14.2.4 用HL判定两个直角三角形全等 导与练2025-2026学年人教版八年级上册数学

14.2.4 用HL判定两个直角三角形全等 导与练 知识要点： 1． 斜边和     分别相等的两个直角三角形全等，简写成    或   2．两直角边对应相等的两个直角三角形  依据是   3．有一锐角和一直角边或斜边对应相等的两个直角三角形     ，依据是   或    易错点睛： 如图，∠A＝∠D＝90°，AB＝CD，BE＝CF，求证：ΔABF≌ΔDCE. 【点睛】①误把BE＝CF看作两三角形对应边；②误把HL用作SAS. 典型例题： 题型一 用”HL”判定两个直角三角形全等 例1 如图，在RtΔABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D是AC上一点，点E在BC的延长，且AE＝BD，BD的延长线与AE相交于点F.试猜想BF与AE有何特殊的位置关系，并说明理由. 变式练习： 1、如图，已知AD，AF分别是钝角三角形ABC和钝角三角形ABE的高，且AD＝AF，AC＝AE.求证：BC＝BE. 题型二 用其他方法判定两个直角三角形全等 例1、 如图，在ΔABC中，AD为边BC上的中线，分别过点C，B作直线AD的垂线，垂足分别为E，F.求证：BF＝CE. 知识点睛 对于证明两个直角三角形全等，一般三角形全等的判定方法“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”同样适用，要根据所给条件灵活选用适当的方法. 变式练习： 1、 ［教材P42例5变式题］如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD＝BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E，F.求证：CE＝DF. 2、如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE，CD相交于点0，且AB＝AC，连接AO． （1）图中共有几对全等三角形？请一一列出． （2）请选择一对全等三角形进行证明． 题型三 图形变换中全等三角形的探究题 例3、已知点A，E，F，C在一条直线上，且AE＝CF，过点E，F分别作 DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E，F，且AB＝CD. （1）如图①，若EF与BD相交于点G，则EG与FG相等吗？请说明理由. （2）如果将图①中ΔDEC的边EC沿AC方向移动至如图②所示的位置，其余条件不变，那么（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 技巧点拨 类比、探究类问题的主要特征是图形结构类似或问法类似，此类题往往需要：①找特征（中点、特殊角等）；②找上一问中的全等三角形在下一问中是否依然存 在；③借助小题之间的联系，寻找条件和思路时，可照搬上一问的解题方法和思路. 变式练习： 1、 如图①，在ΔABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AE是过点A的一条直线，且点B，C位于直线AE的异侧，BD1AE于点D，CELAE于点E. （1）求证：BD＝DE＋CE． （2）若直线AE绕点A旋转到如图②所示的位置（BD＜CE），点B，C在直线AE的同侧，其余条件不变，则BD与DE，CE有何数量关系？请予以证明. （3）若直线AE绕点A旋转到如图③所示的位置（BD＞CE），点B，C在直线AE的同侧，其余条件不变，则BD与DE，CE有何数量关系？请直接写出结果，不需证明。 基础练习： 1、 如图，在ΔABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，AC＝AE，且∠CDA＝55°，则∠B的度数为   2、如图，AC⊥AB，BD⊥CD，请添加一个条件，使ΔABC≌ΔDCB． ； （1）添加     ，根据是（AAS）；    （1） 添加_____ __,根据是（AAS） （2） 添加    ，根据是（HL）； （3） 添加  ，根据是（HL）. 第1题 第2题 第3题 2、 如图，MN//PQ，AB⊥PQ，点A，D在直线MN上，点B，C在直线PQ上，点E在AB上，AD＋BC＝7，AD＝EB，DE＝EC，则AB＝ ． 4、如图，BD，CE是ΔABC的高，且BE＝CD．求证：AE＝AD． 5、【教材变式】如图，在ΔABC中，D是AB的中点，DM⊥AC于点M，DN⊥BC于点N，且DM＝DN． （1）求证：AM＝BN； （2）求证：AC＝BC． 综合探究 6、（1）【问题背景】如图1，已知∠ADB＝∠AEC＝90°，AD＝AE，AB＝AC．求证：EC＝DB； （2）【尝试应用】如图2，已知点A（2,2），点C在x轴正半轴上，点B在y轴的负半轴上，AB＝AC．求OC-OB的值； （3）【拓展创新】如图3，已知A（t，t），点D在x轴正半轴上，点B在y轴负半轴上，且∠ADB＝∠ADx，直接写出OD＋BD-OB的值为    （用含t的式子表示）. 答案： 知识要点： 2． 斜边和  一条直角边  分别相等的两个直角三角形全等，简写成 斜边、直角边  或  HL 2．两直角边对应相等的两个直角三角形 全等依据是  SAS 3．有一锐角和一直角边或斜边对应相等的两个直角三角形  全等  ，依据是  AAS 或  ASA 易错点睛： 如图，∠A＝∠D＝90°，AB＝CD，BE＝CF，求证：ΔABF≌ΔDCE. 【点睛】①误把BE＝CF看作两三角形对应边；②误把HL用作SAS. 证明略. 典型例题： 题型一 用”HL”判定两个直角三角形全等 例1 如图，在RtΔABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D是AC上一点，点E在BC的延长，且AE＝BD，BD的延长线与AE相交于点F.试猜想BF与AE有何特殊的位置关系，并说明理由. 解：猜想：BF⊥AE.理由： ∵∠ACB=90°,∴∠BCD=∠ACE=90°. RtΔBDC≌RtΔAEC(HL)∴∠CBD=∠CAE. ∵∠CAE+∠E=90°,∴∠EBF+∠E=90°. ∴∠BFE=180°-∠EBF-∠E=180°-90°=90°, ∴BF⊥AE. 变式练习： 1、如图，已知AD，AF分别是钝角三角形ABC和钝角三角形ABE的高，且AD＝AF，AC＝AE.求证：BC＝BE. 证明：∵AD，AF分别是钝角三角形ABC和钝角三角形ABE的高， ∴∠ADC＝∠AFE＝90°． 在RtΔADC和RtΔAFE中， AC=AE, AD=AF, ∴RtΔADC≌RtΔAFE(HL)∴CD=EF. 在RtΔABD和RtΔABF中， AB=AB,  AD=AF, ∴RtΔABD≌RtΔABF(HL)∴BD=BF. ∴BD-CD＝BF-EF，即BC＝BE. 题型二 用其他方法判定两个直角三角形全等 例2、 如图，在ΔABC中，AD为边BC上的中线，分别过点C，B作直线AD的 垂线，垂足分别为E，F.求证：BF＝CE. 证明：∵CE⊥AF，BF⊥AF，∴∠CED＝∠BFD＝90°． ∵AD为边BC上的中线，∴BD＝CD. 在ΔBFD和ΔCED中，∠BFD=∠CED, ∠BDF=∠CDE,BD=CD, ∴ΔBFD≌ΔCED(AAS)∴BF=CE. 知识点睛 对于证明两个直角三角形全等，一般三角形全等的判定方法“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”同样适用，要根据所给条件灵活选用适当的方法. 变式练习： 2、 ［教材P42例5变式题］如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD＝BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E，F.求证：CE＝DF. 证明：根据ΔBCE≌ΔADF 易证CE＝DF.（略） 2、如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE，CD相交于点0，且AB＝AC，连接AO． （1）图中共有几对全等三角形？请一一列出． （2）请选择一对全等三角形进行证明． 解：（1）4对．分别是 ΔADC≌ΔAEB,  ΔBOD≌ΔCOE,  ΔADO≌ΔAEO,  ΔAOB≌ΔAOC.  （2）选证ΔADC≌ΔAEB．(略) 题型三 图形变换中全等三角形的探究题 例3、已知点A，E，F，C在一条直线上，且AE＝CF，过点E，F分别作 DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E，F，且AB＝CD. （1）如图①，若EF与BD相交于点G，则EG与FG相等吗？请说明理由. （2）如果将图①中ΔDEC的边EC沿AC方向移动至如图②所示的位置，其余条件不变，那么（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 解：（1）EG＝FG．理由： ∵AE＝CF，∴AE＋EF＝CF＋EF，即AF＝CE.  ∵BF⊥AC,DE⊥AC,∴∠AFB=∠CED=90°.  在RtΔABF和RtΔCDE中， AB=CD,  AF=CE,  ∴RtΔABF≌RtΔCDE(HL)∴BF=DE.  在ΔDEG和ΔBFG中，∠DGE=∠BGF, ∠DEG=∠BFG, DE=BF,  ∴ΔDEG≌ΔBFG(AAS)∴EG=FG.  （2）当ΔDEC的边EC沿AC方向移动至如图②所示的位置时，仍有EG＝FG.理由： ∵AE＝CF，∴AE-EF＝CF-EF，即AF＝CE. 同（1），可得EG＝FG． 技巧点拨 类比、探究类问题的主要特征是图形结构类似或问法类似，此类题往往需要：①找特征（中点、特殊角等）；②找上一问中的全等三角形在下一问中是否依然存 在；③借助小题之间的联系，寻找条件和思路时，可照搬上一问的解题方法和思路. 变式练习： 2、 如图①，在ΔABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AE是过点A的一条直线，且点B，C位于直线AE的异侧，BD1AE于点D，CELAE于点E. （1）求证：BD＝DE＋CE． （2）若直线AE绕点A旋转到如图②所示的位置（BD＜CE），点B，C在直线AE的同侧，其余条件不变，则BD与DE，CE有何数量关系？请予以证明. （3）若直线AE绕点A旋转到如图③所示的位置（BD＞CE），点B，C在直线AE的同侧，其余条件不变，则BD与DE，CE有何数量关系？请直接写出结果，不需证明。 （4） 证明：∵BD⊥AE，CE⊥AE， ∴∠ADB=∠AEC=90°.∴∠ABD+∠BAD=90°.  又∠BAC＝90°∴∠CAE＋∠BAD＝90°． ∴∠ABD=∠CAE.  在ΔABD和ΔCAE中，∠ADB=∠CEA, ∠ABD=∠CAE, AB=CA, ∴ΔABD≌ΔCAE(AAS)∴BD=AE,AD=CE. ∵AE=AD+DE,∴BD=DE+CE. （2）解：BD＝DE-CE．证明如下 ∵BD⊥AE,CE⊥AE,∴∠ADB=∠AEC=90°. ∴∠ABD+∠BAD=90° 又∠BAC＝90°，∴∠CAE＋∠BAD＝900 ∴∠ABD=∠CAE. 在△ADB和△CEA中：∠ADB=∠CEA, ∠ABD=∠CAE,AB=CA ∴△ADB≌△CEA(AAS)∴BD=AE,AD=CE ∴BD=AE=DE-AAD=DE-CE (3) 解：BD=DE-CE 基础练习： 3、 如图，在ΔABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，AC＝AE，且∠CDA＝55°，则∠B的度数为  20 2、如图，AC⊥AB，BD⊥CD，请添加一个条件，使ΔABC≌ΔDCB． ； （1）添加  ∠ABC=∠DCB  ，根据是（AAS）；    （5） 添加_____∠ACB=∠DBC__,根据是（AAS） （6） 添加  AB＝CD ，根据是（HL）； （7） 添加  AC＝BD，根据是（HL）. 第1题 第2题 第3题 4、 如图，MN//PQ，AB⊥PQ，点A，D在直线MN上，点B，C在直线PQ上，点E在AB上，AD＋BC＝7，AD＝EB，DE＝EC，则AB＝7． 4、如图，BD，CE是ΔABC的高，且BE＝CD．求证：AE＝AD． 证明：∵BD．CE是ΔABC的高， ∴∠BEC＝∠AEC＝∠ADB＝∠CDB＝90°， 在RtΔBEC和RtΔCDB中， BC=BC, BE=CD, ∴RtΔBEC≌RtΔCDB(HL),  ∴.BD＝CE  在ΔABD与ΔAEC中，∠AEC=∠ADB,∠A＝∠A，BD=CE, ∴ΔABD≌ΔACE(AAS)∴AD=AE. 5、【教材变式】如图，在ΔABC中，D是AB的中点，DM⊥AC于点M，DN⊥BC于点N，且DM＝DN． （1）求证：AM＝BN； （2）求证：AC＝BC． 证明：（1）连接CD，先证ΔDAM≌ΔDBN（HL），∴AM＝BN； （2）再证ΔCDM≌ΔCDN（HL），∴CM＝CN，∴AC＝BC． 综合探究 6、（1）【问题背景】如图1，已知∠ADB＝∠AEC＝90°，AD＝AE，AB＝AC．求证：EC＝DB； （2）【尝试应用】如图2，已知点A（2,2），点C在x轴正半轴上，点B在y轴的负半轴上，AB＝AC．求OC-OB的值； （3）【拓展创新】如图3，已知A（t，t），点D在x轴正半轴上，点B在y轴负半轴上，且∠ADB＝∠ADx，直接写出OD＋BD-OB的值为  2t （用含t的式子表示）. 解：（1）在RtΔADB和RtΔAEC中，AB＝AC，AD＝AE， ∴RtΔADB≌RtΔAEC（HL），∴EC＝BD； （2）过点A作AM⊥x轴于点M．AN⊥y轴于点N， ∵A（2.2），∴∠ANB＝∠AMC＝90°，AN＝AM＝2， ∵AB＝AC，由（1）知BN＝MC，∴OC-OB＝OM＋MC-（BN-ON）＝OM＋ON＝4； （3）在OD延长线上截取DC＝DB，连接AC， 在ΔADB与ΔADC中．AD＝AD，∠ADC＝∠ADB．BD＝DC．∴ΔADB≌ΔADC．∴AB＝AC，由（2）知OC-OB＝20M＝21， ∴OD+DB-OB=OD+DC-OB=OC-OB=2t.  www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$