三次函数的零点问题解透一题系列讲义-2026届高三数学一轮复习

第20题 三次函数的零点问题（解透一题） （2025届重庆南开中学高三第一次质量检测多选题T11） 若函数有三个零点，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C．若成等差数列，则 D．若成等比数列，则 试题问题背景是人教版教科书a版必修2P81页探究代数基本定理基础上，深入考察一元多项式方程根与系数之间的关系. 代数基本定理是处理多项式函数的零点问题的重要方法，注重知识的数学价值及应用功能，注重综合问题的分析及解决，体现了知识应用的融会贯通. 【方法一】 代数基本定理+韦达定理 根据零点的性质，结合二次函数的两根式类比推理可得，进而得出三次方程的韦达定理进行研究. 因为函数有三个零点， 所以， 变形为， 比较可得. 对于A: 因为(等号不成立) 所以，即错误. 故A错 对于B： 则 ， 所以，同理可求，， 那么 故B对． 对于C：由成等差数列可得 ， 结合（1），则代入（2），（3）有 故C对． 对于D：， 结合（1），（2）（3）消有 ， 故D错． 答案选BC. 【方法二】导数法定零点个数 三次函数有三个零点的条件如下： 1.导函数的判别式：设关于x的三次函数为（这里取），其定义域为R，)f(x)的导函数为，该导函数是一个二次函数，其判别式为，三次函数有三个零点时，导函数的判别式必须大于零，即. 2.极值点的函数值异号：如果一元三次函数有三个不同的零点，那么它的极大值和极小值必须异号，也就是说，极大值为正，极小值为负. 以上两个条件是三次函数有三个零点的基本条件.需要注意的是，这些条件是在实数范围内讨论的. 对于A：当时，，在上单调递增，仅一个零点． 本题貌似考察导数的问题，实质结合代数基本定理主要考查三次方程零点式及三次方程韦达定理． 要求我们深挖教材. 设实系数一元二次方程①，有两根， 则方程可变形为，展开得②， 比较①②可以得到 这表明，任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比.这就是我们熟知的一元二次方程的韦达定理. 事实上，与二次方程类似，一元三次方程也有韦达定理. 设方程有三个根，则有③ 1．若二次函数有两个零点、，则，类比此，若三次函数有三个零点、、，则 ． 2．若实数系一元二次方程在复数集内的根为，，则有，所以，(韦达定理)，类比此方法求解如下问题：设实数系一元三次方程在复数集内的根为，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．已知三次函数有三个不同的零点，函数也有三个零点，则（    ） A． B．若成等差数列，则 C． D． 4．若，是函数（，）的导函数的两个不同零点，且，，2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则（    ） A． B． C． D．4 5．函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数． (1)若函数的对称中心为，求函数的解析式． (2)由代数基本定理可以得到：任何一元次复系数多项式在复数集中可以分解为n个一次因式的乘积．进而，一元n次多项式方程有n个复数根（重根按重数计）．如设实系数一元二次方程，在复数集内的根为，，则方程可变形为，展开得：则有，即，类比上述推理方法可得实系数一元三次方程根与系数的关系． ①若，方程在复数集内的根为，当时，求的最大值； ②若，函数的零点分别为，求的值. 6．阅读一元二次方程韦达定理的推导过程，完成下列问题:设一元二次方程，则，展开得:，比较系数得:，于是. (1)已知一元三次方程的三个根为，类比于上述推导过程，求; (2)已知，若存在三个不相等的实数，求的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第20题 三次函数的零点问题（解透一题） （2025届重庆南开中学高三第一次质量检测多选题T11） 若函数有三个零点，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C．若成等差数列，则 D．若成等比数列，则 试题问题背景是人教版教科书a版必修2P81页探究代数基本定理基础上，深入考察一元多项式方程根与系数之间的关系. 代数基本定理是处理多项式函数的零点问题的重要方法，注重知识的数学价值及应用功能，注重综合问题的分析及解决，体现了知识应用的融会贯通. 【方法一】 代数基本定理+韦达定理 根据零点的性质，结合二次函数的两根式类比推理可得，进而得出三次方程的韦达定理进行研究. 因为函数有三个零点， 所以， 变形为， 比较可得. 对于A: 因为(等号不成立) 所以，即错误. 故A错 对于B： 则 ， 所以，同理可求，， 那么 故B对． 对于C：由成等差数列可得 ， 结合（1），则代入（2），（3）有 故C对． 对于D：， 结合（1），（2）（3）消有 ， 故D错． 答案选BC. 【方法二】导数法定零点个数 三次函数有三个零点的条件如下： 1.导函数的判别式：设关于x的三次函数为（这里取），其定义域为R，)f(x)的导函数为，该导函数是一个二次函数，其判别式为，三次函数有三个零点时，导函数的判别式必须大于零，即. 2.极值点的函数值异号：如果一元三次函数有三个不同的零点，那么它的极大值和极小值必须异号，也就是说，极大值为正，极小值为负. 以上两个条件是三次函数有三个零点的基本条件.需要注意的是，这些条件是在实数范围内讨论的. 对于A：当时，，在上单调递增，仅一个零点． 本题貌似考察导数的问题，实质结合代数基本定理主要考查三次方程零点式及三次方程韦达定理． 要求我们深挖教材. 设实系数一元二次方程①，有两根， 则方程可变形为，展开得②， 比较①②可以得到 这表明，任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比.这就是我们熟知的一元二次方程的韦达定理. 事实上，与二次方程类似，一元三次方程也有韦达定理. 设方程有三个根，则有③ 1．若二次函数有两个零点、，则，类比此，若三次函数有三个零点、、，则 ． 【答案】 【分析】根据零点的性质，结合类比推理可得答案. 【详解】若二次函数有两个零点， 则， 类比此，若三次函数有三个零点， 则， 故答案为：. 2．若实数系一元二次方程在复数集内的根为，，则有，所以，(韦达定理)，类比此方法求解如下问题：设实数系一元三次方程在复数集内的根为，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件，在类比一元二次方程，求出常数项和一次项系数即可求解. 【详解】因为实数系一元三次方程在复数集内的根为，，， 所以 ， 由对应系数相等，得，，所以，， 所以. 故选：A. 3．已知三次函数有三个不同的零点，函数也有三个零点，则（    ） A． B．若成等差数列，则 C． D． 【答案】ABD 【分析】求导根据两个极值点即可求解A，根据关于对称，结合等差中项即可求解B，根据图象即可求解C，利用因式分解可得，即可利用三元平方关系求解D. 【详解】由可得， 要使有三个不同的零点， 则有两个不相等的实数根，故， 即，A正确， 由于为二次函数，关于对称，因此 ， 故关于对称， 因此成等差数列，故是的对称中心，则，故B正确， 当时，作出的图象，则的图象与的图象交点如图所示， 由于，故，故C错误，    对于D，根据， 展开可得， 故， 同理可得的三个实数根为， 则， 故， 因此， 故， 即得，故D正确， 故选：ABD 关键点点睛：根据因式分解可得，进而根据求解. 4．若，是函数（，）的导函数的两个不同零点，且，，2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则（    ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】求出，利用韦达定理、等差中项、等比中项可得答案. 【详解】∵∴，， 所以为两个不等的负数，不妨设，则必有，2成等差数列， ，2，成等比数列，故有，，解得，， 可得，，. 故选：A. 5．函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数． (1)若函数的对称中心为，求函数的解析式． (2)由代数基本定理可以得到：任何一元次复系数多项式在复数集中可以分解为n个一次因式的乘积．进而，一元n次多项式方程有n个复数根（重根按重数计）．如设实系数一元二次方程，在复数集内的根为，，则方程可变形为，展开得：则有，即，类比上述推理方法可得实系数一元三次方程根与系数的关系． ①若，方程在复数集内的根为，当时，求的最大值； ②若，函数的零点分别为，求的值. 【答案】(1). (2). 【分析】（1）确定为奇函数，根据得到，解得答案； （2）①根据根与系数的关系确定，代入计算得到，根据范围得到最值；②取变换得到，得到根与系数的关系，确定，计算得到答案. 【详解】（1）由为奇函数，则恒成立. 即， 整理得：恒成立，故，解得， 故. （2）①若，则，由题有的三个实根为. 设， 展开得， 故， 则， 又，故， 综上：当时，的最大值为； ②时，，由有， 同时除以得，令，，， 由题知是方程的三个根， 则， 展开得，， 则. 【点睛】方法点睛：整体换元法可以简化分式的大部分运算，也体现了数学中转化思想. 6．阅读一元二次方程韦达定理的推导过程，完成下列问题:设一元二次方程，则，展开得:，比较系数得:，于是. (1)已知一元三次方程的三个根为，类比于上述推导过程，求; (2)已知，若存在三个不相等的实数，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先把式子展开再应用待定系数法即可求值； （2）根据函数求出导函数，根据导数正负得出函数单调性，再画出图像数形结合与有三个交点，即可求参数范围. 【详解】（1）由题意知， 展开得:， 比较系数得即. （2）令是的三个根， 即为的三个不等根，由上知. ， 于是单调递减，单调递增，单调递增， 且函数的大致图象如下:    为使得与有三个交点， 则故 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$