20分） 1．（本题2分）（24-25八年级上·吉林·期中）如图，这是一个三角形裁剪后剩余的部分图形，则原三角形不可能为（　　） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【答案】D 【思路引导】本题考查三角形的内角和定理和三角形的分类，会应用三角形的内角和定理和三角形的分类求解是解答的关键. 根据三角形的内角和定理和三角形的分类判断即可. 【规范解答】解：等边三角形的每一个内角均为，由图可知该三角形有一个内角为，故不可能为等边三角形，故选项D符合题意. 故选：D． 2．（本题2分）（24-25八年级上·浙江杭州·期末）有若干个三角形，这些三角形的所有内角中，有个直角，个钝角，个锐角，则在这些三角形中锐角三角形有（　　） A．个 B．个 C．个或个 D．个 【答案】B 【思路引导】本题考查了三角形内角和定理，先根据三角形内角的概念求出三角形的总数，再根据直角三角形和钝角三角形的个数，即可求解． 【规范解答】解：∵这些三角形的所有内角中，有个直角，个钝角，个锐角， ∴共有个三角形，且有个直角三角形，个钝角三角形， ∴有个锐角三角形， 故选：B． 3．（本题2分）（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，已知点，在直线上，点，，在直线上．以点，，，，中的任意三点作为三角形的顶点，可以组成的三角形共有（    ） A．3个 B．4个 C．6个 D．9个 【答案】D 【思路引导】本题考查了三角形的概念，解题的关键是：不重不漏写出所有的三角形． 根据三角形的概念即可解答． 【规范解答】解：可以组成的三角形有：，，，，，，，，共9个， 故选：D． 4．（本题2分）（24-25八年级上·安徽滁州·期末）在中，，则这个三角形是（   ） A．含角的直角三角形 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形 【答案】A 【思路引导】此题考查了三角形的内角和定理，三角形的分类，掌握知识点的应用是解题关键． 由，设，，，再根据三角形的内角和定理得出，解得，然后求出各内角即可判断． 【规范解答】解：∵， 设，，， ∵， ∴，解得：， ∴，，， ∴这个三角形是含角的直角三角形， 故选：． 5．（本题2分）（24-25八年级上·山东德州·期末）若的三个内角之比是，则是（   ） A．锐角三角形 B．各边不相等的直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【思路引导】本题考查三角形的内角和定理，利用三角形的内角和定理求出最大角的度数，进行判断即可． 【规范解答】解：由题意：， ∴的三个内角度数为，， ∴是等腰直角三角形， 故选：D． 6．（本题2分）（24-25六年级上·山东泰安·期中）如图所示的是一个由几个小三角形拼成的大三角形，则该图中三角形的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【思路引导】本题考查三角形的特征，熟练掌握三角形的特征是解题的关键； 根据三角形的特征即可求解； 【规范解答】解：根据图形观察，可以得到：一个小三角形有个，三个小三角形组成一个三角形有个，加上整个大三角形，共个； 故选：C 7．（本题2分）（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，钝角三角形的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了三角形的分类、钝角三角形的定义等知识点，确定各个钝角三角形成为解题的关键． 先列举出所有钝角三角形，然后再统计即可解答． 【规范解答】解：如图：钝角三角形有：、、、、，共5个． 故选D． 8．（本题2分）（24-25八年级上·辽宁铁岭·阶段练习）下列说法：将三角形按边分类可分为不等边三角形和等腰三角形；各边都相等的多边形是正多边形；角是轴对称图形，它的对称轴是这个角的平分线；到角的两边的距离相等的点在角的平分线上，其中正确的有（  ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【思路引导】本题考查了三角形的分类，正多边形，轴对称图形，角平分线的性质，根据三角形的分类，正多边形，轴对称图形，角平分线的性质逐一判断即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解：将三角形按边分类可分为不等边三角形和等腰三角形，原说法正确，故符合题意； 各边都相等且各边都相等的多边形是正多边形，原说法错误，故不符合题意； 角是轴对称图形，它的对称轴是这个角的平分线所在直线，原说法错误，故不符合题意； 在角的内部，到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上，原说法错误，故不符合题意； 综上可知：正确的有，共个， 故选：． 9．（本题2分）（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，在中，点是上的一点，点是上的一点，若，点是的五等分点，若的面积是，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了三角形的面积问题，三角形面积与底和高的关系，利用等高的两个三角形，其面积比等于底边的比，即可求出的面积，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】∵与等高，， ∴， ∵与等高，点是的五等分点， ∴， 故选：． 10．（本题2分）（20-21七年级上·北京昌平·期末）用若干根等长的小木棍搭建等边三角形（三边相等的三角形），搭建1个等边三角形最少需要3根小木棍，搭建2个等边三角形最少需要5根小木棍，搭建4个等边三角形最少需要小木棍的根数是（    ） A．12 B．10 C．9 D．6 【答案】D 【思路引导】要先根据题意，画出图形，通过对图形观察，思考，得出需要小木棍的根数，然后图形对比，选出最少需要小木棍的根数． 【规范解答】图1没有共用部分，要6根小木棍， 图2有共用部分，可以减少小木棍根数， 仿照图2得到图3，要7根小木棍， 同法搭建的图4，要9根小木棍， 如按图5摆放，外围大的等边三角形，可以得到5个等边三角形，要9根小木棍， 如按图6摆成三棱锥(西面体)就可以得到4个等边三角形， ∴搭建4个等边三角形最少需要小木棍6根． 故选：D 【考点剖析】此题考查的是组成图形的边的条数，解答此题需要灵活利用立体空间思维解答． 二、填空题（共8小题，每题2分，共18分） 11．（本题2分）（15-16八年级上·辽宁葫芦岛·期中）在中，若，则一定是 三角形． 【答案】直角 【思路引导】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形的分类，根据三角形内角和定理和已知条件求出的度数即可得到答案． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∴， ∴一定是直角三角形， 故答案为：直角． 12．（本题2分）（24-25八年级上·青海西宁·阶段练习）已知是的高，，，则的度数是 【答案】或 【思路引导】本题考查了三角形的高线，解题的关键是要分情况讨论．分高在内部和外部两种情况讨论求解即可． 【规范解答】解：①如图，当高在的内部时， ； ②如图，当高在的外部时， ， 综上所述，的度数为或， 故答案为：或． 13．（本题2分）（24-25八年级上·山东威海·期末）若干个三角形中，共有2个钝角、4个直角、21个锐角，这些三角形中锐角三角形的个数为 个． 【答案】3 【思路引导】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是．先根据角的个数判断三角形的个数，再根据三角形内角和定理，由于有4个直角，2个钝角，则有4个直角三角形和2个钝角三角形，则余下的三角形为锐角三角形． 【规范解答】解：共有个角，则共有（个）三角形， 而有4个直角，2个钝角， 所以有4个直角三角形和2个钝角三角形， 所以锐角三角形的个数． 故答案为：3． 14．（本题2分）（24-25八年级上·吉林·阶段练习）在三角形中，已知，按角的特点分类，此三角形是 三角形． 【答案】钝角 【思路引导】根据得到最大角为，大于，根据三角形的分类解答即可． 本题考查了三角形内角和定理，三角形的分类，熟练掌握定理和分类标准是解题的关键． 【规范解答】解：根据， 故三角形的最大角为， 大于， 故该三角形是钝角三角形． 故答案为：钝角． 15．（本题2分）（24-25七年级上·江苏南京·开学考试）数一数图中共有（   ）个三角形． 【答案】44 【思路引导】本题主要考查分类讨论的思想，根据三角形中包含的小三角形的个数进行分类求解，再求总数即可． 【规范解答】解：由一个小三角形组成的三角形数量为16个； 由二个小三角形组成的三角形数量为16个； 由四个小三角形组成的三角形数量为8个； 由八个小三角形组成的三角形数量为4个； 则共有个， 故答案为：44． 16．（本题2分）（23-24八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，若的顶点在射线上，且，动点从点出发，以每秒个单位沿射线运动． （1）当运动时间是 秒时，是直角三角形． （2）当运动时间的取值范围是 秒时，是钝角三角形． 【答案】 或 或 【思路引导】本题考查了含度角的直角三角形的性质，三角形的分类； （1）过作于，，交于，根据含度角的直角三角形的性质求得的长即可求解； （2）根据（1）的结论，结合图形，即可求解． 【规范解答】解：如图，过作于，，交于， 则，， ， ，， ， ，， ∴当运动时间为或时，是直角三角形． 故答案为：或． （2）由（1）可得，； 当运动时间的取值范围是或秒时，是钝角三角形． 故答案为：． 17．（本题2分）（23-24八年级上·吉林长春·期末）写出一个能说明命题“有两个角是锐角的三角形是锐角三角形，”是假命题的反例： ． 【答案】中，，，则是钝角三角形．（答案不唯一） 【思路引导】本题主要考查了举例说明命题为假命题，解题关键是熟练掌握三角形内角和定理和三角形形状． 【规范解答】解：若中，，，则中有两个锐角，但是钝角三角形． 故答案为：中，，，则是钝角三角形．（答案不唯一） 18．（本题2分）（24-25七年级上·江苏苏州·期中）如图，图①中有个三角形，在图①中的三角形内部（不含边界）取一点，连接该点与三角形的个顶点得到图②，图②中共有4个三角形．若在图②中的一个小三角形内部（不含边界）取一点，连接该点与该小三角形的个顶点得到图③．在虚线框中画出图③，图③中共有 个三角形．（写出所有可能的值） 【答案】或 【思路引导】本题考查了画三角形，根据题意画出图形即可求解，理解题意是解题的关键． 【规范解答】解：如图所示，共有两种情况： 由图可知，图③中共有或个三角形， 故答案为：或． 三、解答题（共8小题，共64分） 19．（本题6分）（23-24八年级上·广西河池·期中）根据条件画图，并回答问题： (1)画一个锐角（三边均不相等）； (2)作出 边上的中线和高； (3)写出两个以为高的三角形． 【答案】(1)即为所求的三角形 (2)见解析 (3)、（答案不唯一） 【思路引导】本题考查了三角形的中线和高线． （1）根据条件作出锐角； （2）作于；作的中点，连接即可； （3）根据三角形的高的定义和图形直接写出答案． 【规范解答】（1）解：如图所示：即为所求的三角形． （2）解：如图所示，过点作于点，即为边上的高线； 取的中点，连接，线段即为边上的中线； （3）解：如图所示，以为高的三角形可以是：、（答案不唯一）． 20．（本题6分）（24-25八年级上·湖北咸宁·期中）如图是由边长为1的小正方形组成的正方形网格，是格点三角形（三角形的三个顶点都在正方形的顶点）上． (1)是______三角形；（按角分类） (2)的面积是______； (3)作出格点，使与全等，且以A，B，C，D为顶点的四边形是轴对称图形．（作出一个符合要求的即可） 【答案】(1)钝角 (2)1 (3)见解析 【思路引导】本题考查了三角形的分类，轴对称图形等知识，解题的关键是： （1）根据三角形按角分类判断即可； （2）根据三角形面积公式求解即可； （3）根据轴对称的性质作图即可． 【规范解答】（1）解：是钝角三角形， 故答案为：钝角； （2）解：， 故答案为：1； （3）解：如图，即为所求， 或． 21．（本题8分）（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）图①、图②、图③均是（的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格点上，在给定的网格中按下列要求画图． (1)在图①中画一个，使它与全等； (2)在图②中画一个，使它与全等； (3)在图③中画一个，使是等腰三角形且为钝角三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【思路引导】本题考查了网格作图，全等三角形的判定与性质，三角形的分类，等腰三角形的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用网格特征，即可画出一个与全等的，即可作答． （2）运用网格特征，即可画出一个与全等的，即可作答． （3）根据是等腰三角形且为钝角三角形，且结合网格特征，即可作答． 【规范解答】（1）解：如图①所示 （2）解：如图②所示 （3）解：如图③所示 22．（本题8分）（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条． (1)在图1中，画的中线； (2)在（1）的基础上，在边上画点E，连接，使； (3)在图2中，画的高； (4)在（3）的基础上，在射线上，画点G，连接，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【思路引导】本题考查作图应用与设计作图，三角形的中线，高，线段的垂直平分线，解题的关键是理解题意，正确作出图形． （1）根据三角形的中线的定义画出图形； （2）作线段的垂直平分线交于点即可； （3）取格点，连接，线段即为所求； （3）取格点，，连接交于点，连接即可． 【规范解答】（1）解：如图1中，线段即为所求； （2）如图1中，线段即为所求； （3）如图2中，线段即为所求； （4）如图2中，线段即为所求． 23．（本题8分）（23-24八年级上·四川凉山·期末）“我们把多项式及叫做完全平方式．”如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等． 例如：分解因式： 解：原式 例如：求代数式的最小值． 解：， 因为：，所以：当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：____________． (2)当a，b为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． (3)已知a，b，c是的三条边，且满足，试判断的形状． 【答案】(1) (2)，时多项式有最小值，最小值4． (3)是等腰三角形． 【思路引导】本题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质．本题的解答关键在于熟练的掌握因式分解的方法． （1）根据阅读材料，先将变形为，再根据完全平方公式写成，然后利用平方差公式分解即可； （2）利用配方法将多项式转化为，然后利用非负数的性质解答； （3）利用配方法将多项式转化为，然后利用非负数的性质求出，，，即可判断的形状． 【规范解答】（1）解：， 故答案为： （2）解： ∵， ∴ ∴当，时，有最小值，最小值为4． 即，原式有最小值4． （3） ∴ 则， ∵， ∴，，， 解得，，， ∴， ∴是等腰三角形． 24．（本题8分）（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图①，已知线段相交于点，连接，则我们把形如这样的图形称为“8字型”． (1)求证：； (2)如图②，求的度数； (3)如图③，若和的平分线和相交于点，且与分别相交于点． ①以线段为边的“8字型”有___________个，以点为交点的“8字型”有___________个； ②若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①3，4，② 【思路引导】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，对顶角相等，解题的关键是熟练掌握三角形内角和为． （1）根据三角形内角和定理证明即可； （2）根据三角形内角和定理进行解答即可； （3）①根据“8字形”图形的定义进行解答即可； ②根据解析（1）的结论，得出，，根据角平分线的定义得出：，，求出，即可得出答案． 【规范解答】（1）证明：，，且， ． （2）解：，， ． （3）解：①以线段为边的“8字形”有： ，，，共3个； 以点O为交点的“8字形”有： ，，，，共4个． 故答案为：3；4； ②解：以点为交点的“8字型”中， 有， 以点为交点的“8字型”中， 有， ． 分别平分和， ， ． ， ． 25．（本题10分）（24-25八年级上·安徽淮北·期中）计算：如图1，已知，，求的度数． 归纳：与分别为的两个外角，与之间的数量关系为__________________，并给予证明． 应用：如图2，在纸片中剪去，得到四边形．若，则_______________． 拓展：如图3，在四边形中，，分别平分外角，，设 ①试说明与的数量关系； ②根据值的情况，请直接判断的形状（按角分类）． 【答案】计算：；归纳：，证明见解析；应用：；拓展：①；②当时，为钝角三角形；当，为直角三角形；当时，为锐角三角形； 【思路引导】计算：根据三角形外角的性质和三角形内角和定理求解即可． 归纳： 由，，，再进一步求解即可． 拓展：①利用角平分线的定义、三角形外角和内角和定理求解即可．②分三种情况：当时，当时，当时，分别判定即可. 【规范解答】解：计算：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 归纳：； 证明：， ． ，， ，， ∴， ∴， ∴； 应用：∵在纸片中剪去，得到四边形． ∴结合归纳可得：， ∵， ∴； 拓展： ①如图，∵，分别平分外角，， ∴，， ∴ ， ； ②当时， ， ， 为钝角三角形； 当时，， 为直角三角形； 当时， ， ， 由题意可得，， ，都是锐角． 为锐角三角形． 【考点剖析】本题考查角平分线的定义，三角形外角性质与内角和定理，三角形分类，四边形的内角和定理，熟练掌握三角形外角性质与内角和定理是解题的关键． 26．（本题10分）（16-17八年级下·重庆江津·期中）定义：如图（1），若分别以的三边，，为边向三角形外侧作正方形，和，则称这三个正方形为的外展三叶正方形，其中任意两个正方形为的外展双叶正方形．    (1)作的外展双叶正方形和，记，的面积分别为和； ①如图（2），当时，求证：； ②如图（3），当时，与是否仍然相等，请说明理由． (2)已知中，，，作其外展三叶正方形，记，，的面积和S，请利用图（1）探究：当的度数发生变化时，的值是否发生变化？若不变，求出的值；若变化，求出的最大值． 【答案】(1)①见解析；②相等，理由见解析 (2)变化，最大值为18 【思路引导】（1）①由正方形的性质可以得出，，，即可得出而得出结论； ②如图3，过点作于点，过点作交的延长线于点，通过证明就有而得出结论； （2）根据（1）可以得出，要使最大，就要使最大，当时最大，即可求出结论． 【规范解答】（1）解：①证明：正方形和正方形， ，，， ， ， ． 在和中， ， ． ， ． ②． 理由如下： 如图3，过点作于点，过点作交的延长线于点．     ． 四边形，四边形均为正方形， ，， ，． ． 在和中， ， ， ． ， ，， ； （2）的值发生变化；的最大值为18；理由如下： 由（1）得，是面积的三倍， 要使最大，只需的面积最大， 当是直角三角形，即时，有最大值． 此时，． 【考点剖析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定及性质、直角三角形的性质、三角形的面积公式；本题难度较大，综合性强，证明三角形全等是解决问题的关键． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 13.1 三角形的概念 试题数量：26题 试题满分：100分 难度系数：0.50（较难） 姓名： 学号： 试题说明：同学，你好。该份检测卷与衔接讲义同步配套，题目选自近两年各地名校真题，模拟题等。优选压轴题，常考题，易错题等类型题，试卷百分制，非常适合学生自我检测，教师备课使用。题目难度系数0-1，系数越小，难度越大。解析版思路清晰，解答过程简洁完整，对于学生提升知识应用能力，解题技巧非常有帮助 一、选择题（共10小题，每题2分，共20分） 1．（本题2分）（24-25八年级上·吉林·期中）如图，这是一个三角形裁剪后剩余的部分图形，则原三角形不可能为（　　） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 2．（本题2分）（24-25八年级上·浙江杭州·期末）有若干个三角形，这些三角形的所有内角中，有个直角，个钝角，个锐角，则在这些三角形中锐角三角形有（　　） A．个 B．个 C．个或个 D．个 3．（本题2分）（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，已知点，在直线上，点，，在直线上．以点，，，，中的任意三点作为三角形的顶点，可以组成的三角形共有（    ） A．3个 B．4个 C．6个 D．9个 4．（本题2分）（24-25八年级上·安徽滁州·期末）在中，，则这个三角形是（   ） A．含角的直角三角形 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形 5．（本题2分）（24-25八年级上·山东德州·期末）若的三个内角之比是，则是（   ） A．锐角三角形 B．各边不相等的直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 6．（本题2分）（24-25六年级上·山东泰安·期中）如图所示的是一个由几个小三角形拼成的大三角形，则该图中三角形的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 7．（本题2分）（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，钝角三角形的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．（本题2分）（24-25八年级上·辽宁铁岭·阶段练习）下列说法：将三角形按边分类可分为不等边三角形和等腰三角形；各边都相等的多边形是正多边形；角是轴对称图形，它的对称轴是这个角的平分线；到角的两边的距离相等的点在角的平分线上，其中正确的有（  ） A．个 B．个 C．个 D．个 9．（本题2分）（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，在中，点是上的一点，点是上的一点，若，点是的五等分点，若的面积是，则的面积为（    ） A． B． C． D． 10．（本题2分）（20-21七年级上·北京昌平·期末）用若干根等长的小木棍搭建等边三角形（三边相等的三角形），搭建1个等边三角形最少需要3根小木棍，搭建2个等边三角形最少需要5根小木棍，搭建4个等边三角形最少需要小木棍的根数是（    ） A．12 B．10 C．9 D．6 二、填空题（共8小题，每题2分，共18分） 11．（本题2分）（15-16八年级上·辽宁葫芦岛·期中）在中，若，则一定是 三角形． 12．（本题2分）（24-25八年级上·青海西宁·阶段练习）已知是的高，，，则的度数是 13．（本题2分）（24-25八年级上·山东威海·期末）若干个三角形中，共有2个钝角、4个直角、21个锐角，这些三角形中锐角三角形的个数为 个． 14．（本题2分）（24-25八年级上·吉林·阶段练习）在三角形中，已知，按角的特点分类，此三角形是 三角形． 15．（本题2分）（24-25七年级上·江苏南京·开学考试）数一数图中共有（   ）个三角形． 16．（本题2分）（23-24八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，若的顶点在射线上，且，动点从点出发，以每秒个单位沿射线运动． （1）当运动时间是 秒时，是直角三角形． （2）当运动时间的取值范围是 秒时，是钝角三角形． 17．（本题2分）（23-24八年级上·吉林长春·期末）写出一个能说明命题“有两个角是锐角的三角形是锐角三角形，”是假命题的反例： ． 18．（本题2分）（24-25七年级上·江苏苏州·期中）如图，图①中有个三角形，在图①中的三角形内部（不含边界）取一点，连接该点与三角形的个顶点得到图②，图②中共有4个三角形．若在图②中的一个小三角形内部（不含边界）取一点，连接该点与该小三角形的个顶点得到图③．在虚线框中画出图③，图③中共有 个三角形．（写出所有可能的值） 三、解答题（共8小题，共64分） 19．（本题6分）（23-24八年级上·广西河池·期中）根据条件画图，并回答问题： (1)画一个锐角（三边均不相等）； (2)作出 边上的中线和高； (3)写出两个以为高的三角形． 20．（本题6分）（24-25八年级上·湖北咸宁·期中）如图是由边长为1的小正方形组成的正方形网格，是格点三角形（三角形的三个顶点都在正方形的顶点）上． (1)是______三角形；（按角分类） (2)的面积是______； (3)作出格点，使与全等，且以A，B，C，D为顶点的四边形是轴对称图形．（作出一个符合要求的即可） 21．（本题8分）（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）图①、图②、图③均是（的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格点上，在给定的网格中按下列要求画图． (1)在图①中画一个，使它与全等； (2)在图②中画一个，使它与全等； (3)在图③中画一个，使是等腰三角形且为钝角三角形． 22．（本题8分）（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条． (1)在图1中，画的中线； (2)在（1）的基础上，在边上画点E，连接，使； (3)在图2中，画的高； (4)在（3）的基础上，在射线上，画点G，连接，使． 23．（本题8分）（23-24八年级上·四川凉山·期末）“我们把多项式及叫做完全平方式．”如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等． 例如：分解因式： 解：原式 例如：求代数式的最小值． 解：， 因为：，所以：当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：____________． (2)当a，b为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． (3)已知a，b，c是的三条边，且满足，试判断的形状． 24．（本题8分）（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图①，已知线段相交于点，连接，则我们把形如这样的图形称为“8字型”． (1)求证：； (2)如图②，求的度数； (3)如图③，若和的平分线和相交于点，且与分别相交于点． ①以线段为边的“8字型”有___________个，以点为交点的“8字型”有___________个； ②若，，求的度数． 25．（本题10分）（24-25八年级上·安徽淮北·期中）计算：如图1，已知，，求的度数． 归纳：与分别为的两个外角，与之间的数量关系为__________________，并给予证明． 应用：如图2，在纸片中剪去，得到四边形．若，则_______________． 拓展：如图3，在四边形中，，分别平分外角，，设 ①试说明与的数量关系； ②根据值的情况，请直接判断的形状（按角分类）． 26．（本题10分）（16-17八年级下·重庆江津·期中）定义：如图（1），若分别以的三边，，为边向三角形外侧作正方形，和，则称这三个正方形为的外展三叶正方形，其中任意两个正方形为的外展双叶正方形．    (1)作的外展双叶正方形和，记，的面积分别为和； ①如图（2），当时，求证：； ②如图（3），当时，与是否仍然相等，请说明理由． (2)已知中，，，作其外展三叶正方形，记，，的面积和S，请利用图（1）探究：当的度数发生变化时，的值是否发生变化？若不变，求出的值；若变化，求出的最大值． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$